1
PolarizációPolarizáció: E(r,t) e. térerősség vektor rezgési irányaMonokromatikus fényre E(r,t):
komponensei eltérő fázisú és amplitúdójú szinuszos rezgések →végpontja minden r pontban más-más ellipszist ír le (a).
Paraxiális optika:fény terjedési iránya optikai (z) tengely körül kis kúpszögben;közel TEM rezgés → E(r,t) közel a transzverzális (xy) síkban;izotróp közeg: polarizációs ellipszis nem változik (b).
a b
2
Polarizációs ellipszis orientációja és ellipticitása szerint:polarizációs állapot: lineáris, elliptikus, cirkuláris
Ellipszis méretét az optikai intenzitás határozza meg.Polarizáció szerepe a fény–anyag kölcsönhatásban:• reflexió két anyag határfelületéről polarizációfüggő;• bizonyos anyagok abszorpciója polarizációfüggő;• fény szóródása anyagról polarizáció-érzékeny;• anizotróp anyag törésmutatója polarizációfüggő;• optikailag aktív anyagok a polarizációt forgatják.
z-irányban terjedő monokromatikus síkhullám e. tere:
egységvektorokkal:
A komplex amplitúdó vektora:
eRe)c(π2jexpRe),(~
Re),( )j(00
kzEEEE −=
−== tztftztz ω
yxyxE ˆeˆeˆˆ jj000
yxyxyx aaEE ϕϕ +=+=
zzssk ˆ,/ zcnk === ω
3
Polarizációs ellipszis:Legyen az x komponens fázisa a referencia: ϕx = 0, ϕy = ϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕωϕω
22222
22
222
22
00
0
0
0
sin)sin(coscos2
sin1coscos2
(),...sin)/(1cos)/(
sinsincoscos/cos/
)cos()cos()cos()cos(
ˆ),(ˆ),(),(
=+
+−
−=
+−
−=→−−=
=−==
+≡+−=≡−=
+=
x
x
yx
yx
y
y
x
x
x
x
yx
yx
y
y
xxxx
yy
xx
yyy
xxx
yx
aE
aaEE
aE
aE
aE
aaEE
aE
aEaE
aEaE
akztaEakztaE
tzEtzEtz yxE
=1
4
Ellipszis alakja: fáziskülönbség; tengelyarány;
mérete: intenzitás.
Ellipszis parametrikus egyenlete:
ϕϕ 22
2
2
2
sincos2 =−+yx
yx
y
y
x
x
aaEE
aE
aE
xy ϕϕϕ −= xy aa /
)(2
22yx aaI +=
υε
5
Lineáris polarizáció:
xx
yyyx E
aa
Eaa ±=→
===π0
vagy0vagy0 ϕ
0és)0cos(2π/ aaa yx ===→±= ϕϕCirkuláris polarizáció:
)sin(és)cos( 00 xyxx kztaEkztaE ϕωϕω +−=+−= m
20
22 aEE yx =+
6
Bázisok:1. lineárisan polarizált bázis:
2. cirkulárisan polarizált bázis – előző alak új definíciót kínál:
00
0000
0000
j**21j
21
j*21j
21)j()j(
21
j*21j
21)j()j(
21
00
e)j(e)j(~
ee]e[e
ee]e[e
j~
:fazorhelyett
)cos(),cos(,ˆˆ),(
ϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
−
−+−+
−+−+
+++=→
+=+=
+=+=
→+=
+=+=+=
yxyx
yyyy
xxxx
yx
yyyxxxyx
AAAAE
AAaE
AAaE
EEE
aEaEEEtz
yy
xx
yxE
+−=
+=→
+=→
=+≡
=+≡
−
−
)j(ee~
e)j(
e)j(
*
*
jj
j**21
j21
00LRy
RLx
RL
RyxR
LyxL
AAA
AAA
AAE
aAAA
aAAAR
L
ϕϕ
ϕ
ϕ
7
Cirkulárisan polarizált bázis értelmezése egyszerűbb:
]ee[e
j~
)2
j()2
j(2
j 00αϕαϕβ
ϕϕαϕϕβ
−−−+=
+=→
−≡+≡
RL
yx
RL
RL
aa
EEE
8
Jones-vektor:
)arg()arg(,||||
,2
|||| 22
xyx
y
x
yyx AAAA
aaAA
I −==+
= ϕυε
=
y
x
AA
J
Orthogonális polarizáció →1;2 polarizációs állapot skaláris szorzata 0:
0*21
*2121 =+= yyxx AAAAJJ
Polarizátorok mátrix leírása:
=
y
x
y
x
AA
TTTT
AA
1
1
2221
1211
2
2
Jones-mátrix:12 TJJ =
9
Polarizációs eszközök:
a. lineáris polarizátor
b. polarizációforgató
c. fázistolóF: gyorsS: lassú
=
0001
T
−
=)jexp(0
01Γ
T
−=
θθθθ
cossinsincos
T
lin)cirkcirk,(linlemez4/2/ha
→→→= λπΓ
lin)(linlemez2/ha
→→= λπΓ
10
Anizotróp dielektrikum:makroszkopikus optikai tulajdonságai irányfüggőek, melyeketa molekulák alakja, orientációja, térbeli helyzete határoz meg.
Fényterjedés anizotróp közegben
Kettőstörés egykristályban:
11
Ordinárius nyaláb: mindig a beesési síkban törik a Snell-tv. szerint.Extraordinárius nyaláb:
Maxwell-egyenletek töltés és árammentes közegben:
A megoldást síkhullám alakban keressük,aholvagyis
Mivel a vektorok kettős szorzata
;0=∇ D ;0=∇B ;/ t∂−∂=×∇ BE ./ t∂∂=×∇ DH)](exp[0 rkEE −= tj ω
,1,c)/()/()/π2()π/2( ===== ssssssk nf ωυωυλ;j)/( ω→∂∂ t .c)/j(j sk nω−=−→∇
;µj 0 HE ω−=×∇ ;j DH ω=×∇
nE ≠φφ sin/sin
;µ)(jµj)(µj)( 2000 DDHE ωωωω =−=×∇−=×∇×∇
,/c1εµ 200 = :)()()( abcacbcba −=××
[ ])j)(j()j(jc
)( 2
22
ssEEssE −−−−−=×∇×∇nω
[ ] [ ])(ε)(cµ
202
0
2
sEsEsEsED −=−= nn
12
E, D a dielektromos permittivitással kapcsolható össze, általánosan:
P a polarizáció vektora,
Jelölés Einstein-konvenció szerint: azonos indexekre összegezni!
Átrendezve kapjuk a fény terjedését leíró sajátérték-egyenletet:
Az egyenlet ME=0 alakú, megoldása det(M)=0 esetben van.Adott s irányhoz meghatározhatók n értékei.Ha M ismert, meghatározható adott n-hez tartozó E.
.,,3,2,1...,...,,)1(
323132121111
000
zyxDDEEED ===++===+=+=
εεεεεε εEEεEχPED r
=
=
=
3
2
1
33
23
13
32
23
12
31
21
11
3
2
1,,
EEE
DDD
EεDεεε
εεε
εεε
[ ] jijjjiiij
jijjiji EEssEnDEED εεε =−=→== ∑=
)(ε 20
3
1
[ ] 0ε 20 =−+ nEEssE ijjijijε
13
Permittivitás tenzor (abszorpció és optikai aktivitás hiányában)• valós és szimmetrikus, • elemei koordinátarendszer-függőek; mindig létezik olyan, ahol
ε diagonális (főtengelyek):
Ekkor a sajátérték-egyenlet egyszerűsödik:
Bevezetve az fő-törésmutatókat:
;jiij εε =
[ ] jjiii
iiijjii EssnEEnEEssEn 2
0
220 εε =−→=−
εε
0
2
εi
in ε=
jji
iiiijjiii Es
nnsnEssEssnEnn 22
22222 )(
−=→⋅=−
sEsE
−−
−−
−= 22
22
22
22
22
22
z
z
y
y
x
x
nnsn
nnsn
nnsn
,,,,,00
0
0
00 321 zyxi
z
y
x
εεεεεεεε
εε
==
=ε
14
Fresnel-egyenlet (ha sE≠0, akkor E nem ⊥ s-re):
• n2-re harmadrendű;• 2 pozitív gyök (na és nb) → Ea és Eb normál módusok.Bontsuk fel E-t s-re ⊥ és || komponensekre:
D ⊥ s, mert .
Ha na ≠ nb , a normál módusok: Da ⊥ Db → Ea ⊥ Eb , mert
22
2
22
2
22
2
21
z
z
y
y
x
x
nns
nns
nns
n −−
−−
−=
|||| ,)( EEEsEsE −== ⊥
[ ] ⊥=−= EsEsED 20
20 ε)(ε nn
,,,,, baibjijajaijibab EEEE DEDE === εε
+=+====
⊥⊥⊥⊥⊥⊥
⊥⊥
)()()(εε
||||
20
20
abababbab
bbabaaabab nnEEEEEEEEE
EEDEEEDE0)( 22 =− ⊥⊥ baba nn EE
15
Poynting-vektor: (Wm–2, a teljesítményáram iránya)
Optikai intenzitás:A mágneses tér:
D, E, k, S egy síkban fekszik, amelyre ⊥ B, H:
Impermeabilitás tenzor:
Index ellipszoid: impermeabilitás leírása másodrendű felülettel:
*
21 HES ×=
EsH
HEsEkB
×=
=×=×
=
cε
µc
0
0
n
nω
.1εε 21
00 jij
jiji Dn
DE
== −ε
112 =
ji
ij
xxn
][
202
0][W/m2
||||2
|Re|)(2
Ω==>==<
ηυε EEtSI S
16
Diagonális tenzor esetén
a. izotróp kristály →index ellipszoid gömb:
b. egytengelyű kristály(hexa-, tetra-, trigonális) →forgási ellipszoid:
pozitív egytengelyű: ne>no , negatív egytengelyű: ne<no .
c. kéttengelyű kristály (rombos, monoklin, triklin):
:,, zyxxi =
12
2
2
2
2
2
=++zyx n
zny
nx
222zyx nnn ==
222zyx nnn ≠=
12
2
2
2
2
2
=++eoo n
zny
nx
.222zyx nnn ≠≠
18
y
zSpeciális eset – egytengelyű kristályA diagonális s.é. egyenlet átrendezve:
s.é. egyenletbe írva komponensenként:
I. megoldás:
cos,sin,0síkbanazés,,,legyen
0)()(
)(222
222
θθ==
=−−
→=−
syznnnn
EssnEnn
EssnEnn
eooi
jjiii
jjiii
=++−−
=++−−
=−−
0)cossin0(cos)(
0)cossin0(sin)(
0)(0)(
222
222
222
zyxze
zyxyo
xo
EEEnEnn
EEEnEnn
nEnn
θθθ
θθθ
ooozoyoxoxo
ozoyoxo
nDDEnD
nnEEE
ED 20,,
20,
22,,,
0,
,0,0
εε =→===
===≠
19
II. megoldás:
=−−+−
=−−−
≠≠=
θ
θθθ
θ
θθθ
22
22222
22
22222
,,,
sin
0)cos(sincos
cos
0cossin)sin(
0,0,0
n
EnnnEn
n
EnEnnn
EEE
zey
zyo
zoyoxo
0)cossin(cossincossin
:0sdeterminán2222222422422 =+−−+
=
θθθθθθ eoeo nnnnnnn
2
2
2
2
2sincos
)(1
eo nnnθθ
θ+=
fázissebesség (vf || k), sugársebesség (vs || S) →csoportsebesség!
20
Síkhullám beesése anizotróp közeg határán: θθ sinsin 10 kk =
eeoo nnknk θθθθθθ sin)(sin,sinsin)( 110 ==→=
k-diagram
fázisfront-diagram
~ υ ~ ω/k
21
Polarizáció-érzékeny eszközök:a. dikroikus polarizátor (szelektív abszorpció):
anizotróp molekulaszerkezet, mely E-irányra érzékenyen reagál.
Malus-tv.:Ha áteresztési irányés E iránya ψ :
b. szelektív reflexió: izotrópdielektrikumok határfelületén(Brewster-beesési szög).
ψ
ψ2cos'
cos'
SS
EE
=
→=
22
c. polarizációs nyalábosztó (anizotróp, kettőstörő anyag).
d. fázistoló lemez:Γ, gyors (F) és lassú (S) tengelyek (n1<n2 → x=F);d lemezvastagság esetén
Keresztezett polarizátorok között: Γ változtatásával transzmisszió változik: ~sin2(Γ /2)
012012 /)(π2)( λdnndknnΓ −=−=
23
Optikai aktivitás – helikális (csavart) molekulaszerkezet,az ehhez tartozó anyagegyenlet:
azaz, időben változó mágneses tér köráramot hoz létre, mely eredőelektromos dipólusmomentumot indukál.
síkhullám esetén:
Sajátértékek:
Normál módusok:
Fajlagos forgatás:
)()(j 00 EεEBεED ×−∇+=+= ξεωξε
krErE je)( −=
−==×+=
zz
yyzxyz
zxyzxx
kk
εεξ
ξεεξε
000j0j
'ahol,'j 00 εEεEkεED
0
002
0
222
)(.pcirkulárisazaz),0,,(ha,
λπρ
ε
ξξε
RL
zxyzozxyzxx
nnjEEn
knknnLR
−≡
±==
±=±==
±
±
EED
→ ∆(β /2) = ρ z