1915 Primi filtri elettrici per ripetitori

Tutte le applicazioni di trattamento e trasmissione

dei segnali

Un filtro è un calcolatore analogico

• componenti poco precisi, soggetti a variazioni di temperatura ed

all’invecchiamento

• tecnologia semplice

• realizzazione poco costosa

• dispositivo affidabile

Filtri analogici

Un filtro elettrico è un dispositivo progettato per

•separare

•far passare

•o sopprimere

un gruppo di segnali da diversi segnali che utilizzano lo stesso canale di

trasmissione.

Altera l’ampiezza e/o la fase di un segnale rispetto alla frequenza

(modifica le ampiezze delle varie componenti e/o le loro relazioni di

fase).

Idealmente non aggiunge nuove frequenze al segnale in ingresso nè

modifica le componenti in frequenza del segnale.

Ha un guadagno che dipende dalla frequenza del segnale.

E' difficile trovare un sistema elettronico che non impieghi un filtro.

indesiderato

Esempio

Esempi

Eliminare ciò che contamina il segnale (rumore nei sistemi di

comunicazione)

Separare componenti in frequenza rilevanti da quelle irrilevanti

Demodulare segnali

Limitare i segnali in banda prima del campionamento

Convertire i segnali campionati in continui

Migliorare la qualità di segnali audio (altoparlanti)

Sintesi del parlato

Equalizzazione

Su larga scala televisione e radio

Su scala più piccola i componenti elettronici base usati nei

telefoni, nella televisione, nella radio, nei radar e nei computer.

•Quasi tutte le apparecchiature elettroniche utilizzano dei filtri

per scopi diversi.

•Nelle radiocomunicazioni i filtri passa banda nei ricevitori

migliorano la ricezione limitando l'amplificazione ai soli

segnali desiderati. La larghezza di banda dei filtri adoperati

nei sistemi di comunicazione varia, secondo le applicazioni,

da meno di 1 Hz a molti MHz.

•Il filtro passa basso, applicato all'uscita dei raddrizzatori di

alimentazione dei circuiti elettronici, elimina le componenti

alternate della componente continua.

•L'azione selettiva dei filtri viene anche ampiamente utilizzata

per suddividere l'uscita degli amplificatori audio in più bande

rivolte a sistemi di altoparlanti differenziati in frequenza di

risposta.

Filtro ADSL: una volta inserito sulle prese dove si utilizza un telefono, tale filtro

provvederà a escludere tutte le frequenze audio superiori ai 25 KHz, eliminando

cosi' il leggero rumore di fondo dovuto al collegamento dati sulle frequenze

superiori.

Tecnicamente il filtro ADSL e' un circuito RC passivo, in cui i valori dei componenti

elettronici sono calcolati in base alle frequenze audio che occorre lasciar passare e

quelle che invece occorre filtrare.

Si monta semplicemente tra la presa telefonica e il telefono.

Filtri per armoniche

Utenze non lineari (inverter, soft starter, raddrizzatori, saldatrici,

elettronica di potenza, illuminazione non a filamento, presse,

forni, etc.) in impianti elettrici industriali e del terziario

armoniche di corrente che si riversano in rete, inquinando e

distorcendo le forme d’onda su altri carichi filtri per

armoniche sia passivi che attivi che migliorano la power-quality

complessiva della rete, effettuando anche il rifasamento alla

frequenza di rete se opportunamente dimensionati.

1) banchi LC serie con frequenza di risonanza pari all’ordine

dell’armonica di corrente che si vuole eliminare. In questo modo

il bipolo LC presenta una X molto bassa in corrispondenza

dell’armonica che si desidera eliminare la quale circolerà nel

bipolo non interessando l’intera rete.

Filtro economico, facile da collegare e mettere in funzione.

Solo per uno o due ordini armonici I filtri a banda larga

non sono molto efficaci. Possibilità di risonanza.

Necessità di dispendioso lavoro di progettazione

2) filtri attivi eliminano in modo automatico le armoniche di

corrente presenti in rete entro una vasta gamma di frequenze.

Sfruttando la tecnologia elettronica, immettono un sistema di

armoniche in grado di annullare quelle presenti in rete.

http://www.ledlamp.it/files/CompactNSX_Rilevamento_e_filtraggio

_delle_armoniche.pdf

Filtro di rete antidisturbo EMI in presa schuko - dispositivi

elettrici/elettronici 230V-16A.

Blocca i disturbi delle rete e protegge il carico e la rete.

E' obbligatorio in tutti i dispositivi che possono arrecare disturbi

alla rete elettrica o essere influenzati dai disturbi.

Viene usato comunemente in lavatrici, lavastoviglie e

alimentatori per computer.

E’ possibile dotare altri dispositivi di tale filtro installando il filtro

tra la presa a muro e l'apparato da filtrare.

Filtri passivi (resistori, capacitori ed induttori)

•problemi di costi e ingombri

•minore sensibilità rispetto ai filtri attivi

•larghezza di banda fino a 500kHz

•Guadagno minore di uno

In genere i vantaggi nell’utilizzo dei filtri attivi superano gli

svantaggi in applicazioni relative alla trasmissione di voci

e dati. Per questo sono utilizzati in quasi tutti i sistemi

elettronici sofisticati di comunicazione ed elaborazione

dei segnali.

Poiché XL=wL, valori elevati di reattanza richiedono alle basse

frequenze valori elevati di induttanza.

Ex. L=1mH f=1 MHz XL=6.28 kW

f=100 Hz XL=0.628 W

Elevato numero di spire della bobina aumento della

R, della dimensione e del costo dell’induttore

Materiali ferromagnetici con elevata m

Gli induttori sono generalmente incompatibili con la

miniaturizzazione

Filtri attivi

Filtri attivi (resistori, capacitori ed elementi attivi)

•economici (avanzamento della tecnologia dei circuiti

integrati)

•produzione di serie

•pesano poco e occupano poco spazio

•larghezza di banda finita (<30kHz)

•Guadagno anche maggiore di uno, amplificano il segnale

filtrato

•Assenza di effetto caricante: collegamento in cascata di

più celle filtranti che grazie alla loro bassa impedenza

d’uscita non risentono dell’influenza del carico.

•Effetti delle capacità parassite ridotte (a causa delle

dimensioni ridotte)

•Deriva (> sensibilità alle variazioni delle caratteristiche dei

componenti attivi a fronte di modifiche ambientali)

• Richiedono una sorgente di alimentazione

I filtri sono definiti dai loro effetti sul segnale nel dominio della

frequenza descrizioni analitiche e grafiche nel dominio

della frequenza

•Curve di guadagno vs frequenza

•Curve di fase vs frequenza

•Tools matematici nel dominio della frequenza

Risposta in frequenza Esprime la relazione algebrica tra ingresso e uscita nel dominio della

frequenza.

E’ la trasformata di Fourier della risposta all’impulso h(t)

Vi(s) Vu(s)

+

-

+

-

)()()( www jjejMjH

w

w

j

jMRisposta in ampiezza/Guadagno

Risposta in fase

+

-

+

-

)(sH Funzione di trasferimento

s=jw

Vi(jw) Vu(jw) )( wjH Risposta in frequenza

s=jw

passa-banda

w

passa-tutto

M(jw)

w wc

K

passa-basso

wc

K

w

K

M(jw)=|H (jw)|

w

K

w1 w2 w1 w2

passa-alto

K

w

elimina-banda (notch)

M(jw)

M(jw) M(jw) M(jw)

CAUSALE NON quindi è ideale filtro Il

002

1

2

1

è impulsiva risposta entecorrispond La

.altrove 0

per 1)ω(j ha ideale basso passa filtro Il

per tπt

t)sen(ωe

πjtdωe

πh(t)

H

Cω

ωtj

ω

ω

tj

C

C

C

C

C

ww

ww

h(t)

La risposta dovrebbe esistere prima dell’applicazione dell’impulso?!

L’ordine di un filtro

•è la più alta potenza della variabile s nella H(s).

•è pari al n. di capacitori e induttori indipendenti nel circuito

(un capacitore ottenuto combinando 2 o più capacitori è

ancora un capacitore/ possono esistere casi patologici).

Maggiore è l’ordine del flitro

•più è costoso perchè usa più componenti ed è più difficile da

costruire.

•più è efficace nel discriminare tra segnali a diverse frequenze

Tanto più alto è l’ordine del filtro reale, tanto più si avvicina al filtro ideale

Ordine di un filtro

Performance nel rapporto di frequenze

Ad esempio, spesso si vuole

•sapere quanta attenuazione si ha a 2wc e a 0.5 wc.

•avere le curve di risposta in ampiezza e fase che coprano un ampio

range di frequenze (difficile con scala delle f lineare)

Scala delle ampiezze in db

Poichè anche il range delle

ampiezze può essere molto

grande, la scala delle

ampiezze è usualmente

espressa in db

(20log|H(jw)|).

Scala in frequenza logaritmica

fornisce peso uguale a uguali

rapporti di frequenze.

La forma delle curve di risposta dipende dalle rete che le realizza

db/ottavafattore 2 nelle f

db/decade fattore 10 nelle f

Scala di frequenza logaritmica e scala delle ampiezze in db

Notare la simmetria

Piccofrequenza

di risonanza/centrale

frequenze

di metà potenza

1)(

2

ss

ssH

Scale lineari

Poli Ordine Pendenze (slope)

1 polo 1° ordine 6 dB/ottava 20 dB/decade

2 poli 2° ordine 12 db/ottava 40 dB/decade

4 poli 4° ordine 24 dB/ottava 80 dB/decade

8 poli 8° ordine 48 dB/ottava 160 dB/decade

Ottava

Un'ottava è l'intervallo

di frequenze in cui la

frequenza più elevata

è doppia della minore.

Decade

La decade è

l'intervallo di frequenze

in cui la frequenza più

elevata è dieci volte la

minore.

Matematica dei filtri

Filtri di ordine elevato difficili da descrivereoccorre un

modello matematico generale

•usa termini standard per descrivere le caratteristiche del filtro

•semplifica l’applicazione dei computers ai problemi di

progetto dei filtri.

H(s)=N(s)/D(s) Funzione di trasferimento

Per una rete di di ordine n (n capacitori e induttori)

I valori dei coefficienti determinano le caratteristiche del filtro.

Esempio: filtro passa banda del II ordine

Q=f(a1)

1 01

11

011

1

...

...)(

asasasa

bsbsbsbksH

nn

nn

mm

mm

n = 2, m = 1

1)(

2

ss

ssH

zeri

poli

Zeri e poli sono reali o complessi coniugati

Diagramma poli-zeri

Rete stabile poli con parte reale negativa

Poli immaginari risposta sinusoidale non smorzata

Poli reali negativi risposta esponenziale smorzata

Poli cc con parte reale negativa risposta sinusoidale

smorzata

2 k

Esempio: filtro passa banda del II ordine

pm)

Filtri attivi o a

capacità commutate

Coppia di poli cc H è il prodotto di funzioni di trasferimento del II ordine (anche del I)

Filtro composto da blocchi elementari connessi in cascata

HLP filtro del IV ordine,

cascata di H1 e H2 H1 e H2, filtri del II ordine

3 k

= H1· H2

LP=Low Pass

I parametri dipendono da

quantità osservabili

k è un fattore di scala del guadagno

w0 è un fattore di scala della frequenza

Nella risposta in ampiezza, k e w0 alterano

l’ampiezza o la scala delle frequenze ma non

la forma.

La forma dipende da Q che è determinato

da D(s) (log)

4 k k k

k’

k

k

Sovraelongazione

vicino alla f di

risonanza

Passa Basso (PA)

Segnale rumoroso

Filtri passa basso

Segnale filtrato

ripple

(variazione del

guadagno)

•curve monotone

•curve con sovraelongazione

•curve con ripple

Filtri passa basso

•La funzione di rete di un passa basso del 1° ordine

max0

max

0

0

0

220

0

7.07.02

)(

)0(

2

0

)(

Hkk

H

kHH

k

kk

H

w

ww

ww

ww

ww

ww

0

0

0

0

)(

)(

ww

ww

w

w

jkjH

sksH w0 pulsazione naturale

k guadagno (in continua)

0w

-3db

w0 =wt pulsazione di taglio/di roll-off/di cut off

R )(tv

L

)(tvR

1

/1

/1

/1

/1

/1)(

0

k

RC

RCj

RC

CjR

Cj

V

VjH

t

c

ww

ww

ww

R )(tv

C )(tvc

Ri

Cf

-

+ )(tv

i )(tvu

Rf

1 1

ingressi. gli per tutti stessa la rimane , diversecon ingressi diversi sommo Se

da dipendenon 1

1

1

1

1

1)(

0

0

0

i

f

fi

i

i

ff

t

ff

fi

f

f

f

f

ii

f

R

Rk

CRk

R

RCR

CRj

CR

CjR

CjR

RZ

ZjH

w

w

ww

ww

ww

Filtro attivo

•La funzione di rete di un passa basso del 2° ordine

k

0

)(

0

0

0

2

0222

0

20

ww

ww

ww

ww

ww

ww

Q

k

Q

kH

20

02

20

20

02

20

)(

)(

www

w

www

ww

w

jQ

kjHjs

sQ

s

ksH

w0 pulsazione naturale

k guadagno

Q fattore di merito

k =1

Per un certo campo di valori di Q (Q alto), |H| ha un massimo

nelle vicinanze di f0:

2max20max4

11/|)(|

2

11

QQfH

Qff

.|)(|, max0max QfHff

Fra i filtri che non presentano il picco, quelli con sono

quelli con decadenza più rapida e ftaglio=ft=f0 (Butterworth) . 22Q

C

L

RQ

k

LC

1

1

10

w

L

R )(tv

C )(tvC

20

02

20

2

)(

)/(1

)/(1)(

www

w

ww

ww

w

jQ

kjH

LCjL

R

LCjH

1

1)(

2

sssH

Calcolare .,,0 Qkw

Esempio 2 Un convertitore ac/dc consente di realizzare un alimentatore in continua

partendo da una rete di alimentazione in corrente alternata

= Ingresso c.a. Uscita c.c.

Il trasformatore isola galvanicamente l’uscita in continua dall’ingresso in

alternata ed adatta la tensione di rete alla tensione di uscita richiesta.

Il raddrizzatore è un componente non lineare che converte l’energia da

alternata a unidirezionale.

Il filtro assolve la funzione di far passare solo la componente continua

dello spettro prodotto dal raddrizzatore e di bloccare tutte le altre righe

dello spettro (armoniche)

La tensione (corrente) all’uscita del raddrizzatore non è

rigorosamente continua ma possiede un certo residuo (ripple)

Per far passare la sola componente continua si utilizza un

filtro passa-basso

Filtro LC ad ingresso induttivo Filtri ad ingresso capacitivo

Un gruppo di continuità è costituito da un convertitore alternata/continua (convertitore AC) che,

grazie a un raddrizzatore e a un filtro, converte la tensione alternata della rete elettrica in

continua; una o più batterie in cui viene immagazzinata l'energia fornita dal primo convertitore;

un secondo convertitore continua/alternata (convertitore CA o inverter) che prelevando energia

dal raddrizzatore o dalle batterie in caso di mancanza di rete elettrica, fornisce corrente al carico

collegato.

Il filtro passa-basso induttivo è spesso preferito negli

alimentatori per la bassa resistenza d'uscita.

D'altra parte, se peso ridotto e dimensioni compatte sono priorità

rispetto alla bassa resistenza elettrica il filtro passa-basso

capacitivo potrebbe avere più senso.

Filtro passa-basso capacitivo nella progettazione di circuiti

con componenti o gruppi sensibili al "rumore" elettrico.

Il rumore è accoppiato attraverso la capacità parassita e la

mutua induttanza e arriva alla linea in corrente continua che

alimenta il carico sensibile.

C1

C2

C3

C1<C2<C3

Effetto del filtro passa-basso sull'onda quadra.

T

Filtri passa alto

•La funzione di rete di un passa alto del 1° ordine

2

0

)(

0

0

0

22

0

ww

ww

ww

ww

ww

k

kk

H

0

0

)(

)(

ww

ww

w

j

jkjH

s

sksH

w0 = wt pulsazione di taglio

k guadagno

R )(tv

L )(tvL

1

/1

/1/1)(

0

k

RC

RCj

j

CjR

R

V

VjH

t

R

ww

w

w

ww

R )(tv

C

)(tvR

Esempio

Il circuito crossover accoppia un amplificatore audio a degli altoparlanti

di tipo woofer o tweeter. Un solo altoparlante non sarebbe in grado di

riprodurre tutta la gamma delle frequenze acustiche.

Tweeter

R1

Woofer

R2

C

L

+

- R1 R2

L C Vs

T W Un woofer è un altoparlante progettato per riprodurre accuratamente la parte

bassa dell’intervallo delle frequenze audio (<3 kHz), non gli acuti.

Un tweeter è un altoparlante progettato per riprodurre accuratamente la parte

alta dell’intervallo delle frequenze audio (3-20 kHz), non bassi e medio bassi.

Un valore tipico è R=8 W.

V1 V2 + +

- -

Canale di

amplificatore

stereo

Crossover a due vie

.P.B /

)(

P.A. 11

)(

2

2

2

222

11

111

LR

j

LR

LjR

R

V

VH

CRj

j

CRj

CRj

V

VH

s

s

www

w

w

w

ww

w w0

)(1 wH)(2 wH

w0 pulsazione di taglio/di crossover

Midrange

Passa banda

frequenze medie, tra 350Hz e 8kHz

Lo stesso principio si usa nelle TV •30Hz - 4MHz (immagini) ampl. video

•4.5MHz (audio) ampl. audio

Crossover a tre vie

Esempio

Nel circuito cross-over a due vie R1=R2=6W. Determinare

L e C se deve risultare f0=2.5kHz.

HLL

R

FCCR

mw

mw

38225002

61.10250021

20

10

Nel filtro sono utilizzate tre resistenze ceramiche (da 10 Ohm/5 W nella cella del mid-woofer superiore e da 2,2 Ohm/5 W e 5,6 Ohm/5 W in quella del tweeter), tre induttanze, di cui due inguainate in materiale plastico (da 8 mH sul mid-woofer basso, da 0,9 mH sul superiore e da 0,3 mH nella cella passa alto del tweeter), 4 condensatori: tre elettrolitici bipolarizzati (dei CYC da 56, 33 e 10 μF/100 V) mentre in serie al tweeter c'è un poliestere CYC da 5,6 μF/250 V.

http://nuke.nonsoloaudiofili.com/IndianaLineTesi560/tabid/274/Default.aspx

T

Ri Ci -

+

)(tvi

)(tvu

Rf

i

f

ii

t

ii

i

f

i

i

f

i

f

R

Rk

CR

CRj

R

Rj

CjR

R

Z

ZjH

1

11)(

0 ww

w

w

w

w

Filtro attivo

L

R )(tv

C

)(tvL

Q

k

0w

www

www

w

ww

ww

jjH

jQ

jH

sQ

s

ssH

*)(

)(

)(

2

20

02

2

20

02

2

completare

•Passa alto del 2° ordine

1)(

2

2

ss

ssH

Effetto del filtro passa-alto sull'onda quadra.

C1

C2

C3

C1<C2<C3

V0

Filtri passa banda Filtri del II ordine

•Approssimazione poco costosa dei filtri ideali

•Blocco elementare per costruire filtri più complessi di tutti i tipi

•Ordine minimo per realizzare passa e oscura banda (notch)

k guadagno

w0 pulsazione di centrobanda/centrale/di

risonanza (valore di picco)

Q fattore di qualità

w1 pulsazione di taglio inferiore/di metà potenza

w2 pulsazione di taglio superiore

2/

0

0

)(

)(

)(

21,

0

0

0

2

0222

0

0

20

02

0

20

02

0

www

ww

ww

ww

ww

ww

ww

w

www

w

ww

w

ww

w

k

k

Q

QkH

Qj

Qj

kjH

sQ

s

Qs

ksH

212

)(

1

)(

2

0

02

0

020

02

0

w

w

w

ww

w

w

w

wwww

w

ww

w

Qk

jH

jQ

k

Qj

Qj

kjH

B. e' stretta piu' tantoe' elevato piu' tanto Fissato

Banda di Ampiezza

1Q per esimmetrich econsiderar possono si

a rispetto esimmetrich sono non taglio di pulsazioni Le

:positive quelle soluzioni, 4 delle prendendo,

0

,

2

.

2

1

4

11

0

021

002,1

2102021

201,2

Q

BQ

Q

QQ

w

www

www

w

wwwwww

ww

10

0

w

w

w

wQ

Il numero di possibili caratteristiche di risposta in banda passante

è infinito, ma hanno tutte la stessa forma di base.

L

R )(tv

C

)(tvR

R

LQ

L

R

Q

k

LC

LCLRj

LRj

CLjR

RjH

00

0

2

1

1

11)(

ww

w

ww

w

ww

w

PBanda

R

C

-

+

)(tvi )(tv

u2R

R (A-1)R

C

R

AQk

AQ

RC

3

1

10w

I filtri passivi garantiscono una buona selettività a patto che il

fattore di merito sia elevato. Ad esempio nel filtro RLC serie:

sRR

LQ

ext

0w

Rs resistenza dell’avvolgimento Rext tutte le altre resistenze del circuito,

Q è effettivamente elevata se le resistenze sono piccole; Rs dipende dal numero di spire dell’ avvolgimento e dalla conducibilità del materiale usato.

Bobine a radiofrequenza (kHz — 300 GHz) L piccolo poche spire bobine con Rs piccola Q elevato, nel campo delle radiofrequenze, i filtri RLC sono molto usati

Nel campo audio L elevata molte spire bobine ingombranti e costose. In campo audio, sono molto usati i filtri attivi.

Spesso utilizzati per sopprimere il rumore di rete a 50Hz.

Filtri oscura banda/notch

Filtri di ordine elevato

Spesso realizzati come cascata di filtri del II ordine (quando n è dispari

occorre anche uno stadio del I ordine).

)(1

sV )(2

sV )(3

sV )(sVn

)(1

sVnH1(s) H2(s) Hn(s)

Cascata di n stadi del II ordine

Uscita stadio i = ingresso stadio i+1

Molto spesso il comportamento di uno stadio cambia quando viene

connesso ad un altro stadio (caricamento). Il secondo stadio ‘carica’ il

primo

)(sVi Zi(s)

+

- )()( sVsH

i

Zu(s)

Modello circuitale di uno stadio

adatto all’analisi del caricamento

)(1 sV Zi1(s) +

- 11VH

Zu1(s)

2V Zi2(s) +

- 22VH

Zu2(s)

)(3 sV

'211

21

22

223

VVHZZ

ZV

VHV

iu

i

112 ' VHV

Ciò si può eliminare rendendo infinita la Zi2 o nulla la Zu1

1

21

22

1

3

11

21

22223

HZZ

ZH

V

VH

VHZZ

ZHVHV

iu

i

iu

i

Senza il 2° stadio si avrebbe

Invece si ha

Il 2° stadio carica il 1°.

I filtri di Sallen Key hanno Zu=0, pertanto possono essere collegati in

cascata senza caricare l’uscita.

i

iHH

I filtri RLC hanno Zu0, e Zi

i

iHH

12

21 ,0

HHH

ZZ iu

se o Se (se il secondo stadio NON carica il primo)

Esempio

Sallen Key Passa Banda – Calcolo della Zu

C

+

-

)(sVi

R

R (A-1)R

C R

2R )(sIu)(sVu

0

iVu

uu

I

VZ

1 2

3

0)1(

02/1

0/1/1

22

212

21111

RA

VV

R

V

R

V

sC

VV

sC

VV

R

VV

sC

V

R

V

u

u

u

(V3=V2)

Vu= 0 Zu= 0

697 Hz

941 Hz

852 Hz

770 Hz

1

ABC

2

DEF

3

GHI

4

JKL

5

MNO

6

PRS

7

TUV

8

WXY

9

*

oper

0

#

1209 Hz 1336 Hz 1477 Hz

Esempio Individuazione di segnali generati da un telefono in multifrequenza

(devono essere individuati i 10 digit decimali da 0 a 9 e 2 bottoni * e #

usati per scopi speciali)

Banda

bassa

Banda alta

Come si individuano i numeri da chiamare?

Quando viene composto un n. di telefono viene trasmesso un insieme di

segnali alla centralina dove vengono decodificati.

1 segnale =

=1 coppia di toni

sinusoidali

1209 Hz

1336 Hz

1477 Hz

697 Hz

941 Hz

852 Hz

770 Hz

BP1 D1

BP2 D2

BP3 D3

BP4 D4

Passa

basso

Passa

alto

BP5 D5

BP6 D6

BP7 D7

BP Filtri passa-banda

D Rivelatore

A Amplificatore

Ogni filtro passa-banda fa passare un solo tono ed è seguito da un rivelatore D

che si attiva quando la sua tensione supera un determinato livello. L’uscita del

rivelatore fornisce il segnale in corrente continua necessario al sistema di

commutazione per connettere l’utente al numero chiamato.

Al sistema

di switch A

•Nessun effetto sull’ampiezza del segnale alle diverse

frequenze.

•Modifica della fase

Sono tipicamente usati per introdurre phase shifts nei

segnali, per cancellare anche parzialmente phase shifts

dovuti ad altra circuiteria o mezzi di trasmissione.

Filtri passa tutto o phase-shift

s) (ritardo, /

rad) (fase,

w

In ritardo

Le funzioni di trasferimento viste finora per i filtri del II ordine condividono lo stesso

denominatore.

Tutti i numeratori sono costituiti da termini trovati nel denominatore:

•il numeratore del passa-alto è il primo termine (s2) al denominatore,

•il numeratore del passa banda è il secondo termine (w0s/Q),

•il numeratore del passa-basso è il terzo termine (w02)

il numeratore dell’oscura banda è la somma del primo e del terzo.

•Il numeratore per la funzione di trasferimento passa tutto è un po’ diverso, nel senso

che include tutti i termini del denominatore, ma uno dei termini ha un segno negativo.

.

1

1)(

2

2

ss

sssH

Il valore assoluto del guadagno è uguale

all'unità a tutte le frequenze, ma la fase

varia con la frequenza.

20

02 ww

sQ

s

I filtri del II ordine sono caratterizzati da 4 proprietà:

• il tipo di filtro (passa-alto, passa-banda, ecc),

• il guadagno in banda passante

• la frequenza naturale

• il fattore di merito Q utile per descrivere la

forma della risposta in ampiezza. Q può essere

trovato dal denominatore della funzione di

trasferimento se il denominatore è scritto nella forma

20

02 ww

sQ

s

Per i passa e oscura banda, all’aumentare di Q, la

risposta diviene più stretta.

I filtri passa-basso e passa-alto mostrano picchi al

crescere di Q.

Simmetria della risposta in ampiezza per scala logaritmica

delle frequenze

Le curve per il passa-banda e notch sono simmetriche rispetto

a fO: il guadagno a 2fo è pari al guadagni a fO / 2;

il guadagno a 10 fO è pari al guadagno a fO/10, e così via.

Le curve per il passa-basso e passa-alto sono simmetriche l’una

rispetto all’altra. Esse sono effettivamente immagini

speculari rispetto a fO. Così, il guadagno del passa-alto a 2fo sarà

pari al guadagno del passa-basso fO/2 e così via.

Le somiglianze tra le varie curve sono molto utili per la

progettazione di filtri complessi.

Il numero di possibili curve di risposta di un filtro è

infinito.

Le differenze tra le diverse risposte per dato un tipo di filtro (ad

esempio, passa-basso) possono includere,

•frequenze caratteristiche,

•ordine del filtro,

•roll-off (la pendenza con cui inizia a variare il guadagno del

filtro, appena ci si allontana dalla banda passante; dB/dec )

•piattezza della banda passante e delle regioni fuori banda.

Distorsione d’ampiezza

Risposta in ampiezza non costante componenti in

frequenza diverse del segnale amplificate diversamente.

Distorsione di fase

Risposta in fase non lineare componenti in frequenza

diverse del segnale ritardate diversamente (modifica la

forma del segnale).

Un filtro distorce il segnale in ingresso.

tXtXtXtx bbaa www coscoscos)( 00

uscita desiderata

w0> wb >wa

Filtro passa basso con risposta in frequenza

wa < wb < wc< w0

L’uscita accettabile è )(ˆ)( txktua

tXtXtx bbaa ww coscos)(ˆ

attenuazione

ritardo

fasein risposta

ampiezzain risposta0

0

w

ww

www

C

CkM

Esempio

uscita reale )(tu

Se la risposta in fase è lineare

ww

wwww

bb

aa

Infatti, in tal caso

ww txtkXtkXtu bbaa )(cos)(cos)(

bbbaaa tkXtkXtu wwww coscos)(

L’uscita del filtro è

L’importanza di avere un filtro con una fase lineare (ritardo di gruppo

costante) e un guadagno costante risiede nel fatto che permetterà di

ottenere in uscita un segnale che risulterà semplicemente una versione

scalata e ritardata dell’ingresso. Se la fase del filtro non fosse stata

lineare, ma avesse avuto una dipendenza non lineare da f, l’uscita del

filtro sarebbe stato una versione più o meno distorta dell’ingresso.

Segnale originale

Segnale in ritardo Segnale distorto