Katedra informatiky a geoinformatiky Fakulta životního prostředíUniverzita Jana Evangelisty Purkyně

Přednáška 11Aplikace určitého integrálu

jiri.cihlar@ujep.cz

Matematika II. KIG / 1MAT2

O čem budeme hovořit:

• Obsah rovinné oblasti

• Objem rotačního tělesa

• Délka křivky

• Povrch rotačního tělesa

• Další aplikace

Obsah rovinné oblasti

Opakování

Obsah rovinné oblasti rozložíme na elementární útvary.

Obsah plochy pod grafem funkce vypočítáme určitým integrálem:

)()()]([)( aFbFxFdxxfP ba

b

a

Příklad

Vypočítejte obsah oblasti, ohraničené parabolou o rovnici y = 6x – x2 a osou x.

60

326

0

2 ]3

3[)6(x

xdxxxP

3672108)3

003()

3

663(

32

32

Příklad

Vypočítejte obsah oblasti, ohraničené parabolami o rovnicích:

xy 2xy

1

0

21

0

21

0)( dxxxdxxdxxP

3

1]2[

3

1]

33

2[ 1

032

310

32

3

xxx

x

Znaménková konvence

Při výpočtu obsahu se oblasti ohraničené grafem funkce, které leží nad osou x, počítají s kladným znaménkem a oblasti, které leží pod osou x, se záporným znaménkem.

Příklad

Vypočítejte obsah oblasti, ohraničené křivkou o rovnici y = x . sin x a osou x.

3

2

2

0sinsinsin dxxxdxxxdxxxP

xxxdxxx cossinsin 953 P

Objem rotačního tělesa

Jak počítat objem?

Těleso rozřežeme na tenké válečky.

Objem rotačního tělesa vytvořeného rotací grafu funkce vypočítáme tímto integrálem:

b

adxxfV )(2

Příklad

Vypočítejte objem kužele.

(Vzniká rotací funkce f(x) = rx/v).

vvdxx

v

rdx

v

xrV

0

22

2

0

2

vrx

v

r v 20

3

2

2

3

1]

3[

Příklad

Vypočítejte objem anuloidu.

222 RrV

Délka křivky

Jak počítat délku křivky?

Křivku aproximujeme krátkými úsečkami.

Délku křivky vypočítáme tímto integrálem:

b

adxxfL 2)´(1

Příklad

Vypočítejte délku kružnice.

22)( xrxf 22

)(xr

xxf

rr

dxxr

xdxxf

L0 22

2

0

2 1)´(14

rr

dx

rx

dxxr

r0 20 22

1

1

tr

xsin

rL 2

Povrch rotačního tělesa

Jak počítat obsah pláště rotačního tělesa?

Těleso rozřežeme na tenké válečky.

Plášť rotačního tělesa vypočítáme tímto integrálem:

b

adxxfxfS 2)´(1)(2

Příklad

Vypočítejte obsah pláště kužele.rlS

xv

rxf )(

vvdxx

v

rv

v

rdx

v

rxv

rS

02

22

0

2

212

lrx

v

lr v

0

2

2]

2[2

Příklad

Vypočítejte povrch koule.

22)( xrxf 22

)(xr

xxf

r

rdxxfxfS 2)´(1)(2

r

rdx

xr

rxr

22

222

24][2 rxr rr

24 rS

Další aplikace

Příklad

Vypočítejte potenciální energii tělesa hmotnosti m v nehomogenním gravitačním poli Země.

Použijte Newtonův gravitační zákon.

hR

R

hR

Rpot drr

Mmdrr

MmE

22

1

)11

(]1

[RhR

Mmr

Mm hRR

hR

hRgm

hR

h

R

Mm

Příklad

Vypočítejte únikovou rychlost z nehomogenního gravitačního pole Země.

Ze zákona zachování energie plyne:

kinpoth EvmRgmE 2

2

1lim

s

km

s

mRgv 2,11104,68,922 6

Odtud pak vypočítáme:

Co je třeba znát a umět?

• Vypočítávat určitým integrálem obsahy rovinných oblastí,

• umět vypočítat objem rotačních těles,

• umět vypočítat délky křivek,

• umět vypočítat povrch rotačních těles,

• umět používat určité integrály k dalším výpočtům z oblasti přírodních věd.

Děkuji za pozornost