1

PolarizációPolarizáció: E(r,t) e. térerősség vektor rezgési irányaMonokromatikus fényre E(r,t):

komponensei eltérő fázisú és amplitúdójú szinuszos rezgések →végpontja minden r pontban más-más ellipszist ír le (a).

Paraxiális optika:fény terjedési iránya optikai (z) tengely körül kis kúpszögben;közel TEM rezgés → E(r,t) közel a transzverzális (xy) síkban;izotróp közeg: polarizációs ellipszis nem változik (b).

a b

2

Polarizációs ellipszis orientációja és ellipticitása szerint:polarizációs állapot: lineáris, elliptikus, cirkuláris

Ellipszis méretét az optikai intenzitás határozza meg.Polarizáció szerepe a fény–anyag kölcsönhatásban:• reflexió két anyag határfelületéről polarizációfüggő;• bizonyos anyagok abszorpciója polarizációfüggő;• fény szóródása anyagról polarizáció-érzékeny;• anizotróp anyag törésmutatója polarizációfüggő;• optikailag aktív anyagok a polarizációt forgatják.

z-irányban terjedő monokromatikus síkhullám e. tere:

egységvektorokkal:

A komplex amplitúdó vektora:

eRe)c(π2jexpRe),(~

Re),( )j(00

kzEEEE −=

−== tztftztz ω

yxyxE ˆeˆeˆˆ jj000

yxyxyx aaEE ϕϕ +=+=

zzssk ˆ,/ zcnk === ω

3

Polarizációs ellipszis:Legyen az x komponens fázisa a referencia: ϕx = 0, ϕy = ϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕωϕω

22222

22

222

22

00

0

0

0

sin)sin(coscos2

sin1coscos2

(),...sin)/(1cos)/(

sinsincoscos/cos/

)cos()cos()cos()cos(

ˆ),(ˆ),(),(

=+

+−

−=

+−

−=→−−=

=−==

+≡+−=≡−=

+=

x

x

yx

yx

y

y

x

x

x

x

yx

yx

y

y

xxxx

yy

xx

yyy

xxx

yx

aE

aaEE

aE

aE

aE

aaEE

aE

aEaE

aEaE

akztaEakztaE

tzEtzEtz yxE

=1

4

Ellipszis alakja: fáziskülönbség; tengelyarány;

mérete: intenzitás.

Ellipszis parametrikus egyenlete:

ϕϕ 22

2

2

2

sincos2 =−+yx

yx

y

y

x

x

aaEE

aE

aE

xy ϕϕϕ −= xy aa /

)(2

22yx aaI +=

υε

5

Lineáris polarizáció:

xx

yyyx E

aa

Eaa ±=→

===π0

vagy0vagy0 ϕ

0és)0cos(2π/ aaa yx ===→±= ϕϕCirkuláris polarizáció:

)sin(és)cos( 00 xyxx kztaEkztaE ϕωϕω +−=+−= m

20

22 aEE yx =+

6

Bázisok:1. lineárisan polarizált bázis:

2. cirkulárisan polarizált bázis – előző alak új definíciót kínál:

00

0000

0000

j**21j

21

j*21j

21)j()j(

21

j*21j

21)j()j(

21

00

e)j(e)j(~

ee]e[e

ee]e[e

j~

:fazorhelyett

)cos(),cos(,ˆˆ),(

ϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

−

−+−+

−+−+

+++=→

+=+=

+=+=

→+=

+=+=+=

yxyx

yyyy

xxxx

yx

yyyxxxyx

AAAAE

AAaE

AAaE

EEE

aEaEEEtz

yy

xx

yxE

+−=

+=→

+=→

=+≡

=+≡

−

−

)j(ee~

e)j(

e)j(

*

*

jj

j**21

j21

00LRy

RLx

RL

RyxR

LyxL

AAA

AAA

AAE

aAAA

aAAAR

L

ϕϕ

ϕ

ϕ

7

Cirkulárisan polarizált bázis értelmezése egyszerűbb:

]ee[e

j~

)2

j()2

j(2

j 00αϕαϕβ

ϕϕαϕϕβ

−−−+=

+=→

−≡+≡

RL

yx

RL

RL

aa

EEE

8

Jones-vektor:

)arg()arg(,||||

,2

|||| 22

xyx

y

x

yyx AAAA

aaAA

I −==+

= ϕυε

=

y

x

AA

J

Orthogonális polarizáció →1;2 polarizációs állapot skaláris szorzata 0:

0*21

*2121 =+= yyxx AAAAJJ

Polarizátorok mátrix leírása:

=

y

x

y

x

AA

TTTT

AA

1

1

2221

1211

2

2

Jones-mátrix:12 TJJ =

9

Polarizációs eszközök:

a. lineáris polarizátor

b. polarizációforgató

c. fázistolóF: gyorsS: lassú

=

0001

T

−

=)jexp(0

01Γ

T

−=

θθθθ

cossinsincos

T

lin)cirkcirk,(linlemez4/2/ha

→→→= λπΓ

lin)(linlemez2/ha

→→= λπΓ

10

Anizotróp dielektrikum:makroszkopikus optikai tulajdonságai irányfüggőek, melyeketa molekulák alakja, orientációja, térbeli helyzete határoz meg.

Fényterjedés anizotróp közegben

Kettőstörés egykristályban:

11

Ordinárius nyaláb: mindig a beesési síkban törik a Snell-tv. szerint.Extraordinárius nyaláb:

Maxwell-egyenletek töltés és árammentes közegben:

A megoldást síkhullám alakban keressük,aholvagyis

Mivel a vektorok kettős szorzata

;0=∇ D ;0=∇B ;/ t∂−∂=×∇ BE ./ t∂∂=×∇ DH)](exp[0 rkEE −= tj ω

,1,c)/()/()/π2()π/2( ===== ssssssk nf ωυωυλ;j)/( ω→∂∂ t .c)/j(j sk nω−=−→∇

;µj 0 HE ω−=×∇ ;j DH ω=×∇

nE ≠φφ sin/sin

;µ)(jµj)(µj)( 2000 DDHE ωωωω =−=×∇−=×∇×∇

,/c1εµ 200 = :)()()( abcacbcba −=××

[ ])j)(j()j(jc

)( 2

22

ssEEssE −−−−−=×∇×∇nω

[ ] [ ])(ε)(cµ

202

0

2

sEsEsEsED −=−= nn

12

E, D a dielektromos permittivitással kapcsolható össze, általánosan:

P a polarizáció vektora,

Jelölés Einstein-konvenció szerint: azonos indexekre összegezni!

Átrendezve kapjuk a fény terjedését leíró sajátérték-egyenletet:

Az egyenlet ME=0 alakú, megoldása det(M)=0 esetben van.Adott s irányhoz meghatározhatók n értékei.Ha M ismert, meghatározható adott n-hez tartozó E.

.,,3,2,1...,...,,)1(

323132121111

000

zyxDDEEED ===++===+=+=

εεεεεε εEEεEχPED r

=

=

=

3

2

1

33

23

13

32

23

12

31

21

11

3

2

1,,

EEE

DDD

EεDεεε

εεε

εεε

[ ] jijjjiiij

jijjiji EEssEnDEED εεε =−=→== ∑=

)(ε 20

3

1

[ ] 0ε 20 =−+ nEEssE ijjijijε

13

Permittivitás tenzor (abszorpció és optikai aktivitás hiányában)• valós és szimmetrikus, • elemei koordinátarendszer-függőek; mindig létezik olyan, ahol

ε diagonális (főtengelyek):

Ekkor a sajátérték-egyenlet egyszerűsödik:

Bevezetve az fő-törésmutatókat:

;jiij εε =

[ ] jjiii

iiijjii EssnEEnEEssEn 2

0

220 εε =−→=−

εε

0

2

εi

in ε=

jji

iiiijjiii Es

nnsnEssEssnEnn 22

22222 )(

−=→⋅=−

sEsE

−−

−−

−= 22

22

22

22

22

22

z

z

y

y

x

x

nnsn

nnsn

nnsn

,,,,,00

0

0

00 321 zyxi

z

y

x

εεεεεεεε

εε

==

=ε

14

Fresnel-egyenlet (ha sE≠0, akkor E nem ⊥ s-re):

• n2-re harmadrendű;• 2 pozitív gyök (na és nb) → Ea és Eb normál módusok.Bontsuk fel E-t s-re ⊥ és || komponensekre:

D ⊥ s, mert .

Ha na ≠ nb , a normál módusok: Da ⊥ Db → Ea ⊥ Eb , mert

22

2

22

2

22

2

21

z

z

y

y

x

x

nns

nns

nns

n −−

−−

−=

|||| ,)( EEEsEsE −== ⊥

[ ] ⊥=−= EsEsED 20

20 ε)(ε nn

,,,,, baibjijajaijibab EEEE DEDE === εε

+=+====

⊥⊥⊥⊥⊥⊥

⊥⊥

)()()(εε

||||

20

20

abababbab

bbabaaabab nnEEEEEEEEE

EEDEEEDE0)( 22 =− ⊥⊥ baba nn EE

15

Poynting-vektor: (Wm–2, a teljesítményáram iránya)

Optikai intenzitás:A mágneses tér:

D, E, k, S egy síkban fekszik, amelyre ⊥ B, H:

Impermeabilitás tenzor:

Index ellipszoid: impermeabilitás leírása másodrendű felülettel:

*

21 HES ×=

EsH

HEsEkB

×=

=×=×

=

cε

µc

0

0

n

nω

.1εε 21

00 jij

jiji Dn

DE

== −ε

112 =

ji

ij

xxn

][

202

0][W/m2

||||2

|Re|)(2

Ω==>==<

ηυε EEtSI S

16

Diagonális tenzor esetén

a. izotróp kristály →index ellipszoid gömb:

b. egytengelyű kristály(hexa-, tetra-, trigonális) →forgási ellipszoid:

pozitív egytengelyű: ne>no , negatív egytengelyű: ne<no .

c. kéttengelyű kristály (rombos, monoklin, triklin):

:,, zyxxi =

12

2

2

2

2

2

=++zyx n

zny

nx

222zyx nnn ==

222zyx nnn ≠=

12

2

2

2

2

2

=++eoo n

zny

nx

.222zyx nnn ≠≠

17

Hullámszámvektor-diagram:

Fresnel:00

20

22

22

22

22

,,1kkn

kkn

knksk

nnsn b

ba

ai

i

i

i ==−

→=−

18

y

zSpeciális eset – egytengelyű kristályA diagonális s.é. egyenlet átrendezve:

s.é. egyenletbe írva komponensenként:

I. megoldás:

cos,sin,0síkbanazés,,,legyen

0)()(

)(222

222

θθ==

=−−

→=−

syznnnn

EssnEnn

EssnEnn

eooi

jjiii

jjiii

=++−−

=++−−

=−−

0)cossin0(cos)(

0)cossin0(sin)(

0)(0)(

222

222

222

zyxze

zyxyo

xo

EEEnEnn

EEEnEnn

nEnn

θθθ

θθθ

ooozoyoxoxo

ozoyoxo

nDDEnD

nnEEE

ED 20,,

20,

22,,,

0,

,0,0

εε =→===

===≠

19

II. megoldás:

=−−+−

=−−−

≠≠=

θ

θθθ

θ

θθθ

22

22222

22

22222

,,,

sin

0)cos(sincos

cos

0cossin)sin(

0,0,0

n

EnnnEn

n

EnEnnn

EEE

zey

zyo

zoyoxo

0)cossin(cossincossin

:0sdeterminán2222222422422 =+−−+

=

θθθθθθ eoeo nnnnnnn

2

2

2

2

2sincos

)(1

eo nnnθθ

θ+=

fázissebesség (vf || k), sugársebesség (vs || S) →csoportsebesség!

20

Síkhullám beesése anizotróp közeg határán: θθ sinsin 10 kk =

eeoo nnknk θθθθθθ sin)(sin,sinsin)( 110 ==→=

k-diagram

fázisfront-diagram

~ υ ~ ω/k

21

Polarizáció-érzékeny eszközök:a. dikroikus polarizátor (szelektív abszorpció):

anizotróp molekulaszerkezet, mely E-irányra érzékenyen reagál.

Malus-tv.:Ha áteresztési irányés E iránya ψ :

b. szelektív reflexió: izotrópdielektrikumok határfelületén(Brewster-beesési szög).

ψ

ψ2cos'

cos'

SS

EE

=

→=

22

c. polarizációs nyalábosztó (anizotróp, kettőstörő anyag).

d. fázistoló lemez:Γ, gyors (F) és lassú (S) tengelyek (n1<n2 → x=F);d lemezvastagság esetén

Keresztezett polarizátorok között: Γ változtatásával transzmisszió változik: ~sin2(Γ /2)

012012 /)(π2)( λdnndknnΓ −=−=

23

Optikai aktivitás – helikális (csavart) molekulaszerkezet,az ehhez tartozó anyagegyenlet:

azaz, időben változó mágneses tér köráramot hoz létre, mely eredőelektromos dipólusmomentumot indukál.

síkhullám esetén:

Sajátértékek:

Normál módusok:

Fajlagos forgatás:

)()(j 00 EεEBεED ×−∇+=+= ξεωξε

krErE je)( −=

−==×+=

zz

yyzxyz

zxyzxx

kk

εεξ

ξεεξε

000j0j

'ahol,'j 00 εEεEkεED

0

002

0

222

)(.pcirkulárisazaz),0,,(ha,

λπρ

ε

ξξε

RL

zxyzozxyzxx

nnjEEn

knknnLR

−≡

±==

±=±==

±

±

EED

→ ∆(β /2) = ρ z