pravilni_poligoni

27
SEMINARSKI RAD

Upload: goran-drakulic

Post on 27-Jun-2015

452 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: Pravilni_poligoni

SEMINARSKI RAD

Page 2: Pravilni_poligoni

Univerzitet u Beogradu

Matematički Fakultet

Seminarski radIz

Metodike nastave Matematike II

Tema: -PRAVILNI POLIGONI-

1

Profesor:Dr. Zoran Lučić

Student:Zlatković Sonja 376/96

Page 3: Pravilni_poligoni

-Pravilni poligoni-

1. PRAVILNE POLIGONALNE LINIJE 2. PRAVILNI KONVEKSNI I ZVEZDASTI POLIGONI

3. UPISIVANJE PRAVILNIH POLIGONA U KRUG

1. Za poligonalnu liniju kažemo da je pravilna ako su joj sve stranice jednake i svi uglovi jednaki, pri čemu su svaka dva uzastopna ugla sa iste strane prave koja spaja njihova temena (sl. 1.)

Slika 1.

Teorema. Ako na neki krug prenesemo jednake uzastopne lukove, deone tačke su temena pravilne poligonalne linije.

Neka su AB, BC, CD,... jednaki lukovi; njihove tetive AB, BC, CD,...su jednake; periferijski uglovi <ABC, <BCD su na jednakim lucima; ovi uglovi su jednaki. Poligonalna linija ima jednake stranice i jednake uglove: ona je pravilna (sl. 2.).

2

Page 4: Pravilni_poligoni

Slika 2.

Obratna teorema. Svaka pravilna poligonalna linija može se upisati u krug.

Neka su A, B, C, D četri uzastopna temena jedne pravilne poligonalne linije (sl. 3.). Konstruišimo krug ABC; njegov centar O je u preseku simetrala duži AB i BC. Ako ga savijemo po simetrali duži BC, tačka B doćiće u C a poluprava BA poklopiće se sa polupravom CD (jednakost uglova). Pošto je BA=CD, tačka A prelazi u D, a poluprečnik OA poklopiće se sa OD; pošto je duž OD jednaka poluprečniku, tačka D leži na krugu ABC.Krug koji prolazi kroz tri uzastopna temena prolazi i kroz naredno teme; postepeno se uviđa kako prolazi kroz sva temena.Napomena. Četvorougao ABCD je trapez.

Slika 3.

UPISANI KRUG. Neka je O centar kruga opisanog oko pravilne poligonalne linije ABCD... Jednake tetive AB, BC, CD,...su na jednakom rastojanju a od centra O; one su tangente kruga sa centrom u O i poluprečnikom a ; za ovaj krug kažemo da je upisan u poligonalnu liniju (sl. 4.).

3

Page 5: Pravilni_poligoni

Slika 4.Definicije. Zajednički centar opisanog i upisanog kruga zove centar pravilne poligonalne linije; poluprečnik opisanog kruga je poluprečnik poligonalne linije, i poluprečnik upisanog kruga je njegova apotema.Ugao <AOB je centralni ugao.Obeležimo sa r poluprečnik, sa c stranicu, sa a apotemu i sa centralni ugao. Trougao AOH (H je sredina AB) ima prav ugao u temenu H, tako da imamo:

; ; .

2. KONVEKSNI POLIGONI. Ako u krug upišemo pravilnu poligonalnu liniju uzimajući za luk n-ti deo kruga, poligonalna linija se zatvara u konveksan poligon sa n stranica, čije su sve stranice jednake i svi uglovi jednaki; za ovaj poligon kažemo da je pravilan.Kao i svaka poligonalna linija, i pravilan poligon ima koncentrični opisani i upisani krug. Definicije date za prave poligonalne linije (centar, centralni ugao, apotema) važe i za pravilne

poligone. Centralni ugao iznosi . Svi spoljašnji uglovi su jednaki i njihov zbir je 2.

Spoljašnji ugao je, dakle jednak centralnom uglu; unutrašnji ugao mu je suplementaran.

Obrtanjem za ugao oko centra O dovodi de pravilan poligon do poklapanja sa samim

sobom; pri tome su mu temena ciklično permutovana; tada tačku O nazivamo centrom ponavljanja n-tog reda.Dva pravilna poligona sa istim brojem stranica imaju jednake uglove i proporcionalne stranice; oni su slični.

ZVEZDASTI POLIGONI. Ako je krug podeljen na n jednakih delova i ako se, počevši od jedne tačke, povuče duž do p-te tačke, pa odatle opet duž do naredne p-te tačke, itd.., dobićemo pravilnu poligonalnu liniju.Ova linija će se zatvoriti pošto se bude na taj način prešao izvestan broj punih obrtaja, to jest multiplum od n. Taj se slučaj javlja kada je broj pređenih podelaka jednak najmanjem zajedničkom sadržiocu za n i p. Možemo imati dva slučaja.Prvi slučaj. n i p su uzajamno prosti. Njihov najmanji zajednički sadržalac je njihov proizvod np; ivršeno je p punih obrtaja, te imamo poligon sa n stranica, koji se zove pravilan zvezdasti poligon sa n stranica.

4

Page 6: Pravilni_poligoni

Drugi slučaj. n i p nisu uzajamno prosti. Neka je d njihov najveći zajednički delilac; tada je

njihov najmanji zajednički sadržalac (ceo broj).

Broj punih obrtaja je : n, to jest , a broj stranica je :p, to jest .Dakle, ne dobijamo n-

tostranični poligon.Znači, poligon sa n stranica imaćemo ako i samo ako su p i n uzajamno prosti. Zapazimo, s druge strane, da će p i n-p dati isti poligon; zaista odbrojati p podelaka u jednom smislu znači isto što i odbrojati n-p podelaka u drugom smislu.Da zaključimo: imaćemo onoliko pravilnih zvezdastih n-tostraničnih poligona koliko ima brojeva uzajamno prostih sa n čija je dvostruka vrednost manja od n.

Primeri. n=5. Postoji zvezdasti petougao dobijen spajanjem svake druge tačke (sl. 5.). n=8. Postoji zvezdasti osmougao dobijen spajanjem svake treće tačke (sl. 6.). n=15. Dobija se poligon sa 15 stranica za p=2, za p=4, za p=7. Postoje tri pravilna zvezdasta petnaestougla.

Slika 5. Slika 6.

3. Konstruisanje pomoću lenjira i šestara pravilnih poligona upisanih u krug mogućno je samo u posebnim slučajevima; tako je ova konstrukcija nemoguća za poligon sa 7 stranica, za poligon sa 9 stranica. Gausu (Gauss) pripada zaslugašto je u tačno odredio u kojim slučajevima je takva konstrukcija moguća. Razmotrićemo nekoliko prostih primera.

KVADRAT. Da bi smo konstruisali kvadrat upisan u dati krug (sl. 7.), treba da povučemo dva uzajamno normalna prečnika AC i BD.

5

Page 7: Pravilni_poligoni

Stranica i apotema kao funkcija poluprečnika r.

Centralni ugao iznosi . Iz pravouglog trougla AOB je:

odatle je stranica:

Neka je OH apotema; OH je težišnica pravouglog trougla AOD; dakle, OH= , tako da je

apotema:

PRAVILAN OSMOUGAO. Da bi smo u dati krug upisali pravilan osmougao (Sl. 8.), povlačimo dva uzajamno normalna prečnika i simetrale tih pravih uglova.

6

Page 8: Pravilni_poligoni

Izračunavanje stranice. Temena A i E su dijametrano suprotna. Neka je K presek prečnika AE i BH; BH je stranica upisanog kvadrata a OK njena apotema. Iz pravouglog trougla ABE je:

odakle je stranica pravouglog osmougla:

Izračunavanje apoteme. Apotema OI je polovina tetive BE, a iz pravouglog trougla ABE je opet:

,

odakle je apotema:

.

PRAVILAN ŠESTOUGAO. Ako je kružni luk AB (Sl. 9.) 1/6 kruga, imamo da je <AOB= ,

i trougao AOB je jednakostraničan; tetiva AB je jednaka poluprečniku; otuda je:a6 = r.

DA bi smo u dati krug upisali šestougao, prenosimo, otvorom šestara jednakim r, šest uzastopnih tetiva jednakih poluprečniku; završetak poslednje tetive je početak prve.(Da bi se izbeglo nagomilavanje grafičkih grešaka, povlači se prečnik AD, a zatim se iz centra A i D opišu kružni lukovi poluprečnikom r.

7

Page 9: Pravilni_poligoni

Apotema. Apotema je visina jednakostraničnog trougla AOB čija je stranica r:

.

JEDNAKOSTRANIČNI TROUGAO. Maločas smo podelili krug na šest jednakih lukova; jednakostraničan trougao upisaćemo spajajući svako drugo teme (trougao ACE, Sl. 10.).Četvorougao OACD je romb, iako je tačka M presek dijagonala, M je sredina duži OD, te je:

Stranica iznosi 2CM; CM je visina u jednakostraničnom trouglu OCD, odakle je:.

Možemo zapaziti da je stranica upisanog jednakostraničnog trougla simetrala poluprečnika.

Slika 10.

DESETOUGAO. Pošto je krug podeljen na deset jednakih delova (tačke A, B, C, D,...)

8

Page 10: Pravilni_poligoni

(Sl. 11.), pravilan konveksni desetougao nacrtaćemo spajajući uzastopne deone tačke (stranica AB); zvezdasti desetougao dobićemo spajajući svaku treću tačku (stranica AD).Neka je:

AB = x; AD = y.Centralni ugao <AOB iznosi 36°. Neka je M presek OB sa AD. Na slici imamo izvestan broj jednakokrakih trouglova:

AOB: ugao pri vrhu 36°; uglovi u temenima A i B po 72°;AMO: ugao u tački O ima 36°; ugao u tački A (periferijski) ima 36°;ABM: ugao u tački B ima 72°; ugao u tački A (periferijski) ima 36°; ugao u tački M:

180°-(36°+72°) = 72°;OMD: ugao u tački M ima 72°; ugao u tački O ima 72°.

Slika 11.Imaćemo, dakle:

AB=AM=MO= x, i DM= r,Dakle je:

y-x = r.S druge strane trouglovi AMO i AOD su slični (jednaki uglovi):

; odatle je xy = r2.

Kratko rečeno, x i y imaju diferenciju r i geometrijsku sredinu r. Možemo ih dobiti sledećom konstrukcijom: povući ćemo poluprečnik OP normalno na OA, zatim ćemo opisati krug poluprečnika OP; neka je njegov centar; povući ćemo poluprečnik IJ koji prolazi kroz A; duži AI i AJ imaju razliku IJ= r; to su tražene duži.Imamo da je:

A2=AO2+O2=

,

odakle su stranice c10 i c'10 konveksnog zvezdastog desetougla:9

Page 11: Pravilni_poligoni

; .

Apoteme izračunavamo pomoću relacije:

;

dobijamo:

; .

PETOUGAO. Podela kruga na deset jednakih lukova dopušta da se upišu dva petougla: konveksan petougao,- kada se spoji svaka druga tačka, -i zvezdasti petougao, -kada se spoji svaka četvrta tačka.

Na slici 12. je stranica konveksnog petougla. Lako se vidi da je ova stranica dvaputa veća od a'10, a apotema je polovina od c'10:

Slika 12.

Duž BF (Sl. 13.) je stranica zvezdastog petougla; ova stranica je dvaput veća od a10, a apotema je polovina od c10:

.

10

Page 12: Pravilni_poligoni

Slika 13.

-POVRŠINA POLIGONA-

1. POJAM POVRŠINE 2. POVRŠINA PRAVOUGAONIKA 3. POVRŠINA PARALELOGRAMA 4. POVRŠINA TROUGLA

5. POVRŠINA TRAPEZA 6. POVRŠINA POLIGONA

1. Površinom nazivamo veličinu dela ravni ograničenog zatvorenom konturom.Taj deo ravni čini površ; često se u svakodnevnom govoru ne pravi uvek razlika između konture i unutrašnje oblasti ograničene konturom; tako se govori površina trougla da bi se označila površina dela ravni u trouglu.Ako se dve površi (S1) i (S2) graniče a nemaju zajedničku unutrašnju oblast (Sl. 14.), tada je

S1

11

Page 13: Pravilni_poligoni

S2

Slika 14.

unija ovih dveju površi S1S2 površ (S) čija je površina zbir površina površi (S1) i (S2).

Ekvivalentne površi. Dve jednake površi, to jest koje se mogu predstaviti tako da mogu potpuno da nalegnujedna na drugu, imaju očigledno jednake površine; međutim, površi mogu imati i različit oblik ali jednaku površinu; tada kažemo da su takve površi ekvivalentne.

Jedinica površine. Jedinica površine je, prema usvojenom pravilu, površina kvadrata čija je stranica jedinica dužine. Tako, metru odgovara kvadratni metar- površina čija je stranica jedinica dužine.

2. Pravougaonik je određen dužinama dveju susednih stranica, koje se zovu njegove dimenzije. Podesno je izabrati jednu od stranica za osnovicu; tada je druga stranica visina.Posmatrajmo pravougaonike iste visine, na primer pravougaonike nacrtane u traci koju čine dve paralelne prave () i ('); visine su delovi zajedničkih normala ograničeni tim dvema pravim.Jednakim osnovicama odgovaraju, očigledno, jednaki pravougaonici, te, prema tome, i jednake površine.

Ako se osnovice AB i BC nadovežu jedna na drugu (Sl. 15.), površina pravougaonika sa osnovicom AC biće zbir površina dvaju pravougaonika sa osnovicama AB i BC.

Slika 15.

Na poznati način (v. merenje veličina), odatle zaključujemo da su površine dvaju pravougaonika jednake visine proporcionalne njihovim osnovicama.Na identičan način utvrđujemo da su površine dvaju pravougaonika jednakih osnovica proporcionalne njihovim visinama.

12

Page 14: Pravilni_poligoni

Da zaključimo: površina pravougaonika je direktno proporcionalna njegovoj osnovici i njegovoj i njegovoj visini; ako su x i y osnovica i visina, imaćemo:

P= k xy,Gde je k koeficijent proporcionalnosti koji zavisi od jedinice izabrane površine. Dakle, jedinica površine je površina kvadrata čija je stranica jedinica dužine. Ovaj kvadrat pripada skupu pravougaonika; to je onaj pravougaonik za koji je x=1 i y=1. Odakle izvodimo da je k=1 i P=xy.Merni broj površine pravougaonika je proizvod mernih brojeva njegove osnovice i njegove visine.Kratko rečeno (ako poistovetimo veličinu i broj koji je izražava):Merni broj površine pravougaonika je proizvod njegovih dimenzija.Poseban slučaj: Površina kvadrata. Ako je a dužina stranice, imaćemo:

P=a2.Promene jedinice. Ako je l jedinica dužine, tada je jedinica površine površina kvadrata čija je

stranica l; ako se za jedninicu dužine uzme dužina , to jest prvobitna jedinica podeljena sa p2.

Posebno, ako su jedinice dužine date u decimalnom sistemu, jedinice površine biće u sistemu sa osnovicom 100.

3. TEOREMA. Površina paralelograma jednaka je proizvodu osnovice i visine.Neka je (Sl. 16.) dat paralelogram ABB'A'; za osnovicu izaberimo stranicu AB. Spustimo iz temena A' i B' normale A'C i B'D na osnovicu; jedna od ovih duži biće visina paralelograma.

Slika 16.

Dva pravougla trougla AA'C i BB'D imaju jednaku hipotenuzu (suprotne stranice paralelograma) i još je A'C=B'D (rastojanje dveju paralelnih pravih). Ti trougli su podudarni.

13

Page 15: Pravilni_poligoni

Ako paralelogramu dodamo trougao B'BD i zatim oduzmemo njemu jednak trougao A'AC, dobićemo ekvivalentan pravougaonik čija je površina A'B'CA'. Time je teorema dokazana.

4. Neka je dat trougao ABC; izaberimo za osnovicu stranicu BC i odgovarajući visinu AH za visinu (Sl. 17.).

Slika 17.

TEOREMA. Površina trougla je polovina proizvoda jedne stranice i njene visine.Konstruišimo paralelogram ABCD koji ima dve stranice CA i CB; dijagonala AB deli ga na dva jednaka trougla, a njegova površina, neka je to BCAH, dvostruko je veća od površine trougla ABC; odatle je površina:

.

Posebni slučajevi: Površina trougla čije stranice a i b grade prav ugao je .

Površina jednakostraničnog trougla sa stranicom a jeste .

5. Teorema. Površina trapeza jednaka je proizvodu visine i poluzbira osnovica.Presecamo trapez pravom AB' (Sl. 18.); površina trougla AA'B', čija je osnovica A'B' i visina AH, je ½ A'B'. Površina trougla B'AB, čija je osnovica AB i visina B'K, jeste ½ ABB'K. Kako je AH=B'K=h-visina trapeza, -površina trapeza je zbir ranije pomenutih površina:

.

14

Page 16: Pravilni_poligoni

Slika 18.

6. U opštem slučaju, površinu poligona izračunavamo tako što ga predhodno rastavimo na trouglove, a zatim saberemo površine tih trouglova.

POVRŠINA PRAVILNOG POLIGONA. Teorema. Površina pravilnog konveksnog poligona jednaka je polovini proizvoda obima i apoteme.

Neka je (Sl. 19.) ABCD... pravilan konveksni poligon sa n stranica i centrom O. U trouglu AOB visina je apotema OH, te je površina OAB=1/2OHAB.

Slika 19.

Poligon se sastoji o n trouglova jednakih trouglu OAB; njegova površina je, dakle,

.

Kako je obim mnogougla, to je formula dokazana.

SLIČNI POLIGONI. Površina dvaju sličnih trouglova. Odnos površina sličnih trouglova jednak je kvadratu koeficijenata sličnosti.

15

Page 17: Pravilni_poligoni

Slika 20.

Neka je trougao A'B'C' (Sl. 20.) sličan trouglu ABC (koeficijent sličnosi k) i neka su A'H' i AH

visine tih trouglova. Imamo da je i

.

Proširenje na slične poligone. Odnos površina dvaju sličnih poligona jednak je kvadratu koeficijenata sličnosi.

Slika 21.

Neka je poligon (P') (Sl. 21.) sličan poligonu (P) (koeficijent sličnosti k); (P) i (P') možemo rastaviti na slične trouglove (isti koeficijent sličnosi). Obeležimo sa s1,s2,s3,... površine tako dobijenih trouglova u poligonu (P), a sa s'1,s'2,s'3,... površine homolognih trouglova u poligonu (P'). Imaćemo da je:

i, prema poznatom svojstvu produžene proporcije,

.

RAZNE FORMULE ZA POVRŠINU TROUGLA.Površina kao funkcija dveju stranica i njima zahvaćenog ugla. U trouglu ABC neka je BD visina (Sl. 22.). Imamo da je :

16

Page 18: Pravilni_poligoni

Slika 22.

odakle je površina ABC=1/2ACAB sinA; S=1/2bc sinA; cikličnom permutacijom dobijamo:

Površina trougla kao funkcija stranica i poluprečnika opisanog kruga. Neka je R

poluprečnik opisanog kruga. Imamo ; ako ovaj izraz prenesemo u predhodnu

formulu, dobićemo:

.

Površina trougla kao funkcija obima i poluprečnika upisanog kruga. Neka je I centar upisanog kruga (Sl. 23.) i r njegov poluprečnik:

površina ABC= površina IBC+ povšina ICA+površina IAB.

Trouglovi sa vrhom u tački I imaju uvek visinu r, te je površina

Koristeći uobičajenu oznaku (s-poluobim) dobijamo P=sr.Pvršina trougla je polovina proizvoda obima i poluprečnika.

Slika 23.

Napomene:

17

Page 19: Pravilni_poligoni

1°Primena na konveksne poligone.Predhodni rezultat odnosi se na svaki konveksan poligon ABCDE opisan oko kruga. Neka je (O,r) upisan krug; tada je :

površina ABCDE= površina OAB+površina OBC+površina OCD...

.

2°Slučaj spolja upisanih krugova. Za spolja upisane krugove može se primeniti analogni postupak. Neka je I' centar spolja upisanog kruga u uglu <A (Sl. 24.) i neka je ra njegov poluprečnik; tada je :

površina ABC= površina i'CA+površina I'AB-površina I'BC

.

Slika 24.

Dakle,b+c-a= (b+c+a)-2a= 2s-2a= 2(s-a).

Odatle imamo formulu :P= (s-a)ra ,

18

Page 20: Pravilni_poligoni

i dve anologne formule, ako sa rb i rc označimo poluprečnike spolja upisanih krugova u uglovima B i C:

P= (s-b)rb , P= (s-c)rc .

Površina trougla kao funkcija stranica. Eliminišimo ugao A iz poznatih formula:

i .

Ove formule se mogu napisati uobliku:

.Stepenujmo sa 2 i saberimo:

4b2 c2(cos2A+sin2A) = (b2+c2-a2)2 +16P2.No kako je sin2A+cos2A=1, dobijamo:

4b2 c2=(b2+c2-a2)2+ 16P2.Iz ove relacije izračunaćemo P kao funkciju stranica:

16P2 = 4b2c2-(b2+c2-a2)2.

Desna strana je razlika kvadrata:16P2=(2bc+b2+c2-a2) (2bc-b2-c2+a2) =(b+c)2-a2a2-(b-c)2 =(b+c+a)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c).

Stavimoa+b+c= 2s;

odakle dobijemo pošto oduzmemo 2a:b+c-a= 2s-2a= 2(s-a),

i isto tako:a+c-b= 2(s-b); a+b-c= 2(s-c),

tako da je:16P2= 2s2(s-a)2(s-b)2(s-c),

i, definitivno,.

Primer. Pokazati da se površina četvorougla dobija kada se polovina proizvoda dijagonala pomnoži sinusom tim dijagonalama zahvaćenog ugla.

Neka je O presek dijagonala (Sl. 25.), AC=d, BD=d'; površina ABC= površina OAB+ površina OBC=

= 1/2OAOBsin + 1/2OCOBsin

=1/2OBsin(OA+OC)=1/2OBsinAC.Na isti način nalazimo da je:

Površina ADC=1/2ODsinAC,Zatim, sabiranjem, površina ABCD= 1/2AC(OB+OD)sin= 1/2ACBDsin.

19

Page 21: Pravilni_poligoni

.

Slika 25.

Napomene: 1°Nađena formula se proširuje i na konkavan četvorougao; samo, tada treba oduzimati.2°Ako dijagonala klizi duž svog nosača zadržavajući konstantnu dužinu, četvorougao zadržava konstantnu površinu.

Literatura:

1. The Universal Enciklopedia of Mathematics- James R. Newman-

2. Članci iz Matematike- Božidar Đ. Erasimović, Miroslav Živković- Nolit 1957. Beograd

3. Geometry- Harold R. Jacobs- W. H. Freemon And Company-1974. San Fransisco

4. Introduction To Geometry- H. S. M. Coxeter -

5. Rečnik Matematičkih termina sa tumačenjem-O. V. Maturov i J. K. Soloncev, J. I. Sorkin, N. G. Fedin - Naučna Knjiga 1969.

20

Page 22: Pravilni_poligoni

6. Elementi - Euklid Naučna Knjiga 1957. Beograderzitet u Beogradu

21