pred vvs 12 trdnost c upogib -...

1

Univerza v Ljubljani – FS & FKKT

Varnost v strojništvu

doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str.

Govorilne ure:

• pisarna: FS - 414

• telefon: 01/4771-414

• [email protected], (Tema/Subject: VDPN - ...)

Prosojnice izdelane po viru: ###

Upogib

Opazujemo nosilec, ki je na enem koncu konzolno vpet, na

drugem, prostem koncu pa obremenjen s silo F, ki deluje

pravokotno na vzdolžno os nosilca (simetrala nosilca, narisana

s „črta-pika“ črto).

Prosti konec nosilca se zaradi sile F povesi za vrednost f –

nosilec se upogne.

poves f

2

Upogib

Predpostavimo, da je nosilec sestavljena iz vlaken, ki so

vzporedna z vzdolžno osjo nosilca (simetralo).

Ko se nosilec upogne, se zgornja vlakna podaljšajo, spodnja pa

skrajšajo, torej se v zgornjih vlaknih pojavi natezna, v spodnjih

pa tlačna napetost.

Vlakno, ki je najbolj oddaljeno od simetrale, se tudi najbolj

deformira, zato se v njem pojavijo tudi največje napetosti.

Vlakna, ki so bližje simetrali, se deformirajo manj, v njih pa so

tudi manjše napetosti.

Upogib

Vlakna, ki ležijo v ravnini simetrale, se ne podaljšajo in ne

skrajšajo, zato je upogibna napetost v njih enaka 0. Ta vlakna

tvorijo nevtralno plast.

Presek, ki je pravokoten na simetralo seka to plast v črti, ki jo

imenujemo nevtralna os preseka.

Presek ravnine, ki leži vzdolž nosilca in je pravokotna na

nevtralno plast z nevtralno plastjo (ki je po deformaciji

upognjena) tvori krivuljo, ki jo imenujemo elastična črta ali

upogibnica.

3

Upogib

Oblika upogibnice popisuje deformacijo nosilca pri upogibu in

določa poves nosilca.

Poves je tista veličina, za katero se poljubna točka vzdolžne osi

premakne zaradi vpliva zunanje sile F.

Enačbe upogibne trdnostiOpazujemo preseka AB in CD, ki ležita drug poleg drugega.

Prvotno vzporedna prereza, sta se zaradi delovanja sila F

nagnila, ostala pa sta še vedno ravna in pravokotna na os

nosilca (Bernoullijeva hipoteza).

4

Enačbe upogibne trdnostiRazdalja x je oddaljenost preseka CD od prostega konca

nosilca, kjer deluje sila F. V preseku CD nastopi upogibni

moment:

M = F ⋅ x.

Nasproti temu momentu delujeta natezna in tlačna napetost, ki

morata nuditi zadosti velik odpor, da se nosilec ne zruši.

Skozi točko N, ki leži na nevtralni plasti, potegnemo

vzporednico s presekom AB ter dobimo presek C1D1.

Dolžini CCl ustreza raztezek zgornjega vlakna, dolžini DlD

pa skrček spodnjega vlakna, katerega prvotna dolžina je bila

enaka daljici MN.

Enačbe upogibne trdnostiZa poljubno vlakno v razdalji y od nevtralne plasti je

podaljšek enak daljici �� = ∆�′.

Iz podobnosti trikotnikov: trikotnika NC1C in trikotnika Nnm,

sledi, da so spremembe v dolžini vlaken sorazmerne njihovim

oddaljenostim od nevtralne osi.

5

Za materiale, za katere velja Hookov zakon:

Če to enačbo (zapisano za ∆l‘ in ∆l) vstavimo v prej zapisano

razmerje:

dobimo:

in za tlačni (spodnji) del:

Enačbe upogibne trdnosti

Enačbe upogibne trdnostiNapetost v poljubnem vlaknu lahko določimo z napetostnim

diagramom pri znani σmax. Ker padajo napetosti linearno proti

nevtralni osi preseka in dosežejo v nevtralni osi vrednost nič,

lahko narišemo sledeč diagram:

6

Enačbe upogibne trdnostiNapetost σmax v najbolj oddaljenem vlaknu določimo:

Ker velja:

in

zapišemo napetost v poljubnem vlaknu, za y oddaljenem od

nevtralne osi:

Ker je koordinata y navzgor pozitivna, navzdol pa negativna,

dobijo napetosti po zgornji enačbi tudi ustrezne predznake:

„+“ pri nateznih napetostih in „–“ pri tlačnih.

�� = ��_�_�=

��_

��_

�

e�

=�

��_�

��

_��

_�

� ��_�=

�

e�

∙ �up_max_z

��_=

!��

_"

e�

�up_z =�

e�

∙ ��_�_�=

�

e�

∙#

��_"

$��

_"

=�∙#

��_"

!��

_"

Pri uporabi teh enačb razlikujemo naslednje primere:

1. Materiali, ki imajo enako dopustno napetost za tlak in nateg (npr.

jekla). Za nosilec se običajno izbere prerez, ki je glede na

nevtralno os simetričen, saj je tedaj material upogibno najbolje

izkoriščen.

2. Materiali, kjer sta dopustna napetost za nateg in tlak različni (npr.

siva litina). Tu raje uporabimo nesimetrične prereze, s čimer se

nevtralna os premakne iz sredine prereza, s čimer se doseže

različne napetosti v natezni in tlačni coni, s tem pa tudi dobro

izkoriščenost materiala:


≥≥≥≥ ≥≥≥≥

7

Pri uporabi teh enačb razlikujemo naslednje primere:

3. Pri nosilcih, pri katerih so prerezi glede na nevtralno os simetrični

W1 = W2, pa imajo vseeno različne vrednosti dopustnih napetosti

v nategu in tlaku, moramo v izračunih upoštevati manjšo

dopustno napetost.

4. Pri nosilcih z nesimetričnimi prerezi W1 ≠W2, ki so iz materiala z

enakimi dopustnimi napetostmi v nategu in tlaku, vzamemo v

račun vedno manjši odporni moment (torej večjo dejansko

napetost).


DOPUSTNE NAPETOSTI IN DIMENZIONIRANJE

Upogib

Dopustne napetosti za upogib smo že prikazali v tabeli.

So enake oz. podobne dopustnim nateznim oz. tlačnim

napetostim in torej odvisne tudi od obremenitvenega primera in

vrste obremenitve.

Dimenzioniranje poteka s pomočjo ene od sledečih enačb:

V spodnji enačbi ei pomeni e1 ali e2.

��p_max_�=

��_

��_

≤ ��p_dop

��_max_�=

()∙#

��_"

!��

_"

≤ ��p_dop

8

UPOGIBNICA / ELASTIČNA ČRTA

Upogib

Ugotoviti moramo, za koliko se upogne nosilec zaradi vpliva

zunanje sile.

Zanima nas torej upogibnica (elastična črta) - črta, določena s

presečiščem nevtralne plasti nosilca in upogibne ravnine.

Ta črta je pri različnih obremenitvah različna in je vedno popolnoma

splošne oblike. Lahko si mislimo, da je sestavljena iz več krožnih

lokov, katerih polmeri so na različnih mestih nosilca različni.

Polmer takega krožnega loka imenujemo tudi polmer ukrivljenosti.


Upogib

Vzamemo enostransko vpet nosilec,

obremenjen s silo F.

Na elastični črti (osi nosilca) opazujemo

majhen lok �*+ .

V točkah M in N potegnemo pravokotnici na

elastično črto, ki se sekata v točki O, ki je

središče krožnega loka �*+ .

Dolžini ON = OM = ρ imenujemo polmer

ukrivljenosti, točko O pa središče

ukrivljenosti. Skozi točko N potegnemo

vzporednico preseku AB in dobimo dočki C‘

in D‘.

9


Upogib

Dolžina C′ C+ ustreza raztezku ∆l, D′ D, pa

skrčku ∆l. Dolžina AC′+ = �*+ .

Iz podobnosti trikotnikov:

sledi (e1 označimo z e ):

Iz Hook-ovega zakona smo že prej izpeljali:

Dobimo:

od koder se izrazi polmer ukrivljenosti.


Upogib

Polmer ukrivljenosti:

Polmer ukrivljenosti je odvisen v glavnem

od materiala (E) in napetosti (σ), katero

povzroča upogibni moment.

V enačbo vstavimo namesto napetosti σ

enačbo, za napetost pri upogibu:

in dobimo:

10

UPOGIBNICA /

ELASTIČNA ČRTA

Upogib

Pri konstantnem Ix je polmer ukrivljenosti ri toliko manjši, kolikor je večji

upogibni moment Mx. (Manjši polmer ρ pomeni večjo ukrivljenost!)

Torej ima najmanjšo vrednost radija ukrivljenosti na mestu maksimalnega

upogibnega momenta - nosilec se tam najbolj ukrivi.

F

Mup

r1 r2

r3


Upogib

Vsaki dolžini x nosilca ustreza popolnoma določen y (poves):

Krivuljo, po kateri se deformira nevtralna plast nosilca, imenujemo

upogibnica.

To lahko določimo tudi z rešitvijo diferencialne enačbe za radij ukrivljenosti

poljubne krivulje, kjer se za radij ukrivljenosti upošteva zgoraj izpeljano

enačbo:

- =. ∙ /

�"

11


Upogib

Polmer ukrivljenosti (krivinski radij) poljubne krivulje se lahko določi po

diferencialni enačbi:

od koder se lahko izrazi:

kar ob predpostavki ničnosti kvadratnega člena majhnega števila prinese

sledečo diferencialno enačbo upogibnice nosilca:

022

02=

1 + 5�5"

6

-=

1 + 5�5"

6

7∙!#

"

=

� 1 + 5�5"

6

. ∙ /

y‘‘=56�

5"6 =#

"

7∙!

PrimerKolikšen je potreben premer primeževega

ročaja, če deluje na koncu ročice sila roke

F = 400 N in je dopustna upogibna napetost

σf dop = 120 MPa?

12

Primer

PrimerDvoročni vzvod je v točki "O"

vrtljivo vpet, v točki A pa

obremenjen s silo

F1 = 47 kN. Narišite diagram

upogibnih momentov in izračunajte

višino h vzvoda za presek I-I, če je

b = h/4 in σdop = 50 N /mm2.

Kako velika mora biti višina vzvoda

v preseku II-II, če je širina za celo

dolžino konstantna? Koliko znaša

upogibna napetost v nevarnem

preseku?

13

Primer

Primer

14

Primer

Presek z največjo obremenitvijo Mmax imenujemo tudi nevarni presek.

=: ∙ ℎ6

6

ℎ ≥>?@∙�AB∙C

??

D=197,35 mm � h=200 mm

PrimerNa mestu Mmax (točka 0) ima nosilec obliko cevi dolžine 180 mm, z zunanjim

premerom 240 mm in notranjim premerom 130 mm. Prerezna ravnina na

mestu Mmax, vzporedna z ravninama I-I in II-II to cev prereže po sredini.

Vztrajnostni moment se izračuna s pomočjo razlike vztrajnostnih momentov

večjega pravokotnika („celoten prerez“ širine 18 cm in višine 24 cm) in

manjšega pravokotnika („prerez luknje“ širine 18 cm in višine 13 cm).

< σσσσfdop = 50 MPa

pred vvs 12 trdnost c upogib -...

Documents