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Basilio Bona – DAUIN – Politecnico di TorinoAA 2006/07 003/1

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Rappresentazioni in 3D

Leggere Cap. 2 del libro di testoSistemi di riferimento– Caratterizzano i corpi rigidi

Vettori: rappresentano punti e/o segmenti orientati– Operazioni vettoriali: somma, prodotto scalare, prodotto vettoriale,

norma

Matrici– Prodotto di matrice per vettore– Traccia e determinante– Rango

Rotazioni e traslazioniVettori e matrici omogenee (utili anche nella grafica 3D)


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Sistemi di riferimento

Tre vettori unitari (versori) mutuamente ortogonali nello spaziosistema destrorso – regola della mano destra

Se le dita della mano destra vanno da i a j il pollice è allineato con k

ij

k


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Ogni corpo rigido è descritto da un sistema di riferimento

Tutti i punti di ogni corpo rigido sonodefiniti da coordinate (vettori) nel riferimento del corpo


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Vettori e matrici

Definizione di vettoreSomma, prodotto per scalare, prodotto scalare (interno), prodotto vettoriale (esterno – valido solo in 3D)Norma di vettoreVettore “polare” e vettore “assiale” (non c’è sul libro)Matrici quadrate, simmetriche, diagonali, antisimmetricheSomma di matriciProdotto di matrici e di matrice per vettoreDeterminante, tracciaMatrice inversa e matrice traspostaAutovalori e autovettoriForme quadraticheMatrici definite e semidefinite


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Cinematica

La cinematica permette di rappresentare posizioni, velocità e accelerazioni di punti del manipolatore, indipendentemente dalle cause (forze, momenti) che le generano)

Per descrivere la cinematica dei manipolatori e dei robot mobili occorre prima definire la catena cinematica

Catena cinematica = insieme di giunti e bracci “ideali”

Flexible ArmM = 9.5 [g], J = 0.547 [Kgmm^2],

L = 2.5 [cm]

M = 102 [g], J = 530 [Kgmm^2],L = 25 [cm]

M = 192 [g], J = 3595 [Kgmm^2],L = 47.5 [cm]


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Polso

Braccio

Robot = braccio + polso = arm + wrist

La spalla di una persona ha 7 gdl

Si dice che è ridondante

Non ideale, nel senso che ècomposta di tessuti elastici ed ha una massa; non è un corpo rigido.


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Catena cinematica (1)

Composta da– Bracci (rigidi e ideali)– Giunti (rigidi e ideali)

Definita solo a fini geometriciPossiede gradi di movimento e gradi di libertàOccorre saper fissare un riferimento per ogni parte mobile: convenzioni DH Deve essere possibile definire ogni punto in qualsiasi sistema di riferimento.


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spalla

polso

polsospalla


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Una struttura multicorpo composta da bracci rigidi ideali (privi di massa e altre proprietà “dinamiche”), collegati tra loro da …giunti ideali, che consentono il movimento relativo tra due bracci successivi

Giunto 3

Giunto 1

Giunto 2

Giunti 4, 5, 6

Braccio 1

Braccio 2

Braccio 3


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i giunti consentono un grado di movimento tra i bracci collegatii giunti possono essere:– Rotoidali consentono un moto di rotazione relativo tra i bracci – Prismatici consentono un moto di traslazione relativo tra i bracci


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I giunti rotoidali si disegnano in prospettiva come piccoli cilindri con l’asse allineato all’asse di rotazione del giunto stesso.

I giunti rotoidali si disegnano in piano come piccoli cerchi oppure come piccole “clessidre”.


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I giunti prismatici si disegnano in prospettiva come piccoli cilindri con l’asse allineato secondo l’asse di rotazione del giunto stesso.

I giunti prismatici si disegnano in piano come quadrati con un punto in centro oppure come rettangoli.


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Esempio


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Traiettoria cartesianain posizione e assetto

q6

q3q4

q5

q2

q1


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Gradi di movimento e gradi di libertà (1)

I gradi di movimento indicano la presenza di giunti prismatici o rotoidali (attivi=motorizzati o passivi)I gradi di libertà (gdl, in inglese dof=degrees of freedom) indicano il numero di parametri liberi del corpo manipolato.I gdl possono essere riferiti al manipolatore, quando indicano quello che può fare il manipolatore, oppure al compito quando indicano quello che viene richiesto da parte dell’applicazioneEsempio: moto piano


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Gradi di movimento e gradi di libertà (2)

Pinza o punta operativa

Giunto R4

Giunto R3

Giunto R2

Giunto R1

BASE

La catena cinematica ha 4 gradi di movimento = 4 giunti rotoidali,ma un oggetto sul piano ha solo 3 gradi di libertà (due posizioni + un angolo).La catena perciò è ridondante (ridondanza 4-3 = 1).

Se il compito richiedesse solamente di posizionare un oggetto, senza imporre un particolare assetto, i gdl del compito sarebbero solo 2 e la ridondanza salirebbe a 4-2=2


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Esempio di robot fornito di base con gradi di libertà addizionali

Spesso sulle specifiche dei robot si leggono frasi come “possiede 8 gradi di libertà”. Queste frasi vanno interpretate correttamente a significare che il robot possiede 8 gradi di movimento (gdm), come nell’esempio illustrato, dove a quelli del robot (5 gdm) si aggiungono i gdm del banco (3 gdm)


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Esempio di robot con base traslante

Anche in questo esempio, il robot ha 5 gdm, a cui si aggiungono quelli della base (1 gdm) e dei due banchi rotanti (2 gdm). Totale 5+1+2=8 gdm


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Equazioni della cinematicaesempio di equazioni della cinematica diretta

Spesso sono assai complicate da scrivere e ancor più da invertire (cinematica inversa)

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