Primer Examen Parcial Profesor: Hilario Ramírez González Miércoles 20 de marzo 2013 Ayudante: Omar M. Ávila

Instituto Politécnico Nacional  Escuela Superior de Física y Matemáticas (E.S.F.M)  

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ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No. 31, TULTEPEC, ESTADO DE MÉXICO. EXAMEN TIPO A

   

Nombre: _________________________________ Grado: ___ Grupo: ___ N.L:___.  

Instrucciones: Resolver la cantidad de problemas que consideres necesarios para obtener una buena calificación el puntaje máximo será 10. El procedimiento deberá de ser “claro” y “ordenado”, sino no cumple con los requisitos anteriores no se calificara. El resultado deberá de “ expresarse simplificado”, es decir, en su mínima expresión.     1. Definición.

Sea 𝑦 = 𝑓(𝑥) una función, se define la derivada de 𝑓(𝑥) como

𝒇! 𝒙 =   𝒍𝒊𝒎𝒉→𝟎

   𝒇 𝒙 + 𝒉 −  𝒇(𝒙)

𝒉

a) Aplicando la definición anterior, encuentra la derivada de 𝑓 𝑥 = 𝑥! − 2𝑥 + 7.(1.5 puntos) b) Aplicando las reglas de derivación comprueba el resultado anterior. (0.5 puntos)

2. Hallar el valor de !"

!" para el valor dado de 𝑥.

a) 𝑦 = (4 − 𝑥!)!  ;  𝑥 = 3. (0.5 punto) b) 𝑦 = 𝑥! ∙ 1 + 𝑥!  ;  𝑥 = 2. (1 punto) c) 𝑦 = !!!!

!!!!; 𝑥 = 2. (0.5 punto)

3. Hallar la inclinación y la pendiente de la recta tangente a la parábola 𝑦 = 𝑥! en:

a) El vértice. (1 punto) b) El punto de abscisa 𝑥 = !

!. (1 punto)

4. Dada la curva 𝑦 = !!

!− 𝑥! + 2 (fig.1)hallar:

a) La derivada. (0.5 puntos) b) La inclinación 𝜑 cuando 𝑥 = 1. (0.5 puntos) c) El ángulo 𝜑 cuando 𝑥 = 3. (0.5 puntos) d) Los puntos donde la dirección de la curva es paralela a OX. (1 punto) e) Los puntos donde 𝜑 = 45°. (1 punto) f) Los puntos donde la dirección de la curva es paralela a la recta

2𝑥 − 3𝑦 = 6 (Recta AB). (1 punto)

5. Hallar la segunda derivada. a) 𝑦 = 𝑥 ∙ ln 𝑥 . (0.5 punto) b) 𝑦 = 𝑥! ∙ ln 𝑥! . (1 punto) c) 𝑦 = 6𝜋. (0.5 punto)

Primer Examen Parcial Profesor: Hilario Ramírez González Miércoles 20 de marzo 2013 Ayudante: Omar M. Ávila

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6. Obtener las siguientes derivadas:

a) 𝑦 = 3 − 𝑥 2 − 𝑥 (5 − 𝑥). (0.5 puntos) b) 𝑦 = 𝑥𝑒!!!. (1 punto) c) 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cot !!!

!!!. (2 punto)

d) 𝑦 = ln( 1 − 𝑥!). (1 punto) e) 𝑦 = !

!∙ 𝑠𝑒𝑛! 𝑥 .  (1.5 punto)

Usando regla de la cadena, encuentra la derivada

f) 𝑦 = ln ln(tan 𝑥) . (1.5 punto) Usando las propiedades de los logaritmos encuentra la derivada

g) 𝑦 = ln !!!!

!!!!. (2 punto)

     

TOTAL DE PUNTOS 22.                            

La utopía está en el horizonte. Camino dos pasos, ella se aleja dos pasos y el horizonte se corre diez pasos más allá. ¿Entonces para qué sirve la utopía? Para eso, sirve para caminar.

Eduardo Galeano.

 SOY POLITÉCNICO

[…] Porque me duele la patria en mis entrañas y aspiro a calmar sus dolencias.

Porque ardo en deseos de despertar al hermano dormido […]

Fragmento del Decálogo del Instituto Politécnico Nacional.