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Filtri attivi

1

Filtri attivi • Un filtro attivo del primo ordine (passa BASSO o passa ALTO) può essere realizzato

collegando, all'ingresso di un amplificatore NON invertente con operazionale, una cella filtrante passiva (passa BASSO o passa ALTO) a resistenza e capacità

• Si sceglie l'amplificatore NON invertente (invece di quello invertente) perché presenta un'impedenza di ingresso più elevata e quindi carica meno il filtro passivo, non alterandone, fra l'altro, la frequenza di taglio.

Esempio: filtro passa basso attivo del I ordine

• K= (1+R2/R1)>=1

2 2

1 1

1

11 1

1 1

o

i

V R RsC

V R R sCRR

sC

RCs

RC

R

R

1

1

11

2

RC

10

H=

2

R

C U1

+

-

OUT

R1

R2

Vi Vo

|H|db

Dell’op.amp.

Filtri attivi

• Esempio: filtro passa basso attivo del secondo ordine.

• Vengono posti in cascata due stadi del primo ordine

• H=

R

C U1

+

-

OUT

R1

R2

R

C U1

+

-

OUT

R3

R4

Vi

Vo

2 4

2

1 3

11 1

1

o

i

V R R

V R R sCR

3

2

2

3

4

1

2

1

111

RCs

RC

R

R

R

R

Filtri attivi

• La pendenza nella banda oscura è di -40 dB/decade.

100

101

102

-25

-20

-15

-10

-5

0

|HdB|

ω

N2

0=1/RC=polo (polo doppio)

4

0

Filtri attivi

Mettendo in cascata N filtri del primo ordine con lo stesso polo si ottiene un

filtro di ordine N con pendenza piu’ ripida nella banda oscura (N*20dB/decade) che meglio si avvicina al filtro ideale, ma che nella banda passante è meno piatto e decresce fino a -3N dB.

Esempio

N=4 ; 4 poli reali coincidenti

Pendenza -80 dB/decade in banda oscura

Attenuazione a ωo(ωpolo) pari a -12 dB

100

101

102

-25

-20

-15

-10

-5

0

|HdB|

ω

5 0

-12

Filtri attivi

• Soluzione che consente di avere una pendenza alta in banda oscura e una variazione di guadagno in banda passante contenuta:

Utilizzare configurazioni circuitali che generino una funzione di trasferimento con poli complessi e coniugati.

200

220

02 2

)()()(

ss

sN

sQ

s

sNsH

Fattore di smorzamento - quantifica l’attitudine del filtro a smorzare le oscillazioni nella risposta temporale ad un segnale a gradino

1

2Q

Fattore di merito

6 Pulsazione naturale o di risonanza 0

Filtri attivi Data una funzione di trasferimento

I poli sono complessi coniugati per ξ<1 (Q>0.5).

A seconda del valore di ξ (o di Q) il

diagramma vero si scosta da quello

asintotico di valori positivi o negativi.

Per ξ=0.707 (Q=0.707) lo scostamento

in 0 e’ di -3 dB.

200

220

02 2

)()()(

ss

sN

sQ

s

sNsH

10 0

10 1

10 2 -90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-40dB/decade

ω0 ω

ξ 1

0

8

FILTRI Filtri attivi

• I poli della funzione di trasferimento si trovano risolvendo l’equazione

• Si trova:

• 0<ξ<1 (0.5<Q<∞) discriminante negativo, poli complessi e coniugati

modulo

• ξ =1 (Q=0.5) discriminante nullo, 2 poli reali coincidenti

• ξ >1 (Q<0.5) discriminante positivo, 2 poli reali distinti

• ξ <0 poli con parte reale positiva, sistema instabile

02 200

2 ss

-- 12

012 p

20012 1 -- jp

022

022

012 1 -p

9

Rappresentazione grafica nel piano di Gauss

10

• I poli complessi si trovano disposti su un cerchio di raggio ω0.

parte reale -ξ ω0 = -ω0 cos(θ)

ξ = cos(θ)

Q= 1/(2 cos(θ))

Re

Im

θ

ω0

11

Fornisce i parametri che permettono di effettuare la scelta della forma della risposta effettiva, ossia l'approssimazione della risposta (filtro BUTTERWORTH, CHEBICHEV o BESSEL) che ci è stata richiesta)

tconvf 0

conv

t

f

0 Passa alto

Passa basso

fc= fconv (conv=conversione) permette di passare

da 0 a t=taglio

R= ripple (a)


• Mettendo in cascata moduli con funzione di trasferimento con poli complessi e coniugati e scegliendo opportunamente il coefficiente di smorzamento ξ per ciascun modulo, si può, ad esmpio, ottenere una funzione di trasferimento complessiva tale che alla pulsazione ω0 il modulo si discosti dal diagramma asintotico di 3 dB.

• N.B. Mettendo in cascata funzioni di trasferimento, la f.d.t. complessiva è il prodotto delle f.d.t., che espresso in dB corrisponde alla somma delle singole f.d.t. espresse in dB.

dbdbdbHHHHHH 2121

12


• Moduli del secondo ordine con poli complessi e coniugati in cascata

H1 H2 H=H1*H2

202022

2

222

010112

11

2

)()(

2

)()(

ss

sNsH

ss

sNsH

202022

2201011

2

2121

22)()()(

ssss

NNsHsHsH

dbdbdbHHHHHH 2121

13


100

101

102

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

scostamento=-2.3226 dB xsi=0.38268

100

101

102

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

scostamento=5.3329 dB xsi=0.92388

100

101

102

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

|H1|dB |H2|dB

|H|dB= |H1|dB+ |H2|dB

ξ=0.92 0

ξ=0.38 0

14 t

-3db

Filtri attivi

• Dai grafici si vede come mettendo in cascata due f.d.t. con poli complessi e coniugati, a parità di ω0, e con ξ1=0.92 e ξ2=0.38, si ottiene una f.d.t. che alla ω0 ha uno scostamento dal diagramma asintotico di -3 dB (uguale a quella di un filtro del primo ordine), ma nella banda attenuata una pendenza di -80 dB/decade.

• Ciò è ottenuto combinando funzioni con risposte in frequenza con sovraelongazioni positive che compensano quelle negative.

• Questo metodo si può generalizzare ponendo più moduli in cascata, ottenendo pendenze sempre più ripide, con caratteristiche uguali in banda passante.

15


Configurazioni circuitali

• 1) Filtri a retroazione positiva semplice (VCVS –Sallen Key)

• 2) Filtri a retroazione negativa multipla

16

I due tipi più comuni di filtri attivi utilizzano •VCVS (Sallen e Key) (voltage-controlled voltage source) un amplificatore non invertente e rete di retroazione semplice positiva. Utilizza un amplificatore con guadagno K

•Multiple-feedback o retroazione negativa multipla un amplificatore invertente a guadagno molto elevato e rete di retroazione multipla

17

+

-

OUT

Y1

Y2

Y5

Y4

Y3+

-

OUT

Y2Y3

Y1

RARB

Y4

Y5

VCVS Multiple-feedback

• Ciascuna ammettenza Y si riferisce ad un elemento singolo, una resistenza oppure una capacità; scegliendo opportunamente tali elementi si può realizzare un sistema del 2° ordine la cui f.d.t. è espressa da una delle equazioni dei quadripoli del 2° ordine.

• Nell'ipotesi che l'amplificatore operazionale sia ideale, l'impedenza di uscita del filtro è nulla. Il carico non ha pertanto alcuna influenza sulla f.d.t. del filtro.

• È questo uno dei principali vantaggi dei filtri attivi rispetto a quelli passivi perché, nei sistemi di ordine superiore al secondo, si può progettare separatamente ciascuno stadio (chiamato anche cella) del filtro. Per poter realizzare la f.d.t. del filtro è sufficiente conoscere il valore dei parametri ω0 e Q per ciascuno stadio.

• I manuali forniscono opportune tabelle che mettono in corrispondenza questi parametri con le caratteristiche della curva di risposta del filtro complessivo.

• Spesso, dato che i valori normalizzati delle capacità dei condensatori sono in numero minore rispetto ai valori disponibili per le resistenze si sfruttano i gradi di libertà in più per scegliere valori convenienti per le capacità.

• Inoltre, per semplificare il progetto, spesso si cerca di utilizzare per i condensatori o per i resistori dei valori uguali

18

Configurazione VCVS o di Sallen e Key • La configurazione generale ha la caratteristica di utilizzare un op-amp in configurazione

non invertente

• I componenti del circuito sono in generale resistenze e condensatori rappresentati dalle loro Y (ammettenze);

• Elevata impedenza d'ingresso

• Bassa impedenza d'uscita

• Regolazione del guadagno tramite le due resistenze collegate all'ingresso invertente.

• Ideale per filtri con risposta alla Butterworth.

• Presenza di una retroazione positiva e conseguenti svantaggi di natura pratica

• Forte dipendenza del Q del circuito dal guadagno cosicché l'utilizzo della configurazione è limitato a bassi valori di Q (1<Q<10) e di guadagno (al più 10).

• Sconsigliato per filtri passa-banda.

19

+

-

OUT

Y2Y3

Y1

RARB

Y4

Y5

1 4

5 1 2 3 4 4 1 2 3( ) [ (1 ) ]

o

i

V KYY

V Y Y Y Y Y Y Y Y K Y

-

1 A

B

RK

R

Configurazione a retroazione multipla o Multiple FeedBack (MFB)

• E’ caratterizzato da due anelli di retroazione negativa;

• Il segnale entra dal morsetto – dell’operazionale (configurazione invertente).

• I componenti del circuito sono in generale resistenze e condensatori rappresentati dalle loro Y (ammettenze);

• Bassa impedenza d'uscita.

• Scarsa dipendenza del Q del circuito da guadagno cosicché e possibile realizzare valori di Q ragionevolmente elevati (comunque Q < 15).

• Va bene per tutti i tipi di risposta (Butterworth, Bessel, Chebyshev).

• Media impedenza d'ingresso.

• Richiede op-amp con elevato guadagno ossia con comportamento molto prossimo a quello ideale.

20

+

-

OUT

Y1

Y2

Y5

Y4

Y3

1 3

4 3 5 1 2 3 4( )

o

i

V YY

V Y Y Y Y V Y Y -

Y2

FILTRI Filtri attivi primo ordine

• Filtri del primo ordine (pendenza +/- 20db per decade nella banda oscura)

• Nella configurazione VCVS sono costituiti da un filtro passivo seguiti da uno stadio operazionale che funziona da buffer, rendendo la funzione di trasferimento indipendente dal carico o dagli stadi successivi.

• Nella configurazione a reazione negativa multipla si mette un solo condensatore che determina nella f.d.t. un solo polo.

21


• Passa basso (VCVS)

K=1+R2/R1 K=1

polo = o = t =1/RC polo = o = t =1/RC

1

1

o

i

V

V sCR

R

C U1

+

-

OUT

R1

R2

Vi

Vo

R

C U1

+

-

OUT

Vi Vo

2

1

11

1

o

i

V R

V R sCR

22

RCs

RC

R

R

1

1

11

2

RCs

RC1

1


• Passa basso (reazione negativa multipla)

K=-Rf / Rs

polo = o = t= 1/Rf Cf

U1

+

-

OUT

RfRs

Cf

1

1

fo

i s f f

RV

V R sC R -

Vi Vo

23

ff

ff

s

f

CRs

CR

R

R

1

1

-


• Passa alto (VCVS)

K=1+R2 /R1 K=1

polo = o = t =1/RC ; polo = o = t =1/RC ; zero0 zero0

2

1

11

o

i

V R sCR

V R sCR

+

-

OUT

R

C

+

-

OUT

RC

R

R

Vi Vi

Vo Vo

1

o

i

V sCR

V sCR

24

R2

R1

RCs

s

R

R

11

1

2

RCs

s

1


• Passa alto (Reazione negativa multipla)

• K=- Rf / Rs

• polo = o = t =1/RsC

• zero0

U1

+

-

OUT

RfRs

C

1

fo

i s

sCRV

V sCR -

Vi Vo

25

CRs

s

R

R

ss

f

1

-

Filtri passa banda

26

La risposta in frequenza di un filtro passa-banda è del tipo

Questo andamento può essere ottenuto 1. Realizzando un circuito con tale f. di t. la quale però non può essere

caratterizzata da una risposta piatta su un ampio intervallo di frequenze 2. Utilizzando un filtro passa alto e un filtro passa basso in cascata. La f. di t.

complessiva si ottiene moltiplicando la f. di t. dei due filtri.


• Passa banda a banda larga, Q<10 (VCVS)

Cascata di un filtro passa alto e uno passa basso;

la frequenza di taglio del passa alto deve essere minore di quella del passa basso (di almeno una decade per avere un guadagno non troppo variabile nella banda passante)

+

-

OUT

R1C1

+

-

OUT

C2

R2

Vi

Vo

1 1

1 1 2 21 1

o

i

V sC R

V sC R sC R

uno zero nell’origine due poli distinti

27

FILTRI • Passa banda

28

MATLAB SCRIPT w01=10; %passa alto w02=100; %passa basso for i=1:100000 w(i)=i*.01; H1(i)=j*w(i)/(j*w(i)+w01); H2(i)=w02/(j*w(i)+w02); end; H3=H1.*H2; plot(log10(w),abs(H1)); hold on; plot(log10(w),abs(H2),'r'); plot(log10(w),abs(H3),'g');grid

log

H3

H1

H2

01=10 02=100

log

H3

H1

H2

01=10 02=1000

FILTRI Filtri attivi secondo ordine

• Sfruttando le configurazioni a reazione negativa multipla e VCVS, nella rete passiva sono presenti due condensatori che generano due poli;

• nel caso di filtri passa-basso e passa-alto la pendenza nella banda oscura è di -40 db/decade. L’andamento nella banda passante dipende dai poli (reali coincidenti o distinti o complessi e coniugati.

• Dato che le configurazioni circuitali sono retroazionate, occorre verificare la stabilita’ (poli con parte reale negativa).

29


• Passa basso (reazione negativa multipla)

+

-

OUT

R1

R3

R2

C1

C2

Vi

Vo

1 2 1 2

2

1 1 2 3 2 3 1 2

1

1 1 1 1

o

i

V R R C C

V ss

C R R R R R C C

-

30


Passa basso (reazione negativa multipla).

Confrontando la f.d.t. con la formula generale di f.d.t. con due poli si ha;

K rappresenta il guadagno in continua, (frequenza zero) , che si ottiene ponendo s=0 (sostituendo ai condensatori dei circuiti aperti).

Mediante queste formule di progetto è possibile dimensionare il circuito, date le specifiche.

3

1

1) o

RA

R -

2

2 3 1 2

12) n

R R C C

1 1 2 3

1 1 1 13) 2n

nQ C R R R

K

o2

o o

31


Esempio: Filtro passa-basso del secondo ordine in configurazione reazione negativa multipla.

Specifiche: K = -10, f0=100kHz, |H(f0)|=-3dB.

Per avere scostamento di -3dB alla frequenza f0, Q=ξ=0.707.

Fisso R1 = R2 = 1kW ;

Dalla 1) per il guadagno K trovo R3 = 10kW.

Dalla 3) trovo C1 ; (ω0=2πf=628 krad/s)

Dalla 2) trovo C2 ;

3

1 3

0.707 1 1 110 2,36

628 10 1 1 10C nF-

1

1 2 3

1 1 1

n

QC

R R R

0

2 2

2 3 1

1108

n

C pFR R C

0

2

32


33

22 2

2 22

2 2

1 1 33

o n

i n

KV KR C

V s s Ks s K

CR R C

- -


Passa basso (reazione positiva semplice (VCVS))

• Funzione di trasferimento

+

-

OUT

R2R1

RR

C

C

Vi

Vo

RCR

RK

sKs

K 11

30

1

2

200

2

20

-

34


Passa basso (reazione positiva semplice VCVS)

Un possibile dimensionamento del circuito:

1) data 0, si scelgono i valori di R e C

2) si sceglie il valore di K(Q) e quindi il rapporto R2/R1; si ha infatti

e quindi

2

1

12 3 2

RK

Q R - -

2

1

2 2R

R -

35


Esempio: Filtro passa-basso del secondo ordine in configurazione reazione positiva semplice (VCVS).

Specifiche:

• 1) fo=100kHz

• 2) scostamento di -3dB per f=f0

• Per la specifica 2) deve risultare Q=ξ=0.707.

• Fisso C=1nF, ricavo R per soddisfare la 1)

• Dalla condizione 2)

• Fisso R1=10k e quindi R2=5.9k N.B. in questo caso il guadagno in continua del filtro determina la posizione dei poli e non è quindi

fissabile. Se si desidera un certo guadagno occorre mettere in cascata uno stadio di amplificazione.

3 9

1 11,59

2 628 10 10n

R Kf C -

2

1

2 2 2 1,41 0.59R

R - -

2f0C

2

1

12 3 2

RK

Q R - -

36


37


Passa alto (reazione negativa multipla)

Lo schema si ottiene da quello del passa basso, invertendo la posizione dei resistori e condensatori nella rete di retroazione.

+

-

OUTR1

C1R2

C3

C2

Vi

Vo

2

1

3

2 1

2 2 3 2 3 1 2 2 3

2 1 1 1

o

i

s C

V C

V Cs

R C C C C R R C C

-

38

s


Passa alto (reazione negativa multipla)

• Formule di progetto:

• K rappresenta il guadagno nella banda passante (frequenze maggiori della frequenza di taglio) per f --> ∞.

3221

20

1 )2

CCRR

3232

1

20

0 1122

Q )3

CCCC

C

R

39

3

1 )1C

CK -


• Passa alto (reazione positiva semplice (VCVS))

2 2

2 22

2 2

1 1 33

o

i n

V Ks Ks

V s s Ks s K

CR R C

- -

+

-

OUT

R2R1

CC

R

R

Vi Vo

200

2

2

3 -

Kss

Ks

1

2

0

1

1

R

RK

RC

40


Passa alto (reazione positiva semplice (VCVS))

Formule di progetto:

• Si usano gli stessi criteri usati per il passa basso VCVS.

Dimensionamento del circuito:

• 1) data 0, si scelgono i valori di R e C

• 2) data la posizione dei poli, si sceglie il valore di K e quindi il rapporto

R2/R1; si ha infatti

e quindi

2

1

12 3 2

RK

Q R - -

2

1

2 2R

R -

41

FILTRI Filtri attivi ordine superiore

• Si ottengono mettendo in cascata filtri del primo e secondo ordine: la funzione di trasferimento complessiva è il prodotto delle singole f.d.t. (la somma nei diagrammi di Bode in cui il modulo del guadagno è espresso in dB).

• Per ottenere nella banda passante la massima piattezza e in corrispondenza della frequenza di taglio un scostamento di 3 dB rispetto al diagramma asintotico, si usa l’approssimazione di Butterworth.

• I poli della f.d.t. complessiva devono avere un valore opportuno: devono essere disposti, nel piano di Gauss, su un cerchio di raggio

ω0 e equidistanziati di un angolo pari a 180/n dove n e’ l’ordine del

filtro.

42

Si può dimostrare che •se N è pari, il polinomio BN(s) è dato dal prodotto di N /2 polinomi di secondo grado del tipo s2+bs+s con b>0

•se N è dispari allora è presente anche il fattore s+1

Realizzazione con approssimazione di Butterworth

44

22

2

22

2

1

1

1)(

||

1

1

1)(

t

N

N

t

nNN

n

n

B

H

BH

Il polinomio BN(s)

nN

nsB

sH1

t

N

sB

sH

1

ns

1. Si consideri la funzione di trasferimento del filtro. Nel caso del filtro di Butterworth di

ordine N, con frequenza di taglio t=0, risulta

H(s) = 1/ BN( s/0)

2. Si decompone BN come prodotto p1(s) ・ p2(s) ・・・ pm(s),

dove pi(s) è del tipo s +1 oppure s2 +bs+1, con b reale positivo.

3. Si realizzano separatamente i sistemi Si che hanno 1/pi(s/0) come funzione di

trasferimento (1 ≤ i ≤ m).

4. Si costruisce il sistema S ottenuto ponendo in cascata i sistemi Si, in modo che l’uscita

di Si sia l’ingresso di Si+1

La costruzione è corretta poiché il sistema complessivo S ha come funzione di

trasferimento H( s/0) il prodotto delle funzioni di trasferimento dei sistemi Si.

45

000

1

00

1

1

....

11...

1

sB

sp

sp

sp

sp

sH

Nmm

......

1

1;

1

1

0

2

0

2

0

1

s

bs

sHs

sH

+

-

OUT

R2R1

RR

C

C

)

46

Utilizzo per il singolo blocco un filtro VCVS, passa basso del II ordine

......

1848.1

1;

1765.0

1

0

2

0

22

0

2

0

11

ssKsH

ssKsH

47

;1

13

1

3)(

12

0

2

0

200

2

20

2,1

RRK

Kss

KKss

KsH

-

-

W

W

W

-

-

k'R-K''R

k'R-K'R

FCkRR

K

K

K

K

52.11

35.121

Ottengo .1.0,10''' Fisso

152,1

235,2

848,13

765,03

122

112

11

2

1

2

1

W kRRC

6.11

0

;

1613.24137.3613.2

1

0

2

0

3

0

4

0

21

ssssKKsH

R1’

R1’’ R2’’

R2’

48

conv

t

f

ff

PA

0

tconv fff

PB

0

fc è il fattore di conversione fconv

Collegando in cascata celle del 2° ordine alla Butterworth, queste avranno diversi e opportuni coefficienti di smorzamento. Celle di filtri del 2° ordine alla Chebyschev o alla Bessel avranno diversi sia i fattori di smorzamento sia ωo.

per ogni stadio

per ogni stadio

49

Circuito di Antoniou: sostituzione induttore

In letteratura sono presenti molti modelli di filtri che basano il loro funzionamento sulla sostituzione dell’induttore nel classico circuito RLC, con una rete RC e amplificatori operazionali. Uno dei circuiti che garantisce le migliori prestazioni è il circuito di Antoniou; il quale risulta poco sensibile alle non idealità degli amplificatori operazionali.

2

5314

R

RRRCL

2R

50

I principale svantaggi dei circuiti fin qui mostrati sono sostanzialmente dovuti

all’impossibilità che essi possano essere integrati in un unico circuito integrato monolitico e alla necessità di precise costanti di tempo RC per rispettare le specifiche di progetto. Dobbiamo considerare inoltre che i componenti in commercio assumono solo alcuni valori standard e con ben determinate tolleranze.

Una soluzione a questi problemi è data dai circuiti a capacità commutata. Essi si basano sul concetto per cui una capacità a cui è collegato un interrutore può comportarsi come una resistenza se la velocità di commutazione dell’interruttore è sufficientemente alta.

Filtri a capacità commutate

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Se la frequenza fc con cui viene azionato l’interruttore è molto maggiore della frequenza

del segnale di ingresso (sul morsetto A), quindi durante il tempo di commutazione Tc posso considerare il segnale costante, è possibile scrivere:

CTCf-V(V-VC(V

-VC(VΔQ

ccBABA

BA

//1R )/I scrivere possiamo cui da )fQfI

f :necommutazio di frequenza

) :spostata carica di quantita

eqCC

c

1

2c2eq

C

CTCR

Il vantaggio principale è dovuto al fatto che la costante di tempo dipende da un

rapporto di capacità. In questo modo l’incertezza sul valore della costante di tempo è molto minore rispetto a quella ottenibile con un classico circuito RC.

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L’uso delle capacità commutate permette di fare dipendere i parametri del filtro non da valori assoluti di grandezze non omogenee fra loro (es. RC, prodotto di resistenza e capacità) ma da omogenee fra loro (es. RC, prodotto di resistenza e capacità) ma da RAPPORTI di capacità, quindi di grandezze omogenee e molto ben controllabili. L’errore sul valore assoluto di un parametro può arrivare al 30%, mentre l’errore sul rapporto di valori di capacità può anche ridursi a solo lo 0.1%. Inoltre l'eliminazione dei resistori determina una diminuzione della potenza dissipata.

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