problemas resueltos de resistencia de materiales …
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“ Universidad Nacional San Cristóbal de Huamanga”Facultad de Ingeníeria Minas , Geología y Civil
Escuela de Ingeniería Civil
PROBLEMAS RESUELTOS DERESISTENCIA DE MATERIALES
I - IIAutor:
Calderón Quispe, Gilmer( [email protected],[email protected] )
Estudiante de Ingeniería Civil
Presentacion
1
Índice General
1 Esfuerzo Deformación 3
2 Parámetros de origen 4
3 Método de tres Momentos 51 Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Metodo Viga conjuagda 13
5 Torsion 14
6 Deformaciones 15
7 esfuerzos por flexion 16
8 deflexion de vigas 17
9 Slope Deflection 18
10 Hardy Cross 19
11 Metodo de fuerzas 231 Fundamento teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2
Capítulo
1Esfuerzo Deformación
1.1 Definiciones
1.1.1 Solución de Problemas
Ejercicio N° 1Durante el montaje de un nudo de 3 barras resulto que la barra media era más largaen 5x10´4L . Calcular las tensiones en las barras después de realizar el montaje delnudo considerando E “ 2x105Mpa.
30°
30°
C B A
Solución:
3
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
@CF@BF
@AF
A
C
4AC
B A
C D
n
n
A
A
A
N
A
CEF
CEF
CFF
A
(a)
A
C
B
A A
ABF
ACF
ABF
(a) (b)
(a)(b)
De la figura 1ÿ
Fx “ 0
´ FAB sin 30˝ ` FAd sin 30˝ “ 0
FAB “ FAD ..................................... (I)ÿ
Fy “ 0
FAB cos 30˝ ` FAD cos 30˝ ´ FAC “ 0?
3FAB “ FAC ..................................... (II)
Del gráfico 2
δ “δAB
cos 30˝..................................... (III)
δ ` δAC “ ∆ ..................................... (IV)
Remplazando
FAB2?3L
AE`FACL
AE“ 5x10´4
σABp4
3q `
?3σAB “ 5x10´4
σAB “
„
5x10´4x105x2
4` 3?
3
σAB “ σAD “ 32.622Mpa [tración]
σAC “ 56.503Mpa[compresión]
Resistencia de Materiales I-IIpagina 4
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Ejercicio N° 2Calcular las tensiones que se surgen en las barras durante el montaje del nudo a causade que la barra AD es más corta que su longitud nominal δ “ 0.001L. El material delas barras es de acero cuyo módulo de elasticidad es 2.1x105Mpa.
Solución:
@CF@BF
@AF
A
C
4AC
B A
C D
n
A
A
A
N
A
CEF
CEF
CFF
A
(a)
A
C
B
A A
ABF
ACF
ABF
(a) (b)
(a)(b)
(b)
De la figura aÿ
Fx “ 0?
2
2FAD “ FAB ..................................... (I)
ÿ
Fy “ 0
FAD cos 45˝ “ 0?
2
2FAD “ FAC ..................................... (II)
FAC “ FAB ..................................... (III)
Resistencia de Materiales I-IIpagina 5
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
De la figura b
MN “ δAB ´ δAC
AM “?
2δAC
MA˝ “
?2
2pδAB ´ δACq
AA1
“ AM `MA˝ ` A˝A1
Remplazando valores
?2δAC `
?2
2pδAB ´ δACq ` δAD “ δ
?2
˜
FAC?
22L
2AE
¸
`
?2
2
«
FABL
AE´FAC
?2
2
2AE
ff
`FADL
AE“ 0.001L
FAC2AE
`
?2
2
FABAE
´
?2
2
ˆ
?2
4
˙
FACAE
`FADAE
“ 0.001
FAB2AE
`
?2
2
FABAE
´1
4
FABAE
`2?
2
FABAE
“ 0.001L
ˆ
1
2`
?2
2´
1
4`
2?
2
˙
FABA
“ 0.001x2.1x105
FAB
A“ σAB “ 88.558Mpa
[tracción]
De la relación siguiente
FAB2A
“FAC2A
ñ1
2σAB “ σAC ademas σAD “
2?
2σAB
σAC “ 44.279Mpa[Compresión]
σAD “ 125.240Mpa[tración]
Ejercicio N 3La viga AC articulada en un muro absolutamente rígido es sostenida por un tiranteBD. Determinar la posición del punto B de unión del tirante con la viga partiendo dela condición que el peso del tirante sea mínimo , si l “ 6m, h “ 3m P “ 40KN , ladensidad del acero es ρ “ 7.85x103Kg{m3, la tensión admisible rσs “ 160Mpa, el pesode un metro de la viga es p “ 1KN
Resistencia de Materiales I-IIpagina 6
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Solución:
De la figuraÿ
MA “ 0
FBD sinα pxq ´ 40 p6q ´ 1 p6q p3q “ 0
3x?x2 ` 9
FBD “ 240` 18
FBD “86?x2 ` 9
xpKNq (I)
Hallando el esfuerzo de FBD
σBD “FBDA
“ σadm “ 160Mpa “ 160000Kpa
se sabe que
ρ “m
v
ρA?x2 ` 9 “ m; mg “ W ppesoq
A “W
ρg?x2 ` 9
σBD “86?x2`9xW
ρg?x2`9
W “86 px2 ` 9q
ρgσadmx
Del dato dWdx“ 0 g; ρ;σadm “ CTE
Derivando se tiene
86 px2 ´ 9q
ρgσadmx2
x “ ˘3m
x “ 3m
Resistencia de Materiales I-IIpagina 7
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Ejercicio N° 4Una viga absolutamente rígida se sostiene por un tensor y un tornapuntas , ambosde acero, cuyas secciones tienen unas áreas iguales a ABE “ 2cm2 ;ACD “ 4cm2. Eltensor es más corto que su dimensión nominal es δ “ 0.1 %. Calcular las tensiones enel tornapuntas y en el tensor después de realizar el montaje, considerando a “ b “ c “
d “ 1m; E “ 2x105Mpa
Solución:
Resistencia de Materiales I-IIpagina 8
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
De la figura N° 1ÿ
MA “ 0
´ FBE sin 45˝ p1q ` FCD sinα
2?
5FCd “
?2
2FBE
Del gráfico 2 se observa
BB1 “?
2δBE; CC˝ “ 2?
2δBE p4ABB1 „ 4AC˝Cq
MC “ 2?
2δBE sinα “2?
2?
5δBE ; C 1M “ δCD
C 1M `MC “ δ “ CC 1
δCD `2?
2?
5δBE “ δ
?5FCD
4 ˚ 0.2 ˚ 105`
2?
2?
5
ˆ
?2FBE
2 ˚ 0.2 ˚ 105
˙
“0.1?
5
100?
5FCD4 ˚ 0.2 ˚ 105
`4
2?
5 ˚ 0.2 ˚ 105
ˆ
4FCD?
10
˙
“0.1?
5
100ˆ
?5
4`
16
2?
5 ˚?
10
˙
FCD “0.1?
5
100
`
0.2 ˚ 105˘
FCD “ 26.456KN 6 FBE “ 33.464KN
Resistencia de Materiales I-IIpagina 9
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Hallando las tensiones
σCD “26.456
4“ 6.614KN{cm2
σBE “33.464
2“ 17.732KN{cm2
σCD “ 6.614KN{cm2
[Tacción]
σBE “ 16.732KN{cm2
[Compresión]
Ejercicio N° 5Calcular el peso teórico (sin tener en cuenta los pesos de los elementos de unión) deun nudo de dos barras dispuestas simetricamente, considerando que las barras estánfrabricadas de un material igual, cuya tensión admisible de tracción es dos veces másgrande que su tensión admisible de compresión: rσtrs “ 2rσcomprs. Examinar dos casos:a) en el nudo está aplicada una sola una fuerza horizontal Ph y b) en el nudo estaaplicado solo una fuerza vertical Py. ¿Para qué valor del ángulo α el peso será mínimo? Calcularlo considerando que la densidad ρ del material es conocida.
Solución:
Considerando la carga horizontal: Ph
Resistencia de Materiales I-IIpagina 10
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
De la figura 1(a)ÿ
y “ 0
FAB sinα ´ FAC sinα “ 0
FAB “ FAC (I)ÿ
Fx “ 0
´ FAB cosα ´ FAC cosα ` Ph “ 0
FAB “1
2
ˆ
Phcosα
˙
(II)
Cuando se aplica la fuerza horizontal Ph las barras estarán en tracción
σAB “FABA
; ρ “m
vñ ρA
ˆ
l
cosα
˙
“ m1
ρgA
ˆ
l
cosα
˙
“ W1 ñ A “W1 cosα
ρgl
σtr “ σAB “12
`
Ph
cosα
˘
W1 cosαρgl
ñ W1 “Phρgl
2σtr cos2 α
W2 “Phρgl
2σtr cos2 α; Wnodo “
Phρgl
σtr cos2 α
W1 “Phρgl
2σtr cos2 αW2 “
Phρgl
2σtr cos2 α[Tracción]
Wnodo “Phρgl
σtr cos2 α[Para α “ 0˝]
Considerando la carga vertical: Py
De la figura 1(b) se tieneÿ
Fx “ 0
´ FAB cosα ` FAC cosα (I)ÿ
Fy “ 0
FAB sinα ` FAC sinα ´ Py “ 0
2FAB “Py
sinαñ FAB “
Py2 sinα
(II)
Resistencia de Materiales I-IIpagina 11
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Del gráfico se observa claramente que AB esta en tracción y AC esta en Compresión portanto sus esfuerzos serán σtr ^ σcomp respectivamente
σAB “ σtr “FABA1
; W1 “ρAlg
cosα; A “
W1 cosα
ρgl
σtr “pPy{2 sinαq
pW1 cosαq { pρglqñ W1 “
Pyρgl
σtr sin 2α
σAC “ σcomp “1
2σtr “
Py{ p2 sinαq
pW2 cosαq { pρglq
1
2σtr “
Pyρgl
W2 sin 2αñ W2 “
2Pyρgl
σtr sin 2α
Wtotal “ W1 `W2 “3Pyρgl
σtr sin 2α
Hallando el mínimo dWdα“ 0
3Pyρgl
σtr
ˆ
´2 cos 2α
sin2 2α
˙
“ 0 ùñ 2α “ 90˝ ùñ α “ 45˝
6
W1 “Pyρgl
σtr sin 2αW2 “
2Pyρgl
σtr sin 2α
Wtotal “ W1 `W2 “3Pyρgl
σtr sin 2α[Para α “ 45˝ min]
Ejercicio N° 6En la columna escalonada de la figura construir los diagramas de las fuerzas longitudi-nales , de las tensiones y de los desplazamientos longitudinales.
Resistencia de Materiales I-IIpagina 12
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Solución:
Hallando R en la figura 1ÿ
Fy “ 0
´R ` 120` 60´ 20 “ 0 ùñ R “ 160KN
Hallando esfuerzos
í σ1 ˚ 15´ 160 “ 0 ñ σ1 “ 32KN{cm2 [Tracción]
í σ2 ˚ 10` 120´ 160 “ 0 ñ σ2 “ 4KN{cm2 [Tracción]
í σ3 ˚ 5` 120` 60´ 160 “ 0 ñ σ3 “ ´4KN{cm2 [Compresión]
Hallando los desplazamientos
para 0 ă x ă 20
δ “32x
Eñ
"
δpx“0q “ 0
δpx“20q “640E
Para 20 ă x ă 60
δ “32 ˚ 20
E`
4 px´ 20q
Eñ
"
δpx“20q “640E
δpx“60q “800E
Para 60 ă x ă 140
δ “32 ˚ 20
E`
4 ˚ 40
e´
4 px´ 60q
E“ 1040´ 4x
ñ
"
δpx“60q “800E
δpx“140q “480E
Resistencia de Materiales I-IIpagina 13
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Ejercicio N° 7En la estructura mostrada calcular:
1. Las fuerzas normales de las barras
2. Los esfuezos normales de las barras
3. las deformaciones de las barras
4. El giro que experimenta la barra rígida E “ 2x107Kg{cm2
5. El desplazamiento de los puntos A y C
--
++
+
3T
IF IIF
(a) (b)
A
C
AC
AC
o
barra rigida
1T/m
3T
1T/m
Solución:
--
++
+
3T
IF IIF
(a) (b)
A
C
AC
AC
o
barra rigida
1T/m
3T
1T/m
Resistencia de Materiales I-IIpagina 14
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Del equilibrio de la figura 1(a)ÿ
Mo “ 0
1000 ˚ 7 ˚ 3.5` 3000 ˚ 3.5´ 7FI ´ 1000 ˚ 5 ˚ 2.5´ pFII sin 45˝q 5 “ 0
7FI `5?
2
2FII “ 22500 (1)
CC 1 “ δII?
2 (2)
Por semejanzaaAA1O „
aCC 1O
δI7“
?2δII
5ñ
1
7
„
700FI1 ˚ 2 ˚ 107
“800?
2FII1 ˚ 2 ˚ 107
ñ FI “16FII
5(3)
Remplazando (3) en (1)
7
ˆ
16FII5
˙
`5?
2FII2
“ 22500
FII “ 867.536Kg FI “ 2776.115Kg
Hallando Esfuerzos para: A1 “ A2 “ 1cm2
σI “ 2776.115Kg{cm2
[Compresión]
σII “ 867.536Kg{cm2
[Tracción]
Hallando Desplazamientos
AA1 “ δI “ 0.0972cm[Se comprime]
AA1 “?
2δII “ 0.0694cm[Se Alarga]
Hallando giro: tan θ “ δI7
θ “ 0.795˝[Antihorario (ö)]
Hallando las deformaciones
δ “σl
Eñ
$
’
’
&
’
’
%
δI “2776.115˚700
2˚107“
0.0972cmrAcorta.s
δII “867.536˚800
?2
2˚107“
0.0491cmrAlarg.s
Resistencia de Materiales I-IIpagina 15
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Ejercicio N° 8Una escalera de acero está sujeta a una pared al nivel de los escalones primero y undé-cimo (fig a). Considerando que la pared es absolutamente rígida, calcular las reaccionesen los apoyos de la escalera para el caso cuando sobre ella se encuentran tres perso-nas de peso 1KN cada una dispuestas en los escalones quinto, noveno y décimocuartocontando desde abajo.
Solución:
Por ser absolutamente rigído se cumple
δ1 ` δ2 ` δ3 “ 0 (I)ÿ
Fy “ 0
RA `RB “ 3P (II)
Entre paso y paso la dist. es l4
σ3 pAq `Rb “ 0 ñ σ3 ´Rb
A; δ3 “ ´
4Rbl
10AE
σ2 pAq `Rb ´ P “ 0 ñ σ3 ´P ´Rb
A; δ2 “
4 pP ´Rbq l
10AE
σ1 pAq `Rb ´ 2P “ 0 ñ σ1 ´2P ´Rb
A; δ2 “
2 p2P ´Rbq l
10AE
Resistencia de Materiales I-IIpagina 16
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Remplazando valores
´4 pP ´Rbq l
10AE`
4 pP ´Rbq l
10AE`
2 p2P ´Rbq l
10AE“ 0
´ 2Rb ` 2 pP ´Rbq ` 2P ´Rb “ 0
Rb “ 0.8KN Ra “ 2.2KN
Ejercicio N° 9Calcular ∆A y ∆aen la figura mostrada donde E “ 2˚1011N{m2; µ “ 0.3, P “ 30000N
y a “ 10cm
Solución:
Recordando fórmulas :
ε “σ
E; ε1 “ µε “ ´µ
σ
E;
∆A
A“ ´2µ
σ
E
(ε : Deformación unitaria longitudinal)(ε1 : Deformación unitaria transversal)
Hallando los valores pedidos
σ “ ´30000
0.22 ´ 0.12“ ´1 ˚ 106N{m2
ε1 “ ´0.3´1 ˚ 106
2 ˚ 1011“ 1.5 ˚ 10´6
ñ ∆a “ 2aε “ 2 ˚ 100 ˚ 1.5 ˚ 10´6“ 0.0003mm
Resistencia de Materiales I-IIpagina 17
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Hallando la variación de área
∆A “´2 ˚ 0.3 p´1 ˚ 106q
2 ˚ 1011
`
2002´ 1002
˘
“ 0.09m2
Ejercicio N° 10Una barra escalonada empotrada en sus extremos rígidamente esta cargada con unafuerza P “ 200KN en la sección m y con una fuerza 4P en la sección n ´ n a lolargo de eje de la barra hay un orificio pasante de diámetro d˝ “ 2cm; los diámetrosexteriores de los escalones son: D1 “ 6cm, D2 “ 4cm D3 “ 8cm. El material es deacero, E “ 2.1 ˚ 105Mpa. Determinar las reacciones en los apoyos A y B , construir losdiagramas de fuerzas longitudinales N, de tensiones normales σ y de los desplazamientoslongitudinales de las secciones transversales de la barra
Solución:
De la figura (a)ÿ
Fy “ 0
RA `RB ´ 5P “ 0 ñ RA `RB “ 5P (I)δ1 ` δ3 ` δ3 ` δ4 “ 0 (II)
4 ˚ 20RA
π p62 ´ 22qE`
4 ˚ 10 pRA ´ P q
π p42 ´ 22qE`
4 ˚ 20 pRA ´ P q
π p82 ´ 22qE`
4 ˚ 20 pRA ´ 5P q
π p82 ´ 22qE
Remplazando para P “ 200KN y luego en (I)
RA “ 266.667KN RB “ 733.333KN
Resistencia de Materiales I-IIpagina 18
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Hallando Esfuerzos
σ1 “4 ˚ 266.667
π p62 ´ 22qñ
σ1 “ 10.610KN{cm2
[Tracción]
σ2 “4 p266.667´ 200q
π p42 ´ 22qñ
σ2 “ 7.074KN{cm2
[Tracción]
σ2 “4 p266.667´ 200q
π p82 ´ 22qñ
σ2 “ 1.415KN{cm2
[Tracción]
σ4 “4 p266.667´ 1000q
π p82 ´ 22qñ
σ2 “ ´15.562KN{cm2
[Compresión]
Hallando las deformaciones
E “ 2.1 ˚ 105Mpa « 0.21 ˚ 105KN{cm2 [Acumulado]
δ1 “4 ˚ 266.667 ˚ 20
π p62 ´ 22q 0.21 ˚ 105“ 0.010cm
δ “ 0.0106cm
δ2 “4 p266.667´ 200q 10
π p42 ´ 22q 0.21 ˚ 105“ 0.00337cm
δ “ 0.0141cm
δ3 “4 p266.667´ 200q 20
π p82 ´ 22q 0.21 ˚ 105“ 0.00135cm
δ “ 0.0156cm
δ4 “4 p266.667´ 1000q 20
π p82 ´ 22q 0.21 ˚ 105“ 0.00148cm
δ “ 0cm
Resistencia de Materiales I-IIpagina 19
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Ejercicio N° 11Calcular el desplazamiento vertical del nudo A bajo la acción de una fuerza P “ 200KN ,si el diagrama de tracción del material de las barras tiene la forma de la función lineala trozos representada en el gráfico . Considerar que σ˝ “ 120Mpa, E “ 7 ˚ 105Mpa,A “ 10cm2 y l “ 3m.
Solución:
ACFABF
(a) (b)
De la figura 1ÿ
Fx “ 0
´ FAB sin 60˝ ` FAC sin 60˝ “ 0
FAB “ FAC (I)ÿ
Fy “ 0
FAB cos 60˝ ` FAC cos 60˝ ´ 200 “ 0
FAB “ 200KN
σ “ σAB “ σAC “200 ˚ 1000
10 ˚ 10´4“ 200Mpa
Resistencia de Materiales I-IIpagina 20
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Del gráfico 2 hallar ε
ε “σ˝E1
`σ ´ σ˝E2
ε “120
7 ˚ 105`
200´ 120
0.5 ˚ 7 ˚ 105“ 4 ˚ 10´4
Hallando las deformaciones de las barras
δAC “ δAB “ δ
δ “ 4 ˚ 10´4˚ 300
δ “ 0.12cm
∆A “δAC
cos 60˝
∆A “ 0.24cm
Ejercicio N° 12¿A qué ángulo α hace falta aplicar en el nudo la fuerza P para que el desplazamientode éste se efectúe por la vertical? Las longitudes de las barras son iguales, están hechasde un mismo material. El área de la sección de la barra AD es dos veces mayor que elarea de la sección de las barras AB y AC.
Resistencia de Materiales I-IIpagina 21
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Solución:
De la figura (a)ÿ
y “ 0
FAB ` FAC cos 30˝ ` FAD cos 60˝ ´ p cosα “ 0 (I)
ÿ
Fx “ 0
FAC sin 30˝ ` FAD sin 60circ´ p sinα “ 0 (II)
De la figura (b)
δAB “δAD
cos 60˝“
δACsin 60˝
FABl
AE“FADl
2AEp2q “
FAC l
AE
ˆ
2?
3
˙
FAB “ FAD (III)?
3
2FAB “ FAC (IV)
Remplazando (III) (IV) en (I) y (II)
FAB `
?3
2FAB
ˆ
?3
2
˙
`1
2FAB “ p cosα
9
4FAB “ p cosα (V)?
3
2FAB
ˆ
1
2
˙
`
?3
2FAB “ p sinα
3?
3
4FAB “ p sinα (VI)
Resistencia de Materiales I-IIpagina 22
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Dividiendo (VI) entre (V) se tiene?
3
3“ tanα
ñ
tan´1´?
33
¯
“ 30˝ “ α
Ejercicio N° 13En la estructura de la figura, el tirante A es de aluminio, la columna C es de acero y labarra horizontal B es rígida, si el esfuerzo admisible en la columna: σadm “ 1100kg{cm2
calcule el máximo valor de la carga ”P” Eac “ 2.2x106kg{cm2 EAl “ 0.7x106kg{cm2.
Solución:
De la figura 1(a)ÿ
My “ 0
30Fal ` 10Fac ´ 30P “ 0
3Fal ` Fac “ 3P (I)δal30“
∆` δac10
Resistencia de Materiales I-IIpagina 23
Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
δal “ 3∆` 3δac
Fal ˚ 60
8 ˚ 0.7 ˚ 106“ 3
ˆ
Fac ˚ 30
25 ˚ 2.2 ˚ 106
˙
` 0.006
15
2
ˆ
1
0.7
˙
Fal “90Fac
25 ˚ 2.2` 6000 (II)
De (I) y(II) : Asumiendo σadm para acero
σ “ 1100 “Fac25
ñ Fac “ 27500kg
Remplazando en (II)
Fal “ 4760kg ñ σal “ 595kg{cm2 [Dentro de rango Adm]
6 P “ Fal `Fac3ñ 13926.667kg
De (I) y(II) : Asumiendo σadm para aluminio
1100 “Fal8
ñ Fal “ 8800kg
Remplazando en (II)
Fac “ 53952.381kg ñ σac “ 2158.095kg{cm2 [Fuera de rango Adm]
6 P “ 13926.6667kg
Ejercicio N° 14Una barra absolutamente rígida se sostiene por tres tirantes paralelos con áreas desecciones iguales a A “ 10cm2. Calcular los esfuerzos en los tirantes y hallar el valoradmisible de la carga a partir de la tensión admisible rσs “ 160Mpa.
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Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Solución:
De la figura (a)ÿ
Fy “ 0
F1 ` F2 ` F3 “ 0 (I)ÿ
MC “ 0
´ F1 p3aq ´ F2 paq ` P p2aq “ 0
2P “ F2 ` 3F1 (II)
De la figura (b)
M mA1C 1 „M nC 1B1
δ1 ´ δ3
3a“δ2 ´ δ3
añ 2δ3 “ 3δ3 ´ δ1
p2F3q l
2AE“
3F2 p2lq
AE´F1l
AEF1 ´ 6F2 ` F3 “ 0 (III)
Resolviendo los 3 sistemas se tiene; ademas para σ “ 16KN{cm2
F1 “13P
21“ 0.619P ñ P ď 258.462
F2 “P
7“ 0.143P ñ P ď 1120
F3 “5P
21“ 0.238P ñ P ď 1344
6 P “ 258.462KN
Ejercicio N° 15Una placa absolutamente rígida de sección rectangular esta apoyada con sus ángulossobre columnas de longitudes y secciones iguales. Sobre la placa gravita una fuerzaconcentrada P “ 100KN aplicada en el punto k que divide la diagonal AC en razon1 : 2. Calcular la sección de las barras a partir de la tensión admisible rσ “ 50Mpas ydeterminar el asiento máximo del ángulo de la placa. Viene dado: a “ 4.5m, b “ 3m
l “ 1m, E “ 2x105Mpa
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Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Solución:
De la figura (a)ÿ
Fy “ 0
Fa ` 2Fb ` Fc “ 0 (I)ÿ
Mk “ 0
´ Fa
ˆ
3m
2
˙
` P´m
2
¯
` Fc
ˆ
3m
2
˙
´ Fa ` Fc “P
3(II)
De la figura (b)
δa ` δc2
“ δb ñ δa ` δc “ 2δb
Fal
AE`Fcl
AE“ 2
Fbl
AEFa ` Fc “ Fb (III)
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Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
Resolviendo (I), (II) y (III)
Fa “P
12para P “ 100KN í Fa “ 8.333KN
Fb “ Fd “P
4para P “ 100KN í F “ 25KN
Fc “5P
12para P “ 100KN í Fc “ 41.667KN
El esfuerzo máximo se dará en Fc
σ “ 50Mpa “ 5KN{cm2
FcA“ 5 6 A “ 8.333cm2
El asiento máximo se ara debido a la fuerza Fc
δmax “41.667 ˚ 100
8.333 ˚ 0.2 ˚ 105˚ 10 “ 25mm
Ejercicio N° 16Una barra absolutamente rígida AD esta articulada en el punto D de una pared tambiénabsolutamente rígida y sometida por tres tornapuntas 1, 2 y 3: Calcular los esfuerzosen los tornapuntas y la magnitud del parámetro d la carga P a partir de la tensiónadmisible rσs “ 160Mpa , si las secciones de todos los tornapuntas tienen igual áreaA “ 2cm2
Solución:
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Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
De la figura 1ÿ
MD “ 0
pF1 sin 30˝q´
2?
3a¯
´ 2P p3aq ´ P p2aq ` pF2 sin 45˝q p2aq ` pF3 sin 45˝q paq “ 0
?3F1 ´ 6P ´ 2P `
?2F2 `
?2
2F3 “ 0
?3F1 `
?2F2 `
?2
2F3 “ 8P (I)
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Ingeniería Civil 1 Esfuerzo Deformación
De las relaciones geométricas
M AA1D „M BB1D
2δ1
2?
3a“
?2δ2
2añ 2δ1 “
?6δ2
2
„
F1 p4aq
AE
“?
6
«
F2
`
2?
2a˘
AE
ff
2F1 “?
3F2 (II)
Además se tiene?
2δ2 “ 2?
2δ3
F2
`
2?
2a˘
AE“ 2
«
F3
`?2a˘
AE
ff
F2 “ F3 (III)
De las ecuaciones (I), (II) y (III)
F1 “ 1.914P F2 “ F3 “ 2.209P
Hallando P
σ “ 160Mpa “ 16KN{cm2ñ
2.209P
2“ 16
P “ 14.486KN
Ejercicio N° 17Una barra absolutamente rígida, representada en la figura, esta articulada en un cuerpoabsolutamente rígido mediante barras de acero. Calcular los esfuerzos en las barras, asícomo el área de la sección A de estas, si la tension admisible de tracción es rσstr “160Mpa y la de compresión rσscomp “ 50Mpa. La magnitud del parámetro de la cargaes P “ 100KN
Solución:
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De la figura (a)ÿ
MA “ 0
FBE sin 45˝ paq ` FCG sin 30˝ p2aq ´ 100 p3aq “ 0 (I)?
2
2FBE ` FCG “ 300
De la figura (b)
2BB1 “ CC 1 (II)
BB1 “?
2δBE “?
2FBE
`?2a˘
AE
BB1 “ 2
ˆ
FBEAE
˙
a
CC 1 “ 2δCG “ 2
ˆ
FCGAE
˙ˆ
4a?
3
˙
CC 1 “8?
3
ˆ
FCGAE
˙
a
Remplando en (II)
2
„
2FBEa
AE
“8?
3
ˆ
FCGa
AE
˙
?3FBE “ 2FCG (III)
De (I) y (III)
FBE “ 190.702KN FCG “ 165.153KN
Solo hay esfuerzo de tracción
rσs “ 160Mpa “ 16KN{cm2
6190.702
A“ 16 ñ A “ 11.919cm2
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