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1 LUCIANO TRAPA febbraio 2012 FILTRI ATTIVI: CLASSIFICAZIONE E APPROCCIO SEMPLIFICATO AL PROGETTO

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Page 1: FILTRI ATTIVI: CLASSIFICAZIONE E APPROCCIO SEMPLIFICATO AL ... · SEMPLIFICATO AL PROGETTO . 2 I FILTRI ATTIVI DEL PRIMO ORDINE Un filtro attivo del primo ordine (passaBASSO o passaALTO)

1

LUCIANO TRAPA febbraio 2012

FILTRI ATTIVI:

CLASSIFICAZIONE E APPROCCIO

SEMPLIFICATO AL PROGETTO

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2

I FILTRI ATTIVI DEL PRIMO ORDINE

Un filtro attivo del primo ordine (passaBASSO o passaALTO) può essere realizzato collegando,

all'ingresso di un amplificatore NON invertente con operazionale, una cella filtrante passiva

(passaBASSO o passaALTO) a resistenza e capacità.

Nella parte sinistra della figura: il filtro passaBASSO (n alto lo schema circuitale, in basso il modulo

della risposta in frequenza.

Nella parte destra della figura: il filtro passaALTO (n alto lo schema circuitale, in basso il modulo della

risposta in frequenza.

Si sceglie l'amplificatore NON invertente (invece di quello invertente) perché presenta

un'impedenza di ingresso più elevata e quindi carica meno il filtro passivo, non alterandone, fra

l'altro, la frequenza di taglio.

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Detta R la resistenza del filtro passivo e dette R1 ed R2 i resistori della rete di reazione negativa

dell'amplificatore ad operazionale, si ha, come in un normale filtro passivo:

La frequenza di taglio si ottiene dividendo per 2π la ωt:

L'amplificazione A0 in banda passante è quella dell'amplificatore NON invertente ad

operazionale:

polo del pulsaz. tagliodi pulsazione ==ωt

CRt

⋅=

CRf

t ⋅⋅=

π2

1

passante bandain ioneamplificaz0 =A

RR

A1

2

0 1 +=

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CLASSIFICAZIONE E PROGETTO DEI FILTRI: INTRODUZIONE I filtri possono essere classificati in base ad almeno cinque criteri, che verranno elencati qui di

seguito:

1. In base alla PRESENZA, o meno, di un COMPONENTE ATTIVO

I filtri possono essere suddivisi in ATTIVI e PASSIVI. I filtri attivi contengono almeno un

componente attivo, tipicamente un amplificatore operazionale, in grado di accrescere la potenza del

segnale di ingresso e di rendere molto elevata l'impedenza di ingresso, in modo da rendere

indipendente (nel caso di filtro realizzato con più celle filtranti in cascata) la progettazione di una

cella.

2. In base al TIPO DI AZIONE FILTRANTE: passaBASSO1, passaALTO,

passaBANDA, eliminaBANDA (o a reiezione di banda o notch)

Classificare in base al TIPO DI AZIONE FILTRANTE significa classificare in base al

posizionamento, sull'asse della frequenza, della banda passante della risposta in frequenza

asintotica o linearizzata.

3. In base all'ORDINE “N” del filtro

L'ordine è il grado massimo della variabile “s” al denominatore della funzione di trasferimento

G(s )= Num (s)÷ Den (s ) ;

l'ordine N coincide2 anche col numero di poli di G(s), cioè col numero di radici del

denominatore Den(s), ossia col numero di valori di s che soddifano l'equazione Den(s)=0

Possono essere del primo ordine solo i fitri passaBASSO e passaALTO.

Invece i filtri passaBANDA ed eliminaBANDA devono essere almeno del secondo

ordine.

1 Il passaBASSO è anche chiamato LPF (Low Pass Filter)

Il passaALTO è anche chiamato HPF (High Pass Filter)

Il passaBANDA è anche chiamato BPF (Band Pass Filter)

2 All'aumentare dell'ordine N del filtro cresce (di 20 dB/decade per ogni grado di aumento di N) la

pendenza dei fianchi della curva del modulo della risposta in frequenza, determinando una migliore

discriminazione fra banda passante e banda oscura.

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4. In base alla TOPOLOGIA, ossia alla “STRUTTURA” del circuito filtrante

Le topologie fondamentali sono:

Sallen-key3 o VCVS

4

a reazione (negativa) multipla5

a variabili di stato (filtro universale)6

La topologia potrebbe essere definita come il modo in cui i condensatori e le resistenze del

circuito filtrante vengono collegati fra loro.

3 La topologia di Sallen-key o VCVS è caratterizzata dalla presenza di una linea di retroazione negativa e da una linea di retroazione positiva.

Questa topologia è particolarmente adatta alla realizzazione di filtri passaBASSO e passaALTO e anche di filtri costruiti utilizzando passaBASSO e passaALTO e cioè:

di filtri passaBANDA a banda larga, ottenibili come cascata di un LPF e di un HPF,

avente, quest'ultimo, frequenza di taglio più bassa di quella dell'LPF

di filtri eliminaBANDA, a banda oscura larga, realizzabili mediante la somma di un

LPF e di un HPF, avente, quest'ultimo, frequenza di taglio più alta di quella dell'LPF. La somma

viene implementata da un circuito sommatore ad operazionale che somma le uscite dell'LPF e

dell'HPF.

4 Voltage Controlled – Voltage Source (cioè filtri con ingresso in tensione e controllati in tensione)

5 La topologia a reazione (negativa) multipla è particolarmente adatta alle realizzazione di filtri passabanda a

banda stretta in un unico stadio del secondo ordine. E' adatta in oltre alla realizione di filtri eliminabanda , a banda oscura stretta, utilizzando un passabanda e un sommatore o un sottrattore ad operazionale.

6 La topologia a variabili di stato (filtro universale) è basata su un sommatore seguìto da due integratori che

permettono di ottenere una risposta di tipo passaBASSO, passaALTO, passaBANDA a seconda di dove

viene prelevato il segnale di uscita. Sono in commercio filtri universali integrati.

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LE DIVERSE TOPOLOGIE

Filtro passaBASSO del SECONDO ordine di Sallen- Key o VCVS

(versione SEMPLIFICATA a COMPONENTI UGUALI)

Il passaALTO si ottiene invertendo di posto le R con le C (escluse naturalmente RA ed RB)

Filtro passaBANDA a banda STRETTA, invertente, del SECONDO ordine

A REAZIONE MULTIPLA

(versione SEMPLIFICATA a CAPACITA’ UGUALI)

Se R1 = R2 = R3 = R0 e C1= C2= C e inoltre R4 = R5 = R , si ha un filtro a guadagno unitario

FILTRO ATTIVO UNIVERSALE O A VARIABILI DI STATO

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5. DISTINZIONE IN FILTRI DI BUTTERWORTH, DI CHEBICHEV, DI

BESSEL (O DI THOMPSON)7

Questa distinzione (valida solo per i filtri di ordine superiore al primo) viene effettuata in

base alla forma del DIAGRAMMA EFFETTIVO del modulo e della fase della risposta

in frequenza, forma che è legata al valore del FATTORE8 DI SMORZAMENTO “ζ”

(detto anche “ξ”). Abbiamo precisato che questa classificazione si basa sui diagrammi

effettivi e non su quelli asintotici perché sia i filtri di Butterworth, sia quelli di Chebichev,

sia quelli di Bessel hanno diverse risposte effettive, ma la stessa risposta asintotica o

linearizzata.

7 Esistono anche i filtri di Cauer o filtri ellittici.

8 Il fattore di smorzamento, indicato con le lettere greche ζ (zeta) oppure ξ(csi), è presente nell'espressione

matematica della risposta in frequenza e della funzione di trasferimento in “s”.

ζ (sempre minore o uguale a 1) quantifica l’attitudine del filtro a smorzare, cioè ad attenuare, le

oscillazioni nella risposta temporale ad un segnale a gradino.

ζ = - cos(φ), cioè ζ rappresenta anche il coseno, col segno cambiato, dell'angolo di fase della coppia di poli

complessi coniugati, che caratterizzano il denominatore della funzione di trasferimento in s, denominatore che

assume in tutti i filtri del secondo ordine, la forma di “termine trinomio”.

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USO DEI SOMMATORI O SOTTRATTORI NEI FILTRI ATTIVI

Filtro ELIMINAbanda

(a banda oscura stretta)

A REAZIONE MULTIPLA

con SOMMATORE INVERTENTE

Schema circuitale

a) Schema semplificato

b) Modulo della risposta in frequenza

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FILTRO PASSABANDA A BANDA LARGA

COME CASCATA (PRODOTTO DELLE RISPOSTE)

DI UN LPF E DI UN HPF

di SALLEN-KEY o VCVS

La frequenza di taglio dell'HPF deve essere minore di quella dell'LPF

Figura in alto: schema a blocchi della cascata dei due filtri

Figura in basso: essendo i due filtri in cascata, le risposte si moltiplicano fra loro

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FILTRO PASSABANDA A BANDA LARGA

COME CASCATA (PRODOTTO DELLE RISPOSTE)

DI UN LPF E DI UN HPF

di SALLEN-KEY o VCVS

Nella figura seguente è rappresentato il risultato del prodotto delle risposte passabasso e passaalto, che è appunto una risposta di tipo passabanda

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FILTRO elimina BANDA A BANDA LARGA COME SOMMA (SOMMA DELLE RISPOSTE)

DI UN LPF E DI UN HPF

di SALLEN-KEY o VCVS

La frequenza di taglio dell'HPF deve essere maggiore di quella dell'LPF Dall'alto verso il basso sono raffigurati:

lo schema a blocchi complessivo del filtro eliminabanda o notch

il modulo della risposta in frequenza del solo filtro passabasso

il modulo della risposta in frequenza del solo filtro passaalto

la SOMMA delle risposte dei singoli filtri componenti, somma che è la risposta del filtro

“complessivo” eliminaBANDA

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APPROCCIO AL PROGETTO DI UN FILTRO ATTIVO

DEL SECONDO ORDINE

Il progetto consiste sostanzialmente nella SCELTA DELLA TOPOLOGIA IN BASE

ALL'AZIONE FILTRANTE CHE CI VIENE RICHIESTA E IN BASE, EVENTUALMENTE, ALLA FORMA DELLA RISPOSTA EFFETTIVA

In base all'AZIONE FILTRANTE che ci viene richiesta (passaBASSO, passaALTO, passaBANDA

a banda larga o stretta, Notch), scegliamo la TOPOLOGIA, o STRUTTURA CIRCUITALE più

adeguata (Sallen-Key o VCVS, topologia a reazione multipla, topologia a variabili di stato)

Se l'azione filtrante richiesta è passaBASSO o passaALTO possiamo usare la topologia

di Sallen-Key o VCVS, nella sua forma semplificata “a componenti uguali” usando le

relazioni relative alla procedura di progetto semplificato (di pag. 14) e la tabella della

pagina seguente che ci fornisce i parametri che permettono di effettuare la scelta della

forma della risposta effettiva, ossia l'approssimazione della risposta (filtro

BUTTERWORTH, CHEBICHEV o BESSEL) che ci è stata richiesta o che riteniamo

più opportuna.

La stessa cosa possiamo fare se ci sono richieste azioni filtranti di tipo passaBANDA a

banda LARGA o eliminaBANDA a banda larga in quanto questi filtri possono essere

realizzati sfruttando il passabasso e il passaalto di Sallen-Key.

In particolare un passaBANDA a banda LARGA può essere realizzato (come nelle

figure a pag. 9 e 10 di questo capitolo) collegando in CASCATA un LPF e un HPF (con

l'HPF caratterizzato da frequenza di taglio minore di quella dell'LPF, in modo che il

PRODOTTO delle risposte sia proprio di tipo passabanda).

L'eliminabanda a banda oscura largavinvece può essere ottenuto (come nella figura a

pag. 11 di questo capitolo) sommando, con un sommatore ad operazionale, l'uscita di un

LPF e l'uscita di un HPF (con l'HPF caratterizzato da frequenza di taglio maggiore di

quella dell'LPF, in modo che la SOMMA delle risposte sia proprio di tipo eliminabanda)

Se l'azione filtrante è di tipo passabanda a banda STRETTA, possiamo utilizzare la

topologia a reazione multipla, nella sua versione semplificata a capacità uguali, che

NON richiede la scelta della forma della risposta effettiva (filtro BUTTERWORTH,

CHEBICHEV o BESSEL).

Usiamo in tal caso le relazioni (di pag. 16) per il progetto semplificato di un filtro

passabanda invertente del second'ordine a banda stretta.

La stessa cosa si fa se ci è richiesta un'azione filtrante eliminabanda a banda oscura

stretta, aggiungendo (come nella figura a pag. 8 di questo fascicolo), all'uscita del

passabanda a banda STRETTA, un sommatore ad operazionale che sottrae il segnale che

ha subìto il filtraggio passabanda dal segnale non filtrato, cioè dal segnale a banda

“intera”.

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TABELLA

PER FILTRI DEL SECONDO ORDINE PASSABASSO (E, FACENDO ATTENZIONE AL FATTORE DI CONVERSIONE, ANCHE PASSAALTO)

BUTTERWORTHBUTTERWORTHBUTTERWORTHBUTTERWORTH BESSELBESSELBESSELBESSEL CHEBICHEV CHEBICHEV CHEBICHEV CHEBICHEV CON PICCO DI RISONANZA

DI 0,5 dB

CHEBICHEV CHEBICHEV CHEBICHEV CHEBICHEV CON PICCO DI RISONANZA

DI 2 dB

Fattore di conversion

e fc

Smorzamento

ζ

Fattore di conversione

fc

Smorzamento

ζ

Fattore di conversione

fc

Smorzamento

ζ

Fattore di conversione

fc

Smorzamento

ζ

1111 0,7070,7070,7070,707 1,2741,2741,2741,274 0,8660,8660,8660,866 1,2311,2311,2311,231 0,5790,5790,5790,579 0.9070.9070.9070.907 0,433

Se il filtro è passabasso, il fattore di conversione è definito come:

Se il filtro è passaALTO, la tabella è ugualmente valida, però si deve tener conto che, in tal caso,

il fattore di conversione mantiene lo stesso valore, ma è definito in maniera reciproca e quindi va

usato in maniera diversa. Il fattore è definito per il passaALTO, come:

Per esempio quando, nota la ωt , dobbiamo ricavare la ω0 , allora:

se il filtro è passabasso dobbiamo moltiplicare ωt per il fattore fc di conversione

se il filtro è passaALTO dobbiamo dividere ωt per il fattore fc di conversione.

ffCt

t

C⋅=→= ωω

ωω

0

0

ff

C

tt

C

ωωωω =→=

0

0

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PROGETTO DI UN FILTRO ATTIVO PASSABASSO9

DEL SECONDO ORDINE

DELLA TOPOLOGIA DI SALLEN-KEY O VCVS

VERSIONE SEMPLIFICATA A COMPONENTI UGUALI)

1. Si individua nella tabella il valore del fattore di conversione

tagliodi pulsazione

naturale pulsazione econversion di fattore

econversion di fattore 0

==

==

f

f

c

t

c ωω

2. Si fissano arbitrariamente

il valore di C (per es: C = 470 pF) per il calcolo delle resistenze R

il valore di RA (per esempio RA=27KΩ oppure 47KΩ) per il calcolo di RA e di RB .

3. Si ricava il valore delle resistenze R

dalla relazione: C

RCR ⋅

=⇒⋅

ω0

11

0

9 Se il filtro richiesto è passaALTO, lo schema circuitale è lo stesso della figura, con le posizione delle R e delle C

scambiate (a eccezione di RA ed RB) e con il fattore di conversione reciproco:

naturale pulsazione

tagliodi pulsazione econversion di fattore

econversion di fattore

0

==

==

f

f

c

t

c ωω

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4. In base ai valori di smorzamentoζ forniti dalla tabella (in funzione della forma della risposta

impulsiva – Butterworth, Chebichev o BESSEL- richiesta o desiderata) SI RICAVA

L’AMPLIFICAZIONE Ao dalla relazione: ζ230−=A

4. Si determinano i valori RA ed RB delle resistenze di reazione negativa dell’amplificatore

non invertente del filtro, mediante l’espressione dell’amplificazione:

RR

AA

B+=10

5. Se l’amplificazione in banda passante che desideriamo è diversa dalla Ao determinata a

punto 4, allora si aggiunge in cascata uno stadio amplificatore con amplificazione:

A

AA

0

*=

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PROGETTO DI UN FILTRO ATTIVO

PASSABANDA A BANDA STRETTA, INVERTENTE

DEL SECONDO ORDINE

DELLA TOPOLOGIA A REAZIONE NEGATIVA MULTIPLA

(VERSIONE SEMPLIFICATA A CAPACITA’ UGUALI)

1. Si verifica la realizzabilità del filtro secondo la topologia a reazione multipla, appurando che l’amplificazione

AO e la selettivita’ Q assegnate10

soddisfino le relazioni:

2. Si fissa arbitrariamente il valore di C (per es: C=10nF)

3. Si ricava il valore della resistenza R5 dalla quale dipende la larghezza di banda del filtro:

BCR

⋅⋅=

π1

5

4. Si ricava il valore della resistenza R1 dalla quale dipende l’amplificazione in centro-banda Ao:

AR

RR

RA

0

5

1

1

5

22

0 ⋅=⇒−=

10 0

2 1

5

R

RA

⋅−=

B

fQ 0=

2 151

0

2

2 A

QQ ≥<<

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5. Si ricava il valore della resistenza R2 dalla quale dipende la frequenza centrale fo:

14 51

22

0

2

1

2

−⋅⋅⋅⋅=

RRCfR

6. Si ricavano i valori delle frequenze di taglio ftINF ed ftSUP:

2

Bff oINFt

−=

2

Bff oSUPt

+=

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PROGETTO DI UN FILTRO ATTIVO

della topologiaUNIVERSALE

• A VARIABILI DI STATO

(VERSIONE SEMPLIFICATA A COMPONENTI UGUALI)

Se R1 = R2 = R3 = R0 e C1= C2= C e inoltre R4 = R5 = R , si ha un filtro a guadagno unitario

Per la progettazione dei filtri di questa topologia ci servono due tabelle:

la tabella di pag. 13 ( Tabella per filtri del secondo ordine passabasso.....), relativa ai

filtri del secondo ordine, tabella cha abbiamo già utilizzato per il progetto dei filtri con

topologia di Sallen-Key (VCVS) e con topologia A REAZIONE MULTIPLA;

questa, tabella ci fornisce, una volta scelta la forma della risposta (Butterworth, Chebichev,

Bessel), i valori del coefficiente di smorzamento e del fattore di conversione fc

una nuova tabella, (“Tabella dei parametri del filtro universale in funzione dei

componenti del circuito”,che riportiamo nella pagina seguente), che ci fornisce le

espressioni dei parametri A0, ω0, ζ (che è lo smorzamento, detto anche ξ), Q (che è la SELETTIVITA', in funzione dei componenti R, C, RA, RB e che quindi ci permette di

dimensionare i componenti R, C, RA, RB suddetti.

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TABELLA DEI PARAMETRI DEL FILTRO UNIVERSALE (NELLA VERSIONE SEMPLIFICATA A COMPONENTI UGUALI

11)

IN FUNZIONE DEI COMPONENTI DEL CIRCUITO

USCITA del

filtro universale

amplificazione

in banda passante

A0

pulsazione naturale12

o

pulsazione del polo

ω0

smorzamento

ζ

selettività

Q = 1/2ζ

passaALTO -1

uguale per tutti

uguale per tutti

uguale per tutti

passaBANDA

PassaBASSO -1

11 R1 = R2 = R3 = R0

R4 = R5 =R

C1 = C2 = C

12 Detta anche ωn

RRR

B

BA

+

3CR⋅

1

RRR

BA

B

+⋅

2

3

RRR

B

BA

+

3

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PASSI DEL PROGETTO DEL FILTRO UNIVERSALE

1. In base alla forma di risposta effettiva richiesta (Butterworth, Chebichev, Bessel), si ricavano

dalla prima tabella (TABELLA PER FILTRI DEL SECONDO ORDINE PASSABASSO....) i

valori del coefficiente di smorzamento e del fattore di conversione fc

2. Dall'espressione del fattore fc di conversone, si calcola il valore della pulsazione naturale

A0, ω0, ζ

3. Noti i valori di A0 (che può essere diversa da -1 solo per il filtro passabanda), di ω0 e

di ζ, si entra nella seconda tabella (TABELLA DEI PARAMETRI DEL FILTRO

UNIVERSALE) dalla quale si possono ricavare i valori dei componenti R, C, RA, RB.

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APPROCCIO AL PROGETTO DI UN FILTRO ATTIVO DI

ORDINE SUPERIORE AL SECONDO

Un filtro di ordine superiore al secondo può essere realizzato come cascata di filtri del secondo

ordine (includendo un filtro del primo ordine se N è dispari).

Possiamo scegliere, per i diversi stadi del secondo ordine, la stessa topologia (Sallen-key o

VCVS, reazione negativa multipla, filtro universale a variabili di stato) e lo stesso tipo di

forma della risposta in frequenza effettiva (Butterworth, Chebichev, Bessel).

Se però, desiderando per il filtro complessivo una certa forma di risposta effettiva (per es:

Butterworth), progettiamo i singoli stadi uguali tra loro, indipendentemente uno dall'altro, senza

specifici accorgimenti, la forma risultante della risposta effettiva del filtro complessivo

potrebbe non avere più la forma prescelta (per es: Butterworth) e la frequenza di taglio

potrebbe non essere più quella del singolo stadio.

Per il mantenimento della forma prescelta bisogna usare i valori di fattore di smorzamento

e di fattore di conversione indicati nella specifica tabella riportata di seguito, e non in base

alla tabella di pag. 13.

TABELLA PER FILTRI DI ORDINE SUPERIORE AL SECONDO

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STRUTTURA DELLA TABELLA Nella tabella ogni riga è relativa a un valore dell'ordine N del filtro e ci indica il numero

identificativo del singolo stadio13, da cui discende il numero degli stadi necessari alla

realizzazione; per ogni stadio vengono forniti il valore del fattore di conversione fc e del fattore

di smorzamento ξ (altrove chiamato ζ ).

Ogni singolo stadio è del secondo ordine, a meno che, nella riga, manchi l'indicazione del

valore del fattore di smorzamento ξ nel qual caso lo stadio è del primo ordine (per i filtri del

primo ordine, infatti, fc è definito, ma non è definito ξ)

Osserviamo esplicitamente che

un filtro di ordine superiore con ordine N=PARI sarà formato solo da stadi del secondo

ordine;

(per esempio un filtro del sesto ordine viene realizzato con tre filtri del secondo ordine:

6 (ordine totale) = 2 (ordine 1° stadio) + 2 (ordine 2° stadio) +2 (ordine 3° stadio)

un filtro di ordine superiore con ordine N=DISPARI sarà formato da UNO stadio del

PRIMO ORDINE e da un certo numero di stadi del secondo ordine;

(per esempio un filtro del 5° ordine viene realizzato con un filtro del primo ordine e due

filtri del secondo ordine:

5 (ordine totale) = 1 (ordine 1° stadio) + 2 (ordine 2° stadio) +2 (ordine 3° stadio)

PROGETTO DEL FILTRO DI ORDINE SUPERIORE AL SECONDO

In base all'ordine N e alla forma della risposta effettiva che ci vengono richiesti (o che riteniamo

opportuni), individuiamo:

la riga della tabella PER FILTRI DI ORDINE SUPERIORE AL SECONDO che ci

fornisce i valori del fattore di conversione e del fattore di smorzamento la colonna che fa riferimento alla forma della risposta effettiva (Butterworth,

Chebichev, Bessel). L'intersezione fra la riga e la colonna selezionate ci fornisce, per ciascuno stadio del filtro, i

valori del fattore di conversione fc e del coefficiente di smorzamento ξ (altrove chiamato ζ ).

Riguardo alla progettazione dei singoli stadi della cascata costituente il filtro “complessivo”

(della topologia richiesta o desiderata), essi vengono progettati in base alle procedure di

progetto descritte in precedenza (pagg. 14, 16, 18) e in base alla tabella dei filtri di ordine

superiore al secondo riportata nella pagina precedente (e non in base alla tabella (di pag. 13))

che è relativa a filtri “MONOSTADIO” del SECONDO ordine di SALLEN-KEY o VCVS.

13 Nel caso di filtro di ordine N=2 (realizzabile con un unico stadio di ordine 2), il numero identificativo dell'unico

stadio è “1”

Nel caso di filtro ordine N=4 (realizzabile con due stadi di ordine 2) i numeri identificativi dei due stadi

sono: “1 2”

Nel caso di filtro ordine N=7 (realizzabile con uno stadio di ordine 1 e tre stadi di ordine 2) i numeri identificativi

dei quattro stadi sono: “1 2 3 4”

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APPENDICE 1

FILTRI: APPROSSIMAZIONI DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA EFFETTIVA

In alto: MODULO della risposta in frequenza di filtri passaBASSO del SECONDO ordine

con forme di tipo CHEBICHEV, BUTTERWORTH, BESSEL.

In basso: FASE della risposta in frequenza di filtri passaBASSO del SECONDO ordine

con forme di tipo CHEBICHEV, BUTTERWORTH, BESSEL.

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APPROSSIMAZIONE DI TIPO CHEBICHEV DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA

E' utilizzata nelle telecomunicazioni, quando è necessaria una forte separazione fra banda

passante e banda oscura (e quindi una forte pendenza di taglio, ossia un elevato roll-off),

sacrificando la massima piattezza e la costanza nel ritardo temporale.

Modulo della risposta in frequenza di un

filtro CHEBICHEV passa basso del

SECONDO ordine.

Differenti andamenti del modulo della risposta

in frequenza di Chebichev al crescere

dell’ordine N.

Al crescere di N aumenta il ripple in banda

passante.

PREGI

Forte separazione fra banda passante e banda oscura

CARATTERISTICHE

6. Smorzamento ζ < 0,707 (poli complessi coniugati con fase φ > 45°)

7. Eventuale picco nel modulo della risposta in frequenza (se ζ < 0,5 )

8. Sovraelongazione e oscillazioni14 nella risposta al gradino [che rendono questo filtro non

ottimale nel trattamento dei segnali a onda rettangolare]

14 Questo filtro è caratterizzato, rispetto a quelli che vedremo in seguito, da un valore più basso di

smorzamento, il che comporta appunto che le oscillazioni della risposta al gradino sono meno smorzate,

ossia più accentuate

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INCONVENIENTI

Eventuale distorsione, per effetto dell'eventuale picco presente nel modulo della

risposta in frequenza

Comportamento non ottimale nel trattamento dei segnali a onda

rettangolare, a causa della presenza di sovraelongazione e oscillazioni nella

risposta al gradino

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APPROSSIMAZIONE DI TIPO BUTTERWORTH

(DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA) E' la più utilizzata nei filtri attivi, sia in generale, sia nel settore dell'alta fedeltà audio, settore nel

quale è necessario che il filtro amplifichi nella stessa misura tutte le componenti di segnale (a

diversa frequenza) presenti nella banda passante.

Modulo della risposta in frequenza di un

filtro BUTTERWORTH passa basso del

SECONDO ordine.

Differenti andamenti del modulo della risposta

in frequenza di BUTTERWORTH al crescere

dell’ordine N.

Al crescere di N aumenta la zona piatta in

banda passante.

PREGI

Bassa distorsione, grazie alla massima piattezza, in banda passante, del modulo della risposta in

frequenza.

CARATTERISTICHE

Smorzamento ζ = 0,707 (poli complessi coniugati con fase φ = 45°)

Assenza di sovraelongazione e oscillazioni nella risposta al gradino

Transizione morbida fra banda passante e banda oscura (o banda attenuata)

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INCONVENIENTI

Distorsione di fase, che però è rilevata dall'orecchio umano in misura molto

minore della distorsione di ampiezza (e quindi non rappresenta un inconveniente

sostanziale nella realizzazione di filtri audio).

Risposta al gradino del filtro di Butterworth

La forma rettangolare è sostanzialmente conservata, grazie alla

piattezza in banda passante del modulo della risposta del filtro, il che

rende possibile l'utilizzazione in campo audio.

Si notano però gli effetti distorsivi dovuti ai differenti ritardi temporali

delle componenti a frequenza diversa (l'onda rettangolare ha un

contenuto armonico ricchissimo), fenomeno dovuto alla non linerità

della fase della risposta in frequenza del filtro.

Gli effetti della distorsione di fase sono però, come già accennato,

molto meno rilevanti, in campo musicale, degli effetti della distorsione

di ampiezza.

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APPROSSIMAZIONE DI TIPO BESSEL, o THOMPSON, (DELLA RISPOSTA IN FREQUENZA) E' utilizzata, oltre che nel campo audio, nel settore delle telecomunicazioni, quando sono

presenti molti filtri in cascata e i ritardi temporali introdotti sono notevoli.

Il filtro di Bessel, avendo risposta in fase massimamente lineare, e quindi tempi di ritardo costanti,

non accentua la diversità fra i tempi di ritardo delle diverse componenti di segnale.

E' inoltre utilizzata nel filtraggio dei segnali ad onda quadra, in risposta ai quali non genera

oscillazioni (la risposta al gradino, infatti, non presenta né sovraelongazione né oscillazioni)

Modulo della risposta in frequenza di un filtro

BUTTERWORTH passa basso del SECONDO

ordine.

PREGI Tempi di ritardo costanti grazie alla linearità della risposta in fase, linearità che è la massima

ottenibile.

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CARATTERISTICHE

Smorzamento ζ = 0,866 (poli complessi coniugati con fase φ = 30°)

Nessun picco nel modulo della risposta in frequenza

Assenza (come in Butterworth) di sovraelongazione e oscillazioni nella risposta al

gradino

INCONVENIENTI

Discriminazione poco netta fra banda passante e banda oscura.

Risposta al gradino del filtro di Bessel

La conservazione “sostanziale della forma rettangolare nella risposta al

gradino è garantita dalla piattezza del modulo della risposta, che

caratterizza (sia pure in una banda minore) anche il filtro di Bessel, oltre

che quello di Butterworth.

La forma d'onda rettangolare (caratterizzata da un contenuto armonico

ricchissimo) è conservata anche nel dettaglio, perché i ritardi temporali

delle componenti armoniche a frequenza diversa sono tutti uguali,

grazie alla linearità della fase della risposta in frequenza del filtro di

Bessel. Gli effetti della distorsione di fase sono però, come già

accennato, molto meno rilevanti, in campo musicale, degli effetti della

distorsione di ampiezza.

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CONSIDERAZIONI

Sono adatti all'uso musicale i filtri che hanno il modulo della risposta in frequenza piatto in un intervallo della banda passante esteso quanto più possibile, in modo che

il segnale di uscita abbia sostanzialmente la stessa forma di quello di ingresso (risultando

dato dal prodotto del segnale di ingresso per una costante). Questa caratteristica è

posseduta dal filtro di Butterworth e, in misura minore, dal filtro di Bessel (I filtri di

Chebichev presentano invece un picco -almeno- in banda passante).

I filtri adatti al campo musicale sono quindi Butterworth e Bessel.

Quest'ultimo presenta un intervallo di piattezza (del modulo della risposta) minore, però

ha il pregio di una notevole linearità della fase della risposta in frequenza.

Benché le distorsioni di fase siano, in campo audio, molto meno importanti di quelle, di

ampiezza, la linearità nella fase della risposta comporta ritardi temporali costanti per le

componenti di segnale a frequenza diversa, il che risulta molto utile nel trattamento di

segnali con un amplissimo contenuto armonico, come l'onda rettangolare, in quanto

consente di conservarne la forma anche nel dettaglio.

Uil filtro di Bessel è quindi particolarmente adatto ai segnali di ingresso di forma

rettangolare.

Non sono invece particolarmente adatti alle applicazioni audio i filtri di Chebichev

perché il modulo della loro risposta in frequenza non è piatto, ma presenta un picco in

banda passante (se di ordine 2) o addirittura un'ondulazione (se di ordine superiore a 2),

il che comporta che il segnale di uscita non conserva la forma di quello di ingresso.

I filtri di Chebichev inoltre presentano un picco e delle ondulazioni nella risposta

temporale al gradino, per cui risultano poco adatti al trattamento di segnali a onda

rettangolare. Questi filtri sono utilizzati nelle applicazioni delle telecomunicazioni nelle

quali è richiesta una forte separazione fra banda passante e banda oscura.

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APPENDICE 2

FILTRI ATTIVI:

POLI E ZERI

FUNZIONI DI TRASFERIMENTO IN “s”

PARAMETRI

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INDIVIDUAZIONE DEI POLI E DEGLI ZERI DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO IN “s” DI UN FILTRO

A PARTIRE DAI SUOI COEFFICIENTI

DI SMORZAMENTO ζ E PULSAZIONE NATURALE ω0

Se si conoscono solo i parametri di un filtro del 2° ordine e si vuole conoscere il valore dei poli (che

sono complessi coniugati), ci si può servire delle relazioni:

Fase del polo in funzione dello smorzamento ζ

da cui:

Parte reale del polo in funzione dello smorzamento ζ e della pulsazione naturale ω0

E inoltre:

da cui:

Parte immaginaria del polo in funzione dello smorzamento ζ e della pulsazione naturale ω0

ωζ 0)Re( ⋅−=polo

ωζ

0

)Re(polo−=

( ) ( )ϑζζ cospolo del fasecos −− =↔=

filtro del naturale pulsazionepolo del moduloωω n0===

[ ])Re()Im(2 2

0 polopolo −= ω

[ ] [ ] ω2

0

2 2

)Im()Re( =+ polopolo

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NOTA In certi casi, e in particolare per il filtro passaBANDA, al posto dello smorza mento ζ, conosciamo

la selettività Q = 1/(2 ζ) e invece che di pulsazione naturale ( ω0 detta anche ωn ) si parla di

frequenza centrale fo. In questa situazione, ci si può facilmente ricondurre al caso precedentemente esposto avendo

presente che:

e che si può scrivere:

ESEMPIO

Dato un filtro con:

smorzamento ζ = 0,05

pulsazione naturale ω0 = 6280 rad/s

si ha:

e inoltre:

f2ωω 0n0 ⋅== π

QQ

⋅⋅−=→−=

2

1

2

1 ζζ

[ ]srad /polo del MODULO 6280ωω n0===

[ ]sradpolo /314628005,0)Re( 0 −⋅ ==⋅−= ωζ

[ ] [ ]3146280)Re()Im(2 22 2

0−=−= polopolo ω

[ ]sradpolo /14,6272)Im( =

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INDIVIDUAZIONE DELLA FUNZIONE DI

TRASFERIMENTO IN “s” DI UN FILTRO A PARTIRE DAI SUOI COEFFICIENTI

DI SMORZAMENTO ζ E PULSAZIONE NATURALE ω0

Se si conoscono i coefficienti (smorzamento ζ e pulsazione naturale ω0) di un filtro attivo del

secondo ordine e se ne vuole scrivere la funzione di trasferimento in s, bisogna ricordare che

le f. di t. di tutti i filtri del secondo ordine sono caratterizzate tutte da una coppia di poli

complessi coniugati e che, perciò il loro denominatore è sempre il cosiddetto termine trinomio,

cioè il polinomio in s di secondo grado:

nel quale compaiono proprio lo smorzamento ζ e la pulsazione naturale ω0

Inoltre, sempre riguardo ai filtri del secondo ordine, bisogna ricordare che:

c) il filtro passaBASSO non presenta zeri e che quindi il suo numeratore è una costante

d) il filtro passaALTO è dotato di uno zero doppio nell'origine e che quindi il suo numeratore

presenta il fattore “s2 ”, moltiplicato per una costante

e) il filtro passaBANDA è dotato di uno zero semplice nell'origine e che quindi il suo

numeratore presenta il fattore “s”, moltiplicato per una costante

f) il filtro ELIMINAbanda è dotato di una coppia di zeri puramente immaginari e che quindi il

suo numeratore presenta il fattore “s2+ω02”, moltiplicato per una costante

In altri termini, se si conoscono i coefficienti (smorzamento ζ e pulsazione naturale ω0) di

un filtro attivo del secondo ordine, e se ne vuole scrivere la funzione di trasferimento in s,

bisogna tener presente la TABELLA DELLE FUNZIONI DI TRASFERIMENTO DEI

FILTRI, che riportiamo qui di seguito:

ωωζ 2

00

2

2 +⋅

+ ⋅⋅ ss

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TABELLA DELLE FUNZIONI DI TRASFERIMENTO DEI FILTRI

Notiamo che, nella tabella, le f. di t. del secondo ordine, sono fornite in tre forme diverse, ma

equivalenti: forma nella quale compare lo smorzamento ζ e nella quale, al denominatore, il termine

trinomio ha il termine in s2 diviso per ω0

2

forma nella quale compare lo smorzamento ζ e nella quale, al denominatore, il termine

trinomio ha il termine in s2 “da solo”, cioè diviso per 1 (ed è questa la forma che noi

useremo abitualmente)

forma nella quale non compare lo smorzamento ζ, ma la selettività Q= 1/(2 ζ) e nella quale,

al denominatore, il termine trinomio ha il termine in s2 “da solo”, cioè diviso per

1 (ed è

questa la forma che noi useremo abitualmente)

La 2 si ricava dalla 1 dividendo numeratore e denominatore della 1 per ω02

La 3 si ricava dalla 2 sostituendo, nella 2, il coefficiente Q al posto di 1/(2 ζ), e quindi sostituendo 1/Q al posto di 2ζ ;

inoltre la 3 si può ricavare dalla 1 dividendo numeratore e denominatore della 1 per ω02 e

sostituendo, nella 2, il

coefficiente Q al posto di 1/(2 ζ).

La tabella che in pratica useremo è la seguente:

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AZIONE FILTRANTE DEL 2° ORDINE

FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

passaBASSO

passaALTO

passaBANDA

ELIMINAbanda

ω2

ω)(

2

002

020

+⋅

+

=

⋅⋅

Ss

AsA

ωζ

ω2)(

2

002

2

0

+⋅

+

⋅=

⋅⋅ Ss

sAsA

ωζ

( )ω2

2)(

2

002

00

+⋅

+

=

⋅⋅

⋅⋅⋅

Ss

sAsA

ωζ

ωζ

( )

ω2

ω)(

2

002

2

0

2

0

+⋅

+

+=

⋅⋅ Ss

sAsA

ωζ

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ESERCIZIO

Scrivere l’espressione della funzione di trasferimento in s di un filtro del secondo

ordine a reazione multipla caratterizzato dai parametri

fo = 1 KHz (frequenza centrale)

B = 100 Hz (banda passante)

Ao = 10 (amplificazione in banda passante)

SVOLGIMENTO Dai dati assegnati possiamo ricavare:

B

fQ 0

passante banda

centrale frequenza==

10100

1000==Q

e quindi lo smorzamento ζ e la pulsazione naturale ω0 (detta anche ωn).

[Per il filtro passabanda la pulsazione naturale coincide con la pulsazione di centro banda].

Per lo smorzamento, da

ζ⋅=

2

1Q

si ha:

Q⋅=

2

05,0102

1==

⋅ζ

Per la pulsazione naturale si ha:

[ ]sradf /6280100028,6200

=== ⋅⋅πω

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Sappiamo che la f. di t. di un filtro passabanda è dotata di:

una coppia di poli complessi coniugati (il che comporta la presenza del termine

trinomio a denominatore)

uno zero semplice nell’origine (il che comporta che il numeratore contiene un fattore

“s”, moltiplicato per una costante)

e quindi si può scrivere come:

ωωζ

ωζ2

00

2

00

2

2)(

+⋅

+

⋅⋅

=

⋅⋅

⋅⋅

ss

sAsA

( )( ) 6280628005,02

10628005,02)(

22+⋅+

⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅

ss

ssA

1044,39628

6280)( 62

⋅+⋅+

⋅=

ss

ssA

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ESERCIZIO

Determinare l'espressione della funzione di trasferimento in s e il valore dei poli e

degli zeri di un filtro passabasso con topologia Sallen-Key (o VCVS) e risposta di

tipo Butterworth, caratterizzato da:

A0 = 1,59 (amplificazione di centro banda)

ft=10KHz (frequenza di taglio)

CONSIDERAZIONI E CALCOLI PRELIMINARI Trattandosi di un passaBASSO, il filtro non ha zeri, ma soltanto (come tutti gli altri filtri del

secondo ordine che conosciamo)una coppia di poli complessi coniugati, corrispondente alla

presenza del termine trinomio al denominatore della f. di t. in “s”.

Inoltre, essendo un filtro di Butterworth:

è caratterizzato da ζ=0,707

ha fattore di conversione unitario: fc=1, per cui la pulsazione naturale ω0 (detta anche ωn) coincide

con la pulsazione di taglio ωt e vale:

ESPRESSIONE DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

Ricordando la tabella delle f. di t. in “s” dei filtri del secondo ordine, possiamo scrivere

l'espressione generale della funzione di trasferimento:

Sostituendo in essa i parametri specifici del filtro in esame,otteniamo la f. di t. che ci serve:

ω2

ω)(

2

002

020

+⋅

+

=

⋅⋅

Ss

AsA

ωζ

]/[628000srad=ω

6280062800.707,02

59,162800)(

22

2

+⋅+

⋅=

⋅ sssA

1039442,88799

106271)(

62

6

⋅+⋅+

=

sssA

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DETERMINAZIONE DEI POLI

Parte reale dei due poli complessi coniugati:

Parte immaginaria dei due poli complessi coniugati:

6,4439962800707,0)Re( == ⋅−p

]/[44413)Im( sradP ≈

[ ]sradp /44400)Re( −≈

]/[62800)(0

sradnpoloModulo === ωω

[ ] 4440062800)Re()Im(222 2

0−=−= polopolo ω

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ESERCIZIO

Data la funzione di trasferimento:

determinare il valore dei poli.

PRIMO MODO L'equazione assegnata, ha un denominatore di 2° grado con discriminante negativo

e numeratore costante. Quindi presenta una coppia di poli complessi coniugati e nessuno zero. E'

quindi la f. di t. di un sistema del secondo ordine di tipo passabasso. Perciò possiamo determinare i

poli partendo dal confronto di questa equazione con quella “generale” del filtro passabasso del

secondo ordine:

Dal confronto ricaviamo il coefficiente di smorzamento e la pulsazione naturale. Da questi ultimi

parametri possiamo determinare i poli.

Diamo inizio al confronto dei termini noti dei denominatori per determinare i parametri:

Confrontiamo ora i coefficienti di s

1096,98544400

49926)( 62

⋅+⋅+=

sssA

1096,98520

6⋅=ω

]/[)(314001096,9856

0sradpoloModulo=⋅ ==ω

4440020

=⋅⋅ ωζ

44400314002 =⋅⋅ζ

ω2

ω)(

2

002

020

+⋅

+

=

⋅⋅

Ss

AsA

ωζ

19711096,985144440062

−⋅⋅⋅∆ ≈−=

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Possiamo ora calcolare i poli:

707,0314002

44400==

⋅ζ

ωζ 0)Re( ⋅−=polo

]/[2220031400707,0)Re( sradp −≈= ⋅−

]/][/[22206)Im( sradsradpolo =

[ ] 2220031400)Re()Im(222 2

0−=−= polopolo ω

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SECONDO MODO Notiamo prima di tutto che i poli sono complessi coniugati perché il discriminante dell'equazione

che si ottiene uguagliando a zero il denominatore, è negativo, infatti:

uguagliamo a zero il denominatore, cioè il termine trinomio: si ottiene un'equazione di secondo

grado del tipo:

(con coefficiente unitario di s2)

Sappiamo che il coefficiente di “s” di una equazione di questo tipo rappresenta la somma cambiata

di segno, delle radici dell'equazione, somma che, nel caso di radici complesse coniugate,

rappresenta il doppio della parte reale del polo.

Abbiamo quindi:

Sappiamo poi che il termine noto è il prodotto delle radici, prodotto che, nel caso di radici

complesse coniugate, coincide con il quadrato del polo.

Abbiamo quindi:

Riguardo alla parte immaginaria del polo si ha:

)Re(2s di tecoefficien polo⋅−=

2

s di tecoefficien)Re( −=polo

]/[314001096,985)(6

sradpoloModulo == ⋅

02

=++ ⋅ hsks

2220031400)Re()Im(2222

0−=−= polopolo ω

]/][/[22206)Im( sradsradpolo =

]/[222002

44400)Re( sradpolo −=−=

[ ] 10985,86(polo) Modulo62

⋅=

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Immagini non autoprodotte: Cortesia Petrini e Calderini Edagricole

Bibliografia e sitografia: Si veda il volume cartaceo