LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: PPP y RRR

PPP: Trazar la circunferencia que pasa por los tres puntos.

Apolonio de Perga era conocido como 'el gran gemetra'. Sus trabajos tuvieron una gran influencia en el desarrollode las matemticas, en particular su famoso libro "Las cnicas" con el que introdujo trminos tan familiares hoy enda como parbola, elipse e hiprbola. Sin embargo no es tan conocido por su tratado sobre Tangencias. En el que Apolonio describe el problema quehoy es conocido como Problema de Apolonio:

Dados tres objetos tales que cada uno de ellos puede ser un punto, una recta o una circunferencia,dibujar una circunferencia que sea tangente a cada uno de los tres elementos dados. Este problema da lugar a diez casos posibles y en alguno de ellos aparecen situaciones que obligan a un tratamientoparticular.

1 32

RRR: Trazar la/las circunferencias tangentes a las tres rectas.

1- Trazamos dos segmentos que unen los tres puntos.2- Trazamos las mediatrices de ambos segmentos3- El punto interseccin de las dos mediatrices es el centro de las circunferencias buscadas.

Este procedimiento podemos usarlo a la inversapara encontrar el centro desconocido de unacircunferencia dada. Trazaremos dos secantesy sus mediatrices.

1 2 3

1- Trazamos las bisectrices de los tres ngulos interiores del tringulo que forman las tres rectas2- El punto donde se cortan es el incentro, centro de la circunferencia inscrita en el tringulo y por lo tanto tangente a los tres lados de este. Para trazar la circunferencia antes tenemos que encontrar los puntos de tangencia con las tres rectas. Estos se hallan TRAZANDO PERPENDICULARES A LAS RECTAS DESDE EL CENTRO DE LA CIRCUNFERENCIA SOLUCIN.3- Trazamos la circunferencia solucin.

Pero existen otras tres soluciones fuera deltringulo.

Para encontrarlas debemos proceder deigual forma: trazando las bisectrices, estavez de los NGULOS EXTERIORES.

Dichas bisectrices se cortarn dos a dosen los centros de las otras tres soluciones.

PPR: Trazar las circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a la recta.Este problema tiene importancia ya que el procedimiento para resolverloestar incluido en procedimientos para resolver problemas de mayorcomplicacin.

Para el caso particular de encontrar un punto sobre la recta notendremos ms que trazar la perpendicular a la recta por el puntoperteneciente a ella y la mediatriz del segmento que unen los dospuntos. Pero vamos a estudiar el caso ms complicado que tiene dossoluciones.

ENUNCIADO SOLUCIN1- Trazamos una recta que une los dos puntos y corta a la recta en el punto p. Esta recta ser el eje radical de las dos soluciones.2- Tenemos que hallar los puntos de tangencia de las rectas tangentes desde p hasta una circunfenencia auxiliar que pase por los dos puntos del enunciado. Para ello trazaremos la mediatriz del segmento que los une (ya que la usaremos ms tarde, pues en ella se encuentran los centros de las soluciones) y desde el punto medio trazaremos dicha circunferencia auxiliar.

p

1p 2 p

3 p

1

2

m

3- Puntos de tangencia de las rectas tangentes a la cir. auxiliar que pasan por p: para ello trazamos la mediatriz entre entre p y el centro de la cir. auxiliar y desde m trazamos un arco de radio mp que corta a la cir. auxiliar en los puntos 1 y 2 que son los puntos buscados.

4- Con centro en p y radio p1 p2 trazamos un arco que abate la distancia p1 p2 sobre la recta del enunciado. 1 y 2 sern los puntos de tangencia de las circunferencias solucin al problema.

4 p1 2

1 25

5- Desde 1 y 2 levantamos perpendiculares a la recta del enunciado, sobre estas tmbin se encontraran los centros de las circunferencias de la solucin. Donde estas cortan a la mediatriz del segmento que une a los puntos del enunciado se encuentran los centros de las dos soluciones.

6- Ya tenemos los dos centros y los dos puntos de tangencia necesarios para trazar las soluciones.

6

LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: PPR

LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: RRP

RRP: Trazar las circunferencias que pasan por un punto y son tangentes dos rectas.ENUNCIADO SOLUCIN Problema con dos soluciones para el cual vamos a

presentar dos procedimientos para resolverlo. el primerode ellos "por potencia" que resolveremos de manera similara PPR. y el segundo de ellos "por homotecia". De cualquier modo tenemos que tener claro que loscentros de las soluciones se encuentran sobre la bisectrizdel ngulo que producen las dos rectas.

PROCEDIMIENTO POR POTENCIA (como PPR): Se trata de olvidarse de la recta superior ysustituirla por el punto simtrico (tomando como eje de simetra la bisectriz del ngulo). A partir de ahi se resuelve comoPPR.

1 2

PROCEDIMIENTO POR HOMOTECIA: Dos circunferencias son siempre homotticas. Sus centros estnalineados con el centro de homotecia y sus radios homotticos (radios que se trazan desde las intersecciones de lascircuferencias con rectas secantes concurrentes en el centro de homotecia) son paralelos .

1- Trazamos la bisectriz del ngulo que forman las dos rectas. Desde el punto dado trazamos una perpendicular a ella y con centro en la interseccion de ambas (bisectriz y perpendicular) trazamos una circunferencia que pasa por el punto dado, obteniendo su simtrico al otro lado de la bisectriz.2- Nos quedamos con los dos puntos simetricos y tambin con los trazados auxiliares, desechando la recta superior del enunciado. A partir de ah procedemos igual que en PPR desde el paso 3.

Por ello trazaremos una circunferencia, tangente a las dos rectas y homottica a lasdos soluciones, que nos ayudar con sus rdios a encontrar sobre la bisectriz loscentros de las circunferencias solucin.

1

2

3 4

2- Trazamos la recta que pasa por el vrtice del ngulo y el punto del enunciado. Esta recta producir en la cir. auxiliar dos puntos desde los cuales trazar dos rdios de la cir. auxiliar.

1- Trazamos la bisectriz y una circunferencia aux., tangente a las dos rectas.

3- Desde el punto dado en el enunciado trazamos paralelas a los radios. Estas cortan a la bisectriz en los centros de las cir. solucin. Desde estos centros trazamos perpendiculares a las rectas para obtener los puntos de tangencia.

4- Trazamos las circunferencias solucin

2 soluciones Dilatando el ngulo. (por homotecia)

2 soluciones.Contrayendo el ngulo. (por potencia)

LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CRR

CRR: Trazar las circunferencias que pasan por un punto y son tangentes dos rectas. Para resolver este problema necesitamos reducirlo a PRR.Hacemos dilatando el ngulo formado por las rectas yconvirtiendo la circunferencia en un punto para encontrarlas circunferencias tangentes exteriores a la dada y a lasrectas.Convertimos la circunferencia en un pto. y contraemos elngulo para encontrar las circunferencias tangentes quecontienen a la dada y a las dos rectas.

Una vez hemos reducido el problema lo podemos resolver, en ambos casos bien por el mtodo de la homotcia o binconvirtiendo PRR en PPR. Para este ejercicio, si el punto se encuentra sobre las rectas o sobre la circunferencia, o siambas rectas dadas son paralelas el problema se soluciona con mayor facilidad.EN CUALQUIER CASO, SIEMPRE (por teorema fundamental de las tangencias) EL CENTRO DE CUALQUIERA DELAS SOLUCIONES ESTAR EN LA BISECTRIZ DEL NGULO QUE FORMAN LAS DOS RECTAS. Si son paralelasen una paralela equidistante de ambas

1 2 1- Contraemos la circunferencia dada hasta convertirla en un punto (su centro) y dilatamos las rectas trazando paralelas a una distancia igual al radio de la circunferencia dada.2- Nos quedamos con el punto y las dos nuevas rectas. Resolvemos PRR.

En este caso hemos resuelto PRR por el procedimiento de homotecia, pudiendohaberlo hecho tambin por el procedimiento de potendia/eje radical.

Una vez obtenidos los centros de las circunferencias de lassoluciones de PRR, regresamos al problema dado.

1 21- Contraemos la circunferencia dada hasta convertirla en un punto (su centro) y contraemos tambin el ngulo formado por las rectas trazando paralelas a una distancia igual al radio de la circunferencia dada.2- Nos quedamos con el punto y las dos nuevas rectas. Resolvemos PRR.

En este caso hemos resuelto PRR por el procedimiento de potencia/eje radical,pudiendo haberlo hecho tambin por el procedimiento de homotecia.Tanto con estas dos soluciones como en las dos anteriores, tanto si resolvemos porun mtodo o por el otro, debemos tener cuidado en resolver PRR del centro de lacircunferencia como punto y LAS DOS NUEVAS RECTAS, no las dadas.

Una vez obtenidos los centros de las circunferencias delas solucines de PRR, regresamos alproblema dado. Trazando perpendicularesa las rectas obtenemos sus correspondientespuntos de tangencia. Uniendo centros encontramos los puntosde tangencia sobre la circunferencia dada.

Trazando perpendicularesa las rectas obtenemos suscorrespondientes puntos de tangencia.Uniendo centros encontramos los puntos de tangenciasobre la circunferencia dada.

CPP:Trazar las circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a una circunferencia.

LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CPP

ENUNCIADO SOLUCIN Este problema puede presentarse de dos formas: uno de lospuntos est sobre la circunferencia (1 solucin) y los dos puntosestn fuera o dentro de la circunferencia (2 soluciones). Para loscasos con dos soluciones se puede resolver por potencia-centroradical. En este caso vamos a emplear el mtodo de la potencia.Hallando un eje radical auxiliar que nos ayudar a encontrar elcentro radical de la circunferencia del enunciado y las dos de lasolucin.

1

2

3

1- Trazamos la recta que pasa por los puntos dados. Al segmento delimitado por ellos le trazamos su mediatriz (sobre ella estarn los centros de las soluciones). Sobre dicha mediatriz elegimos un centro al azar y trazamos una circunferencia que pase por los dos puntos y corte a la cir. del enunciado.

2- Trazamos el eje radical de ambas. El eje radical corta a la recta definida por los dos puntos en el centro radical (C) de las soluciones con la cir del enunciado.

C

4

5

3- Hallamos los puntos de tangencia de las rectas tangentes exteriores a la circunferencia dada desde el punto C. Estos (t1 y t2) sern los puntos de tangencia de las solucines finales.

C

t1

t2

4- Unimos t1 y t2 con el centro de la cir. dada. Los puntos de interseccin de estas rectas con la mediatriz del segmento que une los puntos dados sern los centros de las soluciones.

5- Trazamos las dos circunferencias.

t1

t2

Si el problema se presenta con uno de los dos puntos sobre lacircunferencia la solucin es mucho ms obvia y rpida.

En este caso la solucinse encuentra en lainterseccin de lamediatriz del segmentoque une los dos puntoscon la recta que une elcentro de la circunferenciadada con el punto sobreesta.

Si el problema se presernta con los dos puntos dentro de la circunferenciael procedimiento es exactamente el mismo.

Volvemos al problema origuinal para, por inversin obtener losrestantes puntos de tangencia de las soluciones (con la otracircunferencia).

4-Alineando T1 y T2 con el centrode inversin O obtenemos T1' y T2'

CCP: Trazar las circunferencias tangentes a dos circunferencias que pasan por un punto exterior a ellas.ENUNCIADO SOLUCIN

LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CCP (1)Dos soluciones mediante inversin positiva

Este problema solo puede ser resuelto por el mtodo reductivo medianteINVERSIN. Se trata invertir la circunferencia dada en la otra circunferencia,mediante inversin positiva, lo cual nos dar como soluciones doscircunferencias tangentes exteriores a las dos dadas, en algn caso muyparticular podriamos encontrarnos con que una de las circunferencias dela solucin. De este modo reducims el problema a CCP. La inversinpositiva nos ofrece dos soluciones de las cuatro posibles

Inversin negativa, k

C

O C'

P

P'A'

A

CCP: Trazar las circunferencias tg. a dos cir. dadas y que pasan por un punto exterior a ellas.ENUNCIADO SOLUCIN

LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CCP (2)Dos soluciones mediante inversin negativa

Este problema solo puede ser resuelto por el mtodo reductivo medianteINVERSIN. Se trata invertir la circunferencia dada en la otra circunferencia,mediante inversin negativa, lo cual nos dar como soluciones dos circunferenciastangentes a las dos dadas, cada una de las soluciones contendr a una de lascircunferencias dadas. De este modo reducims el problema a CCP. La inversinnegativa nos ofrece dos soluciones de las cuatro posibles

Inversin negativa, k

2- A partir de ah aplicaremos unainversin positiva en problema.El centro de inversin positiva esel centro de homotecia directa deeste modo trazamos una paralelaa CT por C' obteniendo el puntonomottico de T (T)'. Uniendo T con(T)' obtenemos O, centro deinversin.

C

T

LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CCR (3)El punto es el punto de tangencia

POR INVERSIN

ENUNCIADO SOLUCIN

CCP:Trazar las circunferencias tangentes a dos circunferencia y una conocido un punto de tangencia sobre una de las circunferencias. POR INVERSIN POSITIVA

Si conocemos bin el procedimiento de la inversin para el caso estandar de este problema, cuandoel punto dado es el punto de tangencia sobre una de las circunferencias dadas el problema quedasimplificado sobremanera. Al invertir una de las circunferencias en la otra, o vicebersa, tenamostambin que obtener el punto inverso (lo cual rquiere ciertos trazaos auxiliares que complican elejercicio).Para los dos casos que se muestran en esta pgina, al estar el punto contenido en una de lascircunferencias, el punto inverso se encontrar sobre su circunferendia transformada lo cual haceposible resolver el problema con muy pocos trazados y muy rpidamente.

2

ENUNCIADO SOLUCIN 1

2

3- Uniendo C' con T' ( propiedad fundamental de las tangencias)obtenemos el centro de la circunferencia solucin.

2- INVERSIN NEGATIVA: Situamosel centro de inversin (O). Para ellohemos trazado un radio paralelo alradio CT desde C' obteniendo (T)',que es el homottico inverso de T.Uniendo T con (T)' obtenemos elcentro O.

Para ilustrar estos mtodos ( que en realidad es el mismoa diferencia del signo positivo o negativo de la razn deinversin) hemos cambiado el punto de tangencia por razonesde espacio, pero el mtodo no cambia en cualquier caso.

CCP:Trazar las circunferencias tangentes a dos circunferencia y una conocido un punto de tangencia sobre una de las circunferencias. POR INVERSIN NEGATIVA

1- Los centros de la solucin, encualquier caso, se encontrarnsobre la recta que pasa por el puntode tangencia dado y el centro de lacircunferencia a la que pertenece.

1

Sobre la recta OT, encontramos elpunto T' sobre la circunferencia decentro C'.

T' es el punto de tangencia de lasolucin sobre la segundacircunferencia.

Uniendo T y T' con los centros de sus respectivas circunferencias obtenemos una interseccin que por teoremafundamental de las tangencias es el centro de la solucin.

Esta mtodo tiene el inconveniente de, generalmente, tener el centro de inversin algo alejado de las circunferenciasdadas, por lo que si no nos dan el problema preparado en funcin al espacio grfico, el centro de inversin se saledel lmite del papel y su resolucin se complica considerablemente. Esto puede suceder en ejercicios donde esteproblema es solamente uno mas de los varios que el ejercicio pueda contener.

CO C'

TT

(T)

CC'

T

Los centros de la solucinen cualquier caso seencontrarn sobre unarecta que pasa por el centrode la cir. y el punto detangencia dados.

C OC'

T

T

(T)

C OC'

T

T

(T)

Trazando una recta que pasa por T y porO ( en este caso ya la hemos trazado pararesolver el centro de inversin. Obtenemosotro punto, T', sobre la cir. de centro C',que es el inverso de razon negativa delpunto T. este punto es el punto detangencia de la solucin sobre la segundacircunferencia.3

En ambas modalidades de este problema el procedimiento es el mismo, no importa sobre quecircunferencia se situe el punto de tangencia dado.

CCP: Trazar las circunferencias tangentes a dos circunferenciasconocido un punto de tangencia sobre una de las dos circunferenciasdadas. Resolucin por Potencia (eje radical y centro radical)

ENUNCIADO SOLUCIN

Este centro radical, CR, lo es respecto de las dos circunferenciasdadas y de la auxiliar que hemos trazado, pero tambien lo esrespecto de las dos soluciones.

3- Con centro el centro radical CR, trazamos una circunferenciaque pasa por el punto de tangencia dado. Los puntos deinterseccin con la otra circunferencia, T1 y T2 sern lospuntos de tangencia de las circunferencias solucionessoluciones.

Esto se debe a que el valor CR-T debe ser el mismo desdeCR a los puntos de tangencia de las soluciones al ser CR elpunto que cumple la misma potencia respecto a las trescircunferencias.

LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CCP (4)El punto es el punto de tangencia

POR POTENCIA: EJE RADICAL-CENTRO RADICAL

1- Unimos el centro de la circunferencia con el punto detangencia. Sobre esta recta estar indiscutiblemente(propiedad fundamental de tangencias) el centro de lassoluciones

2- Trazamos una circunferencia tangente por elpunto dado a la primera y secante a la segunda.Hallamos el centro radical, CR, de las trescircunferencias. Para ello debemos trazar losejes radicales de las dos parejas decircunferencias.

T

CR

T

4-Unimos estos puntos de tangencia, T1 y T2, con elcentro de la circunferencia, C. donde estas rectas cortena la recta que pasa por el centro de la otra cir. y el puntode tangencia dado tendremos los centros de lassoluciones.

CR

T1

T2

T

CT1

T2

T

Este mtodo podra ser msapropiado en el caso de que elcentro de inversin positva sesalirea de los lmites del papel.

En este caso el centro de una delas circunferencias se alejabastante del nucleo del ejercicio,pero eso es debido a las posicionesrelativas de las dos circunferenciasy puntod e tangencia dado quehacen que una de las cir. solucintenga un rdio considerablemente mayor que los de las cir. dadas.

Inversin positiva, k>0. 2 soluciones, circunferencias tangentes exteriores a la dada4 SOLUCINES

O

A

A'

P

P'

T' T1'

T1T

CPR:Trazar las circunferencias tangentes a una circunferencia y a una recta que pasan por un punto exterior a ambas.

ENUNCIADO

O

A

A'

P

O

A

A'

P

P'

O

A

A'

P

P'

T'

T1T

A

A'

P

P'

T' T1'

Este problema puede ser resuelto mediante distintos mtodos. No obstantevamos a desarrollar el mtodo reductivo mediante INVERSIN. Se tratainvertir la circunferencia dada en la recta,mediante inversin positiva, locual nos dar como soluciones dos circunferencias tg. exteriores a la cir.dada. De este modo reducims el problema a PPR. Este procedimientonos ofrece dos soluciones de las cuatro posibles para este caso.

CR

LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CPR (1)Dos soluciones mediante inversin positiva

1 2

3

45

1- Trazamos una perpendicular a larecta dada pasando por el centro de lacir. Situamos en el extremo superior elcentro de inversin (O) siendo el otroextremo del dimetro A y el punto deinterseccin con la recta dada su inversoA. As la recta es la inversa de lacircunferencia.

2- Hallamos el inverso de P: Trazamosuna circunferencia (con centro en lainterseccion de las mediatrices de APy PA) que pasa por A-A-P. Trazamosla recta OP que corta a la ltimacircunferencia en el inverso de P, P.

A partir de aqu resolveremos elproblema PPR

Para aclarar la resolucin (que en parte puede ser estudiada en el problemaPPR) hemos ampliado el area del problema en que nos vamos a ocupar.

3- PP es un eje radical auxiliar que corta a la recta dada en CR ( centroradical auxiliar). trazamos una circunferencia auxiliar que pasa por P-P (eneste caso nos sirve la trazada para obtener P) y encontramos los puntosde tangencia de las rectas tangentes desde CR a dicha circunferencia.

Dichos puntos de tangencia son t y t (en minusculas y remarcados concirculos menores). Con centro en CR, abatimos la distancia CR-t (CRt1)sobre la recta dada obteniendo T1 y T. Estos YA son puntos de tangenciade las dos soluciones finales.

Pero a partir de aqu regresamos al problema inicial aprobechando lainversin para encontrar los inversos de estos puntos sobre la primeracircunferencia dada.

t1

t

4- Alineamos T y T1 con O ( centro deinversin, encontrando sus inversos sobre lacircunferencia, T y T1, estos tambien sonpuntos de tangencia de las soluciones finales.

5- Alineando T y T1 con el centro de la cir.dada y trazando perpendiculares a R por lospuntos T y T1 hallamos intersecciones dondese encuentran los centros de lascircunferencias que solucionan la mitad delproblema.

Para encontrar la sotras circunferencias (quecontienen a la dada y son tangentes a la reactpasando por el punto dado procedemos deigual modo pero transformando lacircunferencia en la recta mediante unainversin negativa.

Inversin negativa, k

ENUNCIADO SOLUCIN

LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CPR (3)El punto es el punto de tangencia

POR INVERSIN

CPR:Trazar las circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta conocido un punto de tangencia sobre la recta. POR INVERSIN

Si conocemos bin el procedimiento de la inversin para el caso estandar de este problema cuandoel punto dado es el punto de tangencia sobre la recta o sobre la circunferencia el problema quedasimplificado sobremanera. Al transformar la rectaen la circunferencia o vicebersa teniamos tambienque obtener el punto inverso(lo cual rquiere ciertos trazaos auxiliares que complican el ejercicio).

Para estos dos casos, al estar el punto contenido en la recta o la circunferencia, el punto inversose encontrar sobre su transformada (recta o cricunferencia) lo cual hace posible resolver elproblema con muy pocos trazados y muy rpidamente.

1 2

Los centros de la solucin en cualquier casose encontrarn sobre una perpendicular a larecta dada que pasa por el punto de tangenciadado.

A partir de ah aplicaremos dos inversiones elen problema. 1 Inversin positiva paraencontrar una solucin (tg. exterior a la cir.dada) y 2 Inversin negativa para enontrar laotra solucin (tg que contiene a la cir. dada)

O

T

T'O

T

T'

1- INVERSIN POSITIVA: Situamos elcentro de inversin (O) en el extremosuperior del dimetro perpendicular a larecta. Trazamos una recta desde O pasandopor T hasta obtener T' sobre la cir. dada. Ya partir de T' trazamos una recta pasandopor el centro de la cir. dada para encontrarel centro de la solucin en la interseccinde esta con la primera perpendicular a larecta dada.

2- INVERSIN NEGATIVA: Situamos elcentro de inversin (O) en el extremosuperior del dimetro perpendicular a larecta. Trazamos una recta desde O pasandopor T hasta obtener T' sobre la cir. dada. Apartir de T' trazamos una recta pasando porel centro de la cir. dada para encontrar elcentro de la solucin en la interseccin deesta con la primera perpendicular a la rectadada.

Siendo tan sencilla la resolucin de este problema medianteeste mtodo nos podemos permitir sin problemas resolverambas solucines en el mismo ejercicio.

ENUNCIADO SOLUCIN

CPR:Trazar las circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta conocido un punto de tangencia sobre la circunferencia. POR INVERSIN

1 2

Los centros de la solucin en cualquier casose encontrarn sobre una recta que pasa porel centro de la cir. y el punto de tangenciadados.

A partir de ah aplicaremos dos inversiones elen problema. 1 Inversin positiva paraencontrar una solucin (tg. exterior a la cir.dada) y 2 Inversin negativa para enontrar laotra solucin (tg que contiene a la cir. dada)

1- INVERSIN POSITIVA: Situamos elcentro de inversin (O) en el extremosuperior del dimetro perpendicular a larecta. Trazamos una recta desde O pasandopor T hasta obtener T1' sobre la recta dada.A partir de T1' trazamos una rectaperpendicular a la recta dada para encontrarel centro de la solucin en la interseccinde esta con la recta que une T y el centrode la cir. dada.

2- INVERSIN NEGATIVA: Situamos elcentro de inversin (O) en el extremo inferiordel dimetro perpendicular a la recta.Trazamos una recta desde O pasando porT hasta obtener T' sobre la recta dada. Apartir de T' trazamos una recta perpendiculara la dada para encontrar el centro de lasolucin en la interseccin de esta con lasolucin en la interseccin de esta con larecta que une T y el centro de la cir. dada.

Siendo tan sencilla la resolucin de este problema medianteeste mtodo nos podemos permitir sin problemas resolverambas solucines en el mismo ejercicio.Ambos problemas se resuelven mediante el mismo mtodo,pero adaptado a los datos del enunciado.

O

T

T2'

T

O

T

T1'

CPR:Trazar las circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta conocido un punto de tangencia sobre la recta. POR POTENCIA.ENUNCIADO

LOS PROBLEMAS DE APOLONIO: CPR (4)El punto es el punto de tangencia

POR POTENCIA: EJE RADICAL-CENTRO RADICAL

ENUNCIADO

1 2

3

4

CPR:Trazar las circunferencias tangentes a una circunferencia y una recta conocido un punto de tangencia sobre la circunferencia. POR POTENCIA.

SOLUCION

1- La perpendicular por el punto T dado ala recta dada contiene los centros d etodaslas circunferencias tangetes a la recta por elpunto dado.

2. Con centro arbitrario trazamos una cir.que pasa por T y corta a la cir dada en dospuntos, trazamos el eje radical de ambas cir.cobteniendo sobre la recta dada un Centroradical Auxiliar CR.

3- Llevamos el valor constante CR-T a lacir. dada haciendo centro en CR, con radioCR-T para obtener T1 y T2 sobre la cir dada.T1 y T2 son los puntos de tangencia de lasrectas tangentes a la cir. dada que pasan porCR.

T

T

CR

T CR

T1

T2

4- T1 y T2 son los puntos de tangencia sobre la circunferencia dada de las cir.de la solucin. As pues solo nos quedaalinear T1 y T2 con el centro de la cir. dada para obtener sobre la perpendicular los centros de las soluciones.

SOLUCIN

T

CR

T

T'

T1 T2

1 2

3

1- Trazamos una rectapor T y el centro de lacircunferencia. En estaestarn los centros delas soluciones.

2- Trazamos por T una perpendicular a la recta que une el centro de la cir dada con T. Esta recta es un eje radicalque corta a la recta dada en CR que es el centro radical de las dos circunferencias de la solucin y la cir. dada.

3- Con centro en CR y radio CR-T abatimos esa distancia sobre la recta. Sobre la cir. dada obtenemos T', que en estecaso no nos sirve, T y T' son los puntos de tangencia de las rectas tangentes a la cir. dada desde CR. Sobre la rectaobtenemos T1 y T2, que son los puntos de tangencia sobre la recta dada de las soluciones.

4- Solo nos queda trazar perpendiculares a la recta dada por T1 y T2 para hallar los centros de las circunferenciasde la solucin en la recta que une T con el centro de la cir. dada.

Ambos casos explicados enesta pgina estn resueltospor el mismo procedimiento.Para entenderlos bien esnecesario tener claros losconceptos de potencia, ejey centro radical.Conociendolos elprocedimiento es muysencillo y ms fcil dememorizar.