práctica matemática 1 uni
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Práctica Mate 1 UNITRANSCRIPT
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rea de Ciencias Bsicas Lic. Adriana Valverde Caldern
PRIMERA PRCTICA DE MATEMTICA I - AA-211 FIA-UNI (08 / 09/ 2008)
1. Determine la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones, justificando cada una de
sus respuestas: a) b) ;x xx0 es un entorno de 0xc) ;max d) existe un nmero racional anterior y posterior a ;Qx x Resolucin
a) Es falso que , pues si 0 se debe tener b) Verdadero. Pues si ;x xx0 se tiene, 0x x
0 0x x x Lo que significa que, 0 0;x x x xx0 es un entorno 0( , )E x
c) Verdadero. Pues si 0 y max ; si 0 y max ;
En ambos casos ;max
d) Falso. Pues es un conjunto denso y nunca sabremos cual el anterior y el siguiente de x.
Q
2. a) Considere la sucesin ,....,...,, 21 nn xxxa de nmeros racionales que se define
mediante la siguiente relacin:
n
nn x
xx 11
Nn ; 1x (dado), siendo 0 1
Pruebe que la sucesin esta acotada y halle las cotas superiores e inferiores. na Prueba
Usando un mtodo directo se tiene: 110 1
1 1n n
nn n
x xxx x
cotas inferiores = ,0 y cotas superiores = 1,
1
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Usando un mtodo indirecto (Mtodo de induccin matemtica)
Si se tiene: 1n 1 121 1
10 11 1
x xxx x
; es ac
k
otada
Asumimos que la serie es acotado para n : 1 10 11 1k k
kk k
x xxx x
1n k
: 1 121 1
10 11 1
k kk
k k
x xxx x
Probamos que cumple para cotas inferiores = ,0 y cotas superiores = 1,
b) Sea la sucesin de nmeros reales definida por ny 1
1 2)2(
n
nnn y
yyy para
; ,... y3,2n a1 ; ; (con by 2 ba 0 ). Obtenga en funcin de . 1ny ny
Resolucin
Una forma de resolucin Observando cmo se comporta la sucesin segn el algoritmo dado:
Si n se tiene 2 2 231
22
y yy
y
Si n se tiene 3 3 342
22
y yy
y
Si n se tiene 4 4 453
22
y yy
y
Se observa que un factor del numerador de ny es igual al denominador de 1ny , entonces, si multiplicamos todos los elementos de la sucesin miembro a miembro, se tiene:
21
1
22
nn
y yy
y
Simplificando: 211
22
nn
y yy
y
Asignando los valores dados: ay 1 ; by 2 en la ltima expresin, se obtiene en funcin de .
1ny
ny
1
22
nn
b yy
a
Otra forma de resolucin Sustituyendo ay ; 1 by 2 desde la primera iteracin:
2
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3
22
b by
a
4 32 2
22 2 2
2 22 2 2 2
b b b ba a b bb by y
b a a a
5 42 2 2 22 2 2 2b b b by b y
a a a a
..
1
22
nn
b yy
a
3. a) Resuelva la siguiente relacin: xxxxxx 2323 2323
Resolucin Extraer el factor comn: 2 23 2 3 2x x x x x x Simplificar el factor comn: 2 23 2 3 2x x x x Factorizar cada miembro: 2 1 2x x x x 1 Formar una inecuacin: 2 1 2 1x x x x 0 (1) Determinar los puntos crticos: x = 0 ; x = 2 ; x = 1
Resolver la inecuacin (1), usando la definicin de valor absoluto, en cada intervalo separado por los puntos crticos:
Si entonces 0x 0x Si 0 1x entonces x Si entonces 1 21 x 2 x Si entonces 2 x x Conjunto solucin: ,0 1, 2x
b) Halle el conjunto solucin 2
1 1 4x
Resolucin
La desigualdad se puede expresar 2 21 1 2x
Extraer la raz cuadrada a cada miembro: 1 1 2x
3
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4
Aplicando la propiedad de valor absoluto: 2 1 1x 2 Luego, los valores x que satisfacen la inecuacin deben satisfacer las siguientes condiciones:
1 0x 1 1 1 1 1 0 1 1 1x x x Usando la definicin de mximo entero de un nmero real:
1 1 1x1x 2 0 1x 3 es decir: 0 1x 1 3x 1x 1 9x 9 1x 9 8 1x 0 Intersectando los conjuntos: 1x ; 1x ; 8 x 10 se tiene: Conjunto solucin: 1 , 10x
4. Grafique la interseccin de las siguientes relaciones: 4/),( 2221 yxyxR y 2R , esta ltima es una regin cerrada de manera que se cumpla: rea( 21 RR ) > 216u
Grfica Una posibilidad es considerar la regin: 2 2 22 , /R x y x y 9 pues 21 RR tiene un rea mayor a 16 . 2u
X
Y
Grfica de R1 y R2
-6 -4 -2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6R2
R1