teoria degli insiemi
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La Teoria degli insiemi. Operazioni con gli insiemiTRANSCRIPT
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LA TEORIA DEGLI INSIEMI
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OPERAZIONI TRA INSIEMI
IntersezioneUnione DifferenzaProdotto cartesiano
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3
5 4
6 8
7
A = {4, 5, 6, 7,8}
A = {x x N e 4 x 8}
Rappresentazioni di insiemi
Tabulare o per elencazione
Grafica o diagrammi di Eulero – Venn
Caratteristica
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INSIEME INTERSEZIONE
Dati due insiemi, A e B, si chiama intersezione l’insieme degli elementi comuni sia ad A sia a B.
BΑ
A B
A B = {x x A e x B}
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Con i diagrammi di Eulero-Venn
.1 .2 .34. 5.
A B
Dati gli insiemi A 1;2;3;4 e B 3;4;5 ,
l'intersezione tra A e B è data
dal seguente insieme
A B 3;4
Il simbolo è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si può leggere “A intersezione B”.
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Autore: A
ngela T. G
allo
INSIEME DISGIUNTI
Se due insiemi A e B non hanno elementi in comune si dicono disgiunti.
BA
A BInsieme differenza
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SI DICE UNIONE DI DUE INSIEMI A E B L’INSIEME DEGLI ELEMENTI APPARTENENTI AD A O A B. CIOÈ L’INSIEME DEGLI ELEMENTI CHE APPARTENGONO AD ALMENO UNO DEGLI INSIEMI DATI
BA
Insieme unione
BA
A
B
A B = {x x A o x B}Il simbolo è il simbolo che caratterizza l’operazione. Si legge“A unione B”
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INSIEME UNIONE
Con i diagrammi di Eulero-Venn
.1 .3 .46. 2.
A B
A 1;3;4;6 e B 2;4;6 ,
l'unione tra A e B è data dal seguente insieme
A B 1;2;3;4;6
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U
INSIEME DIFFERENZASi dice differenza fra l'A e B considerati nell’ordine, l’insieme , che indicheremo con A-B, costituito dagli elementi di A che non appartengono a B.
Si definisce differenza complementare fra l’insieme U e il suo sottoinsieme A, l’insieme degli elementi che stanno in U ma non in A
A B
A
BxAx/xB-A
A-B
U-ASi ha, per definizione:
U – A = {x x U e x A}
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10
Dati ad esempio i due insiemiU = {1,2,3,4,5,6,7,8} e A = {2,4,6,8}, il complementare di A è dato dal seguente
insieme:
.1 .3
.5
U.7
.8 .4 .2 .6
U - A = {1,3,5,7}
A è un sottoinsieme di U:A U
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N Z Q R C
Insiemi e sottoinsiemi
della teoria dei numeri:
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PRODOTTO CARTESIANODati due insiemi A e B non vuoti, si
chiama prodotto cartesiano di A x B, l’insieme di tutte le coppie ordinate (x;y), dove x appartiene ad A e y appartiene a B ByAxyxBA ,/);
;1 ; ;2 ; ;3 ; ;1 ; ;2 ; ;3A B a a a b b b
;A a b1;2;3B
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E
Le operazioni di unione ed intersezione fra gli insiemi godono delle seguenti proprietà:
EE EFFE
PROPRIETÀ COMMUTATIVA DELL’UNIONEEFFE PROPRIETÀ COMMUTATIVA
DELL’INTERSEZIONEEEE
PROPRIETÀ DI IDEMPOTENZA DELL’UNIONEEEE
PROPRIETÀ DI IDEMPOTENZA DELL’INTERSEZIONE
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PROPRIETÀ DISTRIBUTIVA DELL’UNIONE RISPETTO ALL’INTERSEZIONE
HEFEHFE
HFEHFE
PROPRIETÀ ASSOCIATIVA DELL’INTERSEZIONE
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15 Uuniverso ambienteall' rispettoA insiemedell' areComplementA C
Uuniverso ambienteall' rispettoA insiemedell' areComplement A
niproposizio tranedisgiunzio di Simbolo
niproposizio tranecongiunzio di Simbolo
che Tale /
vuotoInsieme
insiemi tradifferenza di Simbolo -
insiemi traneintersezio di Simbolo
insiemi traunione di Simbolo
zaappartenennon di Simbolo
zaappartenen di Simbolo
U
Simboli