predavanja druga parcijala
DESCRIPTION
Predavanja druga parcijalaTRANSCRIPT
UNIVERZITET U TUZLI – MAŠINSKI FAKULTET
Studentska skripta
- MEHANIKA FLUIDA I -
Druga parcijala
Adem Šehić www.samelx.blogger.ba
Tuzla, 2013
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
1
Kinematika fluida
Podsjetnik iz kinematike materijalne točke
Ako dimenzije tijela nisu bitne za analizu njegovog kretanja, onda se može promatrati samo
kretanje težišta tijela. Težištu tijela pridružujemo ukupnu masu tijela i govorimo o materijalnoj
tački.
Opis kretanja materijalne točke u prostoru
- put koji prevali materijalna tačka u vremenu dt
Jednačine kretanja
Jednačine kretanja označavaju parametarski oblik jednačine trajektorije (vrijeme t je parametar).
brzina materijalne tačke (= brzina promjene položaja)
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
2
Iz definicije brzine je jasno da za prevaljeni put dr u vremenu dt vrijedi
Prevaljeni put i vektor brzine su kolinearni vektori, što znači da je vektor brzine uvijek
tangencijalan na putanju.
- ubrzanje materijalne tačke (= brzina promjene brzine)
Kinematika fluida
Kinematika fluida dio je kinematike koji se bavi kretanjima fluida. Kinematika pri tome samo
proučava kretanje, a ne ulazi u njegove uzroke, i bavi se zakonitostima tog kretanja.
Fluid smatramo kontinuumom i koristimo pojam čestice fluida, koja je definisana kao maleni
volumen fluida konstantne mase.
Postoje dva pristupa opisivanju kretanja fluida: Lagrangeov (ili supstancijalni) pristup i
Eulerov (ili lokalni) pristup.
Kod Lagrangeovog pristupa kretanje se proučava vežući se za česticu fluida, a kod Eulerovoga
pristupa kretanje je promatrano iz neke fiksne tačke u prostoru.
Za pokretni fluid potrebno je odrediti
Sveukupnost ovih veličina u posmatranom prostoru i vremenu opisuje strujno polje.
Strujno polje je stacionarno, ako su sve gore navedene veličine samo funkcije položaja.
Kada su ove veličine promjenjive funkcije i vremena, polje je nestacionarno.
Tpvvvv zyx ,,),,,(
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
3
Lagrangeov metod
Kod Lagrangeovoga pristupa problemima kretanja fluida vežemo se za neku proizvoljnu česticu fluida
i s njom "putujemo" kroz prostor.
Posmatra se određeni fluidni djelić
Položaj djelića je funkcija njegovog početnog položaja i vremena t
Brzina i ubrzanje se zato piše u obliku:
Kako vrijeme prolazi, pratimo promjene fizikalnih veličina na mjestu na kojem se u tom
trenutku naša čestica nalazi. Drugim riječima, putujemo kroz prostor nošeni tom česticom
fluida.
Svaka fizikalna veličina vezana uz tečenje onda je neka funkcija trenutnog položaja te čestice i
vremena.
Kompleksni izraz za brzinu ukazuje na veliki nedostatak Lagrangeovoga pristupa: veliku
matematičku kompleksnost formulacije problema; v je funkcija 4 varijable (3 položajne i
vremena).
),,(0 cbar
),( 0 trrr
t
r
t
r
t
trttr
t
rv
cbatt d
d)()(limlim
),,(00
2
2
),,(
2
2
0 d
dlim
t
r
t
r
t
va
cbat
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
4
Eulerov metod
Kod Eulerovoga pristupa problemima kretanja fluida vežemo se za neku proizvoljnu tačku prostora i
promatramo kako se fluid kroz nju kreće.
Razmatra se promjena strujnih veličina u jednom stalnom mjestu prostora, dok djelići prolaze
kroz ovo mjesto.
Strujne veličine mogu da se mjere nepokretnim mjernim uređajima.
Matematički je problem sad znatno jednostavniji jer je položaj te tačke konstanta (doduše
vektorska):
Kako vrijeme prolazi, pratimo promjene fizikalnih veličina na mjestu tačke M.
Drugim riječima, smjestili smo se u neku nepomičnu tačku u prostoru i promatramo kako fluid
struji kroz nju.
Svaka fizikalna veličina vezana uz tečenje u ovom je slučaju je neka funkcija radijus-vektora te
tačke i vremena.
Npr. brzinu se može izraziti kao vektorsku funkciju oblika:
Kako je RM konstantan u vremenu, ovo je u stvari eksplicitna funkcija vremena, s kojom je
matematički mnogo lakše raditi nego sa implicitnim funkcijama karakterističnim za Lagrange-
ov pristup.
Ako dozvolimo da je položaj tačke RM u prostoru proizvoljan, i radi preglednosti ga opišemo
radijus-vektorom R, fizikalne varijable postaju funkcije 3 koordinate i vremena, npr:
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
5
Trenutni iznos brzine i njezin smjer:
Stacionarnost/nestacionarnost nekoga problema nije apsolutno, nego može ovisiti o izboru
koordinatnoga sistema u kojem se dati problem proučava.
Ako je moguće, koordinatni sistem bira se tako da je u njemu problem stacionaran.
Za posmatrača na obali optjecanje vode oko trupa broda je nestacionarno jer se slika koju vidi s
vremenom mijenja (brod mijenja svoj položaj u prostoru).
Za posmatrača na pramcu broda optjecanje vode oko trupa broda je stacionarno jer se slika koju vidi s
vremenom ne mijenja (slika strujanja oko pramca broda uvijek je ista).
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
6
Skalarno polje
Prostor u kome je definisana skalarna funkcija položaja U=U(x,y,z) koja može da opisuje
prostor,površinu ili liniju. Linije ili površine na kojima skalarna funkcija zadržava istu
vrijednost su ekviskalarne.
Gradijent skalarne funkcije
Radi opisivanja pravca promjene skalarne veličine, svojstva opšteg za sve vrste skalarnih polja, uvodi
se diferencijalno-vektorski operator nabla
koji se primjenjuje na skalarnu funkciju U=U(x,y,z) i
određuje gradijent skalarne funkcije U (gradU):
gradU (vektor) ima pravac i smjer normale u
proizvoljnoj tački površine U=U(x,y,z), а pošto је
normala najkraće rastojanje između dvije vrijednosti
skalara U1 i U2 tо gradU predstavlja pravac najjače
promjene skalara U. Smijer gradU је smijer porasta promjene skalara.
Vektorsko polje
Skalarna polja pritiska, gustine i vektorska polja brzine i ubrzanja, daju prirodan izgled
strujnom polju stacionarnog, idealnog, savršenog i viskozno-laminarnog fluida
Polje brzine je od najvećeg uticaja na formiranje strujnog polja, pa su sve karakteristike vezane
za vektorska polja definisane u polju brzine
Strujnica
Za vektorsko polje brzine vezuje se pojam strujnice (strujne linije) i pojam putanje
(trajektorije) fluidnog djelića.
Strujnice su zamišljene krivulje kojima se u svakoj tački smijer tangente poklapa sa smijerom
vektora brzine. Slika strujnica se odnosi na jedan odabrani vremenski trenutak t0 .
kz
jy
ix
kz
Uj
y
Ui
x
UU
grad
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
7
Ako se u jednom trenutku obilježi položaje mnogo čestica fluida, a pri tom je svaka slijedeća čestica u
smjeru vektora brzine one prethodne, dobit će se glatka kriva koju nazivamo strujnica.
Ako se pravac vektora brzine poklapa s tangentom na strujnicu, tada je usmjereni element luka
strujnice ds paralelan vektoru brzine , te je njihov vektorski produkt jednak nuli,
Razvijanjem vektorskog proizvoda dobija se:
Osnovno svojstvo strujnica je da se one ne mogu presijecati, jer bi to značilo da u tački
presjeka vektor brzine ima dva različita smijera, što je nefizikalno. Izuzetak čine tačke zastoja u
kojima je brzina jednaka nuli.
0d, sv
),,(
d
),,(
d
),,(
d
zyxv
z
zyxv
y
zyxv
x
zyx
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
8
Trajektorija
Zamislimo si da smo na neki način obilježili jednu odabranu česticu fluida. Ako bilježimo njen
položaj kao funkciju vremena, dobit ćemo prostornu krivu koja se naziva trajektorija (putanja)
čestice u prostoru.
Trajektorija je prostorna kriva koju svojim kretanjem opisuje čestica fluida.
Jednačine kretanja čestice fluida zapisane u Lagrangeovim koordinatama označavaju
parametarski zapis jednačine trajektorije.
U Eulerovom opisu strujanja, gdje se polazi od polja brzine, do jednačine trajektorija se dolazi,
polazeći od definicije brzine čestice kontinuuma.
Ako je dr usmjereni infinitezimalni element puta kojeg prevali čestica kontinuuma krećući se
po svojoj trajektoriji za infinitezimalno vrijeme dt, tada za taj usmjereni element luka
trajektorije, iz same definicije brzine slijedi:
Što se može napisati u obliku sistema diferencijalnih jednačina:
čijim se rješavanjem uz početne uslove za t=t0, r(t0)=r0 , dolazi do jednačina trajektorija.
Strujna površina i strujna cijev
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
9
U teoretskim računima se koristi i koncept strujnoga vlakna. Radi se o strujnoj cijevi kod koje
je površina A infinitezimalno mala, pa ju se zbog razlikovanja od velike površine A, obično i
označava sa dA.
Prednost je strujnoga vlakna da su vrijednosti fizikalnih veličina kojima se dati tok opisuje na
infinitezimalno maloj površini dA konstantne, što omogućava izvođenje teorijskih proračuna.
Jednačina kontinuiteta
• Promatra se neki fluid u kretanju. Negdje unutar toga fluida zamisli se kontrolni volumen u
obliku kvadra koji nepomično stoji u toku fluida.
Stranice toga malenog volumena
postavit će se u smjeru koordinatnih osi
i označiti ih sa dx, dy i dz.
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
10
• Brzinu fluida opisat će se sa vektorskom funkcijom a lokalnu gustinu fluida
funkcijom (x,y,z), pri čemu treba imati na umu da ta gustina ne mora biti konstantna.
• Brzinu rastavimo na njene tri komponente i pratimo šta se dešava sa x-
komponentom brzine,vx .
• Ona je okomita na prednju (1) i stražnju plohu (2) promatranoga volumena.
Veličinu x-komponente brzine na plohi 1 označimo sa a njenu veličinu na plohi 2 sa
• Razmak između te dvije plohe (= dx!) je malen, pa se može x komponenta brzine razviti u
Taylorov red pa odbaciti više članove:
• Na isti se način nalazi i gustina fluida:
• Brzina toka nosi fluid kroz taj nepomični volumen.
• U nekom vremenu dt kroz prednju plohu (1) u elementarni volumen uđe volumen fluida koji je
jednak umnošku površine prednje plohe, x komponente brzine toka na njoj i proteklog
vremena:
• Treba napomenuti da su y i z komponente brzine paralelne sa spomenutom plohom pa ne
doprinose toku fluida kroz plohu 1.
• Sada se uz pomoć gustine odredi masa fluida koja je kroz plohu 1 ušla u elementarni volumen:
• Istovremeno je kroz plohu 2 iz volumena izašla masa fluida:
• Razlika ove dvije jednačine predstavlja prirast (gubitak) mase fluida u x-smjeru:
• Sređivanjem dobija se izraz:
• Na isti način je prirast (gubitak) mase u y i z smjerovima opisan izrazima:
• Ukupni prirast (gubitak) mase iz elementarnoga volumena dV zbir je prirast (gubitaka) po
pojedinim smjerovima:
dm = dmx + dmy + dmz
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
11
• Međutim, ako se u vremenu dt masa fluida unutar elementarnog volumena promijeni za dm, to
se mora odraziti u promjeni gustine fluida u elementarnom volumenu dV jer je masa fluida
sačuvana:
• Izjednačavanjem posljednje dvije jednačine i sređivanjem, dobija se izraz:
• Izraz na lijevoj strani prethodne jednačine predstavlja razliku mase fluida koja je izašla iz
jediničnog volumena u jedinici vremena i mase fluida koja utiče za isto vrijeme, i naziva se
divergencija toka mase.
• Napisano u vektorskom obliku:
gdje je:
pa se može pisati i:
Posebni oblici jednačine kontinuiteta
Stacionarno strujanje
• U stacionarnim situacijama vremenske promjene fizikalnih parametara (u ovom slučaju
gustine) isčezavaju pa se jednačina kontinuiteta pojednostavi:
Tečnosti
• Gustina tečnosti je praktično konstantna pa se njene male promjene u realnim stuacijama
potpuno zanemaruju. Uz ovo pojednostavljenje (=konst.!), jednačina kontinuiteta postaje:
i ona u ovom obliku vrijedi i za nestacionarna (jer je gustina i u vremenu konstantna!) i stacionarna
strujanja.
Kvazi-jednodimenzionalni slučaj
• U jednodimenzionalnom ograničenju element volumena prelazi u element dužine, a element
površine isčezava, tako da se dobija:
• U slučaju tečnosti ovo prelazi u:
s implikacijom da je v =konst.
z
v
y
v
x
vkvjvivk
zj
yi
xvv zyx
zyx
div
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
12
• Kada se govori o jednodimenzionalnom (1D) strujanju u stvari se misli na strujanje koje se
odvija samo u smijeru x-ose. To znači da vy i vz komponente brzine isčezavaju u cijelom
prostoru.
• U tom slučaju elementarna površina dA = dydz je uvijek okomita na brzinu, a u vremenu dt
kroz nju protekne masa fluida:
dm = dA v dt
• Podijelimo li sa dt dobije se tzv. maseni protok fluida:
• Kako je dA maleno, brzina i gustina fluida na cijeloj toj površini su praktički konstantni, pa se
može reći da je: QM = konst.
• Podijelimo li sa dobija se volumni (zapreminski) protok:
• Dok je dA maleno, gornji zaključci su ispravni i govori se o toku u strujnom vlaknu.
• Međutim, ako se gleda tok konačnih poprečnih dimenzija, gustina i brzina preko poprečnoga
presjeka toka A ne moraju biti konstantni.
• Situacija se rješava tako da se brzinu i gustinu stvarnog toka usrednjava preko površine A i tako
dobivene srednje vrijednosti se uvrštavaju u jednačinu za protok, pa imamo:
• Ova jednačina pokazuje da je u 1D slučaju maseni protok konstantan po cijelom toku.
• Kao što je to prije napomenuto, ovdje se u stvari radi o kvazi-jednodimenzionalnom toku, dakle
o toku za čiji je opis dovoljna jedna koordinata.
• Primjer upotrebe ove aproksimacije je tečenje kroz cjevovode koje tretiramo upravo na ovaj
način.
• Pri tome se jednačina piše za dva mjesta u toku, koja se označavaju brojevima 1 i 2:
• Treba zapamtiti da u gornjem slučaju v i predstavljaju srednje vrijednosti odgovarajućih
fizikalnih veličina!
• U slučaju tečnosti (nestišljivih fluida):
pa je dakle i volumni protok konstantan, a maseni i volumni protok međusobno su proporcionalni:
QM = Q
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
13
Izvori i ponori
• Prethodno izvedena jednačina kontinuiteta vrijedi za strujni tok u kojem nema dodatnih
doticaja (izvora) fluida, niti oticanja (ponora) fluida.
• Izvor je tačka u prostoru iz koje neprestano izvire fluid. Ovakva tačka zove se singularitet i u
njoj ne vrijedi jednačina kontinuiteta.
• Da bi u cijelom sistemu masa bila sačuvana, uz izvor mora postojati i ponor. Ponor je tačka u
kojoj fluid nestaje iz sistema.
• Izvori i ponori mogu biti tako daleko (matematički u beskonačnosti) da nas ne zanimaju, pa
zato izvore i ponore često promatramo kao odvojene objekte.
Izdašnost izvora je količina fluida koji izlazi iz njega u jedinici vremena.
Da bi našli izdašnost, izvor okružimo zatvorenom
plohom A i integriramo brzinu preko nje.
Ponor opisujemo na isti način. Kako fluid u njemu nestaje, izdašnost mu je negativna (brzina je u
smjeru ponora)!
Jednačina kontinuiteta ne vrijedi u tačakama prostora u kojima postoje izvori i ponori i moramo je
modificirati.
Ako se u zapremini dV nalazi izvor izdašnosti = Q u njemu u jedinici vremena nastane masa
Аkо se u fluidnoj zapremini nalazi izvor ili ponor izdašnosti ±e, jednačina kontinuiteta је
- specifična izdašnost izvora ili ponora
)(div v
t
Vd
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
14
Rotor brzine
• Rotor brzine ili rotacija vektora piše se kao rot i predstavlja vektor definisan jednačinom
oznake a,b,c imaju značenje da se fluidni element zaokreće oko zamišljene ose pod uticajem tih
kompomenti
Komponenta ugaone brzine fluidnog djelića oko z ose iznosi:
Isto tako ugaone brzine fludinog djelića oko osa x i y
Rotacija vektora može se pisati kao
• U fizičkom smislu
predstavlja mjeru obrtanja fluidnog djelića oko sopstvene težišne ose.
naziva se vrtlogom
strujno polje je bezvrtložno.
ky
u
x
vj
x
w
z
ui
z
v
y
w
wvu
zyx
kji
vrot
cba
y
u
xz
v
2
1
zy
wx
v
2
1
x
w
z
uy
2
1
v
kjirot zyx
222v
v
rot
2v rot
0v
rot
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
15
Vizuelizacija strujanja
• Zakonitosti međusobnog djelovanja fluida i tjela koja se kreću kroz fluid su predmet ispitivanja
aerodinamike.
• Osnovni fluidi koji se koriste za proučavanje procesa međusobnog djelovanja su vazduh i voda.
To su bezbojni fluidi, čije strujanje nemože biti neposredno posmatrano ili snimano.
• Zbog toga se primjenjuju posredne metode koje čine jednu naučnu oblast eksperimentalne
aerodinamike, nazvanu vizuelizacija strujanja.
• Danas se u svjetu razvijaju i koriste mnoge tehnike vizuelizacije strujanja u toku
aerodinamičkog eksperimenta, koji omogućuju da se "vide" strujne linije i putanje vazdušnih
čestica.
• Metode koje se koriste za vizuelizaciju strujanja mogu da se klasifikuju na više načina: u
zavisnosti od brzine strujanja, da li su za lokalnu ili globalnu vizuelizaciju, da li su neophodni
indikatori ili su one čisto optičke, da li podržavaju samo kvalitativno ili i kvantitativno
ispitivanje.
• Najosnovnija podjela metoda vizuelizacije strujanja je u tri grupe:
1. metode za ispitivanje strujanja koje koriste ubacivanje indikatora (stranih materijala) u
osnovni fluid,
2. optičke metode i
3. metode, koje su određena kombinacija prethodnih metoda, jer uključuju ubacivanje
dodatne energije u fluid i optičke metode.
METODE VIZUELIZACIJE DODAVANJEM INDIKATORA
• Prva grupa metoda obuhvata sve metode kod kojih se vrši ubacivanje vidljivih stranih
materijala u strujno polje.
• Njihove čestice po dimenzijama i po gustini moraju biti veoma slične česticama osnovnog
fluida, tako da bude zadovoljena osnovna pretpostavka, da se ti indikatori kreću pod istim
uslovima i na isti način kao i fluid.
• Ovaj metod je posredan jer se prati kretanje fluida na osnovu kretanja indikatora.
• Razlika može biti minimizirana, ali ne i potpuno eliminisana.
• Ovaj metod daje odlične rezultate za stacionarna strujanja, dok za nestacionarna strujanja i za
fluide sa promjenljivim termodinamičkim parametrima nije preporučljiv, jer dolazi do znatnih
odstupanja između strujanja fluida i indikatora.
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
16
Dimna vizuelizacija
je metoda koja može da se koristi u širokom dijapazonu brzina strujanja gasnih
fluida (najčešće vazduha), pod uslovom da su strujanja laminarnog tipa.
• Dim se uvodi u testirano područje kao homogena strujnica, jasno izdiferencirana u odnosu na
osnovni fluid i prati se njeno povijanje, koje je identično povijanju fluida oko modela.
• Postrojenja u koja se uvode dimne strujnice u kompletnom presjeku radnog djela su poznata
kao dimni tuneli.
• Generisanje dimnih strujnica može biti izvedeno sagorijevanjem mineralnih ulja bogatih
parafinom, isparavanjem tečnosti bogatih bromidom ili hloridom i njihova interakcija sa
vlagom u vazduhu, kao i sagorjevanjem čvrstih materijala kakvi su: drvo, papir, duhan itd.
Vizuelizacija bojama
• Vizuelizacija strujanja u vodenim tunelima, koja je analogna dimnoj vizuelizaciji u
aerotunelima jeste metoda primjene boja.
• Kao indikatori strujanja u vodene tunele mogu da se ubacuju različiti prahovi (puder,
aluminijum, hipermangan); tečne suspenzije ili rastvori obojeni pigmentima; mlijeko; mastilo;
i drugo.
Vizuelizacija metodom končića
Strujanje u neposrednoj blizini modela za podzvučne brzine se često vrši pomoću končića.
Metoda sa fluorescentnim končićima je najsavremenija varijanta, koja ima niz prednosti u
odnosu na obične končiće.
• Pri izboru karakteristike končića, njihovog rasporeda po površini modela i načina lijepljenja
mora se voditi računa o tome, da se u struju unese što manji poremećaj kako bi se dobila što
autentičnija slika strujanja.
• Vizuelizacija lokalnog strujnog polja oko modela se realizuje na taj način, što se tanki končići,
dužine između 5 i 30 mm, lijepe na površinu modela. Njihovo povijanje tokom strujanja prati
trenutni pravac lokalne brzine.
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
17
Dinamika idealnog fluida
• U kinematici fluida razvijene su osnovne metode matematičkog opisivanja tečenja fluida kao
neprekidne sredine. Pomoću tih metoda u dinamici fluida razrađuju se zakoni za održanje
fluida u stanju tečenja, odnosno osnovni zakoni dinamike fluida.
• Dinamika fluida proučava kretanje fluida zajedno s uzrocima zbog kojih kretanje nastaje, a to
su SILE;
• proučava zavisnost sila i kretanja nastalog pod djelovanjem tih sila.
• Njutnova definicija sile ostaje na snazi i u slučaju kretanja fluida i omogućava da se napišu
diferencijalne jednačine za kretanje fluida.
Ojlerova jednačina
U statici fluida uspostavljena je ravnoteža zapreminskih sila (gravitacija) i površinskih (pritisak):
sada se proširuje djelovanjem inercijalnih sila koje su predstavljene sa:
pa se Ojlerova jednačina za kretanje idealnog fluida predstavlja sa
Ova jednačina mora da važi za svaku zapreminu V pa izraz pod integralom mora biti jednak nuli:
оdnosno
Ojlerova diferencijalna jednačina u
vektorskom obliku za tečenje fluida
gdje su:
- Inercijalne sile fluidne mase [N/kg]
- Zapreminske sile po jedinici fluidne mase [N/kg]
- Sile pritiska po jedinici fluidne mase [N/kg]
Skalarni oblik sistema jednačina dobija se projektovanjem po osama:
0dgradV
Vpf
V
dd
dV
t
v
0dgradd
d
V
Vpf
t
v
0gradd
d pf
t
v
pft
vgrad
1
d
d
t
v
d
d
f
pgrad1
z
pfv
z
vv
y
vv
x
v
t
v
y
pfv
z
vv
y
vv
x
v
t
v
x
pfv
z
vv
y
vv
x
v
t
v
zzz
yz
xzz
yz
y
y
y
x
yy
xzx
yx
xxx
1
1
1
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
18
Rješavanje problema kretanja idealnog fluida
• nepoznate: vx, vy, vz, p,
• Ojlerova jednačina +
• jednačina kontinuiteta
• karakteristična jednačina stanja fluida
Bernulijeva jednačina
• Najveći broj zadataka rješava se direktnom primjenom Bernulijeve jednačine.
• Dobija se iz Ojlerove jednačine primijenjene na jednu strujnicu.
• Značaj jednačine–bilans pojedinih karakterističnih vrsta fluidne energije
• Osnovni oblik (bez gubitaka):
• Svaki član na lijevoj strani predstavlja energiju koju u sebi sadrži jedinična masa fluidne struje
– Kinetička energija
– Energija pritiska
– Položajna energija
Konstanta na desnoj strani ozačava da je zbir navedene tri vrste energije konstantan za bilo koju tačku
strujnice
Drugi česti oblik B.J. je:
Snaga fluidne struje dobija se množenjem svakog člana B.J. sa protočnom masom (Q), pa је
B.J. napisana za dva proizvoljna presjeka:
0divd
d v
t
pft
vgrad
1
d
d
)(pf
kg
Jconst.
2
2
gzpv
N
Jconst.
2
2
zg
p
g
v
Wconst.2
1 2 gQzpQQvP
v
=
v
(4.16)
12 2
2 2
1
1
g
p
gz
g
p
gz
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
19
Geometrijska interpretacija Bernulijeve jednačine
Podjela pritisaka prema karakteru i osnovni način za njihovo određivanje
• Pri kretanju, pored statičkog pritiska ps
postoji dinamički pritisak pd koji je mjera
kinetičke energije fluidne struje.
• Zbir ovih pritisaka je totalni pritisak pt, što
proističe iz primjene B.J. za tačke S i T.
Dinamički pritisak je:
linija energije
en
erg
ija=
const
z
p/g
v2/ 2g
D
D1
0 0Referentna ravan
v12/ 2g
p1/g
z1
v
v1
dst ppp
Pa2
1 2vpd
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
20
Тotalni pritisak se mjeri u tačkama gdje je brzina fluida jednaka nuli tj. u zaustavnim tačkama, pa se
zato naziva i zaustavni pritisak.Instrument za mjerenje totalnog pritiska zove se Pitova cijev.
Statički pritisak mjeri se na površinama preko kojih fluid prelazi nepromijenjenim brzinama.
Dinamički pritisak određuje se mjereći razliku između totalnog i statičkog pritiska (Prandtlova cijev).
Mjerenje brzine strujanja fluida u cijevima
Lijeva cjevčica mjeri statički pritisak u tački 1, a Pitotova
cijev zaustavni pritisaku tački 2. Razlika ta dva pritiska je
visina brzine, pa vrijedi
Očito je da se brzina računa iz mjerene razlike pritisaka, koja
se obično mjeri diferencijalnim manometrom.
Slučaj kada je diferencijalni manometar Slučaj kada je diferencijalni manometar ispunjen
ispunjen fluidom manje gustoće od fluida fluidom veće gustoće od fliuda koji struji u cijevi
koji struji u cijevi
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
21
Venturi cijev
Korekcioni faktor kinetičke energije
Kada je B.J. napisana za strujnicu, kinetička energija protočne mase fluida (v2/2) predstavljena
je brzinom v u označenoj tački
Kada je B.J. napisana za neki protočni presjek, onda v predstavlja srednju brzinu fluida (vsr)
kroz cijeli presjek.
Меđutim, u zavisnosti od vrste strujanja (laminarno, turbulentno) član vsr2/2 nе daje uvijek pravu
veličinu kinetičke energije i potrebno je uvesti korekcioni faktor , koji pomnožen sa vsr2/2, daje
stvarnu veličinu kinetičke energije po jedinici mase, tј.
Ova energija treba da se uvede u B.J.
• za laminarno strujanje u cijevi је = 2.
• za turbulentno strujanje je = 1,01-1,1 (najčešće se uzima 1)
B.J. sa korekcionim faktorom:
2
2
srk
vE
2
2
221
2
11
22gz
vpgz
vp
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
22
Bernulijeva jednačina za stišljiv fluid
• U slučaju stišljivog fluida, pri čemu je uticaj zapreminskih sila zanemaren jer je njihov uticaj
neznatan u odnosu na ostale sile:
za
slijedi
Raspored pritisaka odnosno gustine u strujnom polju savršenog fluida pri stacionarnom kretanju i
izotermskoj promeni stanja.
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
23
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
24
Pojave i principi rada nekih uređaja koji se mogu objasniti Bernoullijevom
jednadžbom
Kavitacija
Povećanjem protoka uz istu ukupnu energiju strujanja dolazi do smanjenja pritiska u najužem presjeku
• Kada se pritisak u najužem presjeku snizi na vrijednost pritiska isparavanja pojavljuju se
mjehurići pare (kavitacija). Protok pri kojem se pojavljuje kavitacija je maksimalno mogući
protok za zadanu visinu energije. Mjehurići pare bivaju nošeni u područje višeg pritiska, gdje
se ponovo pretvaraju u kapljevitu fazu (implozija). Pojava kavitacije je popraćena vibracijama
i bukom, a pri imploziji mjehurića pare u blizini stijenke dolazi i do njena oštećenja.
Ejektor
• Strujanje primarnog fluida protokom Q1 u suženom presjeku izaziva smanjenje pritiska, koje
ima za posljedicu usisavanje sekundarnog fluida, protokom Q2, tako da je na izlazu iz ejektora
protok Q1+Q2.
• Ovaj se princip koristi npr. u uređajima za bojenje, u kojima se u struju zraka uvlači boja.
Maksimalna visina usisavanja pumpe
• Da bi se uključivanjem pumpe uspostavilo strujanje,usisna cijev mora biti ispunjena fluidom.
• Radi izbjegavanja pojave kavitacije pritisak u tački 1 mora biti viši od pritiska isparavanja.
Uz pretpostavku da su visine zanemarive,
teorijski maksimalna visina usisavanja je jednaka visini
atmosferskog pritiska (≈10 m), a stvarno je to i manje.
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
25
Zakon o promjeni količine kretanja
• Koristi se za određivanje sile kojom fluid djeluje na površinu koja je ograničena;
• ZOPKK važi za: stišljiva i nestišljiva strujanja, viskozna i neviskozna, stacionarna i
nestacionarna, sa i bez promjenjive mase, jednolika i nejednolika;
• B.J. važi za strujnicu, a ZOPKK za proizvoljno, po potrebi uočeno, strujno polje sa čvrstim
granicama, bez obzira na njegovu veličinu i oblik.
•
II Njutnov zakon:
• Masa je u opštem slučaju funkcija vremena, položaja i brzine m=m(t,x,y,z, )
• samo za specijalan slučaj m=const.
Opšti oblik zakona o promjeni količine kretanja
• Kontrolna zapremina je omeđeni (najčešće djelimično čvrstom površinom) diо fluidnog
prostora, kroz čije dijelove graničnih površina fluid može potpuno proizvoljno da struji. Ova
kontrolna zapremina može biti nepokretna ili da se proizvoljno kreće. Kroz njene granice
prolazi masa, ali i količina kretanja.
• Količina kretanja (impuls) elementarne mase је:
• Za ukupnu masu fluida, zapremineV(t), važi:
Teorema o promjeni količine kretanja glasi:
Vremenska promjena količine kretanja jednaka je rezultanti spoljašnjih sila.
• Spoljašnje sile: zapreminske i površinske koje djeluju na fluid zapremine V(t), pa je:
• Transformacija vremenskog izvoda:
• Prvi integral na desnoj strani opisuje lokalnu promjenu f u unutrašnjosti zapremine V, dok
drugi integral daje rezultujuće strujanje kroz granične površine zapremine V. Vektor normale
površine А usmjeren je od površine.
Fvmdt
d
amF
VvmvK ddd
.d)(
tV
VvK
)(
dd
d
d
d
tV
FVvtt
K
AVV
dAnvfdVt
fVf
t),(d
d
d AAn
dd
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
26
• Zapreminski protok kroz elementarnu graničnu površinu dA је:
• Primjenom transformacije vremenskog izvoda na jednačinu о promjeni količine kratanja,
dobija se:
Prvi član u trećem dijelu jednakosti opisuje lokalnu promjenu količine kretanja u zapremini V, za šta je
potrebno poznavanje strujnih veličina u unutrašnjosti zapremine.
Drugi član daje rezultujuće strujanje kroz granične površine, za što je potrebno poznavanje svih
promjenjivih samo na graničnim površinama zapremine V.
• Za stacionarna strujanja otpada zapreminski integral, tako da su potrebni samo strujni podaci na
granicama kontrolne zapremine, а izraz postaje:
• Ako se definiše impulsna sila kao:
onda
može da se napiše kao:
Zа impulsnu silu važi da je lokalno paralelna sa vektorom brzine i uvijek je usmjerena ka unutrašnjosti
kontrolne zapremine.
• Primjer primjene ZOPKK pri strujanju kroz koljeno
Potrebno je odrediti silu kojom fluid djeluje na čvrstu granicu koljena. Brzine i pritisci na ulaznom
presjeku (1) i izlaznom (2) su poznate.
Upustvo za primjenu ZOPKK:
1. Izdvoji se kontrolna zapremina (presjeci 1, 2 i zidovi koljena
3 i 4). Presjek 1 је presjek kroz koji ulazi fluid, а 2 presjek kroz
koji fluid napušta kontrolnu zapreminu.
2. Označe se smjerovi brzine u ulaznom i izlaznom presjeku i
ucrtaju se smijerovi pritisnih sila koje zamjenjuju uticaj fluidne
struje ispred i iza koljena.
3. Proizvoljno se pretpostave smjerovi х i у osa.
QAnv dd,
AtV V
FAnvvVt
vVv
tt
K
d,ddd
d
d
d
)(
A
FAnvv
d,
A
K AnvvF d,
A
FAnvv
d,
0FFK
AnvvFK d,d
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
27
4. Pretpostave se smjerovi reakcije veza F3,4 ili Fx i Fy.
Ako se zanemari težina fluida u koljenu, slijedi:
Sila pritiska definisana je kao:
Sila R је rezultanta kojom fluidna struja djeluje na unutrašnje zidove koljena.
U strujnim presjecima 1 i 2 strujne veličine nisu po pravilu konstantne. U tim slučajevima potrebno je
koristiti, za tačnije određivanje impulsne sile i sile pritiska, integralne oblike jednačina za impulsnu
silu i silu pritiska.
i
Isticanje
• U mnogim prilikama fluid iz nekoga rezervoara slobodno ističe u okolni prostor, bilo da se radi
o otvoru na samoj stijenci rezervoara ili o kratkoj izlaznoj cijevi.
• Sve takve situacije obuhvaćene su zajedničkim nazivom: isticanje.
• Ukoliko je nivo tečnosti u rezervoaru konstantan radi se o stacionarnom isticanju, u protivnom
je nestaionarno isticanje.
• Ovisno o veličini otvora, govori se o isticanju kroz male odnosno isticanju kroz velike otvore.
• Pod malim otvorom smatra se svaki otvor koji je toliko malen da se može uzeti da je
hidrostatski pritisak na cijeloj njegovoj površini jednak.
4,321210 FFFFFFF KKPPK
A
P AnpF d
4,3FR
A
K AnvvF d,
A
P AnpF d
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
28
ISTICANJE KROZ MALI OTVOR
• Savršena tečnost ističe kroz mali otvor na bočnom zidu, pri čemu je:
Zamišljena strujnica konstruiše se od površine tečnosti, do središta izlaznoga otvora. Referentna ravan
se postavlja kroz sredinu izlaznoga otvora.
• Bernulijeva jednačina za nivo tečnosti i mali otvor:
Toričelijev obrazac: brzina kojom fluid ističe kroz mali
otvor jednaka je brzini koju bi imao pri slobodnom padu.
Protok:
Da bi Toričelijev obrazac važio moraju biti ispunjeni sledeći uslovi:
• Tečnost je neviskozna;
• Strujanje je stacionarno (konstantan nivo vode u sudu);
• Površina otvora je mnogo manja od slobodne površine tečnosti u sudu;
Stvarna brzina kojom tečnost ističe kroz mali otvor je uvijek manja od one dobijene Toričelijevim
obrascem, zato što je realna tečnost viskozna pa do izražaja dolazi trenje na ivicama otvora suda.
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
29
Bernulijeva jednačina koja uzima u obzir ove gubitke:
Brzinski koeficijent:
Vrijednost ovog koeficijenta za vodu je između 0.96 i 0.99,
a obično se usvaja = 0.97, čemu odgovara koeficijent otpora = 0.06.
pa je brzina isticanja kroz mali otvor:
Protok tečnosti kroz mali otvor:
Eksperimentom je uočeno da se suženje ili kontrakcija mlaza javlja na izvjesnom rastojanju od otvora,
naročito kod otvora oštrih ivica, jer djelići tečnosti ne mogu pri izlasku naglo da promjene pravac (da
skrenu pod uglom od 90°), pri čemu je
Eksperimentom je pokazano da se koeficijent isticanja smanjuje kada raste površina otvora i nivo
tečnosti H. Vrijednost ovog koeficijenta zavisi i od oblika otvora, veći je za kvadratni nego za kružni
otvor.
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
30
Vertikalni presjek mlaza ima oblik parabole.
Domet mlaza određuje se na osnovu jednačina
horizontalnog hica:
Eliminacijom vremena t, i korišćenjem korigovanog
Toričelijevog obrazca za brzinu, domet mlaza je:
Dobijeni obrasci važe pod navedenim uslovima ako je otprilike d < 0.1H.
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
31
Istjecanje kroz mali otvor ispod površine tečnosti
• Ako je otvor kroz koji tečnost ističe ispod površine okolne tečnosti, na desnoj strani
Bernoullijeve jednačine javlja se i hidrostatski pritisak okolne tečnosti na mjestu isticanja.
• Bernoullijeva jednačina u tom slučaju izgleda ovako:
• Pritisak na mjestu otvora je:
pa sada za brzinu vrijedi izraz:
• Kod realne tečnosti i u ovom slučaju mora se uzeti u obzir koeficijent smanjenja brzine i
koeficijent isticanja.
Isticanje iz posude pod pritiskom
• Ako se tečnost nalazi u zatvorenoj posudi pod pritiskom, taj se pritisak javlja na lijevoj strani
Bernoullijeve jednačine (i dalje se pretpostavlja mali otvor!):
pri čemu se apsolutni pritisak u posudi izražava kao
zbir atmosferskoga i relativnog pritiska (patm + Dp).
• Izraz za brzinu postaje:
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
32
ISTICANJE TEČNOSTI KROZ VELIKE OTVORE
Brzina isticanja kroz male otvore je određivana za srednju
vrijednost pritiska gH, a dobijena vrijednost je u stvari srednja
brzina za koju se pretpostavlja da odgovara težištu otvora.
Pri isticanju kroz velike otvore mijenja se i pritisak po otvoru, a i
brzina.
Pretpostavlja se da je veliki otvor sastavljen od više malih
otvora, tako da je elementarni protok kroz svaki mali otvor:
gdje je
Ukupni protok kroz veliki otvor, ako se pretpostavi da
koeficijent isticanja ne zavisi od z:
U zavisnosti od oblika otvora mijenja se i funkcionalna zavisnost širine x od rastojanja z.
Za pravougaoni otvor:
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
33
Za kružni otvor otvor poluprečnika R:
Ukupni protok kroz kružni otvor je:
Kako je ovo eksponencijalni integral, on se može izračunati pošto se podintegralna funkcija razvije u
red. U slučaju da se u obzir uzmu samo prva dva člana reda, što eksperimentalno dokazano daje
dovoljnu tačnost, protok je:
ISTICANJE TEČNOSTI KROZ NAGLAVKE
• Za povećanje koeficijenta isticanja, odnosno, protoka i brzine isticanja koriste se posebni
pribori koji se nazivaju naglavcima.
Opšta svojstva naglavaka
Naglavak je najčešće cilindričnog oblika. U suženom
dijelu povećava se brzina strujanja, pa se povećava i
protok, a to znači i koeficijent isticanja. Međutim, u
preostalom dijelu naglavka dolazi do gubitka energije,
čime se smanjuje brzina strujanja. To znači da kraće
cijevi imaju bolji koeficijent isticanja.
Ustanovljeno je da je dužina mrtve zone oko 4 prečnika
naglavka, pa se za povećanje protoka koriste naglavci
dužine 4 prečnika.
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
34
Osnovne vrste naglavaka
• Venturijev naglavak
U pitanju je kratka valjčasta cijev kod koje je osjenčena oblast
(mrtva zona) zamijenjena profilisanom cijevi.
Eksperimentalno je utvrđeno da je za Venturijev naglavak
koeficijent isticanja 0.82.
Bernulijeva jednačina za presjeke na slobodnoj površini i I-I:
Kako je
• Bordin naglavak
U pitanju je kratka cilindrična cijev postavljena sa unutrašnje
strane suda.
Mlaz se sužava više nego kod Venturijevog naglavka, jer
strujnice skreću za 180o .
Kada je dužina L > 3d, koeficijent isticanja je 0.71, kada je
L < 3d, =0.51, što je manje nego za prost otvor.
• Suženi (konvergentni) naglavak
Ima oblik zarubljene kupe koja se sužava u smijeru
strujanja.
Koeficijent zavisi od ugla β, pri čemu je
maksimalan za β≈13o .
Zbog manjeg odvajanja mlaza je veće nego kod
cilindričnog naglavka.
Daju neprekidni mlaz velike brzine pa imaju veliku
inženjersku primjenu (vatrogasni šmrkovi, pumpe i
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
35
sl.).
• Prošireni (divergentni) naglavak
• Ima oblik zarubljene kupe koja se širi u smijeru strujanja.
• Zbog olakšanog odvajanja mlaza i znatnog gubitka pritiska
ugao se kreće između 5°-7°.
• Prosječna vrijednost koeficijenta isticanja je 0.45, a koriste se
kada se pri velikom protoku žele manje izlazne brzine.
• Konoidni naglavak
• Konstruiše se prema konturi površi mlaza koji ističe iz
otvora.
• Odvajanje mlaza svedeno na minimum.
• Koeficijen isticanja je jako visok i kreće se od 0.97 do
0.99, zavisno od kvaliteta unutrašnje površine cijevi i
visine tečnosti u sudu.
Isticanje pri promjenjivom nivou tečnosti (nestacionarno isticanje)
• Ako se neki od članova koji ulaze u Bernoullijevu jednačinu mijenja, isticanje postaje
nestacionarno.
• Npr. zbog isticanja može doći do smanjenja nivoa tečnosti u rezervoaru, pa se tlačna visina s
vremenom smanjuje.
• Ako je Qd>Qvan nivo raste, a ako je Qd < Qvan nivo opada.
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
36
• Ukoliko su te promjene spore, može se i dalje rješenje tražiti uz pomoć izraza za stacionarno
isticanje, ali se mora imati na umu da su sad veličine koje u te izraze ulaze, vremenski
promjenljive.
• Kao primjer analizirat će se slučaj sa prethodne slike.
• Protok kroz otvor na dnu rezervoara dat je od prije poznatim izrazom:
• Treba primijetiti da u ovom slučaju on ovisi o trenutnoj dubini tečnosti u rezervoaru.
• Neka istovremeno u rezervoar dotiče tečnost sa protokom Qd, za koji će se pretpostaviti da je
konstantan.
• Vremenom će se nivo tečnosti u rezervoaru tako dugo mijenjati, dok se ulazni i izlazni protoci
ne izjednače.
• Ravnotežnu dubinu nalazi se izjednačavanjem ova dva protoka:
• Ako je početna dubina veća od ravnotežne, ona će se vremenom smanjivati dok ne dostigne
ravnotežnu vrijednost, a ako je bila manja, nivo će rasti do ravnotežne vrijednosti.
• Vrijeme potrebno da se nivo tečnosti promijeni s h1 na h2 odredi se preko jednačine sačuvanja
zapremina:
za vrijeme dt u rezervoar uđe količina Qd dt, a za isto vrijeme isteče, tako da se za vrijeme dt
zapremina promijeni za
Ova promjena može biti pozitivna ili negativna.
• Integralenjem prethodnog izraza dobija se traženo vrijeme
• Da bi se riješio ovaj integral, mora se znati kako površina presjeka rezervoara ovisi o dubini h.
• Ako je posuda prizmatičnoga oblika S je konstantan i rješenje se lako nađe:
• Prekine li se u nekom trenutku dotok tečnosti u rezervoar, dolazi do njegova pražnjenja.
• Vrijeme potrebno da se nivo tečnosti spusti sa h1 na h2 određuje se uvrštavanjem ho = 0 u
prethodni izraz:
• Vrijeme potrebno da se rezervoar potpuno isprazni je:
• Ovo vrijeme je dva puta duže od vremena potrebnoga da ista zapremina tečnosti isteče iz
rezervoara ako se dubinu h1 drži konstantnom.
ghAQ 2
22
2 Ag
QhQQ d
ovand
dtghA 2
SdhdtghAdtQd 2
2
1
)(
2
12,1
h
h o hh
dhhS
gAt
gA
hSto
2
2 1
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
37
DINAMIKA VISKOZNOG FLUIDA
• Viskoznost – osobina fluida koja dolazi do izražaja samo pri kretanju fluida.
• Unutrašnje trenje se pojavljuje kao naprezanje koje djeluje na svaki fluidni djelić.
• Zadatak dinamike viskoznog fluida je matematičko definisanje naprezanja nastalih kao
posljedica viskoznosti fluida, kao i utvrđivanje njegovog uticaja na kretanje fluida.
• Umjesto komponenata deformacije (teorija elastičnih tijela) kod fluida se uvode komponente
brzine deformacije.
• Naponi koji potiču od viskoznosti u svakom trenutku za svaku tačku zavise samo od načina na
koji se fluid kreće u okolini te tačke u datom trenutku, pa se vezuju za trenutnu brzinu u toj
tački.
• U opštem slučaju deformacija fluidnog djelića je dosta složena, ali se ona može predstaviti kao
superpozicija različitih tipova pomjeranja i deformacija.
• Pri kretanju viskoznog fluida svaki djelić fluida izložen je naponu pritiska i smicanja.
• Ojlerovu jednačinu treba dopuniti novim članovima koji zavise od trenja, a koje uzrokuje
pojavu još jedne sile koja utiče na kretanje.
• Da bi se u diferencijalnu jednačinu za kretanje fluida uvele sile koje zavise od viskoznosti treba
prvo odrediti naponsko stanje.
• Bočne strane fluidnog delića oblika paralelopipeda opterećene su i tangentnim silama, tako da
rezultujuće sile pritiska nisu normalne na bočne strane.
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
38
• Rezultujuća sila pritiska u pravcu koordinatnih osa dobija se sabiranjem svih sila u dotičnom
pravcu vodeći obzira o smjeru.
Po pravcu ose x:
Na isti način dobit će se i rezultujuće sile u pravcu osa y i z, a svedene na jedinicu zapremine:
fN
x
N
y
N
z
fN
y
N
z
N
x
fN
z
N
x
N
y
x
xx yx zx
y
yy zy xy
z
zz xz yz
(5.2)
dxdzdzz
NNdxdyNdxdydy
y
NN
dxdzNdydzdxx
NNdydzNf
zxzxzx
yx
yx
yxzx
xxxxx
dxdydzz
N
y
N
x
Nf zxyxxx
x
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
39
Da bi se odredili naponi koji potiču od viskoziteta i koji zavise od pravca, treba jednostavno oduzeti od
normalnih napona, koji figurišu u naponskom modelu, pritisak (-p).
Dijelovi normalnih napona prouzrokovani od viskoziteta su:
• Tangencijalni naponi su u cjelosti posljedica viskoziteta.
• Pretpostavit će se da su naponi linearna funkcija određenih brzina deformisanja (koeficijent
proporcionalnosti je 2 gdje je -dinamički koeficijent viskoziteta).
Veza između normalnih napona i brzina deformacija:
gdje promjene
predstavljaju linearnu deformaciju ivica,
- neodređeni koeficijent proporcionalnosti
• Rezultujući pritisak u tački jednak je srednjoj vrijednosti pritiska koji djeluje u pravcu
koordinatnih osa
• Predpostavlja se da pritisak NR ne zavisi od pravca i jednak je pritisku - p koji figuriše u
savršenom fluidu tj. NR= -p
• Uvrštavanjem ovoga u prethodne sistem jednačina dobija se:
Normalni naponi postaju:
)(
)(
)(
pN
pN
pN
zz
yy
xx
z
w
y
v
x
u
z
wpN
z
w
y
v
x
u
y
vpN
z
w
y
v
x
u
x
upN
zz
yy
xx
2
2
2
v
u
x y
w
z, ,
zzyyxxR NNNN
3
1
0 )32( vdiv
(5.10) 2
3
N pu
xdiv
N pv
ydiv
N pw
zdiv
xx
yy
zz
22
3
22
3
22
3
v
v (5.11)
v
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
40
Na sličan način za tangencijalne napone dolazi se do izraza:
Uvrštavanjem izraza za normalne i tangencijalne napone u izraz za projekcije sila dobiju se:
u vektorskoj notaciji:
Upoređujući dobijeno sa Ojlerovom jednačinom kretanja za savršen fluid može se uočiti da od
viskoziteta potiču članovi
Dodavanjem ovih članova Ojlerovoj jednačini dobija se Navier-Stockes -ova jednačina strujanja
viskoznog fluida
Navie-Stoksove jednačine u skalarnom obliku:
Navie-Stoksove jednačine zajedno sa jednačinom kontinuiteta i karakterističnom jednačinom
(jednačina stanja) čini sistem diferencijalnih jednačina za određivanje pritiska, gustine i brzine,
čime je kretanje viskoznog fluida u potpunosti definisano.
x
w
z
uNN
y
w
z
vNN
x
v
y
uNN
xzzx
zyyz
yxxy
fp
xu
xdiv
fp
y ydiv v
fp
zw
zdiv
x
y
z
v
v
(5.12)
v
1
3
1
3
1
3
F grad p grad div v v (5.13)
1
3
v v (5.15) 1
3grad div
d
dtF grad p grad div
v v v (5.16)
1
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
z
w
y
w
x
w
z
pf
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
z
v
y
v
x
v
y
pf
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
z
u
y
u
x
u
x
pf
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
z
y
x
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
41
Bernulijeva jednačina za realnu tečnost
• Bernulijeva jednačina za realnu tečnost mora da uzme u obzir gubitke energije koji se javljaju
pri strujanju realne tečnosti. Za strujno vlakno:
• Bernulijeva jednačina za dva presjeka čitavog strujnog toka realne tečnosti:
Gubici energije koji se javljaju pri strujanju realne tečnosti:
• Gubici usljed trenja na pravolinijskm dijelovima cijevi i kanala
• Lokalni gubici - posljedica nagle promjene strujanja.
• Gubici usljed trenja na pravolinijskim dijelovima cijevi i kanala:
- koeficijent trenja
DARSIJEV OBRAZAC L – dužina cijevi
D – prečnik poprečnog presjeka cijevi
Ako se uvede HIDRAULIČKI RADIJUS (odnos površine poprečnog presjeka A
i okvašenog obima O):
• Lokalni gubici
– koeficijent koji zavisi od lokalnog otpora i određuje se obično
eksperimantalnim putem,
Naglo proširenje poprečnog presjeka
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
42
A1/A2 0.01 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.98 0.81 0.64 0.36 0.16 0.04 0
Naglo suženje poprečnog presjeka
A2/A1 0.01 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.50 0.49 0.42 0.33 0.25 0.15 0
Krivina (koljeno):
2r/R 1 2 4 6 10
GL 0.23 0.14 0.10 0.08 0.09
HR 0.51 0.30 0.23 0.18 0.20
Ventili
Ventil
Propusni ventil, širom otvoren 1.4715
Propusni ventil, 3/4 otvoren 8.3385
Propusni ventil, 1/2 otvoren 43.164
Propusni ventil, 1/4 otvoren 196.2
Loptasti ventil, širom otvoren 7.575
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
43
Ulazni otvori
Izlazni otvori
Režimi strujanja fluida
Postoje dva različita režima strujanja:
Laminarno strujanje – tečnost struji u slojevima pri čemu se slojevi ne miješaju međusobno.
Turbulentno strujanje – djelići tečnosti se kreću po složenim i međusobno izmiješanim trajektorijama,
pri čemu je kovitlanje i miješanje tečnosti intenzivno.
Ispitivanje dva režima strujanja je prvi izvršio Rejnolds 1883. godine
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
44
REJNOLDSOV BROJ
Rejnoldov broj predstavlja odnos između inercijalnih i viskoznih sila.
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
45
Laminarno strujanje
Tangencijalni napon je linearna funkcija od r :
Odgovarajućim transformacijama za raspodjelu brzine kod laminarnog strujanja u cijevima dobija se:
Za laminarno strujanje vrijedi
Turbulentno strujanje
dr
dN
v
2
2
2
22
114
)(R
rv
R
rR
l
prv max
4
2R
l
pvmax
22d21d 2
0
2
2
maxmax
R
r
maxsr
vA
vRrr
R
rvAvAvQ
2
maxsr
vv
Relam
64
T
tvTv0
d
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
46
Komponente trenutne vrijednost brzine:
prosječna brzina + pulzaciona brzina
Hidraulički glatke i hrapave cijevi
ovo je hidraulički glatka stijenka jer je granični laminarni
sloj deblji od najvećih neravnina stijenke.
ovo je prijelazno područje jer je granični laminarni
sloj po debljini približno jednak najvećim neravninama stijenke.
),,,(),,(),,,(
),,,(),,(),,,(
),,,(),,(),,,(
tzyxvzyxvtzyxv
tzyxvzyxvtzyxv
tzyxvzyxvtzyxv
zzz
yyy
xxx
Adem Šehić Mehanika fluida I www.samelx.blogger.ba
47
ovo je hidraulički hrapava stijenka jer je granični laminarni
sloj znatno tanji od najvećih neravnina stijenke.
dlam>4e hidraulički glatko
4e>dlam>e/2 prijelazno područje
dlam<e/2 hidraulički hrapavo
Koeficijent trenja
hidraulički glatke cijevi h=f(Re)
prijelazno područje h=f(Re,e/R)
hidraulički hrapave cijevi h=f(e/R)