PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES

PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD P. Reyes / enero 2009

PROBABILIDAD y distribuciones

de probabilidad

Elabor: Hctor Hernndez Primitivo Reyes AguilarEnero 2009Mail: primitivo_reyes@yahoo.comTel. 58 83 41 67 / Cel. 044 55 52 17 49 12

CONTENIDO

1. Introduccin

2. Tcnicas de conteo

3. Teorema de Bayes

4. Distribuciones de probabilidad

5. Distribuciones de probabilidad discretas

6. Distribuciones de probabilidad continuas

PROBABILIDAD Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

1. INTRODUCCIN

La probabilidad se refiere al estudio de la aleatoriedad y la incertidumbre en cuaqlquier situacin donde podra ocurrir uno de varios resultados posibles. En algunos casos se utiliza de manera informal como por ejemplo: hay un 50% de probabilidad de que llueva.

DEFINICIONES

Probabilidad: es la posibilidad numrica de ocurra un evento. Se mide con valores comprendidos entre 0 y 1, entre mayor sea la probabilidad, ms se acercar a uno. Experimento: es toda accin bien definida que conlleva a un resultado nico bien definido como el lanzamiento de un dado. Es el proceso que produce un evento. Espacio muestral: es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento. Para un dado es SS = (1,2,3,4,5,6) Evento: es cualquier coleccin de resultados contenidos en el espacio muestral. Es simple si slo tiene un resultado y compuesto si tiene varios resultados.Definicin Clsica de Probabilidad. Modelo de frecuencia relativa

La probabilidad de un evento (E), puede ser calculada mediante la relacin de el nmero de respuestas en favor de E, y el numero total de resultados posibles en un experimento.

Ejemplo 1: La probabilidad de que salga 2 al lanzar un dado es:

EMBED Equation.3 Ejemplo 2: La probabilidad de lanzar una moneda y que caiga cara es:

Ejemplo 3: La probabilidad de sacar 1,2,3,4,5, o 6 al lanzar un dado es:

La probabilidad de un evento est comprendida siempre entre 0 y 1. La suma de las probabilidades de todos los eventos posibles (E) en un espacio muestral S = 1

Un espacio muestral (S): Es el conjunto Universal; conjunto de todos los n elementos relacionados = # Total de resultados posibles.

Probabilidad Compuesta

Es la probabilidad compuesta por dos eventos simples relacionados entre s.

En la composicin existen dos posibilidades: Unin

EMBED Equation.3 o Interseccin.

Unin de A y B

Si A y B son eventos en un espacio muestral (S), la unin de A y B contiene todos los elementos de el evento A o B o ambos.

Interseccin de A y B

Si A y B son eventos en un espacio muestral S, la interseccin de A y B est compuesta por todos los elementos que se encuentran en A y B.

Relaciones entre eventos

Existen tres tipos de relaciones para encontrar la probabilidad de un evento: complementarios, condicionales y mutuamente excluyentes.

1. Eventos complementarios: El complemento de un evento A son todos los elementos en un espacio muestral (S) que no se encuentran en A. El complemento de A es:

EMBED Equation.3 Ejemplo 4: En el evento A (da nublado), P(A) = .3, la probabilidad de tener un da despejado ser 1-P(A) = .7

2. Probabilidad condicional: Para que se lleve a cabo un evento A se debe haber realizado el evento B. La probabilidad condicional de un evento A dado que ha ocurrido el evento B es:

, si

Ejemplo 5: Si el evento A (lluvia) y B(nublado) = 0.2 y el evento B (nublado) = 0.3, cual es la probabilidad de que llueva en un da nublado? Nota: no puede llover si no hay nubes

=

EMBED Equation.3 Ejemplo 6. Las razones de queja en productos se muestran a continuacin:

RAZN DE LA QUEJA

Falla elctricaFalla mecnicaFalla aparienciaTotal

En garanta18%13%32%63%

Fuera de garanta12%22%3%37%

Total30%35%35%100%

Si A es el evento de que la queja es por apariencia y que B representa que la queja ocurri en el periodo de garanta. Se puede calcular P(Z | B) = P(A y B) / P(B)

P(A | B) = 0.32 / 0.63 = 0.51

Si C es el evento fuera de garanta y D falla mecnica:

P(C|D) = P(C y D) / P(D) = 0.22 / 0.35 = 0.628

Se dice que dos eventos A y B son independientes si: P(A/B) = P(A) o P(B/A) = P(B).

La probabilidad de la ocurrencia de uno no est afectada por la ocurrencia del otro. De otra manera los eventos son dependientes.Un ejemplo de evento independiente es: Cul es la probabilidad de que llueva en lunes?

El ejemplo de evento dependiente es el ejemplo 5.

3. Eventos mutuamente excluyentes.

Cuando un evento A no contiene elementos en comn con un evento B, se dice que estos son mutuamente excluyentes.

Ejemplo 7. Al lanzar un dado: a) cual es la probabilidad de que salga 2 o 3? B) Calcule ?

a)

EMBED Equation.3

b) = 0, ya que al ser conjuntos mutuamente excluyentes la interseccin no existe, es imposible que salga 2 y 3 al mismo tiempo.

Ley aditiva:

Cuando dos eventos no son mutuamente excluyentes:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Cuando los eventos son mutuamente excluyentes:

EMBED Equation.3

Ley multiplicativa:

Si los eventos A y B son dependientes:

Si los eventos A y B son independientes:

Ejemplo 8: Se selecciona una muestra aleatoria n = 2 de un lote de 100 unidades, se sabe que 98 de los 100 artculos estn en buen estado. La muestra se selecciona de manera tal que el primer artculo se observa y se regresa antes de seleccionar el segundo artculo (con reemplazo), a) calcule la probabilidad de que ambos artculos estn en buen estado, b) si la muestra se toma sin reemplazo, calcule la probabilidad de que ambos artculos estn en buen estado.

A: El primer artculo est en buen estado.

B: El segundo artculo est en buen estado.

a) Al ser eventos independientes el primero del segundo:

=

b) Si la muestra se toma sin reemplazo de modo que el primer artculo no se regresa antes de seleccionar el segundo entonces:

=

Se observa que los eventos son dependientes ya que para que para obtener el evento B, se tiene que haber cumplido antes el evento A.

EJERCICIOS:

1. Tres componentes forman un sistema. Como los componentes del subsistema 2-3 estn conectados en paralelo, trabaja si por lo menos uno de ellos funciona. Para que trabaje el sistema debe trabajar el componente 1 y el subsistema 2-3.

a) Qu resultados contiene un evento A donde funcionan exactamente dos de los tres componentes?

b) Qu resultados estn contenidos en el evento B en el que por lo menos funcionan dos los componentes?

c) Qu resultados estn contenidos en el evento C donde funciona el sistema?

d) Listar los resultados de C, A o C, A y C, B o C y B y C.

2. En una planta los trabajadores trabajan 3 turnos. En los ltimos aos ocurrieron 200 accidentes. Algunos se relacionan con condiciones inseguras y otros a condiciones de trabajo, como se muestra a continuacin:TurnoCondiciones insegurasCondiciones de trabajoTotal

Diurno10%35%45%

Vespertino8%20%28%

Nocturno5%22%27%

Total23%77%100%

Si se elige al azar uno de los 200 informes de accidentes de un archivo y se determina el turno y tipo de accidente:

a) Cules son los eventos simples?

b) Cul es la probabilidad de que el accidente seleccionado se atribuya a condiciones inseguras?

c) Cul es la probabilidad de que no haya ocurrido en el turno diurno?

3. La ruta que usa un automovilista tiene dos semforos. La probabilidad de que pare en el primero es de 0.4, la probabilidad de que pare en el segundo es de 0.5 y la probabilidad de que pare por lo menos en uno es de 0.6. Cul es la probabilidad de que se detenga

a) En ambos semforos?

b) En el primero pero no en el segundo?

c) Exactamente en un semforo?

4. Una empresa construye tres plantas elctricas en tres lugares diferentes. Se Ai el evento en el que se termina la planta i en la fecha del contrato. Utilizar las notaciones de unin, interseccin y complemento para describir cada uno de los siguientes eventos, en trminos de A1, A2 y A3, mostrar en diagramas de Venn.

a) Por lo menos una planta se termina en la fecha del contrato.

b) Todas las plantas se terminan en la fecha del contrato

c) Slo se termina la planta del sitio 1 en la fecha del contrato

d) Exactamente se termina una planta en la fecha del contrato

e) Se termina ya sea la planta del lugar 1 o las otras dos en la fecha del contrato.

2. TCNICAS DE CONTEOSupngase que una persona tiene dos modos de ir de una ciudad A a otra ciudad B; y una vez llegada a B, tiene tres maneras de llegar a otra ciudad C. De cuntos modos podr realizar el viaje de A a C pasando por B?

Evidentemente, si empez a pie podr tomar avin, carro o trasatlntico; y si empez en bicicleta, tambin podr tomar avin, carro o trasatlntico.

Utilizando literales (las iniciales) el viajero tuvo las siguientes oportunidades: pa, pc, pt; ba, bc, bt.

Que son 6; cada primera oportunidad cont con tres posibilidades.

Se tiene: 2 oportunidades X 3 posibilidades = 6 posibilidades.

Principio de conteo: Si un evento puede hacerse de a1 maneras diferentes, y cuando se ha hecho, puede hacerse un segundo evento (independiente del primero) de a2 modos diferentes y luego un tercer evento de a3 maneras tambin diferentes, y as sucesivamente, entonces el nmero de maneras diferentes en que los eventos se pueden realizar , en el orden indicado es de:

EMBED Equation.3 Ejemplo 9: De cuantos modos podr vestirse un joven que tiene 3 camisas diferentes, 4 pantalones y dos pares de calzado?

Solucin: Primer evento (camisas) a1 = 3

Segundo evento ( pantalones) a2 = 4

Tercer evento (zapatos) a3 = 2

EMBED Equation.3 modos diferentes.

PERMUTACIONES: Una permutacin es un arreglo ordenado de una parte de los elementos, o de todos los elementos de un conjunto.

Ejemplo 10: Dado el conjunto de las letras , escribir todas las permutaciones empleando las tres letras cada vez.

Solucin: opi, oip, ipo, iop, pio, poi : son seis permutaciones posibles.

Ejemplo 11: Y tomando dos letras solamente cada vez?

Solucin: op, oi, io, ip, pi, po: son seis permutaciones.

En la mayora de los casos resulta muy complicado hacer las permutaciones manualmente por lo cual utilizamos la siguiente frmula:

donde:

n = nmero total de elementos del conjunto

P = Permutaciones

r = nmero de elementos que se toman a la vez.

! = factorial.

Nota: 0! = 1

Ejemplo 12: Se toman 3 nmeros de lotera de un total de 50, de cuantas formas se pueden tomar los nmeros?

COMBINACIONES: Es el nmero de subconjuntos de r elementos que se puede formar de un conjunto de n elementos, sin importar el orden de los elementos. Para determinar el nmero de combinaciones posibles utilizamos:

Ejemplo 13: Un entrenador de basket ball tiene 9 jugadores igualmente hbiles, cuntas quintetas podr formar?

Ejemplo 14: Se extraen 5 cartas de una baraja de 52 cartas. Hallar la probabilidad de extraer (a) 4 ases, (b) 4 ases y un rey (c) 3 dieces y dos jotas,

a) P(4 ases) = =

b) P (4 ases y 1 rey) =

c) P (3 dieces y 2 jotas) =

3. TEOREMA DE BAYES

Mediante el teorema de Bayes podemos calcular la probabilidad de que ocurra un determinado evento, cuando no tenemos datos inmediatos del mismo mediante la informacin que tenemos de otros eventos.

Cuando existen dos eventos posibles A y B, la probabilidad de que ocurra Z se describe mediante el teorema de probabilidad total el cual es:

Mediante el teorema anterior se deduce el teorema de Bayes:

Ejemplo 8: En cierta universidad 20% de los hombres y 1% de las mujeres miden ms de 1.80m de altura. Asimismo 40% de los estudiantes son mujeres. Si se selecciona un estudiante al azar y se observa que mide ms de 1.80m Cual es la probabilidad de que sea mujer?

Z > 1.80 m

A = Hombre

B = Mujer

P (A) = .60

P (B) = .40

P (Z/A) = .20

P (Z/B) = .01

Para encontrar la probabilidad de que sea mujer dado que mide ms de 1.80,

Utilizando el teorema de Bayes:

P(B/Z) = (.4 x .01)/ (.6 x .20 +.4 x .01) = .032.

Podemos visualizar P(B/Z) en el siguiente diagrama:

Por lo tanto la probabilidad de que sea mujer dado

que mide ms de 1.80 es .032 = 3.2 %

EJERCICIOS:

1. Una planta emplea 20 trabajadores en el turno diurno, 15 en el segundo y 10 en la noche. Se seleccionan 6 para hacerles entrevistas exhaustivas. Suponer que cada uno tiene la misma probabilidad de ser seleccionado de una urna de nombres.

a) Cuntas selecciones dan como resultado seis trabajadores del turno diurno?

b) Cul es la probabilidad de que los 6 trabajadores sean seleccionados del mismo turno?

c) Cul es la probabilidad de que por lo menos dos turnos diferentes estn representados en la seleccin?

d) Cul es la probabilidad de que por lo menos uno de los turnos no est representado en la muestra de trabajadores?

2. Una caldera tiene 5 vlvulas de alivio idnticas. La probabilidad de que que en algn momento se abra una de ellas es de 0.95. Si su operacin es independiente, calcular la probabilidad de que por lo menos se abra una de ellas. Y la probabilidad de que por lo menos no se abra una de ellas.

3. Dos bombas conectadas en paralelo fallan en determinado da, sin que haya dependencia mutua. La probabilidad de que solo falle la bomba ms vieja es de 0.10 y de que falle la bomba ms nueva es de 0.05. Cul es la probabilidad de que fallen ambas bombas al mismo tiempo?

4. Un sistema de componentes conectados como se muestra en la figura. Los componentes 1 y 2 en paralelo hacen que el subsistema funcione con uno uno solo, el sistema funciona solo si tambien trabajan los componentes 3 y 4. Si los componentes son independientes y la probabilidad de que cada componente funcione es de 0.9, calcular la probabilidad de que funcione el sistema.

4. DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Variable aleatoria: Para un determinado espacio muestral SS una variable aleatoria (VA) es cualquier regla que relaciona un nmero con cada resultado en SS.

Variable aleatoria de Bernoulli: Es cualquier variable aleatoria con valores 0 y 1.

Variable aleatoria discreta: Es una variable aleatoria cuyos posibles valores son enteros.

Variable aleatoria continua: Es una variable aleatoria cuyos valores posibles son los reales.

Distribucin de probabilidad o funcin de masa de probabilidad: Establece en una tabla, frmula o grfica como se distribuye la probabilidad P(y) asociada a los posibles valores de la variable aleatoria y.

Debe cumplir con las reglas siguientes:

1. 0 Probability distributions > Hypergeometric

Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada)

N, D, n y en Input constant introducir x.

EJERCICIO:

1. Se compran 10 transformadores y se toma una muestra de 4. Si se encuentra uno o ms defectuosos se rechaza el lote de 10.

a) Si el lote tiene un defectuoso, Cul es la probabilidad de que se acepte el lote?

b) Cul es la probabilidad de aceptar el lote si contiene 3 defectuosos.

DISTRIBUCIN BINOMAL

Ensayo Bernoulli. Es un experimento aleatorio que solo tiene dos resultados. xito o fracaso.

Donde la probabilidad de xito se denota por pSuponga se realizan n experimentos Bernoulli independientes. Suponga que la variable X de inters es el numero de xitos. X toma valores 0,1,2,...,n

La distribucin binomial se utiliza para modelar datos discretos y se aplica para poblaciones grandes (N>50) y muestras pequeas (n 5

La variable aleatoria x tiene una distribucin binomial como sigue:

Con media y varianza:

Ejemplo: Un equipo requiere a lo ms 10% de servicios en garanta. Para comprobarlo se compran 20 de estos equipos y se someten a pruebas aceleradas de uso para simular el uso durante el periodo de garanta. Obtener la probabilidad para P(x=5.

P(X>=5) = 1- P(X Probability distributions > Binomial

Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada)

n = number of trials, p = probability of success y en Input constant introducir x.

EJERCICIOS:

1. Un panel solar tiene una vida til de 5 aos con una probabilidad de 0.95. Se toman 20 pneles solares y se registr la vida til.

a) Cul es la probabilidad de que exactamente 18 tengan su vida til de 5 aos?

b) Cul es la probabilidad de que cuando mucho 10 tengan esa vida til?

c) Si solo 10 paneles tienen una vida til de 5 aos, que debera pensarse sobre el valor verdadero de P?

2. 20% de los telfonos se reparan cuando todava est vigente la garanta. De estos el 60% se reparan mientras que el 40% se reemplazan. Si una empresa compra 10 de estos telfonos, Cul es la probabilidad de que exactamente sean reemplazados 2 en periodo de garanta?.

3. Suponga que solo 25% de los automovilistas se detienen por completo en un alto con luz roja intermitente cuando no est visible otro automvil. Cul es la probabilidad de que de 20 automovilistas seleccionados al azar se detengan:

a) A lo sumo 6 se detengan por completo

b) Exactamente 6 se detengan por completo?

c) Al menos 6 se detengan por completo?

d) Cuntos de los siguientes 20 automovilistas se espera que se detengan por completo?

4. De todas las plantas slo el 5% descargan residuos por sobre la norma. Si se muestrean 20 plantas Cul es la probabilidad de que estn fuera de la ley:

a) Menos que una planta?

b) Menos de dos plantas

c) Exactamente 3

d) Ms de una

DISTRIBUCIN BINOMIAL NEGATIVA

Se basa en los mismos principios de la distribucin binomial.

1. El experimento consiste de una secuencia de ensayos independientes.

2. Cada ensayo produce un xito o un fracaso.

3. La probabilidad de xito es constante de un ensayo a otro, P(xito en el ensayo i) = p

4. El experimento continua hasta completar r ensayos.

La variable de inters es X = nmero de fracasos que preceden al r-simo xito. X se llama variable aleatoria binomial negativa, ya que en contraste con la distribucin binomial, el nmero de xitos es fijo y el nmero de ensayos aleatorio.

Su funcin de distribucin es:

con X = 0, 1, 2, ..

Ejemplo: Se quieren reclutar 5 personas para participar en un nuevo programa. Si p = 0.2 la probabilidad de que las personas quieran participar. Cul es la probabilidad de que se les deba preguntar a 15 personas antes de encontrar a 5 que estn de acuerdo en participar?. Es decir si S=(de acuerdo en participar),

Cul es la probabilidad de que ocurran X=10 fracasos antes del r=quinto xito?.

r = 5, p = 0.2 y x = 10, se tiene:

La probabilidad de que a lo sumo ocurran 10 fracasos (F) se les pregunte a lo sumo a 10 personas es:

Su media y varianza son las siguientes:

USO DE EXCEL:

=NEGBINOMDIST(10,5,0.2) y SUMA (X=0 hasta 10) =NEGBINOMDIST(X,5,0.2) Otra forma:

Sea y el nmero de intentos hasta que el r-simo xito es observado.

P = probabilidad de xito en un solo intento

Q = 1-p

Y = Nmero de intentos hasta que se obtienen los r xitos

P(15) = combinat(14, 10) 0.2^5*0.8^10 = 0.0343941Ejemplo: Un fabricante utiliza fusibles en un sistema elctrico comprados en lotes grandes. Se prueban secuecialmente hasta que se observa el primero con falla. Asumiendo que el lote contiene 10% de fusibles defectivos.

a) Cul es la probabilidad de que el primer fusible defectuoso sea uno de los primeros 5 probados?

P= 0.1 q= 0.9

P(y) = p*(q^y-1) = (.1)*(0.9^y-1)

Para y = 1 hasta 5:

P(y 1.6.

Una Variable aleatoria X tiene distribucin Poisson si toma probabilidades con.

Con media y varianza:

Ejemplo 1. Suponga que una compaa de seguros asegura las vidas de 5000 hombres de 42 aos de edad. Si los estudios actuariales muestran que la probabilidad de que un hombre muera en cierto ao es 0.001, entonces la probabilidad de que la empresa pague exactamente 4 indeminizaciones y= 4 en un cierto ao es:

El valor de esta expresin no aparece en tablas y su clculo era difcil, no as con Excel.

Aproximando con la distribucin de Poisson, se toma la tasa media de sucesos (= np = (5000)*(0.001)= 5, teniendo:

Ejemplo 2. Una planta tiene 20 mquinas, si la probabilidad de que falla una en cierto da es 0.05. Encuentre la probabilidad de que durante un da determinado fallen dos mquinas.

np = 20 *0.05 = 1.0

Si se calcula con la distribucin Binomial se tiene:

La aproximacin es mejor conforme se aproxima a np = 5.

La distribucin de Poisson adems de ser til como aproximacin de las probabilidades Binomiales, constituye un buen modelo para experimentos donde Y representa el nmero de veces que ha ocurrido un evento en una unidad dada de tiempo o de espacio. Por ejemplo:

Nmero de llamadas recibidas en un conmutador durante un da, conociendo el promedio por da.

Nmero de reclamaciones contra una empresa de seguros por semana, conociendo el prom. Sem.

Nmero de llegadas a una estacin de servicio durante un minuto dado, conociendo el prom./min.

Nmero de ventas hechas por un agente de ventas en un da, conociendo el promedio por da.

Slo se requiere que los eventos sean independientes.

USO DE EXCEL:

x = xitos en la muestra, np = media.

En Fx Estadsticas seleccionar

=Poisson(x, np, 0 o 1 dependiendo si es puntual o acumulada)

USO DE MINITAB:

Calc > Probability distributions > Poisson

Probability (densidad) o Cumulative probability (acumulada)

n*p = mean y en Input constant introducir x.

EJERCICIOS:

1. El 20% de los choferes son mujeres, si se seleccionan 20 al azar para una encuesta:

Usando la distribucin binomial y la distribucin de Poisson

a) Cul es la probabilidad de que dos choferes sean mujeres ?

b) Cul es la probabilidad de que al menos cuatro sean mujeres?

2. Se tienen 8 recepcionistas, estan ocupadas en promedio el 30% del tiempo, si 3 clientes llaman la prob. De que estn ocupadas es mayor al 50%?

3. Un proveedor de partes de bicicleta tiene 3% de defectos. Se compran 150 partes y si la probabilidad de que 3 o ms partes sean defectuosas excede al 50%, no se hace la compra.

Qu sucede en este caso?.

4. En una universidad las llamadas entran cada 2 minutos

a) Cul es la cantidad esperada de llamadas en una hora?

b) Cul es la probabilidad de 3 llamadas en los sig. 5 minutos?

c) Cul es la probabilidad de no llamadas en los sig. 5 minutos?

d) cul es la prob. de recibir 10 llamadas en los sig. 15 minutos?

5. Un proceso de manufactura produce 1.2 defectos por cada 100 unidades producidas,

Cul es la probabilidad de que las siguientes 500 unidades presenten X=3 defectos?

6. 40 trabajadores tienen nuevas computadoras, 26 con MMX. Si se seleccionan 10 al azar, Cul es la prob. De que 3 tengan la tecnologa MMX?.

7. De un grupo de 20 productos, se toman 10 al azar,

Cul es la probabilidad de contengan las 5 mejores unidades?

8. De 9 empleados diurnos slo 6 estn calificados para hacer su trabajo, si se seleccionan aleatoriamente 5 de los 9 empleados, Cul es la probabilidad de que:

a) Los 5 estn calificados

b) 4 esten calificados

c) Por lo menos 3 estn calificados

6. DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDAD

Se diferencian de las distribuciones de probabilidad discretas en que su funcin de distribcun acumulativa (F(yo)) para una variable aleatoria y es igual a la probabilidad F(yo) = P(y= 0

2. Integral desde menos infinito a ms infinito de f(y) d(y) = F( ( ) = 1

f(y)

F(yo)

yo

y

Funcin de distribucin acumulativa

Entre las distribuciones continuas ms comunes se encuentran la distribucin normal y la distribucin exponencial.

DISTRIBUCIN EXPONENCIAL

Se usa para modelar artculos con una tasa de falla constante y est relacionada con la distribucin de Poisson. Si una variable aleatoria x se distribuye exponencialmente, entonces el recproco de x, y = 1/x sigue una distribucin de Poisson y viceversa.

La funcin de densidad de probabilidad exponencial es: Para x >= 0

Donde Lambda es la tasa de falla y theta es la media.

La funcin de densidad de la distribucin exponencial

El modelo exponencial, con un solo parmetro, es el ms simple de todos los modelos de distribucin del tiempo de vida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muestran:

Si el nmero de ocurrencias tiene Distribucin de Poisson, el lapso entre ocurrencias tiene distribucin exponencial. Su funcin de distribucin acumulada es la siguiente:

Cuando X = 0 la distribucin de Poisson se convierte en el segundo trmino de la distribucin exponencial.

Probabilidad de que el tiempo entre la ocurrencia de dos eventos cualquiera sea