preguntas de repaso y problemas del cap3.docx

7/25/2019 Preguntas de repaso y problemas del cap3.docx

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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZASARMADAS ESPE

FACULTAD DE ELECTRICA Y ELECTRONICA

INGENIERÍA ELECTRONICA E INSTRUMENACION

SISTEMAS DE CONTROL

Preguntas de Repaso Capitulo 3

NIVEL: Sexto “A”

Ing. Franklin Silva

Latacunga - cuador

REALIZADO POR:

Guevara Daniel Granda Pal!

O"!ri! Cri"#ian



ContenidoTEMA..............................................................................................................................3

O$%ETVOS...................................................................................................................... !

General:..................................................................................................................... !

E"&e'()'!":................................................................................................................!

RESUMEN...................................................................................................................... !

A$STRACT:.................................................................................................................... !

Resoluci"n de e#ercicios..................................................................................................$

Re"!lu'i!n d e*er'i'i!"+...........................................................................................%

AN,LISIS DE RESULTADOS........................................................................................&!

CONCLUSIONES..........................................................................................................&$

RECOMENDACIONES..................................................................................................&$



TEMA

Soluci"n de los pro'le(as propuestos en el cap)tulo 3 para re*or+ar losconoci(ientos ad,uiridos en clases.

O$%ETVOS

General:

Resolver los pro'le(as propuestos en el cap)tulo 3 para re*or+arlos conoci(ientos ad,uiridos en clases.

E"&e'()'!":

• Investigar acerca del espacio de estados trans*or(aciones de*unciones de trans*erencia a espacio de estados viceversa.

• Contestar las preguntas resolver los pro'le(as del cap)tulo 3aplicando lo investigado lo aprendido en clases.

• Anali+ar los resultados o'tenidos dar una explicaci"n t/cnica del(is(o para un (e#or entendi(iento acerca de los siste(as decontrol.

RESUMEN

l (/todo en el espacio de estados 0ta('i/n conocido co(o (/todo(oderno o en el do(inio del tie(po1 es un (/todo uni2cado para(odelar anali+ar disear una a(plia variedad de siste(as. 04ise

566!17n siste(a (oderno co(ple#o posee (uc8as entradas (uc8as salidas,ue se relacionan entre s) de una *or(a co(plicada. Para anali+ar un



siste(a de este tipo es esencial reducir la co(ple#idad de lasexpresiones (ate(9ticas ade(9s de recurrir a co(putadoras ,uerealicen una gran parte de los tediosos c9lculos ,ue son necesarios. len*o,ue en el espacio de estados para el an9lisis de siste(as es el (9sconveniente desde este punto de vista. 0:gata 56&61

A$STRACT:

;8e (et8od in t8e state space 0 also kno<n as (odern (et8od or in t8e ti(edo(ain 1 is a uni2ed (odel anal+e and design a <ide variet o* sste(s approac8.0 4ise 566!1A (odern co(plex sste( 8as (an inputs and (an outputs t8at are interrelated in aco(plicated <a . ;o anal+e a sste( o* t8is tpe it is essential to reduce t8eco(plexit o* t8e (at8e(atical expressions in addition to use co(puters to per*or((uc8 o* t8e tedious calculations necessar . ;8e *ocus on t8e state space *or t8eanalsis o* sste(s is (ost suita'le *ro( t8is point o* vie<. 0 :gata 56&61

MARCO TE-RICO

REPRESENTACION EN ESPACIO DE ESTADOS

Varian#e de "i"#e.a: Cual,uier variante ,ue responda a una entrada ocondiciones iniciales de un siste(a.

Varian#e" de e"#ad!: l con#unto (9s pe,ueo de variantes de unsiste(a lineal(ente independiente ;ales ,ue los valores de los(ie('ros del con#unto en el tie(po t6 #unto con *unciones deexcitaci"n deter(inan por co(pleto el valor de todas las variantes delsiste(a para todas t= t6.

E"&a'i! de e"#ad!": 7n espacio n di(ensional cuos e#es son lasvariantes de estado.

Ve'#!r de e"#ad!: 7n vector cuos ele(entos son las variantes deestado.

E'ua'i!ne" de e"#ad!: 7n con#unto de n ecuaciones di*erencialessi(ultaneas de pri(er orden con n variantes donde las n variantes a serdespe#adas son variantes de estado.



E'ua'i/n de "alida: La ecuaci"n alge'raica ,ue expresa las variantesde salida de un siste(a co(o co('inaciones lineales de las variantes deestado las entradas.

Fi0ura 1+ Representaci"n gr92ca de un espacio de estados un vectorde estado. ;o(ada de 04ise 566!1

7n siste(a est9 representado en el espacio de estados por lassiguientes ecuaciones>

´ x= Ax+Bu

y=Cx+ Du

Para t ≥ t 0 las condiciones iniciales x (t 0) donde>

x Ve'#!r de e"#ad!

´ x ?erivada del vector de estado con

respecto al tie(po y @ector de salida

u @ector de entrada o de control



A atri+ del siste(a

B atri+ de la entrada

C atri+ de la salida

D atri+ de la reali(entaci"n

l vector x se lla(a vector de estado contiene variantes lla(adasvariantes de estado. Las variantes de estado se pueden co('inaralge'raica(ente con la entada para *or(ar la ecuaci"n de salida.

Las variantes de estado ,ue pueden representar cantidades *)sicasco(o volta#e o corriente se seleccionan para ser lineal(enteindependientes. La selecci"n de variantes de estado no es Bnica a*ectala *or(a en ,ue las (atrices A C D ? se ven. 04ise 566!1

RESOLUCI-N DE E%ERCICIOS

PREGUNTAS DE REPASO

12 De d!" ra3!ne" &ara .!delar "i"#e.a" en e"&a'i! dee"#ad!"+

• Puede (odelar siste(as ,ue no son lineales.

• Se utili+a para si(ulaci"n digital

42 E5&re"e una ven#a*a del .6#!d! de la 7un'i/n de#ran"7eren'ia "!re el .6#!d! en el e"&a'i! de e"#ad!"+

rinda una visi"n cualitativa.

82 De)na variale" de e"#ad!+

l con#unto (9s pe,ueo de variantes de un siste(a lineal(enteindependiente.

92 De)na e"#ad!+

l valor de las varia'les de estado.



2 De)na ve'#!r de e"#ad!+

7n vector cuos ele(entos son las variantes de estado.

;2 De)na e"&a'i! de e"#ad!"+

7n espacio n di(ensional cuos e#es son las variantes de estado.

<2 =>u6 e" ne'e"ari! &ara re&re"en#ar un "i"#e.a en ele"&a'i! de e"#ad!"?

cuaciones de estado una ecuaci"n de salida un vector deestado inicial 0condiciones iniciales1.

@2 =C!n 'uan#a" e'ua'i!ne" de e"#ad! "eria re&re"en#ad! enel e"&a'i! de e"#ad!" un "i"#e.a de !'#av! !rden?

:c8o

2 Si la" e'ua'i!ne" de e"#ad! "!n un "i"#e.a de e'ua'i!ne"di7eren'iale" de &ri.er !rden 'uBa "!lu'i/n da la"variale" de e"#ad! =Cul e" en#!n'e" la 7un'i/n uereali3a la e'ua'i/n de "alida?

For(a co('inaciones lineales de las varia'les de estado entradapara *or(ar la salida deseada.

12 =>u6 "i0ni)'a inde&enden'ia lineal?

Se dice ,ue un con#unto de variantes es lineal(enteindependiente si no se puede escri'ir ninguna de las variantesco(o una co('inaci"n lineal de las otras.

112 =>u6 7a'#!re" inuBen en la "ele''i/n de la" variale"de e"#ad! en 'ualuier "i"#e.a?

• ?e'en ser lineal(ente independientes.

• l nB(ero de varia'les de estado de'e estar de acuerdo conel orden de la ecuaci"n di*erencial ,ue descri'e al siste(a.



• l grado de di2cultad en la o'tenci"n de las ecuaciones deestado para un con#unto dado de varia'les de estado.

142 =Cul e" la "ele''i/n '!nvenien#e de variale" dee"#ad! &ara rede" el6'#ri'a"?

Las varia'les ,ue se est9n di*erenciando en cada uno de losele(entos ,ue al(acenan energ)a.

182 Si una red el6'#ri'a #iene #re" ele.en#!" ueal.a'enan ener0(a =e" &!"ile #ener una re&re"en#a'i/nen el e"&a'i! de e"#ad!" '!n ." de #re" variale" dee"#ad!? E5&liue

Si dependiendo de la elecci"n de varia'les del circuito la t/cnicausada para escri'ir las ecuaciones del siste(a. Por e#e(plo

una de tres la+os en *or(a de pro'le(a con ele(entos deal(acena(iento de energ)a de tres podr)a producir tresecuaciones di*erenciales si(ult9neas de segundo orden ,ue luegose descri'en por seis ecuaciones di*erenciales de pri(er orden.

sta situaci"n exacta surgi" cuando escri'i(os las ecuacionesdi*erenciales para siste(as (ec9nicos despu/s procede(os aencontrar las ecuaciones de estado.

192 =>u6 "i0ni)'a la 7!r.a de la" variale" de 7a"e de la"e'ua'i!ne" de e"#ad!?

Las varia'les de estado son derivadas sucesivas.

PRO$LEMAS

12 Re&re"en#e la red el6'#ri'a ilu"#rada en la )0ura P8+1 en el

e"&a'i! de e"#ad!" d!nde v0(t ) e" la "alida+



Fi0ura 8+1

V!l#a*e" C!rrien#e" Variale" dee"#ad!

v i

v1

v2

v3

v5

i1

i2

i3

i5

v4

v6

i4



v5 (t )= L

d i L(t )dt

, i2 (t )=C

1

d vC 1(t )dt

, i5 (t )=C

2

d vC 2( t )dt

Las de(9s varia'les se expresan co(o co('inaci"n lineal de lasvaria'les de estado>

i1=v

1

1=v

1=vi−v

4

i2=v

2=i

4

2+v

4

2−v

6

2

i3=i

4+i

5=i

4+ v

5−v

6=i4

2− v 6

2+ v4

2

i5=

v5−v

6

1=v

5−v

6=

−i4

2+

v4

2−

v6

2

v1=v i−v

4

v2=

i4

2 +

v4

2 −

v6

2

v3=v

5−v

6=

v4

2−

v6

2−

i4

2

v5=

v4+v

6−i

4

2

?erivada de las varia'les de estado>

i4=

v5

L=

−2

3i

4−

1

3v

4+

1

3v

6+

2

3v i



v4=

i2

C 1=

−1

3i

4−

2

3v

4−

2

3v

6+

1

3v i

v6=

i5

C 2=

−1

3i

4−

2

3v

4−

1

3v

6+

1

3v i

Representaci"n en espacio de estados>

[

i4

v4

v6

]=

[

−2

3

−1

3

1

3

−1

3

−2

3

−2

3

−1

3−2

3−1

3

] [i

4

v 4

v 6

]+

[

2

3

1

3

1

3

]v i

y=[ 0 0 1 ] [i

4

v4

v6

]9) Encuentre la representación en el espacio de estados en forma de las variables de fase

para cada uno de los sistemas que se muestran.

R0s1 C0s1

C s

R s

= 100

s4+20 S

3+10 s2+7 s +100

C s ( s4

+20 S3

+10 s2

+7 s+ 100 )=100 R s

c…. (t )+20c

…(t )+10c..( t )+7c

.(t )+100 c(t )=16r (t )



x1

. (t )= x2(t )

x2

. (t )= x3(t )

x3

.

(t )= x4(t )

x4

. (t )=16r (t )−100 x1(t )−2 x2

(t )−10 x3(t )−20 x4

(t )

[ x1

. (t )

x2

. (t )

x3

. (t )]=[0 1 0

0 0 1

0 0 0

0

0

1] [

x 1(t ) x

2(t )

x3(t )]+[

0

0

0

]r (t )

[ x4

. (t )] [−100−2−10−20 ] [ x4(t )] [16]

c (t )= [1 0 01 ][ x

1(t )

x2(t )

x3(t )]

x4 (t )

R0s1 C0s1

C s

R s

= 30

s5+8 s

4+ 9 s3 +6 s

2+ s+30

C s ( s5+ 8 s

4+9 s3+6 s

2+s +30)=30 Rs

c….. (t )+8 c

….(t )+9c…(t )+6c

..( t )+c .(t )+30c(t )=30 r (t )

x1

. (t )= x2(t )



x2

. (t )= x3(t )

x3

. (t )= x4(t )

x4

.

(t )= x5( t )

x5

. (t )=30 r (t )−30 x1 (t )− x2

( t )−6 x3(t )−9 x4

(t )− x5( t )

x1

. ( t ) 6 & 6 6 6 x 1( t ) 6

x2

. ( t ) 6 6 & 6 6 x 2( t ) 6

x3

. ( t ) E 6 6 6 & 6 x3( t ) E 6 r (t )

x4

. (t ) 6 6 6 6 & x 4(t ) 6

x5

. ( t ) -36 -& -% - -& x5( t ) 36

c (t ) E & 6 6 6 6 x1( t )

x2( t )

x3( t )

x4(t )

x5( t )

12 Re&i#a l!" &r!le.a" an#eri!re" u#ili3and! Ma#la

R ( s )→

100

s4+20 s

3+10 s2+7 s +100

C (s )→

R ( s )→

30

s5+8 s

4+ 9 s3+6 s

2+ s+30

C ( s )→



112 Para 'ada "i"#e.a ue "e ilu"#ra en la )0ura e"'ria la"e'ua'i!ne" de e"#ad! B la e'ua'i/n de "alida &ara lare&re"en#a'i/n de la" variale" de 7a"e+

R ( s )→

5 s+10

s4+2 s

3+ s2+5 s +10

C ( s )→

C (s)( s4+2 s3+s2+5 s+10)

C 1 IV +2 C 1

° ° °+C 1° ° +5C 1

° +10 C 1

C IV =−10 C 1−5 C 1

°−C 1° °−2C 1

° ° °



x1=C

1

x2=C 1°

x3=C 1° °

x4=C 1° ° °

x1

°= x2

x2

°= x3

x3°= x4

x4

°=−10 C 1−5C 1°−C 1

° °−2 C 1° ° °

[ x

1

°

x2

°

x3

°

x4

° ]=[

0 1

0 0

0 0

1 0

0 0

−10 −5

0 1

−1 −2]∗[ x1

x2

x3

x4 ]+[

0

0

0

1]r



C (s)(5 s+10)

5C 1°+10C 1

y=[1 0 5 0 0 0]∗[ x

1

x2

x3

x4

]142 Re&i#a l!" &r!le.a" an#eri!re" u#ili3and! Ma#la

R ( s )→

5 s+10

s4+2 s

3+ s2+5 s +10

C ( s )→

R (s )→

s4+2 s

3+12 s2+7 s+3

s5+9 s

4+10 s3+8 s

2 C ( s)

→



192 En'uen#re la 7un'i/n de #ran"7eren'ia G ( s )=Y ( s) R ( s) &ara

'ada un! de l!" "i0uien#e" "i"#e.a" re&re"en#ad!" en ele"&a'i! de e"#ad!"+

SOLUCION

G( s)=C ( sI − A )−1 B

A=

[ 0 1 0

0 0 1

−3 −2 −5

];B=

[ 0

0

10

];C =[ 1 0 0 ]



(sI − A )−1

= 1

s 3+ 5 s2+2 s+3

[

s2+5 s+ 2 s s +5 1

−3 s ( s+5) s

−3

−2

s−3

s

2

]

G( s)= 10

s3+ 5 s

2+2 s+3

+

G( s)=C ( sI − A )−1 B

A=[ 2 3 −8

0 5 3

−3 −5 −5]; B=[

1

4

6];C = [1 3 6 ]

s2−s−5

(sI − A )−1= 1

s 3−3 s2−27 s+157 [

s+ 5 −8 s+ 49 −9s

2+2 s−32 ¿ ¿ 3 s−6

−3 s+15 −5 s+1 s2−7 s+ 10]

G(s)= 49 s

2−349 s+452

s3−3 s

2−27 s+157

'+

G( s)=C ( sI − A )−1 B

A=[ 3 −5 2

1 −8 7

−3 −6 2]; B=[

5

−3

2 ]; C =[ 1 −4 3 ]



s2+ 6 s−26

(sI − A )−1= 1

s 3+ 3 s2+19 s−133 [

−(5 s+ 2) 2 s−19 s−23

s2−5 s+12 ¿ ¿7 s−19

−(3 s+ 30) −(6 s−33) s2+ 5 s−19

]

G(s)= 23 s

2−48 s−7

s3+3 s

2+19 s−133

SOLUCION MATLA$

HLi#eral aH

AJ 1 K 1 K8 4 K

$JKK1K

CJ1 K

DK

"#a#e"&a'e""A$CD2

Jnu.den""4#7A$CD2K

G#7nu.den2

HLi#eral H

AJ4 4K 8K8 ; 4K

$J1K9K;K

CJ1 9 8K

DK

"#a#e"&a'e""A$CD2

Jnu.den""4#7A$CD2K



G#7nu.den2

HLi#eral 'H

AJ8 4K1 @ <K8 ; 4K

$JK8K4K

CJ1 9 8K

DK

"#a#e"&a'e""A$CD2

Jnu.den""4#7A$CD2K

G#7nu.den2



12 U#ili'e .a#la &ara allar la 7un'i!n de

#ran"7eren'ia G ( s )=Y ( s) R ( s) &ara 'ada un! de l!"

"i0uien#e" "i"#e.a" re&re"en#ad!" en el e"&a'i! de

e"#ad!":

SOLUCI-N EN MATLA$



AN,LISIS DE RESULTADOS

&. ;o(ando en cuenta el resultado o'tenido en los todos los

e#ercicios ,ue se resolvieron se puede decir ,ue es (uc8o (9s

*9cil tra'a#ar con (atrices a ,ue de'ido a esto es *9cilencontrar las ecuaciones de espacio de estados.

5. A;LA se constitue co(o un so*t<are ,ue proporciona la

resoluci"n de ecuaciones di*erenciales a trav/s de di*erentes

co(andos ,ue per(iten desarrollar de una (anera vers9til

deter(inados pro'le(as. La siste(ati+aci"n de in*or(aci"n

per(iti" ad,uirir nuevos conoci(ientos relacionados al

*unciona(iento a la aplica'ilidad de los diversos co(andos

,ue dispone A;LA.



CONCLUSIONES

s posi'le o'tener una *unci"n de trans*erencia partiendo de larepresentaci"n en espacios de estado.

Con la aplicaci"n de la *unci"n de trans*erencia para espacio deestados siste(as (ec9nicos rotacionales con la aplicaci"nde cual,uier (/todo de resoluci"n de (atrices para darsoluci"n a los e#ercicios se lleg" a la soluci"n de (anera (9sr9pida se dis(inu" la co(ple#idad.

Las *unciones de trans*erencia depender9n sie(pre de laentrada la salida de un siste(a de control.

La representaci"n en espacios de estado per(ite representar

los siste(as *)sicos en una ecuaci"n de estado.

l so*t<are atla' per(ite trans*or(ar de (anera (u sencillauna *unci"n de trans*erencia a su e,uivalente en espacios deestado.

RECOMENDACIONES

Conocer los conceptos ,ue se utili+an en espacio de estados

en los siste(as (ec9nicos rotacionales para evitar con*usiones.

Conocer las *"r(ulas para resolver e#ercicios de estos siste(as. ;ener en cuenta a ,ue es igual cada ele(ento sea en un

siste(a el/ctrico o (ec9nico cuando se tra'a#a en el do(inio

del tie(po. 7'icar de (anera correcta las varia'les de las ecuaciones en

las (atrices para o'tener la respuesta correcta. Se de'e anali+ar cuidadosa(ente los di*erentes co(ponentes

del siste(a (ec9nico para no errar al (o(ento de deter(inar

sus ecuaciones. n caso de error revisar los co(andos de atla' a ,ue tienen

una designaci"n si(ilar lo ,ue puede conllevar a un error.$I$LIOGRAFIA:

G&H 4or(an 4. 0566%1. “Siste(as de control para ingenier)a”

Capitulo III /xico> Co(pa)a ditorial Continental.

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