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CAPITOLO 4• CONDUTTORI
• DIELETTRICI
• ENERGIA ELETTROSTATICA
Esercizio 4.1
• Due sfere conduttrici rispettivamente di raggio 𝑹𝟏 e 𝑹𝟐 sono poste a distanza
molto grande rispetto ai raggi e sono unite da un filo conduttore. La carica
complessiva è 𝒒. Siano 𝒒𝟏 la carica distribuita con densità uniforme 𝝈𝟏 sulla
superficie 𝚺𝟏 della prima sfera, e 𝒒𝟐 la carica distribuita con densità uniforme
𝝈𝟐 sulla superficie 𝚺𝟐 della seconda sfera. Si trascuri la carica che si trova sul
filo.
1. Determinare i valori delle due cariche 𝒒𝟏 e 𝒒𝟐.
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Esercizio 4.2
• Valutare la capacità del condensatore sferico:
1. Nel limite per 𝑹𝟐 → ∞.
2. Nel limite per 𝑹𝟐 − 𝑹𝟏 = 𝒉 ≪ 𝑹𝟏 ≅ 𝑹𝟐 ≅ 𝑹 = 𝟎. 𝟐𝟖𝟐𝒎, con 𝒉 =
𝟏𝒎𝒎.
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++
+
++
+
+
+
––
–
–
–
–
–
–
–r
𝑹𝟏
𝑹𝟐
𝑹𝟑+
+
+
+
+
+
+
+
+
Esercizio 4.3
• Determinare la capacità di un condensatore piano avente armature di area 𝚺 e
distanti 𝒉.
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+ + + + + + + + + + + + + + + +
– – – – – – – – – – – – – – – – –
h
+q
–q
Esercizio 4.4
• Determinare la capacità di un condensatore cilindrico di raggio interno 𝑹𝟏 e
raggio esterno 𝑹𝟐 e lunghezza 𝒅.
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Esercizio 4.4bis
• PARTITORE CAPACITIVO
Ai capi di 3 condensatori in serie c’è una
differenza di potenziale Δ𝑽 = 𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 = 𝟏𝟎𝟎 𝐕.
La capacità equivalente del sistema
è 𝑪𝒆𝒒 = 𝟏𝟎𝟎 𝒑𝑭.
1. Calcolare i valori delle capacità 𝑪𝟏, 𝑪𝟐, 𝑪𝟑affinché rispetto a 𝑽𝑨 sia 𝐕𝟏 = 𝟓𝟎 𝑽 e
𝐕𝟐 = 𝟕𝟎 𝑽.
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𝑽𝑩
𝑽𝟐
𝑽𝟏
𝑽𝑨
𝑪𝟏
𝑪𝟐
𝑪𝟑
Esercizio 4.5
• Si consideri un condensatore piano con armature di area 𝜮 distanti 𝒉 e caricato
con carica 𝒒𝟎, contenente al suo interno una lastra dielettrica di spessore 𝒔 < 𝒉
e avente la stessa area delle armature del condensatore.
Determinare
1. La differenza di potenziale tra le armature;
2. La capacità equivalente del sistema.
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+ + + + + + +
– – – – – – – –
𝒔 𝒉
Esercizio 4.6
• Una sfera conduttrice di raggio 𝑹 avente carica 𝒒, è immersa in un dielettrico
indefinito di costante dielettrica relativa κ.
1. Determinare le espressioni
in funzione di 𝒓 dei vettori:
a) 𝑫
b) 𝑬
c) 𝑷
2. Determinare l’espressione della
carica di polarizzazione 𝒒𝑷.
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++
+
++
+
+
+r
𝑹
ෝ𝒖𝒓
ෝ𝒖𝒏𝑬
ෝ𝒖𝒏
κ
Esercizio 4.7
• Si supponga di cominciare ad inserire di un tratto 𝒙 una lastra dielettrica con
𝜿 = 𝟒 di spessore 𝒉 = 𝟏 𝒄𝒎 che occupi tutto lo spazio tra le armature
quadrate di lato 𝒍 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎 di un condensatore piano, mantenute a Δ𝑽 =
𝟓𝟎𝟎 𝑽 costante da un generatore.
Determinare:
1. La forza 𝑭 con cui la lastra è
risucchiata all’interno
del condensatore.
2. Il lavoro complessivo 𝑾
compiuto dalla forza.
3. L’energia erogata da
un generatore durante tale processo.
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+ + + + +
– – – – –
𝒉
Esercizio 4.8
• Tra le armature di area 𝚺 = 𝟏𝟏𝟓 𝐜𝐦𝟐 di un condensatore piano, distanti
𝒉 = 𝟏. 𝟐𝟒 𝒄𝒎, viene inserito un dielettrico di spessore 𝒔 = 𝟎. 𝟕𝟖 𝒄𝒎 e costante
dielettrica relativa κ = 𝟐. 𝟔𝟏. Prima dell’inserimento della lastra dielettrica, il
condensatore è stato caricato a 𝚫𝑽𝟎 = 𝟖. 𝟖𝟓 𝑽 e tenuto isolato.
1. Qual è la d.d.p. dopo l’inserimento del dielettrico?
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Esercizio 4.9
• Si consideri una sfera metallica di raggio 𝑹𝟏 = 𝟒 𝒄𝒎, con una carica
𝒒 = 𝟏 𝒏𝑪, contenuta entro un guscio sferico metallico isolato, di raggio interno
𝐑𝟐 = 𝟔 𝐜𝐦 e raggio esterno 𝑹𝟑 = 𝟖 𝒄𝒎, con una carica totale 𝐐.
Il campo elettrico misurato in un punto 𝐏 a distanza 𝒍 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 dal centro del
sistema vale 𝐄 𝐥 = 𝟏𝟖𝟎𝟎 𝐕/𝐦.
Determinare:
1. L’espressione del campo elettrico in tutti i punti dello spazio;
2. Le cariche 𝑸𝟐 e 𝐐𝟑 sulle due superfici del guscio sferico, e la carica
totale 𝐐 del guscio;
3. Il potenziale della sfera interna.
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Esercizio 4.10
• Si consideri una sfera conduttrice di raggio 𝑹𝟏 = 𝟔 𝒄𝒎 posta all'interno di un
guscio sferico conduttore di raggio interno 𝑹𝟐 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 e raggio esterno
𝑹𝟐 = 𝟏𝟐 𝒄𝒎. Il guscio viene portato ad un potenziale di 𝟏𝟓𝟎𝟎 𝑽 e poi isolato.
1. Determinare la carica sulla superficie interna e su quella esterna del
guscio sferico e sulla sfera.
• Si carica a questo punto la sfera di raggio 𝑹𝟏 con una carica 𝑸 = 𝟐𝟎 𝒏𝑪.
Determinare:
2. La carica sulla superficie interna e su quella esterna della sfera cava;
3. La d.d.p. tra le due sfere.
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Esercizio 4.11
• Si consideri una carica puntiforme 𝑸 = 𝟏 𝒏𝑪 circondata da un guscio sferico
conduttore carico con carica 𝑸′ = 𝟐 𝒏𝑪 di raggio interno 𝑹𝟏 = 𝟗 𝒄𝒎 e raggio
esterno 𝑹𝟐 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎.
• Determinare:
1. Le cariche affacciate sulle superfici del guscio;
2. L’espressione del campo elettrico in tutte le regioni dello spazio;
3. Il potenziale elettrostatico a distanza 𝑹𝑨 = 𝟔 𝒄𝒎 e 𝑹𝑩 = 𝟏𝟖 𝒄𝒎 dal
centro del sistema.
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Esercizio 4.12
• Una sfera conduttrice di raggio 𝑹𝟏 = 𝟏𝟐 𝒄𝒎, carica con una carica 𝑸𝟏, è
circondata da un guscio sferico conduttore, inizialmente scarico, concentrico con
la sfera, di raggio interno 𝑹𝟐 = 𝟏𝟖 𝒄𝒎 e raggio esterno 𝑹𝟑 = 𝟑𝟎 𝒄𝒎. Il
potenziale elettrostatico della sfera è pari a 𝟓𝟓𝟎 𝑽.
Determinare:
1. L’espressione del campo elettrico in tutti i punti dello spazio;
2. Il valore della carica 𝑸𝟏.
• Al guscio sferico viene fornita una carica 𝑸′ = 𝟐𝟎 𝒏𝑪.
3. Determinare le cariche affacciate sulle tre superfici conduttrici.
• La sfera e il guscio vengono collegati con un sottile filo conduttore.
4. Ad equilibrio elettrostatico raggiunto determinare il potenziale del guscio
sferico.
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Esercizio 4.13
• Un guscio sferico conduttore carico, di raggio interno 𝑹𝟐 = 𝟒𝟎 𝒄𝒎 e raggio
esterno pari 𝑹𝟑 = 𝟓𝟎 𝒄𝒎, racchiude al suo interno una sfera scarica di raggio
𝑹𝟏 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎. Il campo elettrostatico nel punto 𝑷 distante 𝑹𝑷 = 𝟔𝟎 𝒄𝒎 dal
centro del sistema vale 𝑬𝑷 = 𝟏𝟎𝟒 𝑽/𝒎.
1. Determinare la carica 𝑸 posseduta dal guscio sferico.
• Successivamente si carica la sfera interna con una carica 𝑸𝟏 e il campo misurato
in 𝑷 vale 𝑬𝑷′ = 𝟓 × 𝟏𝟎𝟑 𝑽/𝒎.
Determinare:
2. La carica 𝑸′ distribuita sulla superficie esterna della sfera cava dopo
l’introduzione della carica 𝑸𝟏;
3. Il valore della carica 𝑸𝟏;
4. Il potenziale nel punto 𝑷𝟐 distante 𝑹𝑷𝟐 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 dal centro del sistema.
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Esercizio 4.14
• Cinque fogli metallici sferici di spessore trascurabile tutti concentrici, aventi
raggi pari a 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓 𝒄𝒎, inizialmente scarichi, sono collegati come in figura.
Una carica 𝑸 = 𝟒 𝒏𝑪 è depositata sul conduttore più interno.
Determinare:
1. Le cariche 𝒒𝟏, 𝒒𝟐, 𝒒𝟑, 𝒒𝟒, 𝒒𝟓,
presenti su ciascuna superficie;
2. Il campo elettrostatico in funzione
della distanza dal centro;
3. La d.d.p. tra il conduttore più interno
e quello più esterno;
4. L’energia elettrostatica del sistema;
5. Come variano il campo e l’energia
se il conduttore 5 è collegato a terra
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1
2
3
4
5
Esercizio 4.15
• Un sistema è costituito da una sfera isolante con 𝒌 = 𝟑, avente carica 𝑸
distribuita uniformemente nel volume e con raggio 𝑹𝟏 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎, e da un guscio
conduttore, concentrico alla sfera, di raggio interno 𝑹𝟏 e raggio esterno 𝑹𝟐 =
𝟐𝟎 𝒄𝒎, avente carica 𝑸′. Il campo elettrico sulla superficie di raggio 𝑹𝟏 vale
𝑬𝟏 = 𝟏𝟐𝟎𝟎 𝑽/𝒎, mentre vale 𝑬𝟐 = 𝟐𝟒𝟎𝟎 𝑽/𝒎 sulla superficie conduttrice di
raggio 𝑹𝟐. Determinare:
1. Le cariche 𝑸 e 𝑸′.
• La sfera isolante viene eliminata. Determinare:
2. L’espressione del campo elettrico
in tutti i punti dello spazio;
3. Il potenziale della superficie interna
del guscio.
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𝑹𝟐
𝑹𝟏
Esercizio 4.16
• Si consideri una sfera isolante di raggio 𝑹 con costante dielettrica relativa 𝒌,
avente carica 𝑸 distribuita uniformemente nel suo volume. La sfera è ricoperta
da un sottile guscio conduttore, concentrico ad essa, collegato a terra.
Determinare:
1. L’espressione del campo elettrico e del potenziale in tutti i punti dello
spazio;
2. La densità di carica superficiale indotta nel metallo;
3. La densità di carica di polarizzazione sulla superficie della sfera.
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Esercizio 4.17
• Si consideri una sfera conduttrice di raggio 𝑹𝟏 = 𝟐 𝒄𝒎 e carica 𝑸 = 𝟏𝒎𝑪,
circondata da un guscio di materiale dielettrico avente costante dielettrica
relativa 𝒌 = 𝟑, concentrico alla sfera, di raggio interno 𝑹𝟐 = 𝟒 𝒄𝒎 e raggio
esterno 𝑹𝟑 = 𝟖 𝒄𝒎.
Determinare:
• L’espressione del campo elettrico;
• L’energia elettrostatica del sistema.
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𝑹𝟏
𝑹𝟐𝑹𝟑
Esercizio 4.18
• Una d.d.p. 𝚫𝐕 = 𝟏𝟎𝟎 𝐕 è applicata al sistema di condensatori schematizzato in
figura, in cui 𝑪𝟎 = 𝟐𝟎 𝒑𝑭, 𝑪𝟏 = 𝟒 𝑪𝟎 e 𝑪𝟐 è la capacità di un condensatore
piano, le cui armature di area 𝑨 = 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 sono poste a distanza
𝒅 = 𝟖, 𝟖𝟓 𝒎𝒎.
Determinare:
1. Le cariche presenti sulle armature dei tre condensatori;
2. Le differenze di potenziale ai capi di 𝑪𝟎 e di 𝑪𝟏.
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DVC0
C1
C2
Esercizio 4.19
• Due condensatori di capacità 𝐂𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 𝐩𝐅 e 𝐂𝟐 = 𝟐𝟎𝟎 𝐩𝐅 sono caricati
rispettivamente alla d.d.p. 𝚫V𝟏 = 𝟑𝟎𝟎 𝐕 e 𝚫𝐕𝟐 = 𝟐𝟓𝟎 𝐕.
Ad un certo istante, l’armatura positiva di ciascun condensatore viene collegata
con l’armatura negativa dell’altro.
Determinare:
1. La carica presente su ciascun condensatore;
2. La d.d.p. 𝚫𝐕′ ai capi del sistema;
3. L’energia elettrostatica nella configurazione finale.
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─
+C2─
+
C1
Esercizio 4.20
• Si consideri un condensatore piano avente armature distanti 𝒅, collegato ad un
generatore di f.e.m. costante 𝜺 = 𝟏𝟎𝟎 𝑽. Fra le armature viene inserita una
lastra dielettrica di spessore 𝐝 e costante dielettrica 𝐤 = 𝟓. In assenza di
dielettrico la capacità del condensatore vale 𝐂𝟎 = 𝟏𝟎 𝐧𝐅.
Determinare:
1. La capacità del condensatore dopo l’inserimento della lastra;
2. La carica di polarizzazione del dielettrico;
3. La carica fornita dal generatore.
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Esercizio 4.21
• Si consideri un condensatore piano con armature di area 𝚺 = 𝟏𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐 distanti
𝒅 = 𝟏 𝒄𝒎. Il condensatore viene caricato ad una differenza di potenziale
𝚫𝐕𝟎 = 𝟗𝟎𝟎 𝐕 e poi isolato. Viene quindi riempito con un dielettrico di costante
dielettrica relativa 𝒌 di spessore pari a 𝒅 e volume pari alla metà del volume
del condensatore. La d.d.p. misurata fra le armature ora vale 𝚫𝐕 = 𝚫𝑽𝟎/𝟑.
Determinare
• La capacità equivalente del sistema;
• Il valore della costante dielettrica relativa;
• Il modulo del campo elettrico 𝑬 e del vettore 𝑫;
• La densità di carica libera 𝝈 nel vuoto e nel dielettrico.
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Esercizio 4.22
• Si consideri un condensatore di capacità 𝑪𝟎 = 𝟑𝟎 𝒑𝑭, carico con carica 𝑸𝟎, è
collegato ad un generatore di f.e.m. costante 𝚫𝐕 = 𝟓𝟎𝟎 𝐕. Se lo spazio fra le
armature viene riempito con un dielettrico, la carica del condensatore varia di
𝚫𝐐 = 𝟏𝟓𝟎 𝐧𝐂.
Determinare:
1. La costante dielettrica relativa;
2. Il lavoro compiuto dal generatore per variare la carica sulle armature.
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Esercizio 4.23
• Si consideri un condensatore piano, di area 𝚺 = 𝟏𝟎 𝒅𝒎𝟐, con armature distanti
𝒉 = 𝟏 𝒄𝒎, tra le quali viene inserita parallelamente, ad una distanza 𝒅 =
𝟔𝒎𝒎 dall’armatura superiore, una lastra conduttrice di spessore 𝒔 = 𝟏𝒎𝒎
ed area uguale a quella delle armature. Il condensatore viene collegato ad un
generatore di d.d.p. con 𝚫𝐕 = 𝟖𝟎𝟎 𝐕 e poi isolato. Determinare:
1. La carica sulle armature del condensatore.
• La regione compresa tra la lastra conduttrice e l’armatura superiore viene
quindi completamente riempita con un dielettrico di costante dielettrica 𝒌 = 𝟒.
Determinare:
2. La capacità del sistema;
3. Il campo elettrico nelle tre regioni.
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shd
Esercizio 4.24
• Tre piastre conduttrici di area 𝑨 = 𝟏𝒎𝟐 sono disposte, come in figura, paralle-
lamente l’una all’altra. Le piastre esterne sono collegate mediante un filo. La
piastra interna è isolata e possiede una carica distribuita sulle due superfici con
densità superficiale 𝝈 = 𝟏𝟎−𝟔𝑪/𝒎𝟐. Determinare:
1. Le densità superficiali 𝝈𝟏 e 𝝈𝟐 sulle due facce;
2. Il campo elettrico nelle due regioni.
• Le due regioni vengono riempite con due dielettrici omogenei (𝒌𝟏 = 𝟐, 𝒌𝟐 = 𝟑).
3. Determinare i campi 𝐄 e 𝐃 nelle due regioni.
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h1=8cm
h2=4cm
Esercizio 4.25
• Un condensatore piano, aventi armature quadrate, di lato 𝒍 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 e
distanti 𝒉 = 𝟏 𝒄𝒎 è collegato ad un generatore di f.e.m. con 𝚫𝐕 = 𝟒𝟎𝟎 𝐕 e
poi isolato. Tra le armature viene dunque inserita una lastra di materiale
dielettrico di spessore 𝒅 = 𝟔𝒎𝒎, area 𝚺 = 𝒍𝟐 e costante dielettrica 𝒌 = 𝟑.
Determinare:
1. La capacità del sistema;
2. Il campo elettrico nel vuoto e nel dielettrico;
3. La densità di carica di polarizzazione sulle superfici del dielettrico.
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Esercizio 4.26
• Due condensatori piani di uguali dimensioni, aventi armature di area
𝚺 = 𝟐𝟎𝟎 𝒄𝒎𝟐, distanti 𝒅 = 𝟐𝒎𝒎, sono completamente riempiti con due
dielettrici di costante dielettrica 𝒌𝟏 = 𝟐 e 𝒌𝟐 = 𝟓, rispettivamente. Essi sono
collegati in parallelo e caricati a una differenza di potenziale 𝚫𝐕𝟎 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 𝐕.
Determinare:
1. La capacità equivalente;
2. L’energia immagazzinata nel sistema;
3. Le cariche 𝑸𝟏 e 𝑸𝟐 su ciascuno dei condensatori;
4. I campi elettrici 𝑬𝟏 ed 𝑬𝟐 per ciascuno dei condensatori.
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Esercizio 4.27
• Si consideri un condensatore cilindrico con armature di raggio interno 𝑹𝟏 =
𝟓𝒎𝒎 e raggio esterno 𝑹𝟐 = 𝟏𝟎𝒎𝒎, lunghe 𝒍 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎, completamente
riempito con un materiale isolante di costante dielettrica relativa 𝒌 = 𝟑. Esso è
caricato con una carica 𝑸 = 𝟐 𝒏𝑪.
Calcolare:
1. La densità di carica e il campo elettrostatico su ciascuna armatura;
2. La d.d.p. tra le armature;
3. La carica di polarizzazione sulle superfici del dielettrico.
Elisabetta Bissaldi (Politecnico di Bari) - A.A. 2019-2020 29
Esercizio 4.28
• A due condensatori di capacità 𝑪𝟏 = 𝟓𝟎𝟎 𝒑𝑭 e 𝑪𝟐 = 𝟏 𝒏𝑭, collegati in serie, è
collegato un generatore che mantiene una d.d.p. costante 𝚫𝐕 = 𝟒𝟎𝟎 𝐕. Ad un
certo istante una lastra isolante di costante 𝒌 = 𝟒 viene inserita in 𝑪𝟏 in modo
da riempirlo completamente.
Determinare:
1. La variazione di carica 𝚫𝐐 erogata dal generatore;
2. La d.d.p. 𝚫𝐕𝟏′ ai capi del condensatore 𝑪𝟏;
3. L’energia elettrostatica fornita dal generatore.
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Esercizio 4.29
• Su una sfera conduttrice carica di raggio 𝑹𝟏 = 𝟓 𝒄𝒎 è posta una carica
𝑸 = 𝟏 𝒏𝑪. La sfera è circondata da un guscio sferico dielettrico, ad essa
concentrico, di raggio interno 𝑹𝟏 e raggio esterno 𝑹𝟐 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎. Il campo
elettrico in un punto 𝑷 distante 𝑹𝑷 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 dal centro della sfera vale
𝑬𝑷 = 𝟑𝟎𝟎 𝑽/𝒎. Determinare:
1. L’espressione del campo elettrico in tutti i punti dello spazio;
2. La costante dielettrica del guscio sferico;
3. Le densità di carica di polarizzazione sulle superfici 𝑹𝟏 ed 𝑹𝟐;
4. Il potenziale a distanza 𝒍 = 𝟑𝟎 𝒄𝒎 dal centro del sistema.
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Esercizio 4.30
• Una sfera conduttrice di raggio 𝑹𝟏 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 è circondata da uno strato di
dielettrico di raggio interno 𝑹𝟏 e raggio esterno 𝑹𝟐 = 𝟐𝟎 𝒄𝒎. La carica di
polarizzazione vale 𝒒𝑷 = 𝟐 𝒏𝑪 e il campo elettrico in un punto a distanza
𝑹𝑪 = 𝟏𝟓 𝒄𝒎 dal centro della sfera vale 𝑬𝑪 = 𝟒𝟎𝟎 𝑽/𝒎.
Determinare:
• L’espressione del campo elettrico in tutti i punti dello spazio;
• La carica libera sulla sfera conduttrice;
• La costante dielettrica 𝒌;
• La differenza di potenziale tra un punto a distanza 𝑹𝑨 = 𝟏𝟐 𝒄𝒎 e un
punto a distanza 𝑹𝑩 = 𝟏𝟖 𝒄𝒎 dal centro della sfera.
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