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SOLUCIONARIOSOLUCIONARIO UNIUNI
1
Examen de admisión 2019-1
Matemática
PREGUNTA N.º 1
El perímetro de un triángulo es 50 m y sobre cada lado del triángulo se forma un cuadrado cuyo lado coincida con el lado del triángulo. Como resultado, la suma de las áreas de los cuadrados formados es 900 m2 y el lado del primer cuadrado es al del segundo como, el lado del tercero es a la mitad del primero. La relación del mayor y el menor de los lodos del triángulo es de (Considere que los lados del triángulo son números naturales)
A) 2 a 1B) 5 a 2C) 3 a 1D) 5 a 1E) 11 a 2
RESOLUCIÓN
Tema: Áreas de regiones cuadrangulares
Análisis y procedimiento
c
c
bb
aa
Datos: a+b+c=50 (I) a2+b2+c2=900 (II) a2=2bc (III)
Reemplazamos (III) en (II). b2+c2+2bc=900 b+c=30 (IV)
Reemplazamos (IV) en (I). a+30=50 a=20
De (III) y (IV) b=10 c=20
Entonces
lado mayor
lado menor =20
102=
Por lo tanto, la relación es de 2 a 1.
Respuesta: 2 a 1
PREGUNTA N.º 2
Las magnitudes X e Y son tales que (Y – 2) y (X2+1) son inversamente proporcionales. Se sabe que cuando X=2, se tiene que Y=3. Determine la ecuación que relaciona X e Y
A) YX
=−
+3
12
2
B) YX
= −+
+5
14
2
C) YX
=+
−20
11
2
D) YX
X=
+
+
11
1
2
2
E) YX
X=
+
+
7 2
1
2
2
2
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RESOLUCIÓN
Tema: Magnitudes proporcionales
Análisis y procedimiento
Sabemos que para dos magnitudes A y BSi A IP B, entonces
valor
de
valor
de cte
A B
=
En el problema, para las magnitudes x e y
Y X−( ) +( )2 12 IP
Además, cuando x=2 se tiene que y=3.
Generamos la igualdad según los datos dados.
Y X−( ) +( )= −( ) +( )2 1 3 2 2 12 2
Y X−( ) +( )=2 1 52
YX
− =+
25
12
YX
=+
+5
12
2
YX
X=
+ +( )
+
5 2 1
1
2
2
YX
X=
+
+
7 2
1
2
2
Respuesta: YX
X=
+
+
7 2
1
2
2
PREGUNTA N.º 3
Cualquier tipo de café crudo pierde el 20% de su peso al tostarlo. Se ha comprado dos tipos de café crudo cuyos precios por kilogramo son 10 y 15 soles respectivamente.Si todo el café tostado se vendiera a 15 soles el kilogramo no se ganaría ni se perdería, pero se vendió todo el café tostado en S/3240 ganando el 20% del costo. Halle la suma de los pesos iniciales y dé como respuesta la diferencia de la mayor cifra con la menor cifra del resultado.
A) 6 B) 5 C) 4D) 3 E) 2
RESOLUCIÓN
Tema: Regla de mezcla
Análisis y procedimiento
Recuerde que• PC: precio de costo
• PV: precio de venta
• G: ganancia
PV=PC+G
Del enunciado se tiene que al tostar el café crudo se pierde el 20% de su peso, entonces
Tipo de café I II
PC(S/) 10 15
peso inicial (kg) (café crudo) 5a 5b
peso final (kg) (café tostado) 4a 4b
Suponemos que al vender cada kilogramo de café tostado a S/15, no se gana ni se pierde. PV(total)=PC(total)
15(4a+4b)=10(5a)+15(5b) 10a=15b
↓ ↓ 3n 2n
Se vendió todo el café tostado a S/3240 ganando el 20% del costo. PV(total)=120%PC(total)
3240 120 10 5 15 5= ( )+ ( )[ ]% a b
3240=120%(300n)
3240=360n
n=9
Luego suma de pesos iniciales=5a+5b=25n=225 Piden 5 – 2=3
Respuesta: 3
UNI 2018-1Solucionario de Matemática
3
MatemáticaUNI 2019-1
PREGUNTA N.º 4
El número de hijos por familia en una determinada ciudad es una variable aleatoria H, cuya función de probabilidad es
f x P H xKx
( )= =[ ]=5
x=1; 2; 3; 4; 5
¿Cuál es la probabilidad de que una familia tenga 3 hijos dado que tiene al menos dos hijos?
A) 0,200 B) 0,333 C) 0,214D) 0,267 E) 0,357
RESOLUCIÓN
Tema: Probabilidades
Análisis y procedimiento
Considerando la variable aleatoria H=número de hijos por familia
cuya función de probabilidad está definida por
f P H xkx
x xx( )+= =[ ]= ≤ ≤ ∈( )
51 5 Z
Hallamos la distribución de probabilidad.
H=xi 1 2 3 4 5
P[H=xi]k ⋅15
k ⋅25
k ⋅35
k ⋅45
k ⋅55
Por la propiedad de f xii
k
( )=∑ =
11, hallaremos el valor de k.
fk k k k k
xii
k
( )=∑ = + + + + =1 5
2
5
3
5
4
5
5
51
k =1
3
Entonces la distribución de probabilidad quedará de la siguiente manera:
H=xi 1 2 3 4 5
P[H=xi]1
15
2
15
3
15
4
15
5
15
PREGUNTA N.º 5
Se tienen 496 números naturales consecutivos. Al dividir el número anterior al mayor entre el número menor de la lista de números, se obtiene como residuo 49 y como cociente un número natural diferente a 6. Indique la cifra de las centenas del número que se obtiene al multiplicar el trigésimo segundo número y el centésimo tercer número.
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
RESOLUCIÓN
Tema: Operaciones fundamentales
Análisis y procedimiento
Sean los 496 números naturales consecutivos.
(a+1); (a+2); (a+3); ...; (a+495); (a+496)menor
número
t1 t2 t3 t495 t496
mayornúmero
Por condición
(a+495)
49(a+1)
q
Dato: q≠6
De lo que nos piden podemos notar que es una probabilidad condicional.
P H HP H H
P H=( ) ≥( ) =
=( )∩ ≥( )[ ]≥( )
3 23 2
2
P H H=( ) ≥( ) =+ + +
3 2
3
152
15
3
15
4
15
5
15
P H H=( ) ≥( ) = = =3 2
3
1514
15
3
140 21428, ...
Por lo tanto, la probabilidad será 0,214.
Respuesta: 0,214
4
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PREGUNTA N.º 6
Halle un número de la forma ab1ba tal que sea 44º
. Dar como respuesta el residuo que se obtiene al dividir dicho número entre 5.
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
RESOLUCIÓN
Tema: Teoría de divisibilidadAnálisis y procedimiento
Recuerde que
si N=b°
a°
→ N a b= ( )°
mcm ;
Del enunciado
ab ba1 44= =°
4°
11°
par
PREGUNTA N.º 7
Calcule 20 14 2 20 14 2 2 23 3+ + − + ,Dar como respuesta la primera cifra decimal.
A) 0 B) 1 C) 2D) 3 E) 4
RESOLUCIÓN
Tema: Radicación
Análisis y procedimiento
Para hallar la primera cifra decimal, debemos hallar la suma de las raíces cúbicas.
20 14 2 20 14 2 2 23 3
+ + − + ,
Resolvemos. (a+495)= (a+1) ·q+49; a+1>49 a+446= (a+1) ·q
a
aq
+ +
+=
1 445
1
a+1 es divisor
de 445=5×891589445
1+445=qa+1
→ a=444
Luego se tendría (t32) · (t103)= (444+32) · (444+103) = (476) · (547) =260 372
↑ cifra de centenas
Respuesta: 3
• ab ba+ − + − +
°
←=1 11
2 2 1 11a b− + =°
2 2 11 1 11 10a b− = − = +° °
a b− = + =°
11 5
–6
5
• a b ba− = − ∧ =
↓ ↑ ↓
°6 4
2 8 82 ... no cumple
• a b ba− = ∧ =
↓ ↑ ↓
°5 4
8 3 38 ... no cumple 6 1 16 ... cumple
Piden el residuo que se obtiene al dividir ab1ba entre 5.
→ ab ba b b1 6 1 6 5 6 5 1= = + = +
↓
° °
5 1°+
Por lo tanto, el residuo es 1.
Respuesta: 1
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MatemáticaUNI 2019-1
PREGUNTA N.º 8
Indique la secuencia correcta después de determinar si la proposición es verdadera (V) o Falsa (F).I. El producto de un número irracional por otro
irracional es siempre irracional.II. La suma de dos números irracionales siempre
es un número irracional.III. Entre dos números racionales diferentes siempre
existe otro número racional.
A) VVVB) VFVC) VFFD) FFFE) FFV
RESOLUCIÓN
Tema: Conjunto de los racionales
Análisis y procedimiento
I. Falso
Veamos un contraejemplo
5 1 5 1 5 1−( ) +( )= −
irracional irracional racional
·��� �� ��� �� �
Por lo tanto, el producto de dos números irracionales puede resultar un número racional.
PREGUNTA N.º 9
Sean A, B y D subconjuntos de los números reales y definimos el operador * medianteA * B= (A ∩ B)*Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones.I. (A * B) * D=A *(B * D)II. (A * B) * A = A * (B * A)III. A * ∅ = ∅Donde AC indica el complemento de A.
A) VFF B) FVV C) VVVD) FFF E) FVF
II. Falso
Veamos un contraejemplo
3 5 3 5 6−( )+ −( )=irracional irracional racional
��� �� ��� �� �
Por lo tanto, la suma de dos números irracionales puede resultar un número racional.
III. Verdadero
Se sabe que el conjunto de los números racionales es un conjunto denso; es decir, entre dos racionales cualesquiera hay infinitos racionales.
Por lo tanto, entre dos racionales diferentes siempre existe otro números racionales.
Respuesta: FFV
Dándole forma convenientemente
2 2 2 2 2 233 33
+( ) + −( ) + ,
2 2 2 2 2 2+( )+ −( )+ ,
4+2,2=6,2
Por lo tanto, la primera cifra decimal es 2.
Respuesta: 2
RESOLUCIÓN
Tema: Teoría de conjuntos
Análisis y procedimiento
Recuerde Ley conmutativa: A ∩ B ≡ B ∩ A
Ley de Morgan: (A ∩ B)C ≡ AC ∪ BC
Ley del complemento: A ACC( ) ≡
(f)C ≡ U
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PREGUNTA N.º 10
Definimos el conjunto
A x x x= ∈ + − − ={ }R 1 2 13
Considere las siguientes proposiciones:I. La suma de los elementos del conjunto A es 7.II. Card(A)=2
III. 2 2 2− ∈A
Determine de las proposiciones dadas cuáles son verdaderas.
A) solo I B) solo II C) solo IIID) I y II E) I y III
RESOLUCIÓN
Tema: Teoría de conjuntos
Análisis y procedimiento
A x x x= ∈ + − − ={ } / 1 2 13
Sea
x m x m− = → = +2 23 3
Reemplazamos en la ecuación.
m m3 2 1 1+ + − =
m m m3 3 1 1+ = + ≥ −;
Elevamos al cuadrado.
m3+3=m2+2m+1
m3 – m2 –2 m+2=0
m2(m – 1) – 2(m – 1)=0
(m – 1)(m2 – 2)=0
m m m−( ) +( ) −( )=1 2 2 0
→ = ∨ = − ∨ =m m m1 2 2no
Como x=m3+2→ x=3; x = +2 2 2
Luego el conjunto por extensión sería
A= +{ }3 2 2 2;
Verificamos las proposiciones.I. FalsaII. VerdaderaIII. Falsa
Respuesta: solo II
Del enunciado A, B y D son subconjuntos de R
A*B= (A ∩ B)C
Entonces B*A= (B ∩ A)C
De allí tenemos que A*B ≡ B*A.
I. Falsa
A B D A B D* * * *( ) = ( )� �� �� � �� ��
(A ∩ B)C*D A*(B ∩ D)C
A B DC
C
∩( ) ∩ A B DC
C
∩ ∩( )
(A ∩ B) ∪ DC AC ∪ (B ∩ D)
II. Verdadera
A B A A B A* * * *( ) = ( )� �� ��
A A B* *( )���
A*(B*A)
III. Falsa
A*φ φ =
AC
∩( )φ��� ��
φ( )C U
Respuesta: FVF
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MatemáticaUNI 2019-1
PREGUNTA N.º 11
Sea f : ;1
2+∞ →R una función definida por
fx
x xx( ) =
−
− +
2 1
21
2
2
Entonces el rango de f es el conjunto
A) 2
3; +∞
B) 0
3
2;
C)
3
2; +∞
D) 02
3;
E) −∞
;2
3
RESOLUCIÓN
Tema: Funciones
Análisis y procedimiento
fx
x x
xx
x
( )
− >
=−
−( )+
∧ >2 1
2 11
2
1
2
2 1 0
���
Sea a=2x –1 > 0
↔+
=a
x1
2
Reemplazamos
fa
aa
a
a ax( ) = +
+
=+ +1
2
1
2
2
12
f
aa
x( ) =
+ +
2
11
Del dato:
11
3+ + ≥aa
a aa
> → + ≥01
2
01
11
1
3<
+ +≤
aa
02
11
2
3<
+ +≤
( )
aa
f x
��� ��
+1
inversa
por 2
∴
Ran =f 02
3;
Respuesta: 02
3;
PREGUNTA N.º 12
Halle el polinomio p(x) de coeficientes racionales de menor grado con raíces 1 y 1 2+ , y que además cumpla p(0)=1. Dé como respuesta la suma de los coeficientes del polinomio.
A) –2 B) –1 C) 0D) 1 E) 3
RESOLUCIÓN
Tema: Polinomios
Análisis y procedimiento
Del dato se tiene que 1 es una raíz.
Entonces P(1)=0
Por propiedad P(1)= suma de coeficientes→ P(1)=0= suma de coeficientes
Respuesta: 0
PREGUNTA N.º 13
Sea f: R → R una función definida por
f xx
x( ) = −21
2
Entonces podemos decir que la función inversa f* de f, está dada por (en caso exista)
A) 1
2
4
2
2
lnx x+ +
B) 1
2
4
2
2
lnx x− +
C) no existe f*
D) log22 4
2
x x+ +
E) log22 4
2
x x− +
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RESOLUCIÓN
Tema: Función inversa
Análisis y procedimiento
La gráfica de f xx
x( ) = −21
2 es creciente.
X X
Y Y2x
– ( ) x12
( ) x12
f(x)=2x+ – x12( )
Entonces sí existe f *.
Hallemos la regla de correspondencia de f *(x).
Despejamos x.
y x
x= −2
1
2; sea a=2x > 0
y aa
= −1
0=a2 – ya – 1
Usamos la fórmula general de la ecuación cuadrática.
ay y
=± +2 4
2 pero a > 0
ay y
=+ +2 4
2
24
2
2x y y=
+ +
↔ log log2 2
2
24
2
x y y=
+ +
xy y
=+ +
log2
2 4
2
Intercambiamos x con y.
yx x
f x( )
=+ +
*
log 2
2 4
2
Respuesta: fx x
x( ) =+ +
* log2
2 4
2
PREGUNTA N.º 14
Dada la matriz A=
1 0 0
6 4 0
6 5 9
. Considere una matriz
S de orden 3×3 triangular inferior de términos positivos, tal que
S2=A, diag(S)= (1; 2; 3)
Calcule
KS S
A
T
=( )+Traza 16
A) 1/2 B) 1 C) 3/2D) 2 E) 5/2
RESOLUCIÓN
Tema: Matrices y determinantes
Análisis y procedimiento
Sea Sa
b c
d e f
=
0 00 ; por dato, S2=A
Así
S
a
ab bc c
ad be df ce ef f
2
2
2
2
0 0
0
1 0 0
6 4 0
6 5 9
= +
+ + +
=
Como los términos de S son positivos, entonces
a=1; b=2; c=2; d=1; e=1; f=3
Entonces
SST =
=
1 0 0
2 2 0
1 1 3
1 2 1
0 2 1
0 0 3
1 2 1
2 8 4
1 4 11
traza (SST)=1+8+11=20
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MatemáticaUNI 2019-1
también
A =
= × × =
1 0 0
6 4 0
6 5 9
1 4 9 36
Entonces
K
SS
A
T
=( )+
=+
=traza 16 20 16
361
K=1
Respuesta: 1
PREGUNTA N.º 15
Sean A, B, X e Y matrices de orden 2×2 tales que
AX BY+ =
1 2
3 1 y 2
2 4
0 2AX BY− =
;
si A=
2 1
4 3, entonces la suma de los elementos de
la matriz X es
A) – 0,4 B) – 0,5 C) – 0,6D) – 0,7 E) – 0,8
RESOLUCIÓN
Tema: Matriz inversa
Análisis y procedimiento
Tenemos.
AX BY+ =
1 2
3 1
22 4
0 2AX BY− =
Sumamos.
33 6
3 3
1 2
1 1AX AX=
→ =
Como
A A=
→ =
−−
−2 1
4 3
1
2
3 1
4 2
1
De AX =
1 2
1 1
X A=
−1 1 2
1 1
X =−
−
1
2
3 1
4 2
1 2
1 1
X =− −
1
2
2 5
2 6
X =
− −
15
2
1 3
Por lo tanto, la suma de los elementos de la matriz X es – 0,5.
Respuesta: – 0,5
PREGUNTA N.º 16
Dado el problema
mín
;x y D
ax by
( )∈
+{ }
con (x0; y0) ∈ D solución única, establecer cuál de las siguientes proposiciones son correctas.I. Siempre existe una recta L tal que
L D x y∩ = ( ){ }0 0;
II. El punto (x0; y0) pertenece al interior del conjunto D.
III. ∀ (x; y) ∈ D, ax0+by0 ≥ ax+by
A) solo I B) solo II C) solo IIID) I y II E) I, II y III
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RESOLUCIÓN
Tema: Programación lineal
Análisis y procedimiento
Tenemos mín
;x y D
ax by
( )∈
+{ }
(x0; y0) solución única→ (x0; y0) es un punto extremo.
Sean las rectas de nivel LK: ax+by=K
I. Verdadero
Existe una recta de nivel LK tal que
LK D x y∩ = ( ){ }0 0;
II. Falso
Como (x0; y0) es un punto extremo, entonces no pertenece al interior del conjunto D.
III. Falso
Como (x0; y0) es la solución única del P.P.L.
mín{ax+by} → ax0+by0 ≤ ax+by; ∀ (x; y) ∈ D
Respuesta: solo I
PREGUNTA N.º 17
Dadas las siguientes proposiciones:
I. Si la sucesión −( ){ }1 n
na es monótona, entonces dicha sucesión es constante.
II. Si la sucesión an{ } es convergente, entonces an{ } es también convergente.
III. Si la serie ann=
∞
∑1
es convergente, entonces ann=
∞
∑1
es convergente.
Son correctas
A) solo I B) solo II C) solo IIID) I y ll E) I y III
RESOLUCIÓN
Tema: Sucesiones y series
Análisis y procedimiento
I. Falso
Si an= (–2)n, tenemos que {(–1)n an}={2n} es monótona y no es constante.
II. Falso
Si an=(–1)n, tenemos que {|an|}={|(–1)n|}={1}
converge a 1, pero {an}={(–1)n} diverge.
III. Verdadero
Como 0 ≤ an+|an| ≤ 2|an|
0 21 1 1
≤ +( )≤ → +( )=
+∞
=
+∞
=∑ ∑a a a a an n
n
n
n
n n
n
converge
converge
��� ��
++∞
∑
Además,
−
=
+∞
∑ ann 1
converge
Luego
a a a a an n
n
n
n
n n+( ) + − = + −=
+∞
=
+∞
∑ ∑1 1
converge converge
� ��� ��� ��� ��
aann
( )=
+∞
∑
converge
1� ���� ����
=
=
+∞
∑ convergeann 1
Nota
Este teorema se conoce como convergencia absoluta.
Por lo tanto, es correcta solo III.
Respuesta: solo III
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MatemáticaUNI 2019-1
PREGUNTA N.º 18
Se tiene una sucesión geométrica (an)n ∈ N con razón r. Siendo a4=4 y a7=12.Calcule r3+a10.
A) 39 B) 40 C) 42D) 45 E) 48
RESOLUCIÓN
Tema: Sucesiones
Análisis y procedimiento
Como la sucesión (an)n ∈ N es geométrica→ an=arn –1, r= razón
Por dato: a4=4 → ar3=4 (I) a7=12 → ar6=12 (II)
Dividimos (II) ÷ (I).
r a3 3
4
3= → =
Luego a10=ar9=a(r3)
3
→ =
( )a10
34
33
→ a10=36
∴ r3+a10=39
Respuesta: 39
PREGUNTA N.º 19
Dado el conjuntoS={x ∈ R / 0 < Log|x –1| < 1}Determine S ∩ ([0; 2] ∪ [12; 20]).
A) f B) ⟨1; 2⟩ C) [15; 20]D) [12; 15] E) [12; 20]
RESOLUCIÓN
Tema: Inecuación logarítmica
Análisis y procedimiento
Tenemos S={x ∈ R / 0 < log|x –1| < 1}De 0 < log10|x –1| < 1 10° < |x –1| < 101
1 < |x –1| < 10→ –10 < x –1 < –1 ∨ 1 < x –1 < 10 – 9 < x < 0 ∨ 2 < x < 11
Luego S=⟨– 9; 0⟩ ∪ ⟨2; 11⟩
Piden S ∩ ([0; 2] ∪ [12; 20]).
– ∞ + ∞– 9 0 2 11 12
SS
∴ S ∩ ([0; 2] ∪ [12; 20])=f
Respuesta: f
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RESOLUCIÓN
Tema: Gráfica de relaciones
Análisis y procedimiento
Se tiene
R x y y y x yxx
= ( )∈ ≤ ≥ + ≤
; ; ;R2 21
23
Reordenamos.
y ≤ 2x
y
x
≥
1
2
y ≤ 3 – x
Graficamos.
1
2
Y
X
3
1
3
2x
x
Respuesta: Y
X
3
1
3
PREGUNTA N.º 20
Grafique la región
R x y y y x yxx
= ( )∈ ≤ ≥ + ≤
; , ,R2 21
23
A)
X
3
31
Y B) Y
X
3
1
3
C) Y
X
3
1
3
D) Y
X
3
1
3
E) Y
X
31
3
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13
MatemáticaUNI 2019-1
PREGUNTA N.º 21
Sabiendo que L 1 //L 2 y θ es la medida de un ángulo agudo. Calcule el mínimo valor entero de x.
α
θ
α
β
β
L 1
L 2
x
A
A) 41° B) 42° C) 44°D) 45° E) 46°
RESOLUCIÓN
Tema: Ángulo entre dos bisectrices
Análisis y procedimiento
Nos piden x(mínimo valor entero).
Dato: θ es la medida de un ángulo agudo.
β
ββ
αα
θ
θ
L 1
L 2
x
Del gráfico se observa
ββ
αα
θ
x
Por teorema
x x= − = −902
180 2θ
θ;
Pero θ es agudo, entonces 180° – 2x < 90° 45° < x
∴ xmínimovalorentero
= °46
Respuesta: 46°
PREGUNTA N.º 22
En un triángulo ABC, m BAC=2(m ACB)=30°, si se traza la mediana BM, calcule m ABM.
A) 75° B) 80° C) 90°D) 100° E) 105°
RESOLUCIÓN
Tema: Aplicaciones de la congruencia
Análisis y procedimiento
Nos piden m ABM=x.
Datos: m BAC=2(m ACB)=30° BM es mediana
75º
75º60º
45º
45º15º
30º 60º
30ºA M
P
C
x
Ba
aa
a
a
Se prolonga AB y se traza CP AB⊥���
.
En el APC, se traza PM, entonces, PM=a.
En el BPM, isósceles, m PBM=m BMP=75°.
∴ x=105°
Respuesta: 105°
14
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PREGUNTA N.º 23
El cateto AB del triángulo rectángulo ABC se divide en 8 partes congruentes. Por los puntos de división se trazan 7 segmentos paralelos al cateto AC tal como se muestra en la figura. Si AC=10 m, halle la suma (en m) de las longitudes de los 7 segmentos.
A
C
B
A) 33 B) 34 C) 35D) 36 E) 37
RESOLUCIÓN
Tema: Semejanza de triángulos
Análisis y procedimiento
Nos piden Sx.
Sx: suma de longitudes de los 7 segmentos.
Am
8x7x
6x5x
4x3x
2xx
mmmmmmm
C
B
10
Al trazar los segmentos paralelos a AC se determinan triángulos rectángulos semejantes.Entonces
Sx=x+2x+3x+4x+5x+6x+7x
Sx=x(1+2+3+4+5+6+7)
Sx=28x
AC x x= = → =8 105
4
Sx =
28
5
4
∴ Sx=35
Respuesta: 35
PREGUNTA N.º 24
En un cuadrilátero ABCD, las diagonales miden AC=17 cm y BD=15 cm; sea M punto medio de AC
y F punto medio de BD; los ángulos interiores de B y D miden 90°. Calcule MF en cm.
A) 2 B) 3 C) 4D) 5 E) 6
RESOLUCIÓN
Tema: Relaciones métricas en el cuadrilátero
Análisis y procedimiento
Piden MF=x.
Dato: AC=17; BD=15
15
A d D
c
C
M
B
b
x
17
F
Por teorema de Euler
a b c d AC BD x2 2 2 2 2 2 24+ + + = ( ) + ( ) +��� �� ��� ��
17 17 17 15 42 2 2 2 2( ) + ( ) = ( ) + ( ) + x
4x2=64
∴ x=4
Respuesta: 4
PREGUNTA N.º 25
Al cortarse dos cuerdas de una misma circunferencia perpendicularmente, una de ellas queda dividida en segmentos de 3 y 4 unidades y la otra en segmentos de 6 y 2 unidades. Determine el diámetro de la circunferencia.
A) 87 B) 73 C) 68
D) 65 E) 63
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MatemáticaUNI 2019-1
RESOLUCIÓN
Tema: Relaciones métricas en triángulos rectángulos
Análisis y procedimiento
Piden 2R.
A
P M
B
R
R
2
3
6
4
Q
1313
132
Del gráfico
AP MB= = 13
En el APQ
2 13 5R=
∴ 2 65R=
Respuesta: 65
PREGUNTA N.º 26
La figura muestra tres semicircunferencias y la longitud de la circunferencia mayor es 10π u. Si AB= 24 u, siendo AB tangente a las semicircun-ferencias interiores, calcule la longitud (en u) de la circunferencia menor.
AB
A) 2π B) 3π C) 4πD) 5π E) 6π
RESOLUCIÓN
Tema: Relaciones métricas en la circunferencia
Análisis y procedimiento
Piden a.
a: longitud de la circunferencia menor
B
QM O N
ba
RA
P
Dato: R: longitud de la circunferencia mayor
R=10π y AB= 24
Del gráfico M, A y P son colineales. N, B y P son colineales.
Luego, APBQ es un rectángulo.
→ PQ AB= = 24
R=10π=2πR → R=5
24
4 1
a
O
55
Q
P
M
En el PQO, QO( ) = −2 2 2
5 24
QO=1
→ QM=2a=4
a=2
a=2π(2)
∴ a=4π
Respuesta: 4π
16
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PREGUNTA N.º 27
Para tres circunferencias tangentes (exteriormente) dos a dos, la suma de sus radios es 10 cm y el producto de los mismos es 40 cm3. Halle el área (en cm2) de la región triangular cuyos vértices son los centros de la circunferencia.
A) 18 B) 18,5 C) 19D) 19,5 E) 20
RESOLUCIÓN
Tema: Área de regiones triangulares
Análisis y procedimiento
Piden A O1O2O3
Dato: r1+ r2+ r3=10 y r1r2r3=40
c
b
a
r2
r1
r2r1
r3
r3
O3
O2
O1
a+b+c=2r1+2r2+2r3=20=2P → P=10
r1=P – c; r2=P – a y r3=P – b
Por teorema de Herón
A O1O2O3= P P c P a P b r r r−( ) −( ) −( ) = 10 1 2 3
Como r1r2r3=40
A O1O2O3= 10 40 20( ) =
Respuesta: 20
PREGUNTA N.º 28
El punto A está a 8 m encima de un plano horizontal P, y el punto B se halla a 4 m encima del mismo plano. Si C es un punto del plano P tal que AC+BC es mínimo y el ángulo que forman la recta CB
���
con el plano P es 53°, entonces (en m) AC es
A) 8 B) 8,5 C) 9D) 9,5 E) 10
RESOLUCIÓN
Tema: Geometría del espacioAnálisis y procedimiento
Observación
Si AP+PB es mínimo, entonces, a=θ.
α θ
B
P
A
Nos piden AC=x.Datos: AC+BC es mínimo→ m BCB'=53
53º
4
B
x
C B'A'
A
8
53º
Por dato:
AC+BC es mínimo
→ m ACA'=53°.
Luego
el AA'C es notable 53°
∴ x=10
Respuesta: 10
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PREGUNTA N.º 29
Las caras de un triedro equilátero de vértice V miden 60°. En una de sus aristas se considera un punto R de tal manera que VR=2 cm. Por R pasa un plano perpendicular a VR que interseca a las otras aristas en S y T. Halle el área del triángulo RST (en cm2).
A) 3 2 B) 2 6 C) 26
D) 3 3 E) 4 2
RESOLUCIÓN
Tema: Ángulo triedro
Análisis y procedimiento
Nos piden A RST
Dato: El ángulo triedro es equilátero de caras iguales a 60°, VR=2.
2
4
60º60º
30º
30º
2
2
V
H
T
R
S
4
4
32
32
22
plano tangente
a VR
En el VRT, notable de 30° y 60°, RT = 2 3 y VT=4.
Además, VST es equilátero y ST=4.
Luego, en el RST, RH es altura,
entonces, HS=HT=2 y RH = 2 2.
Finalmente
A RST=( )( )4 2 2
2
∴ A RST= 4 2
Respuesta: 4 2
PREGUNTA N.º 30
Sea el tetraedro regular de arista a, con a un entero positivo diferente de múltiplo de 3. Se unen los baricentros de las caras del tetraedro regular formando un tetraedro nuevo y así se
repite el proceso n veces. Si S
V
n
n
= 243 6
4, donde
Sn y Vn son el área total y el volumen del tetraedro respectivamente en el proceso n-ésimo. Halle 81 6 hn, siendo hn la altura del tetraedro en el proceso n-ésimo.
A) 8 3 B) 16 C) 8 6
D) 16 2 E) 32
RESOLUCIÓN
Tema: Poliedros regularesAnálisis y procedimiento
Tenemos en cuenta que en todo tetraedro regular
A superficietotal
volumen=6 6
a
a
Dato: S
V
n
n
=243 6
4
Piden
81 6hn (hn: altura del tetraedro regular n-ésimo)
Como h an n=6
3
→ 81 6 81 66
381 6 6 6
6
3h an n
n
n
=
= ⋅ ⋅
V
S
= ⋅ ⋅ ⋅81 64
243 66 6
6
3hn
∴ 81 6hn=16
Respuesta: 16
18
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PREGUNTA N.º 31
En un tronco de pirámide ABC-A1B1C1, los volúmenes de las pirámides B1-ABC y A-A1B1C1, miden V1 y V2 respectivamente. Determine el volumen de la pirámide A-CB1C1.
A) V V1 2 B) V V
V V1 2
1 2+ C)
2 1 2
1 2
V V
V V+
D) 2 1 2V V E) 3 1 2V V
RESOLUCIÓN
Tema: Tronco de pirámide
Análisis y procedimiento
Nos piden VA-CB1C1=Vx.
A1
C1
B1
BA
CAA
BB
h
Datos:
V
h1
3= A
V
h2
3= b
Tenemos.
V
htronco = + +( )
3a b ab
V V Vh h h
x1 23 3 3
+ + = + +a b
ab
Vh h
x =a b
3 3
∴ =V V Vx 1 2
Respuesta: V V1 2
PREGUNTA N.º 32
El volumen de un cono de revolución es 36π cm3. Se inscribe un triángulo equilátero ABC en la base del cono. El triángulo ABC está circunscrito a una circunferencia cuyo círculo es base de un cilindro recto inscrito en el cono. Calcule el volumen del cilindro (en cm3).
A) 27
10
π
B) 27
8
π
C) 27
5
π
D) 27
2
π
E) 27π
RESOLUCIÓN
Tema: Cono de revolución
Análisis y procedimiento
Nos piden Vcilindro.
Dato: Vcono=36π
2R2R2R
RRRRRR
hhhhhhhhh
hhh
60º60º60º
60º60º60º
60º60º60º
RRR RRRRRR
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MatemáticaUNI 2019-1
PREGUNTA N.º 33
Sea a un ángulo en el II cuadrante con tan α( )= −7
24
y b un ángulo en el III cuadrante con cot β( )=3
4.
Determine el valor de sen(a+b).
A) −107
125 B) −
3
5 C)
17
125
D) 3
5 E)
107
125
RESOLUCIÓN
Tema: Identidades trigonométricas de ángulos compuestos
Análisis y procedimiento
Por condición 1
tanα= −7
24
a ∈ IIC → senα=7
25
cosα= −24
25
Por condición 2
cotβ=3
4
b ∈IIIC → senβ= −4
5
cosβ= −3
5
Se busca calcular sen(a+b). sen(a+b)= senacosb+cosasenb
sen α β+( )= −
+ −
−
7
25
3
5
24
25
4
5
∴ sen α β+( )= 35
Respuesta: 3
5
PREGUNTA N.º 34
Si la gráfica de y=Aarccos(Bx+C)+D es
– 2
– π
3π
4
X
Y
Sabemos que
Vcilindro=πR2 ·h (I)
En la base observamos
60º 60º
60º
R
2R
R
R
Del dato Vcono=36π
ππ
2 2
336
2R h( ) ( )
=·
→ R h2 27
2· (II)
Luego, reemplazamos (II) en (I).
∴ V =cilindro
27
2
π
Respuesta: 27
2
π
20
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RESOLUCIÓN
Tema: Funciones trigonométricas inversas
Análisis y procedimiento
Piden E=A+B+C.
– 2
– π
3π
40 X
y
x
Y
y=Aarccos(Bx+C)+D
Por definición –1≤ Bx+C ≤1 (I) 0 < arccos(Bx+C) ≤ π (II)
Del gráfico – 2 ≤ x ≤ 4
Si B > 0→ – 2B ≤ 2B ≤ 4B
Sumando C→ C – 2B ≤ Bx+C ≤ 4B+C
De (I) C – 2B= –1 → B=1/3 4B+C=1 → C= –1/3
De (II), multiplicamos A (A > 0) 0A ≤ Aarccos(Bx+C) ≤ Aπ
Sumando D D ≤ Aarccos(Bx+C)+D ≤ Aπ+D
Del gráfico – π ≤ Aarccos(Bx+C)+D ≤ 3π
Entonces D= – π y Aπ+D=3π → A=4
∴ = + − =E 41
3
1
34
Respuesta: 4
PREGUNTA N.º 35
En el círculo trigonométrico de la figura, θ es un ángulo negativo en posición normal. Si PQ es perpendicular a MN, halle las coordenadas de Q(x0; y0) y dé como respuesta x0 – y0.
N
Q
M
O
P θ
A) 2cos(θ) – sen(θ)B) cos(θ) – sen(θ)C) 2sen(θ) – cos(θ)D) sen(θ)+cos(θ)E) sen(θ) – cos(θ)
determine el valor de E=A+B+C.
A) 3 B) 2
3 C)
4
3
D) 4 E) 14
3
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MatemáticaUNI 2019-1
PREGUNTA N.º 36
Obtenga el conjunto solución del siguiente sistema de ecuaciones:y x
y x
= − ( )
= ( )
1
1 4
cos
cos
A) 23
1
2k kπ
π±
∈
; Z
B) 231k kπ
π±
∈
; Z
C) k kππ
±
∈
3
1
2; Z
PREGUNTA N.º 37
Determine el menor periodo positivo de la función definida por f x xx( ) = + ( ) + − ( )1 2 1 2cos cos .
A) π2
B) π C) 3
2
π
D) 2π E) 4π
RESOLUCIÓN
Tema: Circunferencia trigonométrica
Análisis y procedimiento
P(cosθ; senθ)
X
Y
x0
x0
y0
Q
y0–x0
45º
–cosθ
–senθ
–senθ
En la circunferencia trigonométrica, las coordenadas del punto P serán (cosθ; senθ).
En el gráfico y0 – x0= ( – cosθ) – ( – senθ)
y0 – x0= – cosθ+ senθ
∴ x0 – y0=cosθ – senθ
Respuesta: cosθ – senθ
RESOLUCIÓN
Tema: Ecuaciones trigonométricas
Análisis y procedimiento
y=1 – cos(x) (I) 1=4y cos(x) (II)
Reemplazamos (I) en (II).
1=4(1 –c os x)cos x
1=4cos x – 4cos2 x
→ 4cos2x – 4cos x+1=0
→ (2cos x – 1)2=0
→ =cos x1
2 (III)
x k k= ±
∈23
ππ
;
Reemplazamos (III) en (I).
y = −
=1
1
2
1
2
∴ ±
∈23
1
2k kπ
π; ;
Respuesta: 23
1
2k kπ
π±
∈; ;
D) k kππ
±
∈
3
1; Z
E) k kππ
±
∈
6
1
3; Z
22
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PREGUNTA N.º 38
Un marino que observa el horizonte desde un faro de altura h, lo hace con un ángulo de depresión θ. Calcule el radio R de la Tierra en función de h y θ.
A) h sen
sen
θ
θ
( )
− ( )1 B)
hcos
cos
θ
θ
( )
− ( )1 C)
1+ ( )
( )
cos
cos
θ
θh
D) 1+ ( )
( )
sen
sen
θ
θh E)
hcos
sen
θ
θ
( )
− ( )1
RESOLUCIÓN
Tema: Ángulos verticales
Análisis y procedimiento
θ: ángulo de depresión para un punto del horizonte
R
h
Tierra
visual
horizontal
R
O
θθθ
θ
faro
centro
Por definición
cosθ=+R
R h
→ Rcosθ+hcosθ=R
→ hcosθ=R(1 – cosθ)
∴ Rh
=−
cos
cos
θ
θ1
Respuesta: hcos
cos
θθ
( )
− ( )1
PREGUNTA N.º 39
El menor ángulo de un paralelogramo mide a y sus diagonales miden 2m y 2n. Calcule su área. (m > n)
A) (m2 – n2)tan(a) B) (m2 – n2)cot(a)C) (m2 – n2)sec(a)D) (m2 – n2)csc(a) E) (m2 – n2)sen(a)
RESOLUCIÓN
Tema: Funciones trigonométricas directas
Análisis y procedimiento
f x xx( ) = + + −1 2 1 2cos cos
f x xx( ) = +2 22 2cos sen
f x xx( ) = +2 2cos sen
Cálculo del periodo (T) a partir de la igualdad f(x+T)= f(x)
2 2 2 2cos sen cos senx T x T x x+( )+ +( )= +
cos sen cos senx T x T x x+( ) + +( ) = + (*)
Observación
El menor valor positivo para (T) que verifica la condición (*) es π2
, puesto que
cos senx x+
=
π
2
sen cosx x+
=
π
2
Por lo tanto, el periodo es π2
.
Respuesta: π2
RESOLUCIÓN
Tema: Resolución de triángulos rectángulosAnálisis y procedimiento
B C
a2n
2m
b
a
A D
a
S: área del paralelogramo
S=ab sen a (I)
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MatemáticaUNI 2019-1
a
= a
PREGUNTA N.º 40
La ecuación de una cónica en coordenadas polares
es r =− ( )15
4 4 cos θ
Determine una ecuación cuadrática para sus puntos en coordenadas rectangulares.
A) x y22
15
2
15
4= +
B) y x22
15
2
15
4= +
C) x y22
15
2
15
4= − +
D) y x22
15
2
15
4= − +
E) x y22
15
4
15
2= − +
RESOLUCIÓN
Tema: Coordenada polar
Análisis y procedimiento
r =−
15
4 4 cosθ
Ordenando
→ 4r(1 – cosθ)=15 (*)
Relación entre las coordenadas polares y cartesianas
cosθ=x
r; senθ=
y
r; r x y= +2 2
Reemplazamos cosθ en (*).
4 1 15rx
r−
=
→ 4r – 4x=15
→ 4r=4x+15
→ 4 4 152 2x y x+ = +
Elevamos al cuadrado.
16 16 120 2252 2 2x y x x+( )= + +
→ 16y2=120x+225
→ yx2 120
16
225
16= +
∴ y x22
15
2
15
4= +
Respuesta: y x22
15
2
15
4= +
Por teorema de cosenos ( ADC) (2m)2=a2+b2 –2ab cos(180º – a)
4m2=a2+b2+2ab cos a (II)
Por teorema de cosenos ( ABD) (2n)2=a2+b2 – 2ab cos a 4n2=a2+b2 – 2ab cos a (III)
Restamos (II) y (III).
4m2 – 4n2=4ab cos a
m nab
2 2−
=cosα
Reemplazamos en (I).
S=−
m n2 2
cossen
αα
(m2 – n2)tan a
∴ S= (m2 – n2)tan a
Respuesta: (m2 – n2)tan a