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CENTRO DE INVESTIGACIONES Y DESARROLLO CIENTÍFICO

La resolución de problemas: sus posibilidades para eldesarrollo del pensamiento multiplicativo

Martha Bonilla Estévez y Jaime Romero CruzUniversidad Distrital Francisco José de Caldas.

RESUMEN

El presente artículo presenta, a partir del análisis de los resultados de algunasindagaciones realizadas entre estudiantes de diferentes niveles escolares y pro-fesores en ejercicio, cómo el contexto de un aula gestionada por resolución deproblemas posibilita que los alumnos demuestren sus posibilidades para rea-lizar procesos matemáticos sofisticados, particularizados en el pensamientomultiplicativo. Los autores pretenden con ello demostrar la necesidad y a lavez la potencialidad de introducir el trabajo por resolución de problemas entodas las aulas en que se enseñe matemáticas, si se desea promover el cambio deparadigma para la educación matemática, planteado en los Lineamientoscurriculares.

PROBLEMS RESOLUTION: POSSIBILITIES FOR THEULTIPLICATIVE THOUGHT DEVELOPMENT.

By Martha Bonilla Estévez and Jaime Romero Cruz.Distrital University.

ABSTRACT.

The current article presents, from the results analysis of some inquiries carriedout between some different levels students an some teachers in practise, how thecontext of a classroom which is worked in the problems resolution strategyprovides the students demonstrate their aptitudes to make sophisticated

Fecha de recepción: mayo 30 de 2005 - Fecha de aceptación: agosto 26 de 2005

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mathematical processes, distinguished in the multiplicative thought. Theauthors try with it to demonstrate, the necessity and simultaneously thepotentiality to introduce the work by resolution of problems in all theclassrooms in which mathematics are taught, if it is desirable to promote theshift of paradigm for the raised mathematical education in the curricular profile.

1. EL CONTEXTO DE TRABAJO

Desde 1998 el Gobierno nacional elimina los programas nacionales únicos yexpide en su lugar los Lineamientos Curriculares, que como su nombre lo indi-ca, demarcan las acciones comunes para las instituciones educativas del país.

Para el caso de la educación matemática, los lineamientos curriculares se con-figuran en una propuesta de cambio de paradigma de la formación matemáti-ca que se espera tengan nuestros escolares, tomando como referentefundamental su actuación como ciudadanos en formación. Por ello, se haceespecial énfasis en promover la actividad matemática como centro de la for-mación, articuladora de los procesos de aprendizaje y enseñanza. La propues-ta incluye organizar el currículo desde tres ejes: procesos de aprendizaje,conocimientos básicos y el contexto.

Los procesos de aprendizaje organizados alrededor del razonamiento mate-mático, la modelación, la resolución de problemas y la construcción y uso deprocedimientos. Los conocimientos básicos hacen referencia a la delimitaciónde los contenidos de formación organizados en torno a: lo numérico y lossistemas numéricos y de numeración, lo variacional y los sistemas analíticos,lo métrico y los sistemas de medición, lo espacial y los sistemas geométricos, ylo aleatorio y los sistemas de datos. El contexto está referido a la resolución desituaciones problema provenientes de la vida diaria, de las matemáticas y delas otras ciencias; que permite dar sentido a aquello que se aprende.

En la educación básica1 lo multiplicativo aparece como un aspecto ligado a losdiferentes conjuntos numéricos (N, Z, Q, R, C) y a la resolución de situacionesde medición, estocásticas y geométricas que se recorren en este nivel educati-

1 Nivel educativo que corresponde a los grados 3° a 9°, edades que oscilan entre los 7 y los 16 añosaproximadamente.

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vo. Incluye aspectos relativos a la suma repetida, proporción, recursión, fun-ciones exponenciales y logarítmicas, entre otras.

A lo largo de la escolaridad, iniciando en los primeros años, los estudiantes seven enfrentados tanto a actividades de aprendizaje que recurren a la multipli-cación como modeladora de situaciones, como a trabajos centrados en laoperatoria. Aún así, existen evidencias acerca de la poca comprensión quemuchos de ellos demuestran cuando se enfrentan a tareas matemáticas de tipomultiplicativo. Este hecho es objeto de indagación en la investigación Pensa-miento Multiplicativo: una mirada de su densidad y complejidad en su desa-rrollo en el aula, financiada por la Universidad Distrital, Colciencias y el IDEP.El presente trabajo se constituye en un análisis preliminar realizado con alum-nos de los primeros grados, con estudiantes universitarios y con profesoresgraduados, tratando de indagar sobre actividades matemáticas y organiza-ciones de clase que potencian la comprensión de la multiplicación.

Lo multiplicativo en la formación ciudadana.

“Hubo una época en que la alfabetización numérica sólo implica-ba las cuatro reglas aritméticas de sumar, restar, multiplicar ydividir. En opinión de muchos, sigue siendo así. Sin embargo,actualmente reconocemos que, debido a que las sociedades sevuelven más complejas y dependen en mayor medida de ideas yprocesos matemáticos sofisticados, el nivel de alfabetización nu-mérica necesario para funcionar en ellas y contribuir a su desa-rrollo es cada vez más exigente”. (Bishop 2002, p. 40).

Sobre este aspecto nos preguntamos por las ideas y los procesos2 matemáticossofisticados –planteadas por Bishop - que todo ciudadano ha de conocer paraque se pueda vincular a la sociedad en condiciones funcionales pero que tam-bién, quienes quieran, puedan desarrollar pensamiento matemático avanza-do y tal vez ingresar al mundo de aquellos que asumen las matemáticas como

2 Por el término procesos entendemos con Puig (1996,pp.14-15) “clasificar, definir, algoritmizar, probar,demostrar, particularizar, generalizar, abstraer; al hablar de procesos matemáticos, pretendemosfijarnos exclusivamente en las características que estas acciones tienen como componentes de lapráctica matemática. Este mundo tiene un pobre reflejo en los sistemas escolares y, en consecuencia,está poco presente en la literatura de investigación”.

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un mundo de realización particular. Es indudable que algunas de las ideas yprocesos matemáticos3 son posibles de adquirir fuera del aula de clase y de laescuela. Ello por cuanto el conjunto de prácticas matemáticas existentes ennuestras sociedades, desde las matemáticas útiles para la tienda, pasando porlas usadas y construidas por grupos de personas no matemáticos como loscarpinteros, los vendedores ambulantes, etc. pueden ser transmitidas,culturalmente en el uso cotidiano, sin que necesariamente ellas sean motivo detratamiento curricular en la escuela.

Ahora bien, algunos de los fenómenos sociales actuales por su complejidad ygrado de estructuración requieren que la escuela los asuma como propios desu campo de acción, pues las formas de multiplicación necesarias para abor-darlos van más allá de las suma repetida y se insertan dentro de los modelosdinámicos (recursión) exponenciales y logarítmicos, propios del pensamientomatemático avanzado.

En conexión con lo que ya hemos dicho, aceptamos que un propósito de laeducación es ayudar a los estudiantes y a los profesores en su construcción demundos posibles. La escuela de hoy cuenta para ello con el conocimiento gene-rado y acumulado por la humanidad, así como de valores que considera de-seables, como los relativos a una democracia en la corresponsabilidad y en lasolidaridad, y que por el mismo hecho de considerarlos deseables, se colige queno están del todo instaurados colectivamente.

El conocimiento acumulado aunque ha sido suficiente para generar, por pri-mera vez en nuestra (considerándonos miembros de la humanidad) historiamoderna, excedente como para resolver los problemas de hambre y miseria,las dificultades hoy nos aquejan a todos, bien por sufrirlas directamente, bienpor sufrir las implicaciones de vivir en un mundo globalizado y sin democra-cia. Poder entender que todos, hambrientos y no hambrientos, miserables ypudientes participamos de un destino común, pasa por entender el efectomultiplicador a gran escala de lo infinitamente pequeño, así como de la rela-ción compleja (no sumativa) entre la parte y el todo. Requerimientos que

3 Por ejemplo , la alfabetización numérica, correspondiente al manejo de los algoritmos de las cuatrooperaciones.

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están representados y dispuestos, entre otros, en las semejanzas y en los fractales,sobre todo cuando se les examina desde el cambio y desde el crecimiento.

Pensemos ahora en la posibilidad de que una persona asalariada en Colombiacompre casa. Es decir, pensemos en si es posible el mundo del colombiano asala-riado con casa. Todos sabemos que mientras el salario crece a una tasa anual dea lo más el IPC4 ; los préstamos de la UVR5 crecen a una tasa anual del IPC +14%. Al mantenerse esta diferencia de incrementos durante 15 años ¿cuál es ladiferencia absoluta de incrementos al final? ¿qué parte del salario está aportan-do el asalariado año tras año para el pago de su casa? ¿crece, se mantiene igual odecrece la parte de aporte al pago respecto del salario y de qué manera? ¿quéposibilidad de existencia le queda a nuestro mundo pensado?

2. ALGUNOS RESULTADOS DEL TRABAJO DE AULA

Uno de nuestros intereses curriculares es trabajar a partir de situaciones pro-blemáticas, que referencien el mundo de la vida de nuestros alumnos paradesde allí ir construyendo significados, cada vez más complejos, de los objetosmatemáticos a tratar, para este caso del objeto multiplicación.

Acudimos a nuestra experiencia como investigadores y formadores de profe-sores de matemáticas, para presentar los siguientes sucesos escolares. En pri-mer lugar, hemos seleccionado una tarea clasificada como no rutinaria ennuestro ámbito escolar: producir problemas, la cual se le pidió realizar tantoa profesores en ejercicio, como a estudiantes para profesor (2º semestre) y aniños de sexto grado (11 años). Se elige esta tarea matemática, asumiendo conPuig (1996, pp.12-13) que

“ La multitud de estudios y de modelos teóricos desarrolladospara los problemas verbales pertenecen en líneas generales a estemundo en que los problemas se consideran en torno a conceptos,campos conceptuales o estructuras conceptuales”

4 IPC Índice de precios al consumidor.

5 UVR. Unidad de Valor Real.

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así, la producción de problemas es una tarea que nos permite indagar acercade los significados que cada individuo, en situación escolar, invoca del concep-to o los conceptos involucrados.

2.1 ¿Es justo afirmar que no saben?

Para analizar las producciones de los participantes seleccionamos las propues-tas de Vergnaud y el análisis de tipo sintáctico propuesto por Nesher para lasuma, pero que utilizamos para la multiplicación por encontrarlo pertinente.El análisis que hace Vergnaud (1991) para los problemas «simples» de multi-plicación, que usan para su solución las operaciones de multiplicación o divi-sión, se sitúa en dos grandes categorías: los Isomorfismos de Medidas y Productode Medidas. Para el análisis sintáctico en el que se tiene en cuenta la ubicaciónde la pregunta en el contexto del enunciado propuesto se consideran seis sen-

tencias abiertas (tabla adjunta), para dar cuenta delorden y el lugar tanto de las sentencias de tipo informa-tivo como de la interrogativa.

Al comparar los resultados obtenidos en tres indagaciones diferentes, cualesson la realizada por Bonilla, Sánchez y Vidal (1999) con profesores de prima-ria, a quienes se les pidió “elaborar tres problemas diferentes y explicar las razonespara tal diferencia, utilizando la expresión: 6x3=18”, la realizada por Puerto(2001) con niños de grado sexto en la que se les pidió “plantear cuatro proble-mas diferentes en donde se aplicara la multiplicación o la división e intervenganlos números: 132 y 11”; y en el estudio realizado por Romero (2003) en el que seles solicitó a alumnos de segundo semestre de universidad, estudiantes paraprofesor, “realizar cuatro enunciados de situaciones de división que fueranestructuralmente diferentes describiendo en cada caso la estructura y la diferenciacon los otros casos”, encontramos:

a + b = ?

a + ?= c

? + b = c

? = a + b

c = a + ?

c = ? + b

*El 5% que falta corresponde a problemas numéricos o gráficos que no corresponden a latarea solicitada.

** El 13% faltante corresponde a problemas de tipo aditivo o a producciones incompletas.

Categoría del

problema

Profesores

de primaria

(en ejercicio)

Alumnos de

6° grado (11

años aprox.)

Estudiantes para

profesor (18

años aprox.) Isomorfismo de medidas 60% 31% 35%

Producto de medida 3% 0 15%

Sin relación

multiplicativa

32%* 56%** 50%

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con lo que podríamos afirmar que no existe una diferencia significativa en lapreferencia del tipo de estructura usada por los participantes en los estudiosreferenciados. Es muy fuerte, en los tres casos, el uso del isomorfismo de medi-das, suponemos que es debido a que en él están las palabras usadas para referirmultiplicación o división: cada uno, veces, repartir de a o entre. La menorpreferencia por los problemas de producto de medidas, tal vez se deba a quelos problemas de este tipo se enmarcan en ámbitos que se tratan de maneraseparada en el currículo: cálculo de áreas y combinatoria y por último, tal vez,a que el uso de la regla de tres es muy marcado en nuestro ámbito escolar.Ahora bien, es de resaltar que la mayoría de problemas que se clasifican enisomorfismo de medidas corresponden a problemas en los que se involucra lamultiplicación; los que se plantean como de división, la mayoría debió ubicar-se en el ítem sin relación multiplicativa.

Respecto a la categoría sintaxis de los enunciados planteados, tenemos

Como podemos deducir, la preferencia en esta clasificación está dada hacia losproblemas con sentencia interrogativa a la derecha del signo igual. Esto pro-bablemente se debe a que los problemas que abordamos escolarmente son deeste tipo o tal vez a que los participantes no consideran como problemas dife-rentes aquellos en los que el orden de la proposición interrogativa cambia. Esprobable que en el lenguaje común esta diferencia, sobre todo para este tipo deproblemas verbales, no sea muy relevante. Sin embargo en términos de laestructura matemática, y sobre todo cuando nos enfrentamos al trabajo conecuaciones, este tipo de transformaciones tiene una significación importante,como lo veremos en apartados posteriores.

En cuanto a problemas que modelan erróneamente la situación planteadaencontramos allí algunas semejanzas, que ejemplificamos:

Análisis sintáctico

Profesores

de primaria

(en ejercicio)

Alumnos de

6° grado

(11 años)

Estudiantes

para profesor

(18 años)

a x b = ? 70% 100% 100%

a x ? = c 19%

? x b = c 11%

Tabla 2

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Cambio de la relación multiplicativa por una de tipo aditivo:

“en un carro de helados tenían 132 helados y vendió 11 ¿cuántos lequedaron?” (Estudiante de 6° grado) “18 niños entran a estudiar y se retiran 6 a la mitad de año, cuán-tos niños quedan?” (profesor en ejercicio)

Problemas en que hace falta la relación multiplicativa

“Si doy 6 frutas a 3 niñas ¿cuántas frutas son?” (profesor enejercicio)“en la plaza la señora vendió 132 naranjas a 11 niños ¿cuántasnaranjas le corresponden a cada uno?”(estudiante de grado 6°)“En un juego de canicas 4 niños ganaron 43 canicas en total ¿cuán-tas canicas tiene cada uno?” (Estudiante para profesor)

Al comparar estos resultados encontramos que la diferenciación, tanto en eltipo de problemas producidos como en el tipo de errores encontrados, no esmuy fuerte, como lo que en principio se supone, dadas las diferenciaciones deedad, escolaridad y tipo de actividad que presentan los grupos de personas conlas que se han desarrollado las indagaciones.

Ahora bien, con los resultados obtenidos podemos concluir, al igual que mu-chos de los estudios realizados en nuestro país, que esto se debe a incapacidadmatemática de los alumnos o a que no estudiaron lo suficiente para aprender,afirmaciones que nos parece no son del todo ciertas, pues consideramos queun aspecto que influye mucho más en la implicación y producción matemáti-ca de los alumnos es el contexto de aula e institucional en que se desenvuelvenla enseñanza y el aprendizaje, lo que trataremos de mostrar en lo que sigue, nosin antes advertir que los resultados presentados también nos muestran el ladode lo que hemos llamado no saben.

2.1.1 Los problemas de isomorfismo de medidas.

Al analizar este aspecto desde aquello que hacen (los implicados en los traba-jos referenciados) para resolver los problemas que plantean, vemos que enellos está como un implícito la congruencia de las partes, así:

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“Tengo una bolsa de golosinas, la cual contiene 18 paquetes. Sitengo 4 bolsas y quiero repartir los paquetes en nueve niños, ¿Dea cuántos paquetes les toca a cada uno?

El estudiante para profesor, quien planteó y solucionó los enunciados anterio-res, asume el problema como compuesto: un problema de multiplicación yuno de división. Pero para que sea de multiplicación asume como si estuvieraexplícita la relación “en cada bolsa hay la misma cantidad de golosinas” y parael de división no asume como necesario explicitar la restricción acerca de“repartir en partes iguales” o “repartir a todos y cada uno la misma cantidad”,con lo que los problemas son de tipo aditivo y no multiplicativo con variassoluciones, una de las cuales coincide con la solución lograda cuando el pro-blema es visto como multiplicativo, por lo que pueden presentarse de la si-guiente manera:

Encuentre una cantidad posible de golosinas que tengo en cuatrobolsas, sabiendo que una de las bolsas tiene 18 golosinas.

yReparto 72 golosinas en 9 niños

Como ya lo dijimos, este es uno de los errores más frecuentes observados encada uno de las tres grupos participantes, de lo cual no es posible concluir quehay un alto grado de incompetencia para resolver problemas de la cotidianidad,ya que en nuestras prácticas de compra – venta, juegos, etc., asumimos quecompramos artículos que cuestan lo mismo o que repartimos o formamosgrupos de igual tamaño, en donde el mismo contexto da el sentido, trasladán-donos al contexto matemático, en cambio, es un requerimiento asumir lasrestricciones y las relaciones establecidas en un problema, para aprender pro-cesos matemáticos.

Por otro lado, si asumimos con Vergnaud (1991,p.197) que:

“se pueden distinguir dos grandes categorías de relacionesmultiplicativas... La más importante de ellas, que se utiliza para

= = 8 paquetes por niño.18 paquetes/ bolsa x 4 bolsas

9 niños 72 paquetes

9 niños

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la introducción de la multiplicación en la escuela primaria y queforma la trama de la gran mayoría de los problemas de tipomultiplicativo, es una relación cuaternaria y no una relaciónternaria; por ello no está bien representada en la escritura habi-tual de la multiplicación: a x b = c, ya que dicha escritura nocomporta más que tres términos....”

entonces los problemas de tipo multiplicativo simple son una clase de proble-mas en los que el esquema de la proporcionalidad se particulariza porque unode los términos implicados es uno.

Utilizando este criterio, para considerar el problema que venimos analizan-do: un problema multiplicativo, es necesario plantear la existencia de unarelación de proporcionalidad simple entre las dos magnitudes consideradas,de tal manera que:

siendo M1 y

M

2 espacios de medidas diferentes o espacios donde

las unidades con las que se mide son distintas. La relación entre1 y c y entre b y d es multiplicativa en el sentido en 1 x c =c y b xc = d y la relación entre 1 y b y entre c y d queda definida por un

operador lineal xb tal que 1 x b =b y c x b =d. Este operador b determina larelación multiplicativa: xb unidades de M

1/ unidades de M

2

Sintetizando lo dicho, tal vez por el uso generalizado que hacemos a estelenguaje de los problemas en el mundo escolar (útil también para el mundono escolar) nuestros alumnos, profesores y estudiantes para profesor, danpoca importancia a explicitar aquello que constituye, en este tipo de proble-mas, la característica esencial para que puedan ser considerados de tipomultiplicativo.

No sucede así con otros tipos de problemas, también multiplicativos y en losque se involucra la proporcionalidad compuesta. Presentamos a continua-ción una experiencia que fue desarrollada por estudiantes de séptimo grado(12-14 años) reportada por Romero, et al (2002, p. 51) ocurrida en una ins-titución escolar, que promueve explícitamente el trabajo por resolución deproblemas.

M1 M2

1 b

c d

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Segundo problema del ramo de flores.Una mujer desea regalar rosas rojas y negras. Quiere además, que por cada dosrosas negras haya en el ramo cinco rosas rojas.

� ¿Cuál es la menor cantidad de rosas que puede enviar?

� Si quiere enviar 25 rojas, ¿cuántas rosas debe comprar?

� Si envió 56 rosas, ¿cuántas rosas de cada color compró?

� ¿Puede enviar cualquier número de rosas?

� ¿Puede enviar 105 rosas?

� ¿Qué otros cantidades puede enviar?

Los alumnos resuelven esta actividad inicialmente recurriendo a una tabla,construyendo paso a paso y de manera aditiva la respuesta:

Luego, algunos identifican que en una columna están los múltiplos de 2 y en laotra los de 5, así como que el número de rosas es siempre múltiplo de 7.

Un hecho que llama la atención es que al preguntarles cuántas rosas negrascompró si ha enviado 105 rosas, recurren nuevamente a la tabla aunque pre-viamente hayan verificado que dentro del contexto del problema, 105 es unnúmero posible de rosas a enviar, es decir, que 105 es múltiplo de 7. Se mani-fiesta así, la dificultad de mantener presente que hay una relación entre las trescolumnas rosas negras, rosas rojas, rosas, y es que para mantenerla se debe verque en cada renglón, los números que allí aparecen son múltiplos de un mismo

Rosas negras Rosas rojas

2 5

4 10

6 15

8 20

10 25

12 30

14 35

16 40

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6 Los estudiantes ya han trabajado con anterioridad el problema con enunciado “una mujer desearegalar rosas rojas y negras. Quiere además, que el número de rojas sea el triple que el de negras...”

número, produciéndose, entonces, una tabla de doble entrada, lo cual lleva auna estructura de tipo multiplicativo. Sólo cuando esto se verifica, los alum-nos pueden abandonar la estructura aditiva con la cual conformaron la tabla.

Una vez trabajados estos problemas6 , aparece el esquema lingüístico x es a y dela siguiente manera:

2 es a 5, 4 es a 10, ... etc.

Mientras la relación en las filas se mantenga entre números enteros, la situa-ción es manejada adecuadamente. Sin embargo, una actividad que los lleve a

3 es a 4, 5 es a ? ya es un asunto distinto.

Este caso particular fue propuesto varias veces en el transcurso del trabajo,hasta que finalmente, luego de bastante tiempo, los alumnos encontraron tresmodelos:

Primer modelo. Para llegar a 5 utilizamos 2 partes de 3 más las 3. A 4 lo volve-mos 3 y con este 3 hacemos lo mismo. Entonces primero se convierte a 4 en 3:una unidad [de las 4] la parto en 3 partes y coloco cada una de esas tres partesen cada una de las otras tres unidades [que quedan de las 4].

Segundo modelo. En la secuencia:3 es a 46 es a 89 es a 1212 es a 16

y ahora tengo tres unidades. De esas tres, cojo dos, que son dos más dos tercios, y como ya tengo cuatro de

antes, me quedan seis más dos tercios.

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se dan cuenta de que al multiplicar en forma de cruz dos filas consecutivas, seobtiene cada vez el mismo resultado.

Entonces, colocando en la segunda fila 5 es a ? completan la tabla así:

y usan la multiplicación en cruz para la primera y segunda filas, obteniendo

que 3 x ? = 4 x 5, y entonces ? =

Tercer modelo. Si multiplicamos la primera relación por 5 llegamos a:15 es a 205 es a ?

como 5 es la tercera parte de 15, entonces ? es la tercera parte de 20.

Es decir, ? =

Como se desprende de la narración, es posible afirmar que abordar este tipo deproblemas en las aulas de clase permite la exploración, la búsqueda, el pensa-miento divergente, en fin, la posibilidad real de que los alumnos lleguen a en-contrar métodos generales de solución, basados en la comprensión, que paranada constituyen soluciones triviales y falta de estructuración matemática.

2.2.2 Los problemas de producto de medidas

Como ya lo indicamos, la cantidad de problemas de producto de medidasproducidos es porcentualmente menor a la cantidad de los que se producen en

Secuencia 1 Secuencia 2 Productos cruzados3 4 246 8 249 12 2412 16 2415 20 24

203

203

3 45 ?6 89 1212 1615 20

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el ámbito de los isomorfismos de medidas. Los contextos en que se inscribenéstos se corresponden a la medición (cálculo de áreas, volúmenes) y a la enu-meración de todos los casos posibles en situaciones de combinatoria. Abor-dando este último contexto (combinatoria) y tal como lo afirma Fischbein(1975, p.100, citado por Batanero (1994, p.70)

“las operaciones combinatorias representan algo más importan-te que una rama de las matemáticas. Representan un esquemacon un carácter tan general como los esquemas de la proporcio-nalidad y la correlación, que emergen simultáneamente despuésde la edad de los 12-13 años”

encontramos en el razonamiento combinatorio un objeto matemático escolarde reconocida naturaleza multiplicativa y en este tipo de problemas «sim-ples», un primer eslabón para su construcción.

El siguiente es un problema planteado por una profesora en ejercicio:

“Gloria tiene 6 faldas y 3 blusas, cuántas mudas puede formarGloria” explicando que para resolverlo el niño tiene que hacer “lacombinatoria y obtiene la respuesta”

Por otro lado, un estudiante para profesor, para quien la tarea consistía enproducir problemas de división, propone el siguiente problema, que resultóser uno de los dos planteados en este tipo:

“Si Juana tiene 15 mudas de ropa diferentes entre jeans y camise-tas, combinándolos, si tiene 5 jeans ¿cuántas camisetas tiene?

Es notorio que en este tipo de problemas los participantes plantean correcta-mente los problemas, tal vez porque lo que requieren para ello es expresar loscardinales de dos conjuntos A y B para encontrar el cardinal del productocartesiano A x B, que si bien puede no ser el conocimiento que ponen en usocuando resuelven o plantean estos problemas, sí poseen los esquemas suficien-tes para actuar realizando las parejas de elementos.

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¿Cuál puede ser la dificultad de estos problemas o qué hace que su producciónsea porcentualmente tan baja? Una primera opción la constituye el que estetipo de problemas es menos usual en la vida cotidiana, ya que aunque sabemosque podemos “combinar” las prendas con las cuales nos es posible vestirnos, noes un requerimiento usual preguntarnos por el número total de combinacio-nes posibles, por ejemplo.

También en la escuela son pocas las oportunidades que los niños tienen paraenfrentar este tipo de situaciones, que la mayoría de las veces se abordan cuan-do en estadística, para los grados superiores, se aborda el problema de las enu-meraciones: combinaciones y permutaciones, útiles para encontrar el númerode elementos de un espacio muestral y calcular así la probabilidad de un suceso.

Hemos constatado que a pesar de lo dicho, cuando a los niños se les pidesolucionar problemas que requieren de conteos, presentan unas solucionesque evidencian estrategias sistemáticas, lo que les permite encontrar el núme-ro total de posibilidades. Tal es el caso de las soluciones presentadas por niñosde tercer grado (8-10 años), experiencia reportada por Daza, Sánchez yVillamizar (2000), cuando se les pidió resolver el siguiente problema:

¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse Juanita,Numerito, Olimpos, Pepita en la primera fila del salón, si se sabeque la fila tienen 4 sillas y Juanita debe quedar junto a Pepita? ¿Sifueran 5 sillas y Juanita quiere quedar junto a Pepita, de cuántasmaneras diferentes puede quedar una silla desocupada?

Si bien es cierto que este fue el problema de menor respuesta, exponemos acádos de las respuestas dadas por los niños al primer interrogante, ya que elsegundo no fue abordado por ellos.

Niño A:NOPJ/ONPJ/NOJP/ONJP/NJPO/OJPN/NPJO/OPJN/PJNO/PJON/JPON/JPNO

Niño B NOPJ ONPJ JPONNOJP NOPJ PJONNJPO JPNONPJO PJNO 12 formas hayOPJN

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En las dos secuencias se puede observar que los niños:

1. Delimitan los objetos con los cuales trabajar y los simbolizan: Juanita J,Numerito N, Olimpos O y Pepita P.

2. Inician con una solución posible NOPJ, en la que establecen los requeri-mientos del problema: los cuatro y que J y P estén siempre juntos.

3. Mantienen las condiciones de JP juntos, variando sistemática ycíclicamente las posiciones posibles, estableciendo para ello – cada vez-un grupo de dos elementos como elemento pivote, a partir del cual seforman las demás configuraciones.

NOPJ/ONPJ/ NOJP/ONJP/ NJPO/OJPN/NPJO/OPJN/ PJNO/PJON/ JPON/JPNO

Volviendo a las palabras de Batanero (1994, p.75) para enfatizar la importan-cia de este tipo de actividad matemática

“al describir los diversos tipos de problemas combinatorios, vi-mos que uno de ellos consiste en la enumeración sistemática detodas las configuraciones combinatorios bajo unas condicionesdadas, cuando el número de posibilidades no es excesivamenteelevado. A partir de la capacidad de resolver este tipo de proble-mas se podrán comprender los algoritmos de generación siste-mática de todas las posibilidades, para los casos en que no seanecesaria la enumeración completa, así como deducir las corres-pondientes fórmulas de recuento”

y puesto que en la generación de los algoritmos mencionada se pone en funcio-namiento la recursividad, ya que (Batanero, 1994, p.65)

“la formación de una configuración dada se efectúa generalmentea partir de otra de menor tamaño. Así, para formar las variacio-nes con repetición de m elementos tomados n a n suponemosformadas las de orden n-1 y a partir de ellas consideramos todas

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las posibilidades añadiendo a las ya formadas un último elemen-to. El mismo diagrama en árbol, como recursos de construcciónde unas configuraciones dadas tiene un carácter recursivo; unárbol con n niveles de ramificación se forma a partir de un árbolcon n-1 niveles de ramificación”

se puede comprender cómo este tipo de trabajo, hoy no considerado comoimportante en la escuela elemental, puede constituirse en un elemento im-portante para la formación de cierto tipo de razonamiento matemático: lainducción.

Para este caso tenemos también que aunque en apariencia los niños frente a untipo de tarea parecen demostrar que no comprenden algunos aspectos de lamultiplicación, insertos en un contexto de aula en el cual se les proponen situa-ciones que los convoquen, ellos producen métodos que son mucho más com-plicados de lo que creemos pueden hacer.

2.1.3 Sobre los problemas con diferenciaciónen la estructura sintáctica.

Es también notoria la preferencia, en los estudios que estamos reportando,por construir enunciados en donde la sentencia interrogativa (la pregunta) seencuentra al lado derecho de las sentencias afirmativas, de tal manera que laestructura predominante sea a x b = ?

Esta estructura sintáctica favorece la comprensión del signo igual como unseparador entre el resultado y una operación, hace entonces menos probableque se le comprenda, aunque sea implícitamente, como un signo que refiereuna relación de equivalencia. Comprensión necesaria para adjudicarles signi-ficados más eficaces, en términos relacionales y operatorios, a las sentenciasalgebraicas.

A pesar de ello, también hemos encontrado que los niños enfrentados a tareasque requieren de la comprensión del lugar de la incógnita y sobre todo de lacomprensión de las diversas relaciones que es necesario asumir para elaborarun problema correctamente, producen soluciones como la siguiente:

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“En un centro de vacaciones hay cierta cantidad de cabañas, encada cabaña hay 4 habitaciones, en cada habitación caben dospersonas. ¿Cuántas cabañas hay en ese centro de vacaciones simáximo caben 24 personas?”

Presentando la siguiente solución gráfica:

En esta solución se aprecia que el niño sabe que la pregunta está en la primeraproposición. Además realiza correctamente las correspondenciasmultiplicativas implicadas tantas de estas por tantas de estas, y utiliza el méto-do del tanteo para hallar la solución.

Este tipo de problemas planteados en términos algebraicos corresponde a :

Del mismo modo, en un grupo de estudiantes para profesor, durante el mismoperíodo de clase resolvieron el siguiente problema que hemos denominado elproblema de los jarros. Presentamos a continuación algunas de las solucioneshalladas.

Situación: Determinar las cantidades de agua que se pueden colocar de manerasistemática y controlada en los jarros de agua, cuyas capacidades son 8 y 6 litrosrespectivamente, sabiendo que ellos ni tienen marcas ni se les puede hacer alguna

Los estudiantes empiezan desde obtener solucionesmanuales, vinculando los convenios para representarsumas en las que intervienen transformaciones; en estetipo de soluciones encuentran, inicialmente, que lascantidades posibles son múltiplos de la diferencia entrelas capacidades, pero prosiguen, por ejemplo cuando

cabañas = 4 habitaciones4 habitaciones = 8 personas4 cabañas = 16 habitaciones16 habitaciones = 32 personasPara luego decir hay 3 cabañas.

Simbolización X = # Cabañas Y = # habitaciones Z = # personas

Relaciones X = 4Y Y = 2 Z Z ? 24

Procedimiento 4c = 16 h. 16 h = 32 p. Descarta esta

solución

Litros de agua Jarro A Jarro B

8 0

8 + (-6) 0 + (+ 6)

2 6 + (-6)

2 + (-2) 0 + (+2)

0 + (+8) 2

8 + (-4) 2 + (+4)

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tratan con capacidades de 10 y 4 litros, hasta obtener que tales cantidades sonmúltiplos de la mayor medida común a ellas, es decir su máximo común divisor.

Pero en un contexto de resolución de problemas, los estudiantes saben que deellos se está esperando mucho más que estas soluciones, por lo tanto aparecencuestiones como por qué de esta manera se puede llegar al máximo comúndivisor, de cuántas maneras se puede obtener una cierta cantidad de litros, etc.La siguiente producción, en la que x=8 y y=6, es parte de una respuesta a estaúltima cuestión:

Esta bella conformación presenta información particular, y expone una granvariedad de regularidades que, en desarrollo de las clases, son expresadas me-diante una ecuación de la forma c = ax + by, en donde c es un múltiplo delmáximo común divisor de x e y. Faltando aún por determinar las relacionesentre a, b y c.

Aparecen varios enfoques para encontrar estas relaciones, expondremos elcentrado en relacionar las soluciones cuando c = 0 y las de los otros valores dec. Para c = 0 ven que a = 4k, kÎZ, b = 3h, hÎZ y para las otras cantidades ven quea partir de una “primera” solución para c, se le suma en orden las solucionespara c = 0.

Luego de las discusiones requeridas, en las que se precisa el uso de lenguajealgebraico, tanto para disponer como para operar, se obtiene:

-16 -2x 4y -5x 8y-8x 12y-11x

-14 -y-x 3y-4x 7y-7x 11y-10x

-12 -2y 2y-3x 6y-6x 10y-9x

-10 -3y-x y-2x 5y-5x 9y-8x

-8 -x 4y-4x 8y-7x 12y-10x

-6 -y 3y-3x 7y-6x 11y-9x

-4 -2y+x 2y-2x 6y-5x 10y-8x

-2 -3y+2x y-x 5y-4x 9y-7x

0 4y-3x 8y-6x 12y-9x

+2 -y+x 3y-2x 7y-5x 11y-8x

+4 -2y+2x 2y- x 6y-4x 10y-7x

+6 -3y+3x y 5y-3x 9y-6x

+8 x 4y-2x 8y-5x 12y-8x

+10 -y+2x 3y- x 7y-4x 11y-7x

+12 -2y+3x 2y 6y-3x 10y-6x

+14 -3y+4x y+x 5y-2x 9y-5x

+16 2x 4y- x 8y-4x 12y-7x

+18 -y+3x 3y 7y-3x 11y-6x

+20 -2y+4x 2y+x 6y-2x 10y-5x

+22 -3y+5x y+2x 5y-x 9y-4x

+24 3x 4y 8y-3x 12y-6x

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c = m(x,y) = 3kx - 4ky + (mx-my), (x,y) máximo divisor de x e y, m∈Z, k∈Zc = m(x,y) = [y/(x,y)]kx – [x/(x,y)]ky + (mx-my).

Esta no es una solución general, que sí fue encontrada para el problema; másaún, no hemos puesto aquí las transformaciones propuestas por los estudian-tes del enunciado inicial para hacer coherentes las “cantidades negativas” en losjarros ni la capacidad infinita de los mismos, como tampoco hemos mostradootros caminos de solución, sólo queremos presentar alguna evidencia de lasposibilidades resolutorias de varios de los estudiantes. Lo que parece sucederentonces con este grupo de estudiantes no es que sean incompetentes pararealizar un cierto trabajo multiplicativo, es más bien la influencia del contextoescolar, matemático y de aula aquello que logra la diferencia.

3. COMENTARIOS FINALES

A través de todo el escrito pretendimos argumentar que asumir un currículo,desde el propio sistema educativo, que tenga en cuenta una base experiencialpara que los estudiantes puedan construir posibles mundos multiplicativos(sus estructuras multiplicativas, sus esquemas multiplicativos de manera ver-sátil y flexible) es una necesidad ineludible, si nuestro objetivo educativo esque los estudiantes aprendan procesos matemáticos sofisticados, útiles para eldesentrañamiento de aquello que queda “oculto” tras un aparato tecnológico,una medida política, una medida financiera etc. y que como lo hemos señala-do, tiene en su base aspectos propios del mundo de lo multiplicativo.

Así mismo, para que lo dicho anteriormente se pueda producir, es también unrequerimiento que en la formación de profesores estas mismas experiencias,ahora teorizadas desde las matemáticas y la didáctica de las matemáticas, seantambién tematizadas en los espacios de formación, con lo que posiblemente seposibilitará que en su actuación profesional (estos profesores) promuevanuna educación matemática que estructure el pensamiento matemático en losdiferentes niveles.

También hemos argumentado que los problemas aritméticos simples son unmedio excelente para que los estudiantes realicen actividades dematematización (modelación, representación, validación, experimentación,

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generalización, comprobación) y para proporcionar sentido a otros concep-tos matemáticos abordados en el currículo escolar y a aplicaciones de lasmatemáticas a otras ciencias; y que los niños o adultos puestos en situacionesde resolutores de problema desarrollan conocimiento matemático complejoque desde la actual construcción de institución educativa y aula, es casi im-posible de obtener.

A pesar de ello seguimos convencidos, y nuestra experiencia lo corrobora, quees en un ambiente de aula que propicie el aprendizaje individual y colectivo, enun espacio comunicativo en donde la construcción de pensamientomultiplicativo, es posible. También tenemos la certeza de que la configuraciónescolar debe ampliarse a todos los niveles de formación, pues esta no resultaser una propuesta para aplicarse únicamente en la primaria.

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