¿porque el circulo es conexo?

¿PORQUE EL CIRCULO ES CONEXO?:

JOHN STEWART FABILA CARRASCO

¿Porque el Cırculo es Conexo?:Una Introduccion a la Topologıa Cuantizada

1. Introduccion.

Las algebras de operadores fueron introducidas hace casi 80 anos porJ. von Newmann. Actualmente estas algebras de Operadores juegan unpapel muy importante en diversos campos de la Matematica como lageometrıa, al algebra y la fısica-matematica. Es por tanto sorprendenteque tan pocos matematicos esten familiarizados con estas importantestecnicas. Quiza se deba a la naturaleza tan tecnica de la meteria, asıcomo a la percepcion de que esta area es solo una elegente analogıa”no-conmutativa” del analisis funcional, de interes solo para los anal-istas abstractos y quiza, para los fısicos-matematicos.

Von Newmann y sus sucesores tenıan un gran proposito en mente.Su idea era integrar las ideas de W. Heinsenberg de escalares matri-ciales de lleno en las matematicas modernas. En gran parte gracias alas investigaciones de Alain Connes (ganador de la Medalla Fields en1982) por sus trabajos en ”Geometrıa Cuantica”, este objetivo se haalcanzado. Por este acercamiento mas ligero a traves de ejemplos masque de teorıa general, el tema se ha vuelto considerablemente mas ac-cesible. De hecho se necesita solo un conocimiento mınimo en analisisabstracto para entender las aplicaciones mas interesantes del tema.

Nosotros ilustraremos estos desarrollos considerando un ejemplo clave,llamado ”toro cuantizado” asociada a la representacion regular delgrupo libre de dos generadores. A finales de los sesentas, R. V. Kadi-son conjeturo que esta algebra es conexa, en el sentido de que no tieneproyecciones no-triviales. Esto finalmete fue probado catorce anos de-spues en un articulo destacable escrito por M. Pimsner y D. Voiculescu,que usaron un acercamiento geometrico.

1

2 JOHN STEWART FABILA CARRASCO

Recordaremos primeramente algunas definiciones que seran escen-ciales para el desarrollo del artıculo.

Definicion 1. Una ∗algebra es una algebra A sobre un campo Cdotada de una norma ‖ · ‖ bajo la cual A es un espacio de Banachy que para todo a, b ∈ A

‖ab‖ ≤ ‖a‖‖b‖

Definicion 2. Una algebra C∗ es un ∗-algebra A con una operacion∗ : A → A llamada involucion, que cumple las siguientes propiedades:

(1) (a∗)∗ = a(2) (αa+ βb)∗ = αa∗ + βb∗

(3) (ab)=b∗a∗

(4) Ademas la norma es tal que ‖a‖2 = ‖aa∗‖

2. Escalares en fısica y matematicas.

Los matematicos usan tradicionalmente el termino escalar para loselementos de un campo. Restringiremos nuestra atencion a los Com-plejos C con las operaciones usuales de adicion, multiplicacion, conju-gacion y valor absoluto: α + β, αβ, a∗ = a y |α| para α, β ∈ C

Por otro lado, los fısicos usan clasicamente el termino escalar ensentido diferente. Clasicamente cantidades como energıa y temper-atura son generalmente funciones dependientes del tiempo, posicion,momento y/o otros parametros. Para mostrar un marco para talesescalares y sus operadores, restringiremos nuestra atencion a las fun-ciones acotadas de un espacio X.

Dado cualquier conjuntoX,si `∞(X) denotara las funciones complejo-valuadas acotadas f, g, ... en X con las operaciones puntuales que le danestructura de ∗-algebra

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(fg)(x) = f(x)g(x)

f ∗(x) = f(x)

y la ”norma del supremo” ‖f‖∞ = sup{|f(x)| : x ∈ X}.

Y directamente de la definicion es facil probar las siguientes propiedades:

(1) ‖f‖∞ = 0 si y solo si f = 0(2) ‖λf‖∞ = |λ|‖f‖∞

¿PORQUE EL CIRCULO ES CONEXO?: 3

(3) ‖f + g‖∞ ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞(4) ‖fg‖∞ ≤ ‖f‖∞‖g‖∞

Si X es un espacio compacto Hausdorff C(X) denota las funcionescontinuas en X, entonces C(X) ⊆ `∞(X) pues la imagen de un con-junto compacto bajo una funcion continua es compacto, y como sonsubconjuntos del plano complejo, son cerrados y acotados.

Proposicion 3. Si X es un espacio compacto Hausdorff C(X) es unespacio completo.

Prueba. Sea {fn}∞n=1 una sucesion de Cauchy, entonces

|fn(x)− fm(x)| ≤ ‖fn − fm‖∞para cada x ∈ X. Entonces {fn(x)}∞n=1 es una sucesion de Cauchy denumeros complejos para cada x ∈ X, ası que podemos definir f(x) =limn→∞fn(x). Ası solo necesitamos mostrar que f ∈ C(X) y quelimn→∞‖f−fn‖∞ = 0. Sea ε > 0, existe N tal que para todo n,m ≥ Nse cumple que ‖fn− fm‖∞ < ε. Para x0 ∈ X existe una vecindad U dex0 tal que |fN(x0)− fN(x)| < ε para todo x ∈ U . Entonces,

|f(x0)− f(x)| = |f(x0)− fN(x0) + fN(x0)− fN(x) + fN(x)− f(x)|≤ |f(x0)− fN(x0)|+ |fN(x0)− fN(x)|

+|fN(x)− f(x)|= | lim

n→∞fn(x0)− fN(x0)|+ |fN(x0)− fN(x)|

+|fN(x)− limn→∞

fn(x)|

= limn→∞

|fn(x0)− fN(x0)|+ |fN(x0)− fN(x)|

+ limn→∞

|fN(x)− fn(x)|

≤ 3ε

que implica que f es continua. Mas aun, si n ≥ N y x ∈ X, tenemos

|fn(x)− f(x)| = |fn(x)− limm→∞

fm(x)| = limm→∞

|fn(x)− fm(x)|

≤ lim supm→∞

‖fn − fm‖∞ ≤ ε

2

De hecho si X es metrizable, entonces C(X) es isomorfa a una ∗-subagebra cerrada de `∞ = `∞(N). Para probar esto, simplementehacemos µ la medida de probabilidad discreta concentrada en un con-junto denso numerable de X (que se puede por estar en un espacio


metrico compacto y entonces es separable). Es decir si S = {s1, s2, ...}el conjunto denso numerable de X, y tenemos una sucesion {a1, a2, ...}tal que

∑∞n=1 an = 1, entonces definimos µ′(sj) = aj, y la extendemos

a todos los subconjuntos como µ(E) =∑

si∈E µ′(si).

Finalmente usamos el encaje obvio C(X) ↪→ `∞ ∼= L∞(X,µ) paraprobar que C(X) es isomorfa a una ∗-subagebra cerrada de `∞ = `∞(N).

Proposicion 4. `∞ ∼= L∞(X,µ)

Prueba. Sea S = {s1, s2, ...} el conjunto denso numerable de X. Seaf ∈ `∞, entonces f : N → C acotada, entonces definimos T : `∞ →L∞(X,µ), dada por

T (f)(x) =

{f(i) si x = si para alguna i

0 en cualquier otro caso

Claramente T (f) ∈ L∞(X,µ) pues f es acotada. Es facil probar que esbiyectiva (solo hay que recordar que los unicos puntos de X que tienenmedida distinto de cero son los de S, y los demas puntos tienen medidacero). Ademas es facil ver que es una isometrıa pues

‖f‖∞ = sup{|f(n)| : n ∈ N}= inf{c ≥ 0 |f(x)| ≤ c casi en todas partes}= ‖f‖L∞

2

Ası ya probamos que si X es metrizable, entonces C(X) es isomorfaa una ∗-subagebra cerrada de `∞ = `∞(N). El inverso, es decir,quecualquier ∗-subalgebra cerrada separable de `∞(X) debe ser de la formaC(Y ) para algun espacio compacto metrico Y ; es un resultado clasicodel analisis funcional que puede encontrarse en [2] como sigue.

Teorema 5. (Gelfand) Cada C∗-algebra es ∗-isometricamente iso-morfa a la C∗-algebra C0(X) para algun espacio compacto y Hausdorffde X

Heinsenber fue quien propuso que los escalares naturales de la fısicacuantica son matrices infinitas:

T =

t11 t12 · · ·t21 t22 · · ·...

.... . .

cuyas entradas tij ∈ C. Para ser mas precisos, los escalares apropi-ados son las transformaciones lineales u operadores que esas matricesdeterminan. Considerando primero las matrices finitas, sea L(n) las


matrices complejas de tamano n × n con las usuales operaciones ma-triciales de ∗-algebra, la adicion, multiplicacion y su adjunto T ∗ = [tij].La norma es descrita de mejor manera en terminos de los correspondi-entes operadores. Usando la multiplicacion de matrices de n × n conel espacio de transformaciones lineales:

L(n) ∼= Lin(Cn,Cn)

Dando a Cn la norma de Hilbert dada por ‖ξ‖ = (∑n

k=1 |ξk|2)1/2 defin-imos

‖T‖ = sup{‖Tξ‖ : ‖ξ‖ ≤ 1}.

Ya vimos que esta norma es completa, entonces Lin(Cn,Cn) tiene es-tructura de ∗-algebra, y por tanto tambien las matrices de n× n, y ladenotaremos por L∞(n)

Proposicion 6. Son equivalentes estas definiciones de norma de unoperador:

‖T‖ = sup{‖Tξ‖ : ‖ξ‖ ≤ 1}(1)

= sup{‖Tx‖ : ‖x‖ = 1}(2)

= sup{‖Tx‖‖x‖

: x 6= 0}(3)

= inf{c > 0 : ‖Tx‖ ≤ c‖x‖ : x ∈ X}(4)

Prueba.(1)=(4)Sea α = inf{c > 0 : ‖Tx‖ ≤ c‖x‖ : x ∈ X}. Sea ε > 0 y entonces‖T( x

ε+‖x‖)‖ ≤ ‖T‖, asi ‖Tx‖ ≤ ‖T‖(‖x‖ + ε) y sacando lımites

cuando ε −→ 0, tenemos ‖Tx‖ ≤ ‖T‖(‖x‖) y entonces α ≤ ‖T‖.Por otro lado si ‖Tx‖ ≤ c‖x‖ para toda x ∈ X, tenemos que ‖Tx‖ ≤ cpara todo ‖x‖ ≤ 1, por tanto ‖T‖ ≤ c, ası ‖T‖ es cota inferior de{c > 0 : ‖Tx‖ ≤ c‖x‖ : x ∈ X} entonces ‖T‖ ≤ α.

(2)=(3)sup{‖Tx‖ : ‖x‖ = 1} = sup{‖Tx‖‖x‖ : x 6= 0}Solo es necesario hacer un cambio de variable y = x

‖x‖ y claramente

‖y‖ = 1, entonces

sup{‖Tx‖ : ‖x‖ = 1} = sup{‖T( x‖x‖

)‖ := ‖x‖ = 1} = sup{‖Ty‖

‖y‖: y 6= 0}

(3)=(4)sup{‖Tx‖‖x‖ : x 6= 0} = inf{c > 0 : ‖Tx‖ ≤ c‖x‖ : x ∈ X} Esta

es clara.


Ası terminamos la demostracion. 2

Teorema 7. Teorema Espectral Complejo Suponga que V es unespacio vectorial complejo con producto interno y T ∈ Lin(V, V ). En-tonces V tiene una base ortonormal de eigenvalores de T si y solo si Tes normal, es decir, TT ∗ = T ∗T

Prueba. Supongamos que V tiene una base β ortonormal de eigenval-ores de T,entonces [T ]β es una matriz diagonal, entonces [T ∗]β es unamatriz diagonal, y como las matrices diagonales conmutan entonces

[TT ∗]β = [T ]β[T ∗]β = [T ∗]β[T ]β = [T ∗T ]β

y entonces T es normal.Ahora supongamos que T es normal, entonces por el corolario 6.28

de [4] existe una base ortonormal β = (e1, e2, ..., en) de V tal que

[T ]β =

a1,1 · · · a1,n...

. . ....

0 · · · an,n

De la matriz observamos que

‖Te1‖2 = |a1,1|2

y‖T ∗e1‖2 = |a1,1|2 + |a1,2|2 + ...+ |a1,n|2

Pero T es normal, entonces ‖Te1‖ = ‖T ∗e1‖ y de las ecuaciones an-teriores tenemos que todas las entradas a excepcion talvez de a1,1 soncero.

Siguiendo el mismo proceso llegamos a que [T ] una matriz diagonal.2

Este teorema nos permite calcular rapidamente la norma de una ma-triz, pues AA∗ es normal, y ademas ‖AA∗‖ = ‖A‖2.

Para el caso dimensionalmente infinito es mas facil empezar contransformaciones mas que con matrices. Primero definimos C∞ = `∞ elespacio vectorial de sucesiones infinitas ξ = (ξ1, ξ2, ...) de numeros com-plejos que son cuadables sumables, es decir, para los cuales Σ|ξk|2 <∞,para las cuales usamos la norma de Hilbert

‖ξ‖ = (∞∑k=1

|ξk|2)1/2,


y el producto punto

ξ · η =∞∑k=1

ξkηk

Ahora definimos L = L∞ = B(C∞) el conjunto de transformacioneslineales acotadas T : C∞ → C∞, es decir aquellas para las cuales:

‖T‖ = sup{‖Tξ‖ : ‖ξ‖ ≤ 1} <∞Ahora proveemos a L∞ con esta norma y las usuales operaciones de ∗-algebra, haciendo T ∗ el operador adjunto de T , definido como el unicooperador que satistace 〈Tx, y〉 = 〈x, T ∗y〉

Proposicion 8. B(C∞) es completo con la norma ‖T‖

Prueba. Sea (Tn) una sucesion de Cauchy de operadores acotados enLin(Cn,Cn) y mostraremos que (Tn) converge a un operador acotadoT ∈ Lin(Cn,Cn)Sea ε > 0 entonces existe N tal que

‖Tn − Tm‖ < ε m, n ≥ N.

Para todo x ∈ X y m,n ≥ N tenemos

‖Tnx− Tmx‖ = ‖(Tn − Tm)x‖ ≤ ‖Tn − Tm‖‖x‖ < ε‖x‖ ....(1)

Ahora para x fija y ε, podemos escoger ε = εx tal que εx‖x‖ < ε, ası de(1) tenemos que ‖Tnx−Tmx‖ < ε, y entonces (Tnx) es una sucesion deCauchy en Cn, sea y = limTn(x). Definimos el operador T : Cn → Cn,dado por Tx = y. El operador es lineal pues

limTn(αx+ βz) = lim(αTnx+ βTnZ) = αlimTnx+ βlimTnz

Ademas

‖Tnx− Tx‖ = ‖Tnx− limm→∞

Tmx‖ = limm→∞

‖Tnx− Tmx‖ ≤ ε‖x‖

....(2) Ası Tn − T y Tn es acotado, entonces T es acotado y mas auntomando supremos de los ‖x‖ = 1 de (2) tenemos

‖Tn − T‖ ≤ ε

y entonces ‖Tn − T‖ −→ 0 2

Podemos asociar una matriz infinita [Tij] con T ∈ `∞ haciendoTij = Tδj · δi, donde δ1 = (1, 0, 0, ...), δ2 = (0, 1, 0, ...), ... es la baseortonormal usual para C∞ = `∞. El orden natural en `∞ es definiendoT ≥ 0 (diciendo que T es positivo) si Tα · α ≥ 0 para toda α ∈ C∞.Denotaremos por L∞+ al correspondiente cono de operadores positivos.


Si T ≥ 0 entonces demostraremos la existencia de raız cuadrada posi-tiva, es decir, existe un operador positivo S = T 1/2 que satisface queS ≥ 0 y S = T 2.

Teorema 9. Raız Cuadrada Positiva. Cada operador positivo,acotado y autoadjunto T, tiene una raız cuadrada positiva A

Prueba. Si el teorema se cumple bajo la hipotesis adicional T ≤ I,entonces se cumple sin esa hipotesisSi T = 0 tomando A = 0 se cumple. Si T 6= 0, por la desigualdad deSchwarz

〈Tx, x〉 ≤ ‖Tx‖‖x‖ ≤ ‖T‖‖x‖2

Haciendo Q = T‖T‖ , obtenemos

〈Qx, x〉 ≤ ‖x‖2 = 〈Ix, x〉

Entonces Q ≤ I, asumiento que Q tiene una raız cuadrada positivaB = Q1/2, tenemos que B2 = Q y la raız cuadrada de T = ‖T‖Q es‖T‖1/2B pues

(‖T‖1/2B)2 = ‖T‖B2 = ‖T‖Q = T.

Ademas de que la unicidad de Q1/2 implica la unicidad de la raızcuadrada positiva de T.Ası basta ahora probar el teorema bajo la hipotesis adicional de queT ≤ I y habremos terminado.

Existencia de la raız cuadrada positiva Consideremos la siguientesucesion de operadores

(1) An+1 = An +1

2(T − A2

n), n=0,1,2...

donde A0 = 0, asi A1 = 12T,A2 = T − 1

8T 2, .... Ası An es un polinomio

de T y entonces son autoadjuntos y conmutan entre ellos y con los queconmuta T . Probaremos

(2) An ≤ I, n = 0, 1, ...(3) An ≤ An+1, n = 0, 1, ...(4) Anx −→ Ax, A = T 1/2

Demostracion de (2). Como A0 ≤ I. Sea n > 0, como I − An− 1 esautoadjunto, (I −An− 1)2 ≥ 0 ademas I −T ≥ 0, y de (1) obtenemos(2):


0 ≤ 1

2(I − An−1)2 +

1

2(I − T )

= I − An−1 −1

2(T − A2

n−1)

= I − An

Demostracion de (3) Usaremos induccion. De la ecuacion (1) 0 = A0 ≤A1 = 1

2T . Supongamos que An−1 ≤ An para todo n implica An ≤ An+1.

De la ecuacion (1) calculamos directamente

An+1 − An = An +1

2(T − A2

n)− An−1 −1

2(T − A2

n−1)

= (An − An−1[I − 1

2(An + An−1)])

Aquı An−An−1 ≥ 0 por hipotesis de induccion y I− 12(An+An−1) ≥ 0

por la ecuacion (2). Entonces An+1 − An ≥ 0

Demostracion de (4).Por lo anterior (An) es monotona y acotada porI entonces existe un operador acotado autoadjunto A tal que Anx −→Ax. Como (Anx) converge, la ecuacion (1) da

An+1x− Anx =1

2(Tx− A2

nx) −→ 0

cuando n −→∞, entonces Tx−A2x = 0, es decir T = A2 y como 0 =A0 ≤ An por (3) entonces 〈An, x, x〉 ≥ 0 el cual implica 〈A, x, x〉 ≥ 0por la continuidad del producto interno.

Unicidad. Sean A y B raıces cuadradas del operador T. EntoncesA2 = B2 = T . Tambien BT = BB2 = B2B = TB entonces AB = BA.Sea y = (A− B)x, entonces 〈Ay, y〉 ≥ 0 y 〈By, y〉 ≥ 0 pues A,B ≥ 0.Como AB = BA y A2 = B2 obtenemos

〈Ay, y〉+ 〈By, y〉 = 〈(A+B)y, y〉 = 〈(A2 −B2)x, y〉 = 0

Entonces 〈Ay, y〉 = 〈By, y〉 = 0. Pero A ≥ 0 y es autoadjunto,entonces tiene una raiz cuadrada C talque C2 = A y C es autoadjunto.Entonces tenemos

0 = 〈Ay, y〉 = 〈C2y, y〉 = 〈Cy,Cy〉 = ‖Cy‖2

y Cy = 0. Tambien Ay = C2y = C(Cy) = 0. Similarmente. By = 0.Entonces (AB)y = 0. Usando y = (A−B)x

‖Ax−Bx‖2 = 〈(A−B)2x, x〉 = 〈(A−B)y, x〉 = 0


Ası Ax−Bx = 0 y entonces A = B 2

Dado cualquier operador T , T ∗T ≥ 0 puesto que T ∗Tα·α = ‖Tα‖2 ≥0; ası el valor absoluto de T es definido por |T | = (T ∗T )1/2.

Las funciones en fısica frecuentemente se comportan como oper-adores. A menudo esiste una base ortonormal {ξn} tal que el operadorse puede diagonalizar, es decir, poner de la forma:

T =

λ1 0 0 · · ·0 λ2 0 · · ·0 0 λ3 · · ·...

......

. . .

donde los λj de la diagonal decrecen y forman una sucesion acotadade eigenvalores del operador. Entonces podemos pensar a la sucesionde λ1, λ2, ... como una funcion λ : N → C, y ası entonces tenemos esla matriz T con respecto a la base ortonormal anterior del ”operadormultiplicacion” M(λ) : `2 → `2 dado por (M(λ)ξ)(n) = λ(n)ξ(n). Esfacil ver que ‖T‖ = ‖λ‖∞.

Proposicion 10. ‖T‖ = ‖λ‖∞.

Prueba. Como {|λ(n)| : n ∈ N} ⊆ {‖Tξ‖ : ‖ξ‖ ≤ 1} entonces‖T‖ ≥ ‖λ‖∞.Sea ‖ξ‖ ≤ 1 entonces

∑|ξn|2 ≤ 1 y entonces

‖Tξ‖ =∑|λ(n)||ξn|2 ≤

∑sup(|λ(n)|)|ξn|2

= sup(|λ(n)|)∑|ξn|2 ≤ sup(|λ(n)|)

= ‖λ‖∞.2

Mas generalmente operadores con ”espectro no discreto” juegan unpapel muy importante. Estos pueden construirse reemplazando C∞ =`∞ por un espacio de Hilbert de la forma L2(X,µ) para algun espaciode medida positiva (X,µ). Entonces podemos pensar a las funcionesen este espacio como ”X-tuplas”,una forma de visualizarla es la funcionξ como parejas ordenadas de la forma (x, ξ(x)), o mas aun una verlade la siguiente forma

x x′

↓ ↓ξ = ( ←− ξ(x) − ξ(x′) −→ )


Con las correspondientes operaciones algebraicas

x x′

↓ ↓ξ + η = ( ←− ξ(x) + η(x) − ξ(x′)η(x′) −→ )

x x′

↓ ↓αξ = ( ←− αξ(x) − αξ(x′) −→ )

y el producto punto

ξ · η =

∫X

ξ(x)η(x)dµ(x).

Dada una funcion medible acotada λ en X, la correspondiente diagonalo matriz de multiplicacion M(λ) esta dada por

(M(λ)ξ)(x) = λ(x)ξ(x)

.En terminos de la ”base continua δ(x) indexada por X” la ”matriz” deM(λ) esta dada por

M(λ) =

↖ 0

λ(x)�

λ(x′)0 ↘

Es tambien muy valioso poder asociar operadores mas generales a Tcon funciones o funciones generalizadas K(x, y) haciendo

Tξ(x) =

∫K(x, y)ξ(y)dµ(y).

La diferencia mas sorprendente entre los escalares clasicos y los es-calares cuanticos son evidentes cuando consideramos mas de un oper-ador. Los operadores S y T no necesitan conmutar. En particular, siST 6= TS, entonces no pueden ser diagonalizados simultaneamente Sy T , pues las matrices diagonales conmutan.

Veremos un ejemplo donde dos operadores no cunmutan. Sea T1, T2 :`2 → `2 dado por T1(a1, a2, ...) = (0, a1, a2, ...) y T2(a1, a2, ...) = (a2, a3, ...)para todo (a1, a2, ...) ∈ `2. Entonces T1T2(a1, a2, ...) = (0, a2, a3, ...) y


T2T1(a1, a2, ...) = (a1, a2, ...), y entonces no conmutan los operadores.Sean x = (x1, x2, ...), y = (y1, y2, ...) ∈ `2, entonces

T1x · y = (0, x1, x2, ...) · (y1, y2, ...)

=∞∑i=1

xiyi+1

= (x1, x2, ...) · (y2, y3, ...) = x · T2y

Por lo anterior tenemos que T ∗1 = T2. Analogamente mostramos queT ∗2 = T1 pues

T2x · y = (x2, x3, ...) · (y1, y2, ...)

=∞∑i=1

xi+1yi

= (x1, x2, ...) · (0, y1, y2, y3, ...) = x · T1y.

Proposicion 11. Si S y T son dos operadores simultaneamente diag-onilizables, entonces ST = TS

Prueba. Si S y T son operadores simultaneamente diagonalizables,entonces [S]β y [T ]β son matrices diagonales para alguna base orde-nada β y recordando que cualquiera 2 matrices diagonales conmutan,entonces [ST ]β = [S]β[T ]β = [T ]β[S]β = [TS]β y entonces ST = TS. 2

Fısicamente, esta no-conmutatividad es un reflejo del Principio deIncertidumbre de Heisenberg.

Es por tanto muy util considerar a L∞ como una ”analogıa cuanti-zada de `∞.” Por una C∗-algebra separable, entenderemos como una∗-subalgebra de L∞ cerrada y separable con unidad. Como vimos lasalgebras C(X), donde X es un espacio metrico compacto son todaslas ∗-subalgebras cerradas y separables de `∞, es natural pensar lasC∗-algebras separables como la ”analogıa cuantizada de C(X)”. El ∗-algebra C(X) es en si mismo una C∗-algebra pues el mapeo f → Mf

provee un ∗-isomorfismo y una isometria de `∞ a L∞

3. El Grupo de C∗-algebras

Todos los espacios separables de Hilbert dimensionalmente infinitosson isometricos. Entonces para culquier espacio de Hilbert H, tenemosque B(H) ∼= B(C∞) = L∞. Tenemos por ejemplo que

C∞ = `2 ∼= `2(Z) ∼= L2(T1)


donde T1 denota el cırculo con la medida de Lebesgue normalizadadµ(ξ)

Proposicion 12.∫f(ξ)dµ(ξ) =

∫ π−π f(eıθ)dθ para f ∈ C(T1).

Prueba. Consideramos el intervalo [0, 2π] con la medida de Lebesguerestringida, ahora consideramos la medida imagen al circulo unitario(considerado como un subconjunto de los complejos) a travez de lafuncion ϕ : [0, 2π] → T1 dada por ϕ(θ) = eıθ. Ahora solo aplicando elTeorema a traves de la imagen medida obtenemos el resultado pedido:∫

f(ξ)dµ(ξ) =

∫ π

−πf(eıθ)dθ

2 Es necesario normalizar la medida de [0, 2π] por eso consideraremos∫f(ξ)dµ(ξ) =

1

2π

∫ π

−πf(eıθ)dθ

para f ∈ C(T1). Una isometrıa entre `2 y `2(Z) puede ser construıdareordenando los vectores basicos.

Proposicion 13. `2 ∼= `2(Z)

Prueba. Ya vimos que si i ∈ N ei : N→ C esta dada por

ei =

{1, x = i;0, x 6= i.

asi el conjunto {e1, e2, ...} es una base ortonormal de `2. Tambien esclaro que para cada i ∈ Z, la funcion ci : N→ C dada por

ci =

{1, x = i;0, x 6= i.

vuelven a ser una base ortonormal de `2(Z), renumerando esta basepodemos obtener {f1, f2, ...} base ortonormal de `2(Z).La isometrıa esta dada por

T (g) =∞∑k=1

〈u, ek〉fk

para toda g ∈ `2. 2

Para ver directamente que `2(Z) y L2(T1) son isometricos, uno puedeafirmar que las funciones ek(ξ) = ξk forman una base ortonormal paraL2(T1). Primero recordemos un resultado de Variable Compleja cuyademostracion se encuentra en [5]:


Teorema 14. Si f : T1 → C entonces existe una sucesion {pn(z, z)}de polinomios en z y z tal que pn(z, z)→ f(z)

Proposicion 15. Para cada n ∈ Z, definimos en(ξ) = ξn. Entonces elconjunto {en : n ∈ Z} es una base ortonormal de L2(T1)

Prueba. en es unitario pues

en · en =

∫en(ξ)en(ξ)dµ(ξ)

=1

2π

∫ π

−πen(eıθ)en(eıθ)dθ

=1

2π

∫ π

−π(eınθ)(e−ınθ)dθ

=1

2π

∫ π

−π1dθ = 1

Son ortogonales pues si m 6= n,

en · em =

∫en(ξ)em(ξ)dµ(ξ)

=1

2π

∫ π

−πen(eıθ)em(eıθ)dθ

=1

2π

∫ π

−π(eınθ)(e−ımθ)dθ

=1

2π

∫ π

−π(eı(n−m)θ)dθ =

1

2π

∫ π

−π0dθ = 0

Sea F = {∑n

k=−n akek : ak ∈ C, n ≥ 0}. Claramente F es una sub-algebra de C(T1), la algebra de todas las funciones continuas en T1. Sif ∈ F , entonces f(0) = f(2π). Mostraremos que la cerradura de F esC = {f ∈ C([0, 2π]) : f(0) = f(2π)}. Para hacer esto, sea f ∈ C, y de-finamos F : [0, 2π]→ C por F (eıθ) = f(θ), ası F es continua, entoncesexiste una sucesion de polinomios en z y en z, tal que pn(z, z)→ F (z),entonces pn(eıθ, e−ıθ)→ F (z), pero pn(eıθ, e−ıθ) ∈ F

Pero la cerradura de C en L2(T1) es todo L2(T1), entonces el con-junto {en : n ∈ Z} es una base ortonormal de L2(T1) 2


Entonces tenemos una isometrıa F : L2(T1) → `2(Z) determinadapor F(f) = (ξk), donde

ξk = f · ξk =

∫f(ξ)ξkdµ(ξ)

.Ver que es isometrıa solo recordamos la Identidad de Parseval,

‖x‖2 =∑{|〈x, e〉|2 : e es elemento de la base ortonormal}.

Ası

‖F(f)‖ = ‖(ξk)‖ = (∞∑k=1

|ξk|2)1/2 = (∞∑k=1

|f · en|2)1/2 = ‖f‖

Dado un grupo G numerable, el Grupo Algebra CG esta definido comoel espacio vectorial de las combinaciones lineales finitas de elementosdel grupo

∑αk〈sk〉 ( donde 〈sk〉 ∈ G,αk ∈ C, los corchetes son solo

para diferenciar los elementos del grupo con los del campo) con lasoperaciones ∗-algebraicas

(∑

αj〈sj〉)(∑

βk〈tk〉) =∑

αjβk〈sjtk〉

(∑

αj〈sj〉)∗ =∑

αj〈s−1j 〉

Como los elementos del grupo forman una base algebraica del espaciovectorial, la dimension de CG coincide con la cardinalidad |G| de G.Ahora demostraremos un resultado estandart de algebra, si G es finito,entonces CG es isomorfo a una suma de algebras de matrices:

CG ∼= L(n1)⊕ ...⊕ L(np)

Para ver esto demostraremos unos resultados basicos de la Teorıa deRepresentaciones:

Lema 16. Sean S, T dos A-modulos simples. Si f : S → T es unA-morfısmo no nulo, entonces f es isomorfismo.

Prueba. Supongase que f no es el morfismo cero, es decir, existeS ∈ S talque f(s) 6= 0, de donde ker f 6= 0 y si S es simple, ker f = 0;ademas Imf 6= 0 e Imf ≤ T con T simple, entonces Imf = T . Asıque f es isomorfismo 2

Teorema 17. Sea G un grupo finito. Si la caracterıstica del campo nodivide al orden de G entonces KG es semisimple.


Prueba. Sea V un KG-modulo y sea W ≤ V . Sea W ′ un subespaciovectorial de V tal que V = W ⊕W ′ como espacios vectoriales, y seaπ : V → V la transformacion lineal tal que π(v) = w si v = w+w′ conw ∈ W,w′ ∈ W ′. Claramente se tiene que π(v) = v si y solo si v ∈ W .Como la caracterıstica de K no divide a |G|, tenemos que |G| 6= 0 enK. Consideremos la funcion

π′ =1

|G|∑g∈G

gπg−1 : V → V

Tenemos que π′ es lineal, veremos que es un morfismo de KG-modulos.Sean h ∈ G y v ∈ V , entonces:

π′(hv) =1

|G|∑g∈G

gπ(g−1hv)

=1

|G|∑g∈G

h(h−1g)π(g−1hv)

=1

|G|∑g∈G

hkπ(k−1v) = hπ′(v)

por lo que π ∈ homKG(V, V ), ademas se tiene que para winW , que:

π′(w) =1

|G|∑g∈G

gπ(g−1w)

=1

|G|∑g∈G

g(g−1w) =1

|G|∑g∈G

w

=1

|G||G|w = w

Como π′ : V → V es un morfismo de KG-modulos tal que π′(w) = wpara w ∈ W , obtenemos que π′ es una proyeccion en el submodulo W ,de donde se tiene que V = W ⊕ kernπ′, con kernπ′ ≤ V , y entonces essemisimple. 2

Teorema 18. Sea A una K-algebra semisimple entonces A ∼= ⊕ri=1Mni(Di)

donde para cada i, Di es una K-algebra con division y Mni(Di) es la

K-algebra de ni × ni con coeficientes en Di

Prueba. Supongase que A es semisimple, es decir, A = ⊕nj=iSjdonde para cada j, Sj es un A-modulo simple. Si U1, U2, ..., Ur sonrepresentantes de las clases de isomorfia de {Sj}nj=1, entonces A ∼=Un1

1 ⊕ Un22 ⊕ ... ⊕ Unr

r , donde Ui es simple, ademas si i 6= j entonces


Ui � Uj y, por el lema anterior, HomA(Ui, Uj) = 0. Considerese Mi =Unii , luego A = ⊕ri=iMi y si i 6= j entonces

Homa(Mi,Mj) ∼=ni⊕k=1

nj⊕l=1

HomA(Ui, Uj) = 0

de donde:

A ∼= EndA(A) = EndA(r⊕i=1

Mi) ∼=r⊕i=1

EndA(Mi)

Pero EndA(Mi) ∼= Mn(Di) donde Di = EndA(Ui) y dado que Ui essimple, por el lemma anteriro, Di es K-algebra con division. 2

Entonces aplicando los teoremas anteriores llegamos a que

CG ∼= L(n1)⊕ ...⊕ L(np)

Y en particular, obtenemos la conocida formula |G| =∑p

1 n2k (donde

G tiene p distintas irreducibles representaciones, donde las correspon-dientes dimensiones son n1, ..., np)

Ahora le daremos una norma a los elementos CG. Sea `2(G) elesapcio de Hilbert con base ortonormal {δs} indizada por los elementoss ∈ G.Para cada t ∈ G tenemos el correspondiente operador unitario(es decir un isomorfismo) dado por λ(t) = `2(G)→ `2(G) determinadopor λ(t)δs = δts. Ası tenemos un mapeo λ : G → B(`2(G)) que sepuede extender linealmente a CG dado por:

λ(∑

αj〈sj〉) =∑

αjλ(sj),

Proposicion 19. λ : CG → B(`2(G)) dada como arriba es un *-morfismo inyectivo.

Prueba.

λ((∑

αj〈sj〉)(∑

βk〈tk〉)) = λ(∑

αjβk〈sjtk〉)) =∑

αjβkλ(sjtk)

=∑

αjβkλ(sj)λ(tk) = (∑

αjλ(sj))(∑

βkλ(tk))

= λ(∑

αj〈sj〉)λ(∑

βk〈tk〉)

λ((∑

αj〈sj〉)∗) = λ(∑

αj〈s−1j 〉))

=∑

αjλ(s−1j ) =

∑αjλ

∗(sj)

= λ∗(∑

αj〉)


λ es inyectiva Sea λ(∑αj〈sj〉) = 0, ası

∑αjλ(sj) = 0, entonces 0 =

(∑αjλ(sj))δ1 =

∑αjδsj

, entonces αj = 0 para toda j.2

Ahora tenemos un morfismo inyectivo de CG en B(`2(G)), teniendoeste ultimo la norma de los operadores acotados mencionada al prin-cipio de estas notas, entonces podemos regresar la norma a travez delmorfismo inyectivo, dotando a CG de una norma.

Definamos C∗red(G) el correspondiente espacio completo metrico. ComoB(`2(G)) es completo, λ se extiende a una isometria λ : C∗red(G) →B(`2(G)), cuya imagen es la cerradura de λ(CG).

Como B(`2(G)) es una C∗-algebra separable, entonces la isometrıaλ dota a C∗red(G) de la correspondiente estructura C∗-algebraica. Estaes llamada la C∗-algebra reducida de G.

Los elementos de C∗red(G) pueden ser considerados como sumas infini-tas de elementos del grupo. Dado a ∈ C∗red(G) definimos sus Coeficientede Furier en s como a(s) = λ(a)δ1 · δs.

Es importante que para los elementos de CG se cumple que a(s) =αs, pues a =

∑αs〈s〉 ∈ CG, entonces a(s) = λ(a)δ1·δs = λ(

∑αs〈s〉)δ1·

δ1 = (∑αsλ〈s〉)δ1 · δs =

∑αs(λ〈s〉δ1) · δs =

∑αs(δs) · δs = αs.

Proposicion 20. Para a ∈ C∗red(G) tenemos que si a(s) = 0 para todos, entonces a = 0

Prueba. Para ver esto emplearemos la representacion derecha ρ deG en `2(G) determinada por ρ(s)δt = δts−1 . Es representacion puesρ(su)δt = δt(su)−1 = δtu−1s−1 = ρ(s)δtu−1 = ρ(s)ρ(u)δtAdemas ρ(s) conmuta con λ(s), pues ρ(s)λ(s)δt = ρ(s)δst = δsts−1 =λ(s)δts−1 = λ(s)ρ(s)δt y entonces cunmuta con λ(CG) y λ(C∗red(G)). Sisuponemos que a(s) = λ(a)δ1 · δs = 0 para toda s, se sigue que

λ(a)δs · δt = λ(a)ρ(s−1)δ1 · δt = ρ(s−1)λ(a)δ1 · δt= λ(a)δ1 · ρ(s)δt = λ(a)δ1 · δts−1

= α(ts−1) = 0

es decir, todas las entradas de la matriz de λ(a) son cero, entoncesa = 0. Y escribimos

a ∼∑

a(s)〈s〉2

Regresando a los ejemplos, consideremos primero la C∗-algebra C∗red(Z).Arreglandolos elementos k de Z, de la correspondiente base vectorial δk de `2(Z),


en la grafica:

. . . −→ ◦ −→ ◦ −→ ◦ −→ ◦ −→ ◦ −→ . . . λ(1)−2 −1 0 1 2 −→

Las flechas corresponden a la adicion por el generador 1, o en el espaciovectorial `2(Z), la aplicacion del operador λ(1)Podemos usar la isometrıa F : L2(T1) → `2(Z) descrita arriba paraprobar que

C∗red(Z) ∼= C(T1)

De hecho tenemos que F−1λ(1)F = M(ξ), pues aplicando al ladoizquierdo de la igualdad los vectores basicoa ξk ∈ L2(T1), obtenemos

F−1λ(1)Fξk = F−1λ(1)δk = F−1δk+1 = ξk+1

Se sigue que

a =∑

a(s)〈s〉 7→∑

a(s)ξk

determina una isometria ∗-isomorfismo de CZ en la ∗-algebra A gen-erada por la funcion f(ξ) = ξ en C(T1). Y recordando el siguienteteorema que puede encontrarse en cualquier libro de Analisis Funcionalcomo por ejemplo [3]

Teorema 21. El Teorema de Stone-Weierstrass X es compactoy A es una subalgebra cerradaa de C(X) tal que :

(1) 1 ∈ A(2) si x, y ∈ X y x 6= y entonces existe una f ∈ A tal que f(x) 6=

f(y)(3) si f ∈ A, entonces f ∈ A

entonces A = C(X)

Como C∗red(Z) es la completacion de CZ, el teorema de Stone-Weierstrassmuestra que C∗red(Z) ∼= C(T1).

Los elementos del grupo 〈k〉 son mapeados a la funcion ξk, entoncesla asociacion a ∼

∑a(s)〈s〉, corresponde a la usual asignacion de la

serie de fourier a una funcion continua f :

f ∼∑

f(k)ξk

Es bien conocido, que si la funcion f es continuamente diferenciable,los coeficientes de Fourier convergen rapidamente a cero, y ademas, laserie de Fourier converge uniformemente a fSera natural ahora pensar en el siguiente grupo Z2, el grupo abeliano


de dos generadores. Los argumentos anteriores pueden adaptarse paramostrarse que C∗red(Z2) ∼= C(T2). Pero ahora, de cualquier manera,esta interesado en las C∗-algebras no-conmutativas, asi que ahora enlugar consideramos F2, el grupo libre de dos generadores. La resultanteC∗-algebra C∗red(F2), puede ser considerado como ”un 2-toro no conmu-tativo”. Denotamos los generadores de F2 por u y v. Ahora podemos”dibujar” los elementos de F2 (o las correspondientes elementos basicosde `2(F2) y la accion de los operadores λ(u) y λ(v) por la grafica:

Notemos que la grafica es homogenea, es decir, ”se ve lo mismo desdecualquier vertice”. De cualquier manera es mas sorprendente la propiedadque jugara un rol mas importante en lo que sigue. Borremos el vertice1 de la grafia, ası como las aristas que inciden en ese vertice, y en-tonces reconectemos u−1 directamente con u, y a v−1 directamente conv. De esta manera obtenemos una grafica de dos componentes, cadacomponente de los cuales es isomorfa a la grafica original. Tomandolos espacios generadsos por estos componentes tenemos que:

`2(F2) = Hu ⊕Hv ⊕ Cδ1

donde Hu (respectivamente Hv) es el espacio generado por las palabrasterminadas en una potencia no cero de u (respectivamente v). Si modi-ficamos λ(u) y λ(v) para mandar δu−1 a δu y δv−1 a δv y hacemos ambascero en δ1, obtenemos los operadores λ0(u) y λ0(v) que restringen aloperador unitario en Hu ⊕ Hv. Esta determina una representacionde F2 en Hu ⊕ Hv dada por: λ0 : F2 → Glin(Hu ⊕ Hv) dada por

λ0(g) =

{λ0(u), si g=uλ0(v), si g=v

Y entonces λ0(u) y λ0(v) determinan una representacion degenerada(0 en un subespacio Cδ1 de una dimension) λ0 de F2 en `2(F2). Esaparente de la grafica de hecho que λ0(u) y λ0(v) restingidas a Hu (yHv respectivamente) son simultaneamente equivalentemente unitariosa λ0(u) y λ0(v) en `2(F2). Se sigue de que tenemos una equivalenciaunitaria

λ0 = λ⊕ λ⊕ 0Cδ1

Se sigue la extension lineal de λ0 a CF2 es acotada, y entonces se puedeextender a C2

red(F2).¿Que podemos decir de la C∗-algebra C2

red(F2) generada por λ(u) yλ(v)?. R. Powers demostro que es algebraicamente simple, y en estesentido no tiene ”topologıa de conjuntos puntual” (es solo un ”punto”).De caulquier manera, las C∗-algebras simples pueden tener interesantespropiedades topologica, si las nociones son bien formuladas. La mas


simple es la ”conexidad”, que mostraremos que C2red(F2) tiene esa

propiedad.

4. Conexidad y Trazas.

Un elemento e de una *-algebra A es llamada una proyeccion sie = e∗ = e2. Denotamos el conjunto de proyecciones de A comoprojA. Si A = C(X) y e ∈ projA, entonces e es una funcion continuareal-valuada que satisface e(x)2 = e(x), y entonces e(x) = 0 o e(x) = 1para todo x en X.

Proposicion 22. Las proyecciones estan en correspondencia uno-a-uno con los subconjuntos abiertos-cerrados

Prueba. Sea E conjunto abierto-cerrado, entonces consideremos lafuncion

f(x) =

{1, x ∈ X − E0, x ∈ E

que claramente es una funcion continua y por tanto una proyeccionAnalogamente consideremos una proyeccion, entonces

f(x) =

{1, x ∈ X − E0, x ∈ E

para algun conjunto E, como E = f−1(0), entonces E es cerrado, puesf es continua. Analogamente X −E = f−1(1) entonces X −E es cer-rado, entonces E es abierto y cerrado. 2

En el otro extremo (es decir en el caso no cunmutativo), tenemosque las proyecciones e ∈ L∞ estan en correspondencia uno-a-uno conlos subespacios cerrados de C∞. Con el caso conmutativo en mente, decimos que una C∗-algebra es conexa si no tiene proyecciones notriviales (es decir, proyecciones distintas al 0 y al 1).

Proposicion 23. Existe una correspondencia biyectiva entre los sube-spacios cerrados Y de un espacio Hilbert H y sus proyecciones e

Prueba. Sea Y un subespacio cerrado del espacio de Hilbert H,entonces cada vector en H puede ser escrito de la forma unica y + z,con y ∈ Y y z ∈ Y ⊥. La siguiente ecuacion

e(y + z) = y (y ∈ Y, z ∈ Y ⊥)

define un operador lineal e,la proyeccion de Y , paralela a Y ⊥. Mas aune2 = e, y

Y = {ex : x ∈ H} = {y ∈ H : ey = y}


y Y ⊥ = {z ∈ H : ez = 0}.Veamos que como 〈y, x〉 = 0para todo y ∈ Yy z ∈ Y ⊥, entonces

‖e(y + z)‖2 = ‖y‖2 ≤ ‖y‖2 + ‖x‖2 = ‖x+ y‖2

〈e(y + z), y + z〉 = 〈y, y + z〉 = ‖y‖2 ≥ 0

Es decir e es acotado con ‖e‖ ≤ 1 y es positivo, entonces por lo tantoes autoadjunto, y por tanto e2 = e = e∗

Ahora supongamos que e ∈ B(H) y e = e2 = e∗, entonces e es laproyeccion de H en un subespacio cerrado Y, donde

Y = {ex : x ∈ H} = {y ∈ H : ey = y}paralelo al subespacio cerrado Z = {z ∈ H : ez = 0}, pues e es unafuncion continua Como

Z = {z ∈ H : 〈ez, x〉 = 0, x ∈ H}= {z ∈ H : 〈z, y〉 = 0, y ∈ Y }

entonces Z = Y ⊥ 2

Ahora enunciamos la Conjetura de Kadison

Teorema 24. C∗red(Fn) es conexa

Para el caso n = 1, es justo la airmacion de que el circulo es conexo, yentonces nuestro titulo. Por simplicidad solo consideraremos la pruebapara el caso n = 2.¿Como podemos usar metodos del analisis funcional para ver la conec-tividad en las C∗-algebras?.

Teorema 25. Sea X un espacio metrico separable y µ una medidafinita en X. Entonces existe un unico conjunto cerrado Cµ que satisface

• µ(Cµ) = µ(X)• Si D es cualquier cerrado tal que satisface que µ(D) = µ(X),

entonces Cµ ⊆ D.

Mas aun, Cµ es el conjunto de puntos x ∈ X que tienen la propiedadde que µ(U) > 0 para cada abierto U que contenga a x

Prueba. Sea U = {U : U es cerrado y µ(U) = 0}. Como X es sep-arable entonces existe un numero numerable de abiertos U1, U2, ... talque

⋃n Un =

⋃{U : U ∈ U}. Denotemos a esta union como Uµ y

consideremos el conjunto Cµ = X − Uµ. Como µ(Uµ) = µ(⋃n Un) ≤∑

n µ(Uµ) = 0, entonces µ(Cµ) = µ(X).Si D es un conjunto cerrado tal que µ(D) = 0, entonces X −D ∈ U yentonces X −D ⊆ Uµ, es decir, Cµ ⊆ D.La unicidad es obvia.


Para probar la ultima afirmacion, veamos que para cualquier x ∈X − Cµ, Uµ es un abierto que contiene a x y µ(Uµ) = 0, mientrasque si x ∈ Cµ y U es un abierto que contiene a x, µ(U) debe ser posi-tivo, pues si no fuera positivo U ⊆ Uµ por la definicion de Uµ 2

El conjunto cerrado Cµ definido en el teorema anterior es llamado elespectro o soporte de µ

Proposicion 26. En el caso conmutativo, si X es un espacio metricocompacto equipado con una medida positiva µ cuyo soporte es todo X.Si los conjuntos abiertos y cerrados de G satisfacen que µ(G) = 0 oµ(X − G) = 0, entonces la C(X) es C∗-algebra es conexa

Prueba. Sea E un conjunto abierto y cerrado, si µ(E) = 0 entoncesX − E es un cerrado que cumple que µ(X − E) = µ(X), por lo tantoX = Cµ ⊆ X − E, entonces E = ∅Por otro lado si µ(X − E) = 0, entonces E es un cerrado que cumpleµ(E) = µ(X), y por lo tanto X = Cµ ⊆ E, entonces E = X.Por la tanto X es conexo y entonces las unicas proyecciones de C(X)xon las triviales, entonces la C(X) es C∗-algebra es conexa 2

Utilizaremos este acercamiento en la teorıa no-conmutativa, y es porlo tanto necesario introducir los elementos de la teorıa de integracionno-conmutativa

Las mas elementales medidas en analisis son la medida de conteoyla Medida de Lebesgue. Cada una de las cuales tienen una analogıa noconmutativa.

Considere primero la clasica medida de conteo, que asigna a cadasubconjunto finito S de N al numero γ(S) = cardS. Haciendo c00 ⊆`∞ el ∗-algebra de funciones que se desvanece excepto en conjuntosfinitos.Identificando los subconjuntos finitps de N con las proyeccionesen c00 ⊆ `∞, el correspondiente mapa:

γ : projc00 → N ∪ {0}es aditiva, es decir, si ej son proyecciones ortogonales (ei · ej = 0 sii 6= j), entonces γ(

∑ej) = Σ(γ(ej)). Haciendo `1 las funciones f ∈ `∞

para las cuales∑

j |f(j)| <∞ podemos obtener una extension del map-

ero∑

: `1 → C, haciendo∑

(f) =∑

j f(j). Claramente∑

es lineal y

positiva, en el sentido de que si f ≥ 0 implica que∑

(f) ≥ 0.

La no-conmutativa analogıa de la medida de conteo es la funcion dimension,que asigna a cada subespacio V de C∞ el entero dado por la dimV .


Haciendo C00 ⊆ L∞el ∗-algebra de matrices de rango finito (o equiva-lentemente las matrices con rango dimensionalmente finito). Identifi-cando los subespacios dimensionalmente finitos de C∞ con las projC00,obtenemos el correspondiente mapa aditivo

dim : projC00 → N ∪ {0}

Como subespacios isomorfos tienen la misma dimension, tenemos quepara cualquier elemento invertible U ∈ L∞, tenemoq que dim(U−1EU) =dimE. La clasica nocion de traza (es decir la suma de los lementos dela diagonal) tienen sentido en C00 y restingiendola a la projC00 es lafuncion dimension. El resultado mas simple en la teorıa de integracionco.conmutativa dice que de hecho dim tiene una natural extension alas funcion llamada traza : L∞+ → [0,∞] que es lineal para escalarespositivos y ademas tiene la propiedad adicional que

traza(U−1EU) = trazaE

para cualquier elemento invertible U .

Sea T un operador en un espacio Hiblert H, y suponga que E esuna base ortonormal de H. Definimos la norma Hilbert-Schmidt de Tcomo

‖T‖2 = (∑x∈E

‖T (x)‖2)1/2

La definicion anterior es independiente de la eleccion de la base.Para ver esto, sea E ′ otra base ortonormal para H. Entonces paracada subconjunto finito E de F :∑

x∈F

‖T (x)‖2 =∑x∈F

∑y∈E′|〈T (x), y〉|2

=∑y∈E′

∑x∈F

|〈T (x), y〉|2

≤∑y∈E′‖T ∗(y)‖2

Analogamente tenemos la otra desigualdad y entonces;∑x∈E

‖T (x)‖2 =∑y∈E′‖T (y)‖2

por lo tanto ∑y∈E′‖T (y)‖2 =

∑y∈E′‖T ∗(y)‖2 =

∑x∈E

‖T (x)‖2


.Definimos ahora traza : L∞+ → [0,∞], como sigue, sea h ∈ L∞+,

definimos

Tr(h) =∑n

〈hξn, ξn〉 =

, veremos que no depende de la eleccion de la base ortonormal, pues∑n

〈hξn, ξn〉 =∑n

〈h1/2ξn, (h1/2)∗ξn〉 =

∑n

‖h1/2ξn‖2 = ‖h1/2‖22

Haciendo L1 ⊆ L∞ el operador integrable T, o la clase traza, aquellospara los cuales ‖T‖1 = traza|T | <∞, uno entonces puede probar quedim : projC00 → N ∪ {0} y traza : C00 → C tienen una extensioncomun a un mapa traza : L1 → C. De hecho tenemos que

trazaT =∑

Tξk · ξk

para cualquier base ortonormal ξk, es decir, la traza es otra vez la sumade sus elementos de la diagonal. Si U ∈ L∞∞ es invertible y T ∈ L1,entonces UTU−1 ∈ L1.

Proposicion 27. Si A ∈ L1 y en una base ortonormal, entonces∑n〈Ten, en〉 converge absolutamente y mas aun, el lımite es indepen-

diente de la eleccion de la base.

Prueba. Escribamos A = |A|1/2|A|1/2U . Entonces

|〈Aen, en〉| ≤ ‖|A|1/2en‖‖|A|1/2U∗en‖Entonces∑

n

|〈Aen, en〉| ≤ (∑n

| ≤ ‖|A|1/2en‖)1/2(∑n

‖|A|1/2U∗en‖)1/2

y como |A|1/2U∗ y |A|1/2 estan en L2, la suma converge. La de-mostracion es identica a la que se hizo para demostrar cuanso A ≥ 02

Dadas proyecciones E,F ∈ L∞(n), con n <∞, tenemos que

trace(E − F ) = dimE − dimFes un entero. Cuidados adicionales debe hacerse cuando estamos en elcaso dimensionalmente infinito, pues si E−F no es integrable, entoncesla traza(E − F ) no esta definida, y uno podrıa tener expresiones sinsentido como∞−∞ en el lado derecho de la formula anterior. La sigu-iente prueba utiliza el Teorema Espectral para Operadores Compactosy Auto-adjuntos, el lector pudiera omitir la prueba si lo desea.


Definicion 28. Sean X y Y dos espacios normados. Uno peradorT : X → Y es un Operador Lineal Compacto si T es lineal ypara cada conjunto acotado M de X, la imagen T (M) es relativamente

conmpacta, es decir, la cerradura T (M) es compacta.

Enunciamo el Teorema Espectral para operadores autoadjuntos ycompactos, cuya prueba se puede encontrar en [3]

Teorema 29. Si T es un operador compacto y autoadjunto en H,{λ1, λ2, λ3, ...} son los distintos eigenvalores no-cero de T, y si Pn es laproyeccion de H en ker(T−λn), entonces PnPm = PmPn = 0 si n 6= m,adempas cada λn es real y

T =∞∑n=1

λnPn

donde la serie converge a T con la metrica definida por la norma enB(H)

Lema 30. Suponga que E y F son proyecciones en L∞, y si E − F esun operador de la clase traza. Entonces la traza(E − F ) ∈ Z

Prueba. Veremos las siguientes igualdades

E(E − F )2 = E(E − EF − FE + F )

= E − EF − EFE + EF = E − EFE= (E − F )2F

Analogamente es facil ver que

F (E − F )2 = (E − F )2F

Como (E−F )2 es un operador positivo y compacto, podemos escribir

(E − F )2 =∑

λkPk

donde P1, P2, ... son proyecciones dimensionalmente finitas, y la se-cuencia de eigenvalores λ1 > λ2 > λ3 > ... o es finita o converge acero. Como cada Pk es de la forma fk((E − F )2) para alguna funcioncontinua pk, y entonces haciendo Q = I −

∑Pk,

E =∑k

EPk + EQ

Lo mismo aplica para F ,dando

F =∑k

FPk + FQ


. Pero(E − F )Q = 0, pues el kernel de (E − F )2 es A = (∑Pk)

⊥ =I −

∑k Pk = Q, entonces (E − F )Q = 0

entonces tenemos que

E − F =∑k

(E − F )Pk

da una descomposicion de (E-F) en proyecciones dimensionalmente fini-tas.

Haciendo ξk una base que paso a paso genera P1H, (P1 +P2)H, ..., yes evidente que

traza(E − F ) =∑k

traza(E − F )Pk

Pero

traza(E − F )Pk = trazaEPk − trazaFPk= dimEPk − dimFPk

es una diferencia de enteros no negativos, entonces la suma parcial dela traza E − F contiene una cantidad infinita de enteros. Concluimosque el lımite debe ser un entero, lo que completa la prueba. 2

Regresando a la teorıa clasica, recalcando que si X es un espacio met-rico compacto, las medidas de probabilidad en X pueden ser definidascomo funcionales lineales µ en C(X) que satisfacen µ(1) = 1

Para la analogıa no conmutativa, supongamos que A es una C∗-algebra separable unitaria de L∞. Haciendo A+ = A∩L∞+, una trazanormalizada en A es un mapeo lineal τ : A → C el cual es:

(1) Positivo, es decir,a ≥ 0⇒ τ(a) ≥ 0(2) Unitario, es decir,τ(1) = 1(3) Y satisface que τ(u−1au) = τ(a) para cualquier invertible u ∈ A

El grupo de las C∗-algebras siempre viene equipado con una trazanormalizada canonica. De hecho simplemente hacemos:

τ(a) = a(1) = λ(a)δ1 · δ1

donde 1 es la identidad para G. τes positiva pues

τ(a∗a) = λ(a∗a)δ1 · δ1 = λ(a)δ1 · λ(a)δ1 ≥ 0

Para cualquier s, t ∈ G tenemos que τ(〈s〉〈t〉) = τ(〈t〉〈s〉), puesτ(〈s〉〈t〉) = τ(〈st〉) = λ(st)δ1 · δ1 = δst · δ1 = τ(〈t〉〈s〉), pues τ(〈s〉〈t〉)es cero a menos que s y t sean inversos, y en este caso es igual a1. Ası por linealidad y la continuidad, se sigue que τ(ab) = τ(ba)para todo a, b ∈ CG, entonces para a, b ∈ C∗red(G). De aqui vemosinmediatamente que τ es una traza normalizada en C∗red(G). Para


G = Z la identidad es 0 y la formula de a =∑αk〈k〉 ∈ CZ esta dada

por

τ(a) = λ(a)δ0 · δ0 = M(∑

αkξk)1 · 1 =

∫ ∑αkξ

k)dµ(ξ)

Esta bajo la identificacion de C∗red(Z) con C(T1), entonces τ es identi-ficado con la medida usual de Lebesgue.

Decimos que una traza normalizada τ es fiel si τ(a∗a) = 0 implicaque a = 0. La traza del grupo C∗-algebra es fiel pues si τ(a∗a) = 0,entonces

‖λ(a)δ1‖2 = λ(a)δ1 · λ(a)δ1 = λ(a∗a) = τ(a∗a) = 0

y entonces λ(a)δ1 = 0. Entonces

λ(a)δs = ρ(s−1)λ(a)δ1 = 0

es decir, λ(a) = 0, y entonces a = 0

Nuestro interes en la traza normalizada queda asentada en el sigu-iente lema.

Lema 31. Supongase que A es una C∗-algebra unitaria con una trazanormalizada y fiel τ y cuponga que A0 es una ∗-subalgebra de A. Siτ(projA0) ⊆ Z, entonces A0 no tiene ningun proyeccion no triviales

Prueba. Si e ∈ A es una proyeccion, entonces 1−e es una proyeccion,y entonces tenemos que 0 ≤ e ≤ 1 De la positividad de τ , se sigue que0 ≤ τ(e) ≤ 1. Si τ(e) = 0, y como e = e∗e tenemos que e = 0. Ypor otro lado, si τ(e) = 1, entonces τ(1 − e) = 0 y por tanto e = 1,completando la prueba 2

Ahora mostraremos que si C∗red(F2) tiene una subalgebra A0 tal queτ(projA0) ⊆ Z, y si suponemos que C∗red(F2) contiene una proyeccionno trivial, entonces A0 contiene tambien una proyeccion no trivial,contradicciendo nuestro lema.

Lema 32. Sea X y Y dos espacios con producto interno, y sea Q :X → Y un operador lineal acotado.Entonces

(a) Q = 0 si y solo si 〈Qx, y〉 = 0 para todo x ∈ Xy y ∈ Y(b) Si Q : X → X, donde X es complejo, y 〈Qx, x〉 = 0para todo

x ∈ X, entonces Q = 0

Prueba.


(a) Si Q = 0, entonces Qx = 0 para todo x,por tanto 〈Qx, y〉 = 0para todo x ∈ X y y ∈ Y . De regreso, supongamos que 〈Qx, y〉 = 0para todo x ∈ Xy y ∈ Y , haciendo Qx = y, entonces 〈Qx,Qx〉 paratodo x ∈ X, entonces ‖Qx‖2 = 0, ası Qx = 0 para todo x ∈ X

(b) Supongamos que 〈Qv, v〉 = 0 para todo v = αx+ y ∈ X, esto es

0 = 〈Q(αx+ y), αx+ y〉= |α|2〈Q(x), x〉+ 〈Q(y), y〉+ α〈Q(x), y〉+ α〈Q(y), x〉

Por hipotesis los primeros 2 terminos del lado derecho son cero, enparticular para α = 1 tenemos

〈Q(x), y〉+ 〈Q(y), x〉 = 0

tambien para α = i tenemos α = −i tenemos

〈Q(x), y〉 − 〈Q(y), x〉 = 0

Sumando los anteriores 〈Q(x), y〉 = 0 entonces Q = 0 por (a) 2

Para demostrar el teorema, probaremos unos pocos resultados nonecesariamente para operadores compactos.M es un espacio reducido de A si AM⊆M y AM⊥ ⊆M⊥.

Proposicion 33. Si A es un operador normal y λ ∈ C, entoncesker(A − λ) = ker(A − λ)∗ y el ker(A − λ) es un subespacio reducidode A

Prueba. Como A es normal, entonces (A − λ)(A − λ)∗ = (A −λ)(A∗ − λ∗) = AA∗ − Aλ∗ − A∗λ + λλ = A∗A − A∗λ − Aλ∗ + λλ =(A∗ − λ∗)(A − λ) = (A − λ)∗(A − λ), es decir (A − λ) es normal portanto ‖(A− λ)h‖ = ‖(A− λ)∗h‖. Entonces ker(A− λ) = ker(A− λ)∗.Probaremos que ker(A−λ) es invariante para A y A∗ Sea h ∈ ker(A−λ), entonces Ah = λh, entonces (A − λ)(λh) = λAh − λ2h = λ(Ah −λh) = 0, entonces Ah ∈ ker(A− λ), entonces es invariante para A.

Analogamente si h ∈ ker(A− λ), entonces A∗h = λh ∈ ker(A− λ),entonces es invarainte para A.

Por tanto ker(A− λ) reduce a A 2

Proposicion 34. Si A es un operador normal, si λ y µ son distintoseigenvalores de A, entonces ker(A− λ) ⊥ ker(A− µ)

Prueba. Sea h ∈ ker(A − λ) y g ∈ ker(A − µ), y del teorema an-terior tenemos que A∗g = µg, entonces λ〈h, g〉 = 〈Ah, g〉 = 〈h,A∗g〉 =〈h, µg〉 = µ〈h, g〉. Enntonces (λ− µ)〈h, g〉 = 0. Pero como λ− µ 6= 0,entonces h ⊥ g 2


Proposicion 35. Si A = A∗ y λ ∈ σp(A), entonces λ es un numeroreal.

Prueba. Si Ah = λh, entonces Ah = A∗h = λh por el teoremaa-anterior, entonces (A − λ)h = 0. Si h puede ser elegido distinto decero, entonces λ = λ, por tanto es real. 2

Proposicion 36. Sı T es un operador compacto autoadjunto, entonces‖T‖ o −‖T‖ es un eigenvalor de T

Prueba. Si T = 0, el resultado es claro. Supongamos que ‖T‖ 6=0, entonces existe una sucesion {hn} de vectores unitarios tal que|〈Thn, hn〉| → ‖T‖. Tomando una subsucesion (si es necesario), pode-mos asumir que 〈Thn, hn〉 → λ, donde |λ| = ‖T‖. Mostraremosque λ ∈ σp(T ). Como |λ| = ‖T‖, entonces 0 ≤ ‖(T − λ)hn‖ ≤‖Thn‖2 − 2λ〈Thn, hn〉 + λ2 ≤ 2λ2 − 2λ〈Thn, hn〉 → 0. Por lo tanto‖(T − λ)hn‖ → 0, y entonces λ ∈ σp(T ) 2

Teorema 37. Si T es un operador compacto y autoadjunto en H,{λ1, λ2, λ3, ...} son los distintos eigenvalores no-cero de T, y si Pn es laproyeccion de H en ker(T−λn), entonces PnPm = PmPn = 0 si n 6= m,adempas cada λn es real y

T =∞∑n=1

λnPn

donde la serie converge a T con la metrica definida por la norma enB(H)

Prueba. Por el lema anterior existe un numero real λ1 ∈ σP (T )con la propiedad de que |λ1| = ‖T‖. Sea E1 = ker(T − λ1),sea P1 laproyeccion en E1, y definamos H2 = E⊥1 . Como E1 reduce a T , entoncesH2 reduce tambien a T . Haciendo T2 = T |H2 , entonces T2 vuelve a serun operador compacto y autoadjunto.Nuevamente, existe un eigenvalor λ2 de T2 tal que |λ2| = ‖T2‖. SeaE2 = ker(T2 − λ1), es facil probar que E2 = ker(T2 − λ2) y portanto λ1 6= λ2. Haciendo P2 la proyeccion de H en E2 y haciendoH3 = (E1 ⊕ E2)⊥. Notemos que ‖T2‖ ≤ ‖T‖ entonces |λ2| ≤ |λ1|.Usando induccion, obtenemos una sucesion de {λn} de reales eigenval-ores de T tal que:

(1) |λ1| ≥ |λ2| ≥ ...(2) Si En = ker(T − λn), |λn+1| = ‖T |(E1⊕...⊕En)⊥‖

Por (1) existe un numero real nonegativo α tal que |λn| → αAfirmamos que α = 0, es decir el limλn = 0


De hecho, sea en ∈ En, ‖en‖ = 1. Como T es compacto, entonces existeh ∈ H y una subsucesion {enk

} tal que ‖Tenk− h‖ → 0. Pero en ⊥ em

para n 6= m y Teni= λnk

en. Entonces ‖Teni−Tenk

‖2 = λe2ni

+λe2nk≥

2α2. Como {Tenk} es una sucesion de Cauchy, entonces α = 0

Ahora pongamos Pn la proyeccion de H en En y examinemos T −∑nj=1 λjPj. Si h ∈ Ek, 1 ≤ k ≤ n,entonces (T −

∑nj=1 λjPj)h = Th −

λkh = 0.Entonces E1⊕ ...⊕En ⊆ ker(T −∑n

j=1 λjPj). Si h ∈ (E1⊕ ...⊕En)⊥, entonces Pjh = 0 para 1 ≤ j ≤ n, entonces (T −

∑nj=1 λjPj)h =

Th. Estos dos argumentos, juntos muestran que (E1⊕...⊕En)⊥ reducena T , implica que

‖T −n∑j=1

λjPj‖ = ‖T |E1⊕...⊕En)⊥‖

= |λn+1| → 0

entonces la serie T −∑∞

n=1 λnPn converge en la metrica de B(H) 2

5. Relacionando las Trazas.

Nuestra estrategia sera relacionar las definiciones de trazas vistas an-teriormente y la de τ . Dado a ∈ C∗red(F2), es facil describir una matrizde λ(a) relativa a la base canonica. En particular por los calculos, losterminos de la diagonal estan dados por:

λ(a)δs · δs = λ(a)δ1 · δ1 = τ(a)

Por otro lado, considere la representacion ”perturbada” de λ0.La isometrıade `2(F2) en Hu llevando λ(a) a λ0(a) manda la base canonica de `2(F2)en una base ortonormla de Hu. Entonces se sigue que si a ∈ C∗red(F2),y δs ∈ Hu, entonces existe t ∈ F2 con

λ0(a)δs · δs = λ(a)δt · δt = τ(a)

Lo mismo aplica para Hv, y entonces concluimos que

λ0(a)δs · δs =

{τ(a), s 6=10, s=1

En particular, λ(a)−λ0(a) tiene un solo elemento no cero en la diagonal,τ(a). Estariamos tentados a argumentar que

traza[λ(a)− λ0(a)] = τ(a)

pero esta sera valido si y solo si sabemos que λ(a) − λ0(a) es inte-grable. En cualquier caso, la formula es correcta para el conjunto A0

de a ∈ C∗red(F2) para los cuales λ(a)− λ0(a) ∈ L1.


Ahora tenemos que λ0(u) y λ(u) coinciden en todo excepto en doselementos de la base que son: δ1 y δu−1 , y entonces ellos coinciden enel complemento ortogonal del subespacio generado por esos dos vec-tores, es decir de dimension 2. Una simple induccion muestra que paracualquier elemento del grupo s ∈ F2, λ0(s) y λ(s) tambien coinciden enel complemento de un espacio dimensionalmente finito, y lo mismo espara λ(a) y λ0(a) para todo a ∈ CF2. Puesto que los mapeos de rangofinito son integrables, concluimos que CF2 ⊆ A0

Nuestro pequeno viaje esta por terminar. El conjunto A0 es una ∗-algebra de C∗red(F2) pues L1 es un ideal en L∞ (justo como `1 es un idealde `∞).Mas aun A0 es denso en C∗red(F2) pues contiene a CF2. PeroA0 tiene una enorme ventaja sobre CF2: pues L1 es completo (justocomo `1 es completo), entonces A0 es cerrado bajo ciertas manipula-ciones analiticas.Si C∗red(F2) tiene uuna proyeccion no trivial, entoncesargumentos simples de aproximacion espectral muestra que existe unelemento autoadjunto a ∈ CF2 con espectrum disconecto que contienea 0 y a 1 en distintos componentes. Pero usando la integral de lineapodemos ”deformar” a en una proyeccion no trivial e pero que se man-tenga todavia en A0. De hecho, sea Γ una curva ajena del espectro dea el cual encierra al uno pero no alrededor del 0. Ahora definimos:

e = (2πi)−1

∫Γ

(ξ1− a)−1dξ,

donde la integral de lınea esta definida como el uniforme limite de lassumas de Riemann de la manera usual. Ahora todo el punto se reduceen checar que la suma de Riemann da terminos que converge a la normade L∞ a λ(e) − λ0e, probando entonces que λ(e) − λ0e es integrable,y entonces e ∈ A0. Otra vez no es dıficil calcular, que por el lemmaque (como λ(e) y λ0e son proyecciones), τ(e) = traza(λ(e) − λ0e) esun entero, contradiccioen el lemma.

Notemos que todo el argumento anterior es consecuencia de la topologıadiferencial. Tanto como es posible es posible demostrar resultados pu-ramente topologicos aproximando con mapeos suaves y aplicanto tec-nicas diferenciales, podemos considerar a A0 como los elementos mas”suaves” de C∗red(F2). Esto no es solo coincidencia. La topologıa difer-encial no-conmutativa es un tema muy fertil, el cual debe discutirse enotro lado.


6. ¿Por que el Circulo es Conexo?

Los argumentos anteriores pueden aplicarse a Fn, el grupo libre de ngeneradores. Borrando el origne de la grafica usual del grupo, podemosobtener n componentes, cada uno es una copia de la grafica original.En particular, esto implica que C∗red(Z) = C(T) es conexo, es decir, Tes conexo.

En general, para un grupo conmutativo discreto G, tenemos queC∗red(G) = C(G), donde G es el grupo dual de G, y es bien conocido

que si G es conexo si y solo si G es libre de torsion.Esto nos lleva aun problema que todavıa no se ha resuelto: Si G es un grupo no con-mutativo libre de torsion, siempre se puede decir que C∗red(G) no tieneproyecciones?.

Para una C∗-algbera A en general es de gran interes tambien ver lasproyecciones en A⊗L(n). Si A = C(X), X compacto, estas correspon-den a los vectores acotados sobre X, y en cualquier caso da sentido a”vectores cuanticos acotados”. Estos perteneces a la K-teorıa de C∗-algebras, otra area de gran interes.

References

[1] Edward G. Effros. Why the Circle is Connected: An Introduction to QuantizedTopology The Mathematical Intellegencer Vol. II, No. 1, 1989.

[2] M. Rordam, F. Larsen, N. Laustsen. An introduction to K-Theory for C∗-Algebras Cambridge University Press. 2000.

[3] John B. Conway. A Course in Functional Analysis Springer-Verlang. 1985.[4] Sheldon Axler. Linear Algebra, Done Right. Springer-Verlang. 1996[5] John B. Conway. Functions of One Complex Variable Springer-Verlang. 1978.

John Stewart Fabila Carrasco:Facultad de Ciencias, U.A.E.M.Mexico, D.F. MEXICO.jer [email protected]

¿porque el circulo es conexo?

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