problemas de grupos
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Problemas de grupos con énfasis en clsas laterales, permutaciones y subgrupos normalesTRANSCRIPT
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TAREA I ALGEBRA MODERNA I DIANA AVELLA ALAMINOS
(1) Encuentra sgn() y 1 para =(
1 2 3 4 5 6 7 8 99 8 7 6 5 4 3 2 1
).
(2) Sea un r-ciclo en Sn.(a) Prueba que un es una permutacion par si y solo si r es impar.(b) Prueba 2 es un ciclo si y solo si r es impar.
(3) Sean X un conjunto infinito, H la coleccion de permutaciones en SX quemueven solo un numero finito de elementos y K la coleccion de permutacionesque mueven a lo mas 50 elementos Son H y K subrupos de SX?
(4) Decimos que una transposicion en Sn es una adyacencia si es de la forma(i, i + 1), 1 i < n. Prueba que la coleccion de adyacencias genera al gruposimetrico.
(5) Sean , Sn. Prueba que y tienen la misma estructura cclica si ysolo si = 1 para algun Sn (i.e. y son conjugados).
(6) Sea Sn, n > 2. Prueba que si = Sn, entonces = (1).(7) Sean W = (12)(34), V = {e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)} S4. Prueba
que W V , V S4 pero W 5 S4.(8) Sea H = {e, (12)} y K = {e, (1, 3)}. Es HK un subgrupo de S4?(9) Es cierto que si G es un grupo tal que cada subgrupo de el es normal,
entonces G es abeliano? Demuestra o da un contraejemplo.(10) Sea H un subgrupo de G tal que el producto de dos clases laterales derechas
de H en G es de nuevo una clase lateral derecha de H en G. Prueba que Hes normal en G.
(11) Sea G un grupo finito con un unico subgrupo H de orden |H|. Prueba queH es normal en G.
(12) Sea G un grupo abeliano finito. Prueba que:(a) Si p es un divisor primo de |G|, G tiene un elemento de orden p.(b) Si |G| = 2n con n impar, G tiene exactamente un elemento de orden 2.
(13) Sean G un grupo finito, H y K subgrupos de G con K H. Prueba que[G : K] = [G : H][H : K].
(14) Sean G un grupo finito, H 6= K subgrupos de G, ambos de orden primo p.(a) Muestra que H K = {e}.(b) Deduce que el numero de elementos de orden p en G es un multiplo de
(p-1), cuando G es un grupo finito.(15) Muestra que si H y N son subgrupos de G con N normal en G entonces
N H es normal en H pero no necesariamente en G.(16) Sea H es un subgrupo normal de un subgrupo finito G con m = [G : H];
prueba que gm H para toda g G. Que ocurre si H no es normal?
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