ejercicios resueltos de resistencia de materiales ii
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ING.CIVIL
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUISCódigo: 120430 Método: Castigliano
I. Para las siguientes vigas simplemente apoyadasdetermínese la deflexión indicada. Por losmétodos geométricos y los energéticos
PROBLEMA NRO.: 1
2
3
L
3
L
W
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P , en elpunto 2.
2
3
L
3
L
W
1YR3YR
P
11 13121XR
Por ESTÁTICA:
0XF 1 0XR
0YF 1 3 02Y Y
WLR R P
1 3 2Y Y
WLR R P ...... 1
2 0M 1 3
20
3 3Y Y
L LR R
1 3
2
3 3Y Y
L LR R
1 32 Y YR R ...... 2
Reemplazando (2) en (1):
1 3 2Y Y
WLR R P 3
32 2Y
Y
R WLR P
33
2 2YR WL
P 3
3
2 2Y
WLR P
,
entonces: 1
1
2 2Y
WLR P
1. Por Superposición de cargas:
2
3
L
3
L
W
1YR3YR
P
11 13121XR
W
3
2
W
3
2
Wa
aP
x
aM
aM
1YR
1
3
2
wY x
L
31 4
wM x
L
21
3
4
wV x
L
2
9 2
2 3
w LY x
L
2
2
9 2
4 3
w LV x
L
3
2
3 2
4 3
w LM x
L
2MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II 1 3 2y w
x L 1
3
2
wy x
L
1
21
31
3
23
4
4
wY x
Lw
V xLw
M xL
1 3 2
2 3 3
y w
x L L
2
9 2
2 3
w LY x
L
2
2
2
3
2
9 2
2 3
9 2
4 3
3 2
4 3
w LY x
L
w LV x
L
w LM x
L
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
3
31
2 3 2
3 4 4 3Y
L w w LMa R x P x x x
L L
3. DeterminamosMa
P
:
2 2 2 3
3 3 2 3 2
Ma L L x L xx x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema deCastigliano:
M M
dxEI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
3
31
3 2 2 3
4 4 3 3 2Y
w w L L xR x x x dx
L L
3
31
3 2 2
4 4 3 3Y
w w L LR x x x dx
L L
3
31
3 2 3
4 4 3 2Y
w w L xR x x x dx
L L
3
31
3 2 2
4 4 3 3Y
w w L LR x x x dx
L L
3
31
3 2 3
4 4 3 2Y
w w L xR x x x dx
L L
5. Deflexión en 2 , para: 2 3x L
2 3
3 5 4
0
2
12 20 405
x L
x
wL w wEI x x L
L
2 32 4
2 4
0
2
12 24 81
x L
x
w L w Lx w L
4 4 4 4 42 8 2 2
81 1215 405 27 243
wL wL wL wL wLEI
42
81wL
426
3645wL
EI
Rpta.: 42 3
26
3645x L wLEI
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUISCódigo: 120430 Método: Castigliano
L
Senx
WL
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P , en el punto2.
L
Senx
WL
1YR
1XR
3YR
1112
13
a
a
aM
Por ESTÁTICA:
3Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR 0XF 1 0XR
0YF 1 3 0Sen 0
L
Y Y
xR R W dx P
L
1 3
2Y Y
WLR R P
...... 1
2 0M 1 3 02 2Y Y
L LR R
1 3Y YR R 1 3Y YR R ...... 2
Reemplazando (2) en (1):
1 3
2Y Y
WLR R P
1 1
2Y Y
WLR R P
1
22 Y
WLR P
1 3 2Y Y
WL PR R
1. Carga aplicada:
L
Senx
WL
Senx
WL
2
L
2
L1YR
1YR
1XR
3YR
P
1112
13
a
a
aM
a
a
aM
x
P
Ecuación del momento en la sección:
1 10Sen
x
a Y Y
xV dV R W dx R P
L
1
0
Cosx
a Y
WL x WLV R P
L
1
0
Cosx
a Y
WL x WLM R P dx
L
2
2
0
Sen2
x
a
WL P WL x WL xM x Px
L
2
2
0
Sen2
x
a
WL P WL x WL xM x Px
L
2
2Sen
2a
WL x PxM
L
1
0
2
2
Cos
Sen2
x
a Y
a
WL x WLV R P
L
WL x PxM
L
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
2
2Sen
2
WL x PxMa
L
3. DeterminamosMa
P
:
2
Ma x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema deCastigliano:
M M
dxEI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
22
20Sen
2
L WL x xEI dx
L
4
4
L WEI
4
4
L WEI
4
4
1WL
EI
Rpta.:4
2 4
1x L
WL
EI
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUISCódigo: 120430 Método: Castigliano
L4
L
W
n
RESOLUCIÓN
4MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES IIAplicamos una fuerza imaginaria 0P , en el punto1.
L4
L
W
n
W
n
2YR 3YR
P
P
a
a
a
a
x
aM
aM
2YR 3YR
Por ESTÁTICA:
0YF 2 3 0
1Y Y
WaR R P
n
2 3
5
1 4Y Y
W LR R P
n
...... 1
2 0M
2
2
50
4 ( 1)( 2)Y
L WLR L P
n n
2
5
4 ( 1)( 2)Y
WLR P
n n
2
5
4 ( 1)( 2)Y
WLR P
n n
...... 2
Reemplazando (2) en (1):
1 3
4
1 5Y Y
W LR R P
n
3
4 5
1 5 4 ( 1)( 2)Y
W L WLR P P
n n n
3
4 1 1
1 5 2 4Y
WLR P
n n
3
4 1 1
1 5 2 4Y
WLR P
n n
1. Carga aplicada:
L4
L
W
n
W
n
2YR 3YR
P
P
a
a
a
a
x
aM
aM
2YR 3YR
1
1
1
2
1
1
1 2
n
n
n
Y kx
kxV
n
kxM
n n
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
2
2 4 1 2
n
Y
L kxMa R x P x
n n
3. DeterminamosMa
P
:
5 5
4 4 4 16
Ma L x Lx x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema deCastigliano:
M M
dxEI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
2
2
5
4 1 2 4 16
n
Y
L kx x LR x dx
n n
2 5
( 1)( 2) 4 1 2 4 16
nWL L kx x Lx dx
n n n n
5Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
0
5
( 1)( 2) 4 4 16
x WL L x Lx dx
n n
2
0
5
1 2 4 16
nx kx x L
dxn n
2 2
0
5 5
( 1)( 2) 4 16 16 64
xWL x L Lx Lx dx
n n
3 2
0
5
1 2 4 16
n nxk x Lx
dxn n
3 2 2
2
0
5 5
( 1)( 2) 12 32 32 64
xWL x L Lx L
x xn n
4 3
0
5
1 2 4 4 16 3
xn nk x Lx
n n n n
3 2
23 5
( 1)( 2) 12 16 64
WL x L Lx x
n n
4 31 5
1 2 4 4 16 35 4
n n
n
W x Lx
n n n nL
3 2
23 5
( 1)( 2) 12 16 64
WL x L Lx x
n n
4 31 5
1 2 4 4 16 35 4
n n
n
W x Lx
n n n nL
5. Deflexión en 1, para: 0x
0
625
6144 1 2 3 4x
WLEI
L n n n
4
30 166 3 4
5 25nn n
0
4
625
6144 1 2 3 4
30 166 3 4
5 25
x
n
WL
L n n n
n n
Aplicamos una Fuerza Ficticia " "P en el Punto2, donde 0P :
6. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
2
2 4 4 1 2
n
Y
L L kxMa R x P x
n n
7. DeterminamosMa
P
:
5
4 4 4 4 4
Ma L L x Lx x
P
8. Reemplazando en el Primer Teorema deCastigliano:
M M
dxEI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
2
2 4 1 2 4 4
n
Y
L kx x LR x dx
n n
2
( 1)( 2) 4 1 2 4 4
nWL L kx x Lx dx
n n n n
0 ( 1)( 2) 4 4 4
x WL L x Lx dx
n n
2
0 1 2 4 4
nx kx x L
dxn n
2 2
0( 1)( 2) 4 4 16 16
xWL x L Lx Lx dx
n n
3 2
01 2 4 4
n nxk x Lx
dxn n
3 2
2
0
5
( 1)( 2) 12 32 16
xWL x L L
x xn n
4 3
01 2 4 4 4 3
xn nk x Lx
n n n n
3 2
25
( 1)( 2) 12 32 16
WL x L Lx x
n n
31
1 2 4 4 35 4
n
n
W x x L
n n n nL
9. Deflexión en 2 , para: 4x L
3 2 2
4
4 5
( 1)( 2) 12 32 4 16 4x L
LWL L L L L
n n
3
1 4 41 2 4 4 35 4
n
n
L LW L
n n n nL
3 3 2
4
5
( 1)( 2) 64 12 4 32 4x L
LWL L L L L
n n
2
2
5
4 1 2 4 16
n
Y
L kx x LR x dx
n n
6MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
3
1 41 2 4 4 4 35
n
LW L L
n n n n
3
4
11
( 1)( 2) 1536x L
WL L
n n
4 3 131
1 2 256 4 3 45n
nW L
n n n n
4
4
11
1536( 1)( 2)x L
WL
n n
4 3 13
1024 5 1 2 3 4n
nWL
n n n n
4
4
3 1311
512 3 2 5 1 2 3 4x L n
nWL
n n n n
4
4
3 1311
512 3 2 5 1 2 3 4x L n
nWLEI
n n n n
4
4
3 1311512 3 2 5 1 2 3 4n
x L
nWL
n n n n
EI
Rpta.:
0
4
625
6144 1 2 3 4
30 166 3 4
5 25
x
n
WL
L n n n
n n
II.En el siguiente grupo de ejercicios hiperestáticoslevante el grado de hiperestaticidad y determinedeformaciones en los puntos indicados por losmétodos geométricos y energéticos.
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUISCódigo: 120430 Método: Castigliano
PROBLEMA NRO.: 4
2
3
L
3
L
W
RESOLUCIÓN
Levantamos el grado de indeterminación o hiperes-tacidad:
2
3
L
3
L
W
1YR
1
3
2
aM
3YR
3XR3M
a
aP
Por ESTÁTICA:
0YF 1 3 02Y Y
WLR R P
1 3 2Y Y
WLR R P ...... 1
2 0M 1 3 3
20
3 3Y Y
L LR R M
1 3 3
20
3 3Y Y
L LR R M
...... 2
Reemplazando (2) en (1):
3 3 3
20
2 3 3Y Y
WL L LP R R M
3 3
20
2 3 3Y
WL L LP R M
1. Por Superposición de cargas:
7Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
2
3
L
3
L
W
1YR
P
11
13
12
W
3
2
W
3
2
Wa
aP
x
aM
aM
1YR
a
a
3YR
3XR3M
3YR
3XR3M
1 3 2y w
x L 1
3
2
wy x
L
1
21
31
3
23
4
4
wY x
Lw
V xLw
M xL
1 3 2
2 3 3
y w
x L L
2
9 2
2 3
w LY x
L
2
2
2
3
2
9 2
2 3
9 2
4 3
3 2
4 3
w LY x
L
w LV x
L
w LM x
L
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
3
31
2 3 2
3 4 4 3Y
L w w LMa R x P x x x
L L
3. DeterminamosMa
P
:
2 2
3 3
Ma L Lx x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema deCastigliano:
M M
dxEI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
3
31
3 2 2
4 4 3 3Y
w w L LR x x x x dx
L L
3
2 41
3 2
4 4 3Y
w w LR x x x x dx
L L
33
1
2 2
3 6 2 3Y
L w w LR x x x dx
3
2 41 3 2
2 2 4 4 3
wL w w Lx x x x dx
L L
331 2 2
2 2 3 6 2 3
wL L w w Lx x x dx
5. Deflexión en 2 , para: 2 3x L
4 4 431 2 5
4374 1215 648
WL WL WLEI
4199
87480
LEI
Segundo Teorema de Castigliano:2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
3
31
3 2
4 4 3Y
w w LMa R x x x
L L
3. Determinamos1
Ma
R
:
1Y
Max
R
4. Reemplazando en el Primer Teorema deCastigliano:
4199
87480wL
EI
1
3
2
wY x
L
31 4
wM x
L
21
3
4
wV x
L
2
9 2
2 3
w LY x
L
2
2
9 2
4 3
w LV x
L
3
2
3 2
4 3
w LM x
L
8MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
M M
dxEI P
,
3
31
3 2
4 4 3Y
w w LR x x x x dx
L L
3 4 41 7
03 20 3240YR L WL WL
4
1
31
216Y
WLR
Rpta.: 42 3
199
87480x L wLEI
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUISCódigo: 120430 Método: Castigliano
L
Senx
WL
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P , en el punto2.
L
Senx
WL
1YR
1112
13
a
a
aM
P
3YR
3XR3M
Por ESTÁTICA:
0XF 1 0XR
0YF 1 3 0Sen 0
L
Y Y
xR R W dx P
L
1 3
2Y Y
WLR R P
...... 1
2 0M 1 3 3` 02 2Y Y
L LR R M
1 3 3` 02 2Y Y
L LR R M
...... 2
Reemplazando (2) en (1):
1 3
2Y Y
WLR R P
1 1
2Y Y
WLR R P
1
22 Y
WLR P
1 3 2Y Y
WL PR R
1. Carga aplicada:
L
Senx
WL
Senx
WL
2
L
2
L1YR
1YR
P
1112
13
a
a
aM
a
a
aM
x
P
3YR
3XR3M
3XR3M
3YR
Ecuación del momento en la sección:
1 10Sen
x
a Y Y
xV dV R W dx R P
L
1
0
Cosx
a Y
WL x WLV R P
L
1
0
Cosx
a Y
WL x WLM R P dx
L
2
2
0
Sen2
x
a
WL P WL x WL xM x Px
L
2
2
0
Sen2
x
a
WL P WL x WL xM x Px
L
2
2Sen
2a
WL x PxM
L
9Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
1
0
2
2
Cos
Sen2
x
a Y
a
WL x WLV R P
L
WL x PxM
L
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
Sen2
WL x PxMa x L
L
3. DeterminamosMa
P
:
2
Ma x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema deCastigliano:
M M
dxEI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
2
0Sen
2 2
L WL x Px xEI x L dx
L
4 4 4 4 4
3 3 4 3
3
48 48 48 4
L W L W L W L W L WEI
4
3
3 1
16
WLEI
4
3
3 1 1
16
WL
EI
Segundo Teorema de Castigliano:2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
Sen2
WL x PxMa x L
L
3. Determinamos1Y
Ma
R
:
1 2Y
Ma x
R
4. Reemplazando en el Primer Teorema deCastigliano:
M M
dxEI P
,
SenWL x
x L x dxL
1 3
3Y
WL WLR
Rpta.:4
2 3
3 1 1
16x L
WL
EI
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUISCódigo: 120430 Método: Castigliano
L
W
n
4
L
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P , en el punto1.
L4
L
W
n
W
n
2YR 3YR
P
P
a
a
a
a
x
aM
aM
2YR3YR
3XR3M
3XR3M
3YR
Por ESTÁTICA:
0YF 2 3 0
1Y Y
WaR R P
n
2 3
5
1 4Y Y
W LR R P
n
...... 1
10MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II 2 0M
2
2 1
50
4 ( 1)( 2)Y
L WLR L P M
n n
2 1
5
4 ( 1)( 2)Y
WLR P M
n n
2 1
5
4 ( 1)( 2)Y
WLR P M
n n
...... 2
1. Carga aplicada:
L4
L
W
n
W
n
2YR 3YR
P
P
a
a
a
a
x
aM
aM
2YR3YR
3XR3M
3XR3M
3YR
1
1
1
2
1
1
1 2
n
n
n
Y kx
kxV
n
kxM
n n
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
2
2 4 1 2
n
Y
L kxMa R x P x
n n
3. DeterminamosMa
P
:
5 5
4 4 4 16
Ma L x Lx x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema deCastigliano:
M M
dxEI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
2
2
5
4 1 2 4 16
n
Y
L kx x LR x dx
n n
2 5
( 1)( 2) 4 1 2 4 16
nWL L kx x Lx dx
n n n n
0
5
( 1)( 2) 4 4 16
x WL L x Lx dx
n n
2
0
5
1 2 4 16
nx kx x L
dxn n
2 2
0
5 5
( 1)( 2) 4 16 16 64
xWL x L Lx Lx dx
n n
3 2
0
5
1 2 4 16
n nxk x Lx
dxn n
3 2 2
2
0
5 5
( 1)( 2) 12 32 32 64
xWL x L Lx L
x xn n
4 3
0
5
1 2 4 4 16 3
xn nk x Lx
n n n n
5. Deflexión en 1, para: 0x
0
625
256( 1)( 2) 3 4x
WLEI
n n n n
4
11 3 4
8 108 5n
n
0
4
625
256( 1)( 2) 3 4
11 3 4
8 108 5
x
n
WL
n n n n
n
Rpta.:
0
4
625
256( 1)( 2) 3 4
11 3 4
8 108 5
x
n
WL
n n n n
n
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUISCódigo: 120430 Método: Castigliano
11Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
2
3
L
3
L
W
RESOLUCIÓN
Levantamos el grado de indeterminación o hiperes-tacidad:
2
3
L
3
L
W
1YR
13
2
aM
3YR
3XR3M
a
aP
1XR
1M
1M
Por ESTÁTICA:
0YF 1 3 02Y Y
WLR R P
1 3 2Y Y
WLR R P ...... 1
2 0M 1 3
20
3 3Y Y
L LR R
1 3
2
3 3Y Y
L LR R
1 32 Y YR R ...... 2
Reemplazando (2) en (1):
1 3 2Y Y
WLR R P 3
32 2Y
Y
R WLR P
33
2 2YR WL
P 3
3
2 2Y
WLR P
,
entonces: 1
1
2 2Y
WLR P
1. Por Superposición de cargas:
2
3
L
3
L
W
1YR
P
1
113
12
W
3
2
W
3
2
Wa
aP
x
aM
aM
1YR
a
a
3YR
3XR3M
3YR
3XR3M
1YR
1M
1 3 2y w
x L 1
3
2
wy x
L
1
21
31
3
23
4
4
wY x
Lw
V xLw
M xL
1 3 2
2 3 3
y w
x L L
2
9 2
2 3
w LY x
L
2
2
2
3
2
9 2
2 3
9 2
4 3
3 2
4 3
w LY x
L
w LV x
L
w LM x
L
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
3
31 1
2 3 2
3 4 4 3Y
L w w LMa R x P x x x M
L L
1
3
2
wY x
L
31 4
wM x
L
21
3
4
wV x
L
2
9 2
2 3
w LY x
L
2
2
9 2
4 3
w LV x
L
3
2
3 2
4 3
w LM x
L
12MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II3. Determinamos
Ma
P
:
2 2
3 3
Ma L Lx x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema deCastigliano:
M M
dxEI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
3
31
3 2 2
4 4 3 3Y
w w L LR x x x x dx
L L
3
2 41
3 2
4 4 3Y
w w LR x x x x dx
L L
33
1
2 2
3 6 2 3Y
L w w LR x x x dx
3
2 41 3 2
2 2 4 4 3
wL w w Lx x x x dx
L L
331 2 2
2 2 3 6 2 3
wL L w w Lx x x dx
5. Deflexión en 2 , para: 2 3x L
3
2 41 3 2
2 2 4 4 3
wL w w Lx x x x dx
L L
331 2 2
2 2 3 6 2 3
wL L w w Lx x x dx
431
21870wL
EI
Segundo Teorema de Castigliano:2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
3
31 1
3 2
4 4 3Y
w w LMa R x M x x
L L
3. DeterminamosMa
P
:
1Y
Max
R
1
1Ma
M
4. Reemplazando en el Primer Teorema deCastigliano:
M M
dxEI P
,
3
31
3 20
4 4 3Y
w w LR x x x x dx
L L
3
31
3 21 0
4 4 3Y
w w LR x x x dx
L L
Entonces, resolviendo:
1
23
108Y
WLR
2
1
5
108
WLM
Rpta.: 42 3
31
21870x L wLEI
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUISCódigo: 120430 Método: Castigliano
L
Senx
WL
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P , en el punto2.
1YR
1XR
11
12 3a
a
aM
P
3YR
3XR3M
1M
Por ESTÁTICA:
0XF 1 0XR
0YF 1 3 0Sen 0
L
Y Y
xR R W dx P
L
1 3
2Y Y
WLR R P
...... 1
2 0M 1 3 1 02 2Y Y
L LR R M
13Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR1. Carga aplicada:
L
Senx
WL
Senx
WL
2
L
2
L
P
12
13
a
a
aM
a
a
aM
x
P
3YR
3XR3M
3XR3M
3YR
1YR
11XR
1M
1YR
1XR
1M
Ecuación del momento en la sección:
1 10Sen
x
a Y Y
xV dV R W dx R P
L
1
0
Cosx
a Y
WL x WLV R P
L
1
0
Cosx
a Y
WL x WLM R P dx
L
2
2
0
Sen2
x
a
WL P WL x WL xM x Px
L
2
2
0
Sen2
x
a
WL P WL x WL xM x Px
L
2
2Sen
2a
WL x PxM
L
1
0
2
12
Cos
Sen2
x
a Y
a
WL x WLV R P
L
WL x PxM M
L
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
2
12Sen
2
WL x PxMa M
L
3. DeterminamosMa
P
:
2
Ma x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema deCastigliano:
M M
dxEI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
22
120Sen
2 2
L WL x Px xEI M dx
L
4
2 2
1 1 1
2 4
WLEI
Rpta.:4
2 2 2
1 1 1 1
2 4x L
WL
EI
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUISCódigo: 120430 Método: Castigliano
2
3
L
3
L
n n
W
RESOLUCIÓN
Aplicamos una fuerza imaginaria 0P , en el punto1.
2
3
L
3
L
nn
W
3
3YR
3XR3M
1YR
1
1XR
1M a
a
Por ESTÁTICA:
0YF 2 3 0
1Y Y
WaR R WL P
n
2 3
5
1 4Y Y
W LR R P
n
...... 1
2 0M
14MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
2
2
50
4 ( 1)( 2)Y
L WLR L P
n n
2
5
4 ( 1)( 2)Y
WLR P
n n
2
5
4 ( 1)( 2)Y
WLR P
n n
...... 2
Reemplazando (2) en (1):
1 3
4
1 5Y Y
W LR R P
n
3
4 5
1 5 4 ( 1)( 2)Y
W L WLR P P
n n n
3
4 1 1
1 5 2 4Y
WLR P
n n
3
4 1 1
1 5 2 4Y
WLR P
n n
1. Carga aplicada:
2
3
L
3
L
nn
W
3
3YR
3XR3M
1YR
1
1XR
1M a
a
3YR
3XR3M
1YR
1XR
1M
2 0YR
W
W
2M
aM
a
a
1
1
2
1 2
Y W
V Wx
WxM
1
1
1
2
1
1
1 2
n
n
n
Y kx
kxV
n
kxM
n n
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
2
2 4 1 2
n
Y
L kxMa R x P x
n n
3. DeterminamosMa
P
:
5 5
4 4 4 16
Ma L x Lx x
P
4. Reemplazando en el Primer Teorema deCastigliano:
M M
dxEI P
,
" "P Carga concentrada ficticia 0P
2
2 1
5
4 1 2 4 16
n
Y
L kx x LR x M dx
n n
2
2 1
5
4 1 2 4 16
n
Y
L kx x LR x M dx
n n
0
5
( 1)( 2) 4 4 16
x WL L x Lx dx
n n
2
0
5
1 2 4 16
nx kx x L
dxn n
5. Deflexión en 1, para: 0x
3 2
2
0
0 3 50 0
( 1)( 2) 12 16 64x
WL L LEI
n n
34 5 01 0
1 2 4 4 16 35 4
nn
n
LW
n n n nL
4 12 5 927
13122 ( 1)( 2)( 3)( 4)
nWL
EI n n n n
Rpta.:
4
2 3
12 5 927
13122 ( 1)( 2)( 3)( 4)x L
nWL
EI n n n n
15Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Método: Tres MomentosCódigo: 120430
III. En los siguientes vigas continuas y marcos simples determinar las reacciones en los apoyos diagramade la estructura deformada y diagramada de fuerzas axiales, cortante y momentos por los métodos delos tres momentos; giros y desplazamientos y rigideces según corresponda.
5Sen5
x 4 /Ton m 4 / mTon
4m 2m 4m 2m
6m 5m 6m
60cm
30cm
60cm
30cm
15cm
40cm
15cm
RESOLUCIÓN
5Sen5
x 4 /Ton m 4 / mTon
4m 2m 4m 2m
6m 5m 6m
60cm
30cm
60cm
30cm
15cm
40cm
15cm
0L 1L 2L3L 4L
1. Determinamos las constantes de carga:)A
2
3
L
3
L
W
)B
L
Senx
WL
Tenemos:
.a De Área de Momentos, se obtiene:
2
3
L
3
L
W
1YR
2
4
WL
1YR L
3YR
2
36
WL
Por ESTÁTICA:
0YF 1 3 02Y Y
WLR R
1 3 2Y Y
WLR R
2 0M 1 0
2 3Y
WL LR L
1 6Y
WLR
1 6Y
WLR ...... 1
.b Determinamos centroides:
Área cx dx
1 2
1 1
2 2Y YR L R L
L 2
3
L
3
L
22 3
4 3 1 16
WL L WL
4
5
L
5
L
32 31
36 3 1 3 432
WL L WL 4
15
L
15
L
.c Determinamos6Aa
Ly
6Ab
L:
2 3 3
16 6 2 4 4
2 3 16 5 432 15YR LAa L WL L WL L
L L
,
3 4 4
16 6
3 20 1620YR LAa WL WL
L L
,
3 4 46 6
6 3 20 1620
Aa WL L WL WL
L L
,
4 4 4 46 6 6
18 20 1620 162
Aa WL WL WL WL
L L L
,
36
27
Aa WL
L
2 3 3
16 6
2 3 16 5 432 15YR LAb L WL L WL L
L L
,
3 4 4
16 6
6 80 6480YR LAb WL WL
L L
,
3 4 46 6
6 6 80 6480
Ab WL L WL WL
L L
,
4 4 4 46 6 6 5
36 80 6480 324
Ab WL WL WL WL
L L L
,
17Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
36 5
54
Ab WL
L ,
.a De Área de Momentos, se obtiene:
L
Senx
WL
2
2Sen
WL x
L
2
L
2
L1YR
1YR3YR
Por ESTÁTICA:
0YF 1 3 0Sen 0
L
Y Y
xR R W
L
1 30
2Cos
2
L
Y Y
WL x WLR R
L
Por Simetría: 1 3Y YR R
1
2 1
2Y
WLR
1Y
WLR
...... 1
.b Determinamos centroides:
Área cx dx
13
3
WL
L
L
23
3
WL
2 2
L L L
2 2
L L L
.c Determinamos6Aa
Ly
6Ab
L:
3 3
3 3
6 6
2 2
Aa WL L WL L L L
L L
,
3 3
3 3
6 6Aa WL L WL LL
L L
,
4
4
6 6Aa WL
L L
4 4
3 4
WL WL
4 3
3 3
6 6WL WL
L
,
3
3
6 6Aa WL
L
Por Simetría:6 6Aa Ab
L L
3
3
6 6 6Aa Ab WL
L L
2
3
L
3
L
W
36
27
Aa WL
L
36 5
54
Ab WL
L
L
Senx
WL
3
3
6 6 6Aa Ab WL
L L
Por Tres Momentos:
Considerando dos apoyos ficticios (Apoyo 0 y Apoyo5), ya que existen dos empotramientos es posible:
18MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II5Sen
5
x 4 /Ton m 4 / mTon
4m 2m 4m 2m
6m 5m 6m0L 1L 2L
3L 4L
1. TRAMO 0 – 1:
0 00 0 1 0 1 2 1
6 62 0
Aa AbM L M L L M L
L L
Como en el Tramo 0 -1 los factores:
060
Aa
L y 0 0M
0 0M L 1 02M L 01 2 1
6AaL M L
L 06
0Ab
L
01 2
62 6 6 0
AbM M
L , entonces:
330
4 6632
27 27
Ab WL
L
1 212 6 32 0M M ...... 1
2. TRAMO 1 – 2:
0 01 1 2 1 2 3 2
6 62 0
Aa AbM L M L L M L
L L
0 01 2 3
6 66 2 6 5 5 0
Aa AbM M M
L L
0 01 2 3
6 66 22 5 0
Aa AbM M M
L L , entonces:
330
5 4 66 580
54 54
Aa WL
L
3 30
3 3 3
6 6 6 5 5 3750Ab WL
L
1 2 3 3
37506 22 5 80 0M M M
...... 2
3. TRAMO 2 – 3:
0 02 2 3 2 3 4 3
6 62 0
Aa AbM L M L L M L
L L
0 02 3 4
6 65 2 5 6 6 0
Aa AbM M M
L L
0 02 3 4
6 65 22 6 0
Aa AbM M M
L L , entonces:
3 30
3 3 3
6 6 6 5 5 3750Aa WL
L
330
4 6632
27 27
Ab WL
L
2 3 4 3
37505 22 6 32 0M M M
...... 3
4. TRAMO 3 – 4:
0 03 3 4 3 4 5 4
6 62 0
Aa AbM L M L L M L
L L
Como en el Tramo 4 -5 (Tramo ficticio) los factores:
5 56 60
Aa Ab
L L y 5 0M
3 4 46 2 6M M L 5 4M L 0 06 6Aa Ab
L L 0
03 4
66 12 0
AaM M
L , entonces:
330
5 4 66 580
54 54
Aa WL
L
3 46 12 80 0M M ...... 4
De (1), (2), (3) y (4):
1
32
33
4
3212 6 0 0 3750
806 22 5 0
0 5 22 6 375032
0 0 6 1280
M
M
M
M
1
2
3
4
1.722
8.777
3.636
4.848
M
M
M
M
5. Cálculo de reacciones:Tramo 1 – 2:
2
3
L
3
L
4 /Ton m
1YR 2YR
8.7771.722
19Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTORPor ESTÁTICA:
0YF
1 2
4 60
2Y YR R
1 2 12Y YR R 1 212Y YR R ...... 1
2 0M 1 2
2 6 61.722 8.777 0
3 3Y YR R
1 24 2 7.055 0Y YR R ...... 2
Reemplazando (1) en (2):
26 40.945 0YR 2
40.9456.824
6YR
1 12 6.824 5.176YR 1 5.176YR Tramo 2– 3:
L
5Sen5
x
2YR3YR
8.777 3.636
Por ESTÁTICA:
0YF 2 3
20Y Y
WLR R
2 3
2 5 5Y YR R
2 3
50Y YR R
...... 1
2 0M (Momento en el centro de la luz)
2 3 8.777 3.636 02 2Y Y
L LR R
2 35 5 5.141 0Y YR R 2 35 5.141Y YR R
2 3
5.141
5Y YR R ...... 2
Reemplazando (1) en (2):
2
50 5.1412
5YR 2 7.444YR
3
507.444 8.471YR
3 8.471YR
Tramo 1 – 2:
2
3
L
3
L
4 /Ton m
3YR 4YR
4.8483.636
Por ESTÁTICA:
0YF
3 4
4 60
2Y YR R
3 4 12Y YR R 3 412Y YR R ...... 1
2 0M (Momento en el centro de la luz)
3 4
2 6 63.636 4.848 0
3 3Y YR R
3 44 2 1.212 0Y YR R ...... 2
Reemplazando (1) en (2):
46 46.788 0YR 4
46.7887.798
6YR
3 12 7.798 4.202YR 3 4.202YR
6. Finalmente:
1 5.176YR Ton
2 6.824 7.444 14.268YR Ton
3 8.471 4.202 12.673YR Ton
4 7.798YR Ton
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUISCódigo: 120430 Método: Giros y Desplazamientos
2
4 /Ton m
6 Ton
6 Ton2m
1m
1m
2m5m4m
8 /Ton m
4 /Ton m
20MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
1. Por Superposición de cargas:
L
2W
W
a
a
x3YR
3XR3M
1YR1XR
1M
Levantamos el grado de libertad:
1 3 2
2 3 3
y w
x L L
2
9 2
2 3
w LY x
L
1
2
1
32
1
2
6
WxY W
L
WxV Wx
L
WxM Wx
L
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
3
21 1 6Y
WxMa R x M Wx
L
3. Determinamos1Y
Ma
R
y1
Ma
M
1Y
Max
R
y1
1Ma
M
4. Reemplazando en el Primer Teorema deCastigliano:
1Y
M Madx
EI R
,1
M Madx
EI M
3
21 1 6Y
WxR x M Wx x dx
L
4
2 31 1 6Y
WxR x M x Wx dx
L
2 4 5
31 1
0
03 2 8 30
L
YR M x Wx Wxx
L 3 2 4 4
1 1 03 2 8 30YR L M L WL WL ...... 1
3
21 1 1 0
6Y
WxR x M Wx dx
L
3
21 1 0
6Y
WxR x M Wx dx
L
2 3 41
1
0
02 2 24
L
YR x Wx WxM x
L
2 3 31
1 02 2 24YR L WL WL
M L ...... 2
5. De (1) y (2), se obtiene:
1
2
1
13
20
103
120
Y
WLR
WLM
5. Por Estática:
3
2
3
43
20
7
8
Y
WLR
WLM
1. Por Superposición de cargas:
L
a
a
x3YR
3XR3M
1YR1XR
1M
P P
2
L
2
L
Levantamos el grado de libertad:
2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:
1 1
3
4 4Y
L LMa R x M P x P x
3. Determinamos1Y
Ma
R
y1
Ma
M
1Y
Max
R
y1
1Ma
M
21Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR4. Reemplazando en el Primer Teorema de
Castigliano:
1Y
M Madx
EI R
,1
M Madx
EI M
1 1
3
4 4Y
L LR x M P x P x x dx
21 1
3
4 4Y
L LR x M x Px x Px x dx
21 1
3
4 4Y
L LR x M x Px x Px x dx 3 2 3 3
1 1 50
3 2 24 24YR L M L PL PL ...... 1
1 1
31
4 4Y
L LR x M P x P x dx
1 1
3
4 4Y
L LR x M P x P x dx
2 2 21
1 02 4 4YR L PL PL
M L ...... 2
5. De (1) y (2), se obtiene:
Por Simetría:
1 3
1 3 2
Y YR R P
PLM M
2
L
2
L
n n
W
3YR
3XR3M
1YR1XR
1M
a
a
x
2
1 3
4
12 1 3
n n WLM M
n n
L
2W
1W
ax
3YR
3XR3M
1YR1XR
1M
a
222 11
1 12 30
W W LW LM
222 11
3 12 20
W W LW LM
Sean las ecuaciones de giros y desplazamientos:
64 2ij ij ij i j
ij
M M Kl
62 4ji ji ji i j
ij
M M Kl
Determinando la rigideces relativas:Considerando: 20I
12
23
24
45
20 / 4 5
20 / 4 5
20 / 5 4
20 / 4 5
K
K
K
K
Tenemos:
12
336
55M 21
1312
165M
23 12M 32 12M
24
425
33M 42
150
11M
45
16
15M 54
16
15M
Planteamiento de ecuaciones
12 1
3365 4
55M 2
62
ijl
2
33610
55
21 1
13125 2
165M
2
64
ijl
2
131220
165
23 2 3 2 3
612 5 4 2 12 20 10
ij
Ml
22MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II
32 2 3 2 3
612 5 2 4 12 10 20
ij
Ml
24 2 4 2 4
425 6 4254 4 2 16 8
33 33ij
Ml
42 2 4 2 4
150 6 1504 2 4 8 16
11 11ij
Ml
45 4 5 4 5
16 6 165 4 2 20 10
15 15ij
Ml
54 4 5 4 5
16 6 165 2 4 10 20
15 15ij
Ml
Por Continuidad:
21 23 24 0M M M
2 3 4
93156 10 8 0
55 ...... 1
32 0M
2 312 10 20 0 ...... 2
42 45 0M M
2 4 5
20748 36 10 0
165
...... 3
54 0M
4 5
1610 20 0
15 ...... 4
De (1), (2), (3) y (4):
2
3
4
5
0.532
0.866
0.526
0.209
rad
rad
rad
rad
12 2
33610
55M , 21 2
131220
165M
12 0.789M , 21 18.952M
23 2 312 20 10 10.02M
32 2 312 10 20 0M
24 2 4
42516 8 2.695
33M
42 2 4
1508 16 8.575
11M
45 4 5
1620 10 9.497
15M
54 4 5
1610 20 0.013
15M
Rpta.:
2
3
4
5
0.532
0.866
0.526
0.209
rad
rad
rad
rad
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Método: Trabajo VirtualCódigo: 120430
IV. Para las armaduras mostradas determine los grados de libertad en todos los puntos por los métodosde trabajo virtual y castigliano. NOTA: Si la armadura es hiperestática levante su grado deindeterminación.
2 Ton
4 Ton 4 Ton
5m
2m
4m 4m
De la figura, se obtiene:
2 Ton
4 Ton 4 Ton
5m
2m
2m 2m 2m 2m
1YR5YR
5 XR1XR
24MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES IIPor ESTÁTICA: 0XF 1 52X XR R 5 1 2X XR R ...... 1
0YF 1 5 4 4 0Y YR R 1 5 8Y YR R ...... 2
1 0M 54 2 2 7 4 6 8 0YR 5
46
8YR ...... 3
Reemplazando (3) en (2):
1 5 8Y YR R 1 58Y YR R 1
46 188
8 8YR 1
18
8YR
Liberamos el grado de indeterminación:
2 Ton
4 Ton 4 Ton
5m
2m
2m 2m 2m 2m
1YR
5 XR
1XR
5
4 4
5
7 7
5 / 2 5 / 2
3m
11
13
12 14
15
A) Armando la matriz de cosenos: 1M
1XR 1YR 5 XR 12S 13S 23S 24S 34S 35S 45S
1X 1 0 05
221
4
410 0 0 0 0
1Y 0 1 014
221
5
410 0 0 0 0
2X 0 0 05
221
0
3
51 0 0 0
2Y 0 0 014
221
0
4
5
0 0 0 0
3X 0 0 0 04
41
3
5
0
3
5
4
410
3Y 0 0 0 05
41
4
50
4
5
5
41
0
4X 0 0 0 0 0 0 13
5
0
5
221
25Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR
4Y 0 0 0 0 0 0 04
5
0
5X 0 0 0 0 0 0 0 04
41
5Y 0 0 1 0 0 0 0 05
41
B) Matriz de cargas: 2M
Real2 XR 2 yR 3XR 3 yR 4 XR 4 yR 5 XR 5 yR
1X 0 0 0 0 0 0 0 0 01Y 0 0 0 0 0 0 0 0 02X 2 1 0 0 0 0 0 0 02Y 4 0 1 0 0 0 0 0 03X 0 0 0 1 0 0 0 0 03Y 0 0 0 0 1 0 0 0 04X 0 0 0 0 0 1 0 0 04Y 4 0 0 0 0 0 1 0 05X 3.1 0 0 0 0 0 0 1 05Y 0 0 0 0 0 0 0 0 1
DEFORMACIONES: 2 3 240 4 10A cm m , 6 2 122 10 2 10E Kg cm Ton
Nodos:
Barra L S S2x S2y S3x S3y SLS2x SLS2y SLS3x SLS3y
1_2 7.430
6.403
2.500
3.000
2.500
6.4037.430
-1.670 -0.719 1.319 -1.199 0.959 8.921 -16.366 14.877 -11.899
1_3 -0.849 1.988 -0.710 2.246 -0.516 -10.807 3.860 -12.210 2.805
2_3 -3.012 0.847 -0.302 1.411 -1.129 -6.378 2.274 -10.625 8.501
2_4 -0.750 -1.750 0.625 -1.250 1.000 3.938 -1.406 2.813 -2.250
3_4 -0.762 1.976 -0.706 1.411 -1.129 -3.764 1.345 -2.688 2.151
3_5 -3.019 0.904 -0.323 0.645 -0.516 -17.475 6.244 -12.468 9.975
4_5 -3.590 -1.678 0.599 -1.199 0.959 44.758 -15.978 31.982 -25.580
Barra L S S4x S4y S5x S5y SLS4x SLS4y SLS5x SLS5y
1_2 7.430
6.403
2.500
3.000
2.500
-1.670 -0.719 0.599 -2.398 0 8.921 -7.432 29.755 0.0
1_3 -0.849 1.988 -0.323 2.892 0 -10.807 1.756 -15.721 0.0
2_3 -3.012 0.847 -0.706 2.823 0 -6.378 5.316 -21.257 0.0
2_4 -0.750 -0.750 0.625 -2.500 0 1.688 -1.406 5.625 0.0
14
221
5
221
14
221
26MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II3_4 6.403
7.430-0.762 1.976 -0.302 2.823 0 -3.764 0.575 -5.378 0.0
3_5 -3.019 0.904 -0.710 2.892 0 -17.475 13.725 -55.904 0.0
4_5 -3.590 -1.678 1.319 -2.398 0 44.758 -35.183 63.964 0.0
Nodo 5:
15
XS S Lu
EA
1.083
uEA
31.3528 10u
15
YS S Lv
EA
0
vEA 0v
TENSIONES COMBINADAS
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUISCódigo: 120430 Tema: T.C.
V.Para el elemento mostrado, halle el rango devalores de xy para el cual el esfuerzo cortante
máximo en el plano es igual o menor que 20 .ksi
8ksi
16ksi
xy
Mediante el Círculo de Morh, ubicamos los esfuerzos,el punto se sitúa en el R.El radio de los círculos limitante es 20Ksi:
8ksi
16ksi
1C 2C
D
1x 2x
R
Sea 1C la ubicación del radio del círculo que limita
más a la izquierda y 2C sea el de la derecha.
1 20C R ksi y 2 20C R ksi
Además 1C DR y 2C DR son triángulos rectángulos:
2 2 2
1 1C D DR C R 2 2 2
1 8 20C D
1 4 21C D ...... 1
Coordenadas del punto 1C :
1 0,16 4 21 0, 2.330C ksi
Coordenadas del punto 2C :
2 0,16 4 21 0,34.330C ksi
Asimismo:Coordenadas del punto 1x :
1 2.330 4 21, 8 20.660 , 8x ksi ksi
Coordenadas del punto 2x :
2 34.330 4 21, 8 52.660 , 8C ksi ksi
27Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOREl punto ,xy xy debe encontrarse en la línea
1 2x x : 20.660 52.660xyksi ksi
Rpta.: 20.660 52.660xyksi ksi
COLUMNAS
Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUISCódigo: 120430 Tema: Columnas
VI. Un marco consta de 4 elementos en Lconectados por cuatro resortes torsionales deconstante K, cada uno. Si se aplican fuerzas Piguales en A y D halle la carga crítica crP para elsistema
P P
A
E
B
F
C
D
G
H
k
k k
k
2
L
2
L
2
L
2
L
Sea " " la rotación del elemento en forma de LCambio de ángulo a través de cada resorte detorsión es 2
A
E
BF
C
D
G
H
k k
k
2
L
2
L
2
L
2
L
Tenemos:
2k
E
AH
P
P
2k
El radio de los círculos limitante es 20Ksi:
2 2
L Lx Sen y 2 20C R ksi
Además 0EM 2 2 0k k Px 4Px k
4kP
x
Entonces 8cr
kP
L
Rpta.:8
cr
kP
L