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Rev. Fac. Ing. Univ. Antioquia N.° 44. pp. 158-171. Junio, 2008

* Autordecorrespondencia:teléfono+57+2+3212167,fax:+57+2+3398462,correoelectrónico:[email protected](J.Osorio).

Planificación jerárquica de la producción en un job shop flexible

Hierarchical production planning in the flexible job shop

Juan Carlos Osorio*, Tulio Gerardo Motoa

EscueladeIngenieríaIndustrialyEstadística,FacultaddeIngeniería,Edificio357, Universidad del Valle, Calle 13 No. 100-00, Ciudad UniversitariaMeléndez,Cali,Colombia.

(Recibidoel5deoctubrede2007.Aceptadoel29deenerode2008)

Resumen

Elproblemadelaplanificaciónycontroldelaproducciónsereconocecomounproblemacomplejodentrode lasorganizacionesdadoque involucra laasignaciónderecursosescasosparalograrlasatisfaccióndelcliente.Portan-to,esimportantedesarrollarmetodologíasquepermitanalcanzarestosobjeti-vos.Elenfoquejerárquicoparalaplanificaciónycontroldelaproducciónesunaaproximaciónaesteproblemaquesecaracterizaporsucapacidaddedis-minuirlacomplejidadylograrbuenassolucionesconeconomíasdetiempoyrequerimientoscomputacionales.Enesteartículosepresentaunapropuestajerárquicapararesolverelproblemadeplanificaciónycontroldelaproduc-ciónenunaconfiguraciónproductivadeltipojob shopflexible.Lasoluciónpropuesta,sinllegaraseróptimadadalaclasificaciónNP-harddelproblemareferido,esunabuenasolucióntalcomosedemuestraensuvalidación.

---------- Palabras clave: Planificación jerárquica, planificación de producción, programación de taller, taller flexible.

Abstract

Productionplanningandcontrolarecomplexproblemswithinmanufacturingorganizationssincetheyconsidertheassignmentofscarceresourcestomeetcustomer satisfaction. Therefore, it is important to develop methodologies

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toachievethisobjective.Thehierarchicalproductionplanningandcontrolis a way to address the problem that can reduce its complexity and reachgoodsolutionsinreasonablecomputationaltime.Inthispaper,wepresentahierarchicalapproachtosolvetheproductionplanningandcontrolprobleminaflexiblejobshopconfiguration.Althoughnon-optimal,asexpected,weobtaingoodsolutionsasshowninthevalidationofthemethod.

---------- Keywords: Hierarchical planning, production planning, job shop scheduling, flexible job shop.

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Rev. Fac. Ing. Univ. Antioquia N.° 44. Junio, 2008

Introducción

Tradicionalmentesehaconsideradoque lages-tióndelasoperacionesestáenfocadaenellogrode objetivos aparentemente en conflicto, talescomo: la satisfacción de los clientes, el controldelosinventariosylautilizacióndelosrecursos.Estohallevadoaldesarrollodetécnicasqueper-mitanobtenerunaplanificaciónyprogramaciónde las actividades de producción direccionadasenprincipioaalgunodedichosobjetivosyenal-gunosmuypocoscasosallogrosimultáneodealmenosdosdeellos(enfoquemultiobjetivo).Unadeestastécnicaseseldenominadoenfoquejerár-quicoparalaplanificacióndelaproducción.Esteconsidera el problema de la planificación, des-componiéndoloensubproblemas interrelaciona-dosdemaneratalquealresolverlossubproble-masseobtienelasoluciónalproblemaoriginal,buscandodisminuirlacomplejidaddesumanejoy ganar velocidad de procesamiento junto conmenoresexigenciasdesdeelpuntodevistacom-putacional,quesiseabordaraelproblematotal.

Existen también diferentes sistemas de produc-cióndeacuerdoconel flujode losproductosolosprocesos.Entreellossepuedenmencionarlossistemas continuos de fabricación, los sistemasflow shop o fabricación en línea y los sistemasjob shop o taller de tareas. Particularmente, enlossistemasjob shopsefabricanpequeñoslotesdeunagranvariedaddeproductos;cadaproduc-topresentauna secuenciadiferente tantoen lasoperacionescomoenelflujoatravésdeltaller,yademás,enlamayoríadeloscasosestossistemasoperanbajoelesquemamake to order,esdecir,sefabricacontralaordendepedidodelcliente.

Lascaracterísticasantesmencionadas,hacendelos sistemas job shop, sistemas altamente com-plejos para la programación de las operacionesquesellevanacaboenellos.Suimportanciaseverealzadaencuantoquesonmuchaslasempre-sas medianas y pequeñas que trabajan con estetipodeenfoquedeproducción.Entrelossistemasjob shopexisteeldenominadojob shop flexible,elcualtienecomocaracterísticaadicionalquelasdiferentesoperacionespuedenserprocesadasen

cualquiermáquinadeunconjuntodeellasexis-tentes en el taller. Este trabajo se concentra enproponerunaaproximaciónalproblemadepro-gramacióndeljob shopflexible(flexible job shop scheduling problem).

Acontinuaciónsepresentaunadiscusióninicialsobre la planificación jerárquica, señalando losprincipalestrabajospublicadosalrespecto.Igual-mentesedefineelproblemadeljob shopflexibleyparticularmentese trata lorelacionadoconsuprogramación. Finalmente se presenta una pro-puestaoriginalsobrecómoabordaresteproble-madesdelaplanificaciónjerárquica.

La planificación jerárquica de la producción

Esimportanteresaltarquelaplanificacióndelaproducciónespartede loquesueledenominar-se corrientemente como Sistema de Gestión delaProduccióny lasOperaciones (SGP).Enesesentido, la planificación está relacionada conotroscomponentesdeestesistematalescomolaprogramación (paraalgunosautores incluidaenla planificación), la dirección y el control. Unaempresademanufacturadebeplanificarsusope-raciones en distintos niveles y operar cada unode dichos niveles buscando la mejor eficacia yefectividadpara todoel sistemaen su conjunto[1].Adicionalmente,enlasempresasdetipoma-nufacturero, laplanificaciónde suoperación seconvierteenelnúcleocentraldedichosistema.Elproblemadelaplanificacióndelaproducciónreviste un carácter complejo dada la cantidaddeelementosqueinvolucraylasmúltiplesinte-rrelacionesexistentesentreellos;estohahechoque en torno a la solucióndelmismo sehayandesarrolladograncantidadde trabajos.Algunosderivadosdelapráctica,talescomoMRP(ERP),JITyTOC.Otrosconuncaráctereminentementeacadémico,esdecir,posibilidadesdemodelaciónysoluciónalproblemaconenormesdificultadesalintentarintroducirunarepresentacióncercanaa la realidad y que suelen señalarse como mo-delosdeplanificaciónmonolíticos,casisiempremodelosmatemáticos.Comounpunto interme-dio entre los mencionados, surge una corriente

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relativamentenuevaconungradodedesarrolloimportante en los últimos años y que se apoyaen una visión jerárquica del sistema objeto detrabajo. Tal aproximación, denominada Planifi-caciónJerárquicadelaProducción(Hierarchical Production Planning),reconoceenelsistemadegestiónde laproduccióndiversosnivelesuho-rizontesconproblemasdedecisiónparticulares,conunmanejoagregadodeltiempoydelosda-tosdelasdiversasentidadesidentificables,yconla exigencia fundamental de lograr sinergia en-trelasdiferentesdecisionesquesetomanentalsistema [2]. Los primeros trabajos que abordanelproblemadelaplanificacióndelaproduccióndesde laperspectiva jerárquica son losdesarro-lladosporHaxyMeal[3].Despuésdeestetraba-jo,sepresentaronotrosquecomplementabanelmismo,especialmenteen lo referentea laagre-gaciónydesagregaciónyalambientedemanu-facturaespecífico [4,5,6]peroalrededorde laconceptualizaciónyelsustentoteóricodelenfo-quesolamenteaparecentrabajosseriosalrespec-to hasta 1995 cuando Schneeweiss [7] presentaunaestructurasólidaycoherentedelosmodelosjerárquicos en las organizaciones, llevando suenfoquealcontextodelosmodelosdetomade-cisionesdistribuidasyalosmodelosdesoportealatomadedecisiones.Siguiendoeldesarrollodelosmodelosjerárquicos,BitranyTirupati[8]hacen una presentación interesante y completaacercadelostrabajosdesarrolladosenplanifica-ciónjerárquicadelaproduccióndespuésdeldeHaxyMeal.Otrostrabajosquesonimportantesde considerar dentro del contexto de evolucióndelosmodelosjerárquicosysusaplicacionesenelproblemadeplanificaciónycontroldeproduc-ción,sonlosdesarrolladosporNagi[9]yMehra[10]. Los principales aportes del modelo desa-rrollado por Nagi están en la consideración demúltiplesproductos,lainformaciónaleatoriaenlautilizacióndelasmáquinasylapruebadeopti-malidadparaelcasoperfecto.PorsuparteMehradesarrollaunmodelocuyoobjetivoesminimizarloscostosdemantenerinventariosdeproductosenprocesoyproductos terminadosy loscostosporórdenespendientes,ycomplementalaformu-lacióndesupropuesta, incluyendorestricciones

de capacidad, ecuaciones de estado de inventa-rios y restricciones que aseguran la factibilidaddelplandeproducciónagregado.Enuntrabajoposterior,Schneeweiss[11]desarrollademaneramásamplialoselementosdelsistemajerárquico,quesepuedenapreciarenelfigura1presentandounapropuestasólidafrenteaunodelosaspectosmásimportantes,laanticipación,lacualescon-sideradacomounodelosprincipalesconceptosquedefineelfenómenodelajerarquía,ypuedendistinguirsecuatrotipos.

Figura 1 Interdependencia de los sistemas jerárquicos [7]

máquinasm1 O7,1 O1,1

m2

m3 O10,1 O7,2 O1,2

m4 O10,2 O7,3 O1,3 O2,2

m5

Tiempo 1 2 3 4 5 6 7

Figura 2 Resultado centro de trabajo 1(agregación en dos centros) makespan 7


m7 O4,1 O3,3 O9,2

m8 O3,2

m9 O6,3

m10 O3,1

Tiempo 1 2 3 4 5 6 7 8

Figura 3 Resultado centro de trabajo 2 (agregación en dos centros) makespan 8

O2,1

O8,2 O8,3

O2,3

O6,1 O5,2

O5,3

O8,1 O10,3

O4,2

O4,3

O5,1 O6,2

Nivel más altoAnticipación del nivel base

Nivel base

Sistema objeto

Implementación

AnticipaciónInstrucción Reacción


La anticipación perfectaenlacual,elnivelsu-periorconsideraelefectodesusdecisionesenelnivelinferior,antesdedefinirlainstrucción.Enestecaso,semodelacompletamenteelcompor-tamientodelnivelinferiorparatomarladecisióndelnivelsuperior.

La anticipación perfecta aproximada:elnivelsu-periorconsideraalgunosaspectosdesudecisiónenelnivelinferiorantesdeemitirlainstrucción.

La anticipación implícita: igualqueen laante-rior,secontemplanalgunosaspectos,enestecasomásgeneralesquelosdelacategoríaanterior,an-tesdeemitirlainstrucciónparaelnivelinferior.

La anticipación no reactiva:noconsideraelefec-tode las instruccionesenelnivel inferiorantesdeemitirlas.

Dentrodelasaplicacionesensistemasdeproduc-ciónsepuedencomentarlaspresentadasenlasre-

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ferencias[12-26].Todosestostrabajos,seaplicanenambientesrealesdemanufactura,ysesustentanespecialmentepormodelaciónmatemática.

Los ambientes job shop y el problema del job shop flexible

Unambientejob shopsecaracterizaporlaproduc-cióndelotesrelativamentepequeñosdeunaam-pliavariedaddeproductos,loscualestienenmuypocogradodeestandarización;enestosambientesseempleanequiposdeescasaespecialización,loscuales se suelen agrupar en centros de trabajo apartirdelafunciónquedesarrollan.Estosequipossuelenserversátilesypermitenejecutaroperacio-nesdiversaslocualgeneralaposibilidaddeobte-nerunaampliavariedaddesalidasparaelproceso[27].Conrespectoalaprogramacióndelasope-raciones,laproblemáticaexistenteenunjob shopconsideraquelospedidoshandepasarporcentrosdetrabajo(unamáquina,unoperarioounconjun-todeellos)diferentespararealizardistintasope-raciones.Unpedidopuedeencontrarelcentrodetrabajoocupadoconotropedido,opuededarselasituacióncontraria,esdecir,queelcentrodetraba-joterminesuoperaciónydebaquedaresperandoun próximo trabajo para continuar operando. Laprogramaciónentoncesbuscacumplirconlasfe-chasdeentrega,reducirlasesperasdelostrabajosyllevarlostiemposociososalmínimo,locualesunatareaquerevierteencomplejidad.

Enelproblemaespecíficodel job shopse tieneque hay un conjunto de trabajos y un conjuntode máquinas. Cada trabajo consiste en una se-cuenciadeoperaciones,lascualesserealizanenunadelasmáquinasduranteuntiempodefinido(tiempodeprocesamiento).Unavez iniciada laoperaciónenunamáquina,engeneralseasumequenosepuedeinterrumpir.Cadamáquinarea-liza solamenteuna operación a la vez. Un pro-gramaentonces,consisteenasignarysecuenciarlasoperacionesalasmáquinasenunordendefi-nido,demaneraqueelproblemaesencontrarelprogramaquesatisfagaelcriterioestablecido,elcualgeneralmenteestáasociadoconlatermina-cióndetodaslasoperacionesdetodoslostraba-josenelmenortiempoposible.Loscriteriosmás

comunesmedianteloscualessevaloranlosob-jetivosdeutilizardelamejormaneraposiblelosrecursosyprestarleelmejorservicioalclienteenlaprogramacióndeunJob Shop,incluyenmini-mizarlosvaloresmáximoymediodeltiempodeflujo,deltiempodefinalización(makespan),delatardanza(tardiness)ydelretraso(lateness),yminimizarelnúmerodetrabajosretrasados[28].Silostrabajosnoseconsiderantodosconigualimportancia,puedeencontrarseunvalorponde-radoaplicandounfactordeponderaciónpropioparacadatrabajo[29].

La dimensionalidad del problema del job shopvienedadapornxm,siendonelnúmerodetra-bajosymelnúmerodemáquinas,detalmaneraquesetienenalmenos(n!)mposiblessolucionesgenerándoseunaexplosióncombinatoriaalcre-cernym.Elcrecimientoexponencialdelnúme-rodeposiblessolucioneshacequeesteproblemaseareconocidocomoNP – hard[30].Lacomple-taenumeracióndetodasestasposibilidadesparaidentificarelprogramaóptimonoesprácticoysupremamentedemandantederecursosdecom-putación. Se ha demostrado que este problemapuedeserconsideradoNP-Hardaúnparaelcasodeminimizarelmakespanenunjob shopcontrestrabajosytresmáquinassisepermitenlasinte-rrupciones[31].

Porsuparteelproblemadeljob shopflexibleesconsideradocomounavariantedelproblemadeljob shoporiginal,aunquetratadoenlaliteraturadeunamaneramuchomenor.Sinembargo,esuncasomuyinteresanteyfrecuenteenlosambien-tes manufactureros, en el cual, los trabajos quesedebenprocesarpuedenasignarse a cualquiermáquina de un conjunto de máquinas estable-cido, donde los tiempos de operación o costosasociadosaltrabajoenlasmáquinaspuedenserdiferentes. Por tanto, el problema del job shopflexible(Flexible Job Shop Scheduling Problem: FJSSP)esplanearyorganizarunconjuntodeta-reasquedebenprocesarseenunconjuntodere-cursosconrestriccióndeoperación.Segúnalgu-nosautoresesteproblemaesmáscomplejoqueeldeljob shopdebidoalanecesidaddeasignarlasoperaciones[32].

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Generalmenteseconsiderandospasosparalaso-lucióndelFJSSP:primero,asignarlastareasalosrecursos y después, secuenciar dichas tareas deacuerdoconlaasignaciónrealizadaenelprimerpaso, lo que algunos autores han denominadoequivocadamente modelos jerárquicos [33, 34].Este enfoque debe entenderse como un modelodeplanificaciónporniveles,queresultaríajerár-quicosoloenlamedidaenquecontemplaseal-gúntipodeagregación.Asícomoestáplanteado,enelprimernivelsehacelaasignacióndetareasa máquinas y en el segundo nivel, se secuen-cian las tareasencadamáquina.Tambiénexis-tentrabajosdóndesebuscaresolverelproblemadeasignacióny secuenciaciónenun solopaso.Estos modelos suelen llamárseles monolíticosy se caracterizan fundamentalmente por incluirmodelaciónmatemáticadegrancomplejidadnosolo en su formulación, sino principalmente ensu solución [32, 35-43].Si bien el conceptodeagregaciónnosetrabajaenlosartículospresenta-dos,esimportantedestacarelplanteamientodelenfoquejerárquicocomoalternativaalasolucióndel job shopflexible,locualnosolamenteabreposibilidadesdefuturasinvestigaciones,sinoquesustentademaneraimportanteelesfuerzoasocia-doalarealizacióndeestetrabajo.

Respectoalosenfoquespresentadoscomojerár-quicos,nuevamenteseresaltaquelamayoríadeellosrealmentesonmástrabajosporniveles.Sinembargo, sí existe un registro sobre un trabajoqueutilizaelenfoquejerárquicoparalasolucióndeunjob shopqueaunquenosepresentacomoflexible,claramenteloes.Estetrabajoseencuen-tra en el libro Applied mathematical program-mingdelosprofesoresdelMIT,Bradley,HaxyMaganti[44].Elproblemaenconcreto,consideraunjob shopenlanaval,dondeesnecesariotantoladefinicióndelosrecursosdemanufactura(ma-quinariaypersonas)queesclaramenteunproble-madeasignación,comoelsecuenciamientodelasórdenes.Losautores,planteandosnivelesparalasolución. Un nivel agregado en el cual definenun plan agregado de producción que determinalas necesidades de recursos (asignación de ma-quinariaypersonasalastareas)ydespués,conel

resultadodelplanagregadovanalnivelinferiorymedianteunmodelodesimulaciónresuelvenelproblemadelscheduling.Aunqueestetrabajonoesta referenciadoen losartículosactualessobreeljob shopflexible,esindudablequesetratadeunantecedenteimportanteparaesteproblemayrealmente,unodelospocosqueseplanteaunen-foquequesepuededenominarjerárquico.

Engeneral, lamayoríadelostrabajospresenta-doscorrespondenalosúltimosaños,dadoquelaatencióneneljob shopflexibleporpartedelosinvestigadoresestá sustentadoen lascaracterís-ticasactualesde loscentrosproductivos,en losquelaflexibilidadjuegaunpapelfundamentalyportanto,secuentaconmáquinasmultifunciona-les que pueden procesar en cualquier momentocualquierade losproductosde lacompañía.Enestecampoentonces,elterrenoaúnesmuyfértilyelcaminoquerestaporavanzaresmuchoma-yorqueelrecorrido.

Modelo para la planificación jerárquica de la producción

en un job shop flexibleElmodelobuscaresolverelproblemamedianteladefinicióndedosniveles,cadaunodeloscua-lestieneasociadodiferentesproblemasdetomadedecisiones.Antesdepresentarlos,seconfiguraeljob shopflexibleconsideradoparaelmodelo.

Configuración del job shop flexible

EnelmodelopropuestoseconsideranImáqui-nas (I=1,2, ...,M)yJ trabajos ( J=1,2, ...,N).Ahora,enelnivelsuperiorseconformanRcentrosdetrabajo(R=1,2,...,L).Cadacentrodetrabajoestáconformadoporimáquinas(i=1,2,...,m)detalmaneraquei ∈ I.AcadacentroRseleasignanjtrabajos(j=1,2,...,n)siendoj ∈ J. Cadatrabajo j implica o operaciones(o=1,2,...,k)ycadaoperaciónodeuntrabajojtienedefinidountiempodeprocesamientoenlamáquinai,poji

Enesteproblemaademás,setienenlassiguientesconsideraciones:

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• Todoslostrabajosestándisponiblesparaem-pezaraserprocesadosenelinstantet = 0.

• Todaslasmáquinasseencuentranlistasparalaoperaciónen t = 0.

• Nosepermitelainterrupcióndelostrabajosenlasmáquinas,esdecir,queunaveziniciaunaoperaciónenunamáquinaéstasolamen-te queda disponible hasta que la operaciónfinaliza.

• Existerecirculacióneneljob shop,esdecir,queuntrabajopuedevisitarunamáquinaenmasdeunaocasión,permitiéndoseinclusivequetodaslasoperacionesdeuntrabajoseanprocesadasenunaúnicamáquina.

• Hastatantounaoperaciónhayaterminadosuprocesamiento,lamáquinaenlacualseesterealizandodichaoperaciónnosepodrácon-siderardisponibleparaningúnotrotrabajo.

• Todoslostrabajostienenlamismaprioridaddentrodelsistema.

• Unavezfinaliceelprocesodeunaoperaciónencualquiermáquina,éstaautomáticamen-tequedadisponiblepararecibirlasiguienteoperación.Noseconsiderantiemposdealis-tamiento.

• Todaslasmáquinaspuedenrealizartodaslasoperaciones(flexibilidadtotal)

• Lostiemposdeprocesamientodelasopera-cionesenlasmáquinassonconocidosyde-terminísticos.

• EltiempototaldeprocesoparauntrabajoJeslasumadeltiempodeprocesodecadaunadelasoperacionesquelocomponen.Noseconsideranalistamientosnitiemposdepara-da.

• Existerestriccióndesecuenciaenlasopera-cionesdecadaunodelostrabajosJ,esdecir,quelaoperaciónoj,2solamentepodrácomen-zaraserprocesadaenlamáquinarespectivaunavezfinalicecompletamentelaoperaciónoj,1.

• Noseconsiderantiemposdetransporteparalostrabajosentreunayotramáquina.

• Untrabajosolamenteseconsiderarátermi-nadoenelmomentoenquetodassusope-raciones hayan sido procesadas completa-mente.

El problema del nivel superior

Enestenivel,elproblemaessolamentelaasig-nación de los trabajos a los centros de trabajo,demaneraqueseminimice la sumatoriade lostiemposdeejecución,perosebuscatambiénqueloscentrosdetrabajoesténbalanceados,esdecir,quenoserecargueunosolo,puestoquesiestollegaasuceder,elmakespan, es decir, elmáximotiempodeterminacióndetodoslostrabajos,ten-deríaaincrementarse,puestoqueelcentromayorcargadoseríaelquedetermineelúltimotiempodeterminación,portanto,loquesedebebuscaresquetodos loscentros tenganunacargasimi-larydeesamanera,eltiempodeterminacióndecada uno sea equivalente, para lograr un mejorvalordemakespan.

La agregaciónElmodelopropuestopresentadostiposdeagre-gación,eldelasoperacionesentrabajosyeldelasmáquinasencentrosdetrabajo.

Agregación de las operaciones en trabajos

Enestesentido,seconsideraqueuntrabajotie-neuntiempodeprocesamientoequivalentealasumadelostiemposdeprocesamientodetodaslas operaciones que lo componen, sin contartiemposdealistamientooparadasenelproceso.

Respectoalaagregacióndelasmáquinas,esunprocedimientomáscomplejo,yparallegaraunaagregación“buena” se realizaronvariosexperi-mentos,deloscualessepresentaelquefinalmen-tearrojómejores resultados.Enestecamposinembargo,todavíahaymuchaslíneasparaconti-nuarlainvestigación.

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Agregación de máquinas en centros de trabajo

Seagreganlasmáquinasdeacuerdoconlosvalo-resmáximoymínimodelostiemposdeejecucióndelostrabajosencadaunadeellas.Dichosvalo-ressonobtenidosenelprocesodeagregacióndelostrabajos.Seplanteaagruparenunmismocen-trolasmáquinasquepresentenlosvaloresmíni-mosconlasquepresentenlosvaloresmáximos,esdecir,emparejamientoselectivo,paraquehayaunadistribucióndelavariaciónycuandosedelaasignacióndelostrabajos,lasoperacionestenganla probabilidad de ejecutarse en tiempos cortosencualquieradeloscentrosdetrabajo.Estaagre-gaciónademáscontieneensilaagregacióndelasoperacionesenlostrabajosydehecho,esapartirdel resultadode esta agregaciónque se confor-manloscentrosdetrabajo.

Otros aspectos sobre agregación

Conrespectoalosresultadosexperimentales,sepuedenplantearlossiguientesprincipiosbásicosparaobtenerunaagregación(específicamenteeneste caso, se refiere a la agregación de las má-quinas)quepermitaunasolucióncercanaalóp-timo:

• El número mínimo de máquinas en un centro, debe ser igual o mayor al máximo número de operaciones que conformen un trabajo.Esteprincipiosesustentaenelpropósitodeminimizarelmakespan,puestoqueamenornúmerodemáquinasenelcentro,seobligaráaltrabajoavisitarunamáquinamásdeunavez.Aunqueenelmodelolarecirculaciónespermitida y puede generar buenos resulta-dos,debeserproductodelanálisisynounarestricciónimpuestaporeltamañodelcentrodetrabajo.

• Un centro de trabajo, entre más grande, más opción de selección. Enlamedidaqueelcentrodetrabajotengaunnúmerodemá-quinasmayoroigualqueelmáximonúmerodeoperaciones,garantizarámásopcionesdeselección al momento de asignar las ope-raciones y por consiguiente, existe mayor

posibilidaddeencontraruna secuenciaqueminimiceelmakespan.

• Los centros de trabajo deben conformarse de manera tal que en uno mismo coexistan máquinas con tiempos de proceso altos y ba-jos para un mismo trabajo. El centrodeberepresentarelproblematotaldelamejorma-nera,portanto,lasmáquinasqueloconfor-mannopuedenenningúnmomentoser lasmásrápidasolasmáslentas,puestoquealbuscarseunbalancedecargasyunmakes-panmínimo,siseasignantrabajosacentrosquepresentanaltavariación,elresultadofi-nal,eldelproblemaglobalseveráafectado.

• No se debe subestimar la sencillez en la agregación. Una agregación basada en elconocimiento empírico, en la distribucióndelaplantaosimplementeenelazar,puedegenerarunabuenasolución.Loimportante,esconservarloprevistoenlosdosprincipiosanterioresybuscarsiempreentrevariasal-ternativas.

El modelo para la asignación

Para resolverelproblemadelnivelagregado, seha planteado un modelo de programación linealquelogralaasignaciónóptimadelostrabajosaloscentros,minimizandoeltiempototaldetermina-ciónybalanceandolautilizacióndelosmismos.

EnelmodelosedefineunavariableZequivalen-tealmakespan,detalmaneraque

Z= ∑=

∑=

L

RJR

XJR

TMaxN

J 1,,

1 (1)

DondeTRJsonlostiemposdeprocesamientodeltrabajoJenelcentroRyXRJesunavariablebi-nariamediantelacualsedefinesieltrabajoJseprocesaonoenel centroR.Parael cálculodelostiemposdeprocesamientoagregados,secon-siderantantolaalternativadelpromediocomoladelproductodelcoeficientedevariaciónporelrango. En este modelo, esta propuesta presenta

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buenosresultadosparaelmakespan. SebuscaelvalormínimodeZmedianteelsiguientemodelodeprogramaciónlineal:

Min Z (2)

s.a:Z ∑=

≥N

JJRJR XT

1,, LRR ...1, =∀ (3)

∑=

=L

RJRX

1, 1 NJJ ...1, =∀ (4)

XRJ= 1sieltrabajoJseasignaalcentroR(5)0delocontrario

En(1) setieneladefinicióndel makespan, es de-cir, el máximo tiempo de terminación de todoslostrabajos.Sehadefinido (2) parabuscarelva-lormínimomedianteunmodelodeprogramaciónlineal.Lasrestriccionespresentadasen(3)garan-tizanunbalancede loscentrosde trabajoy lasde(4)garantizanquecadatrabajoseaasignadoaunsolocentro.EsunmodelosencilloquegeneraL+Nrestriccionesy(L*N)+1variables,dondeLeselnúmerodecentrosdetrabajocreadosenlaagregaciónyNelnúmerodetrabajosquedebenserprogramados.Esunacantidadconsiderable-mentemenorquesiseabordaseelproblemasinagregaryestareduccióndevariablesyrestriccio-nes favoreceel tiempodesolucióndelmodelo. El resultadodelmodelo entonces, es la asigna-cióndelostrabajosJaloscentrosR, elcualseconvierteenunainstruccióndirectaparaelniveldetallado.

El problema del nivel detalladoEnelnivelinferiorodetallado,serealizainicial-mente ladesagregaciónde loscentrosde traba-joenmáquinasydelostrabajosenoperaciones.Unavezserealizaestadesagregación,setienenLsubproblemassimilares,enloscualesdeberesol-verse laasignaciónde lasoperacionesquecon-formanlostrabajos-quefueronasignadosenelnivelsuperior-,alasmáquinasqueconformanelcentrodetrabajoenelquedichotrabajofueasig-nado;yunavezresueltalaasignación,seprocede

arealizarelsecuenciamientodedichasoperacio-nesenlasmáquinas(elproblemadelscheduling),parafinalmentetenerelprogramadeproducciónquedefineenquémomentoyencuálmáquinasedebenprocesar lasoperaciones,queesenresu-menelproblemadeljob shopflexible.

Modelo para la asignaciónSedefineunavariablezequivalentealmakespan (enestecasoeselmakespan delasoperaciones),detalmaneraque:

z ∑∑∑===

=m

i

n

j

k

oijo

xijo

pMax111

,,,, (6)

Donde la variable xoji representa la decisión deprocesar la operación o del trabajo j en la má-quina i.y poji es el tiempo de procesamiento delaoperaciónodel trabajo jen lamáquina i.Aligualqueenelmodelodenivelsuperiorsebuscaminimizarz.

Setieneentonces:

Min z (7)

s.a:z ∑∑==

≥k

oijoijo

n

j

xp1

,,,,1

mii ...1, =∀ (8)

∑=

=m

iijox

1,, 1

njjkoo ...1,;...1, =∀=∀ (9)

ijox ,, =1silaoperaciónodeltrabajojseasignaa

lamáquinai (10)0delocontrario

En(8),segarantizaquelaasignaciónbusqueunbalancedelasmáquinasyademásqueseestelo-grandounmakespanmínimo.Porsuparte(9)ga-rantizaquetodaslasoperacionesseanasignadasy de hecho, que cada operación sea asignada aunasoladelasmáquinas.

Este modelo se debe correr tantas veces comocentros de trabajo hayan sido definidos en la

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agregacióndemáquinasencentros,esdecir,Lveces;demaneraque todas lasoperaciones seasignen. Con todas las operaciones asignadasaunaúnicamáquina, el paso siguiente será lasecuenciacióndedichasoperacionesenlasmá-quinasrespectivas.

Solución del scheduling

Esteproblemahasidoabordadodemúltiplesma-nerasalolargodelahistoria.Eljob shopsche-dulingesunodelosproblemascombinatoriosnopolinomialesmásinvestigadosyelnúmerodear-tículosytrabajosdesarrolladosentornoasuso-luciónesenorme.Unodelosenfoquesutilizadospara la solución ha sido el empleo de modelosdesimulación[45,46],enloscualesseobtienenresultados interesantespara lasolucióndelpro-blema.Aunquedichosresultadosnocuentancongarantíadeoptimalidad,puedenserconsideradosbuenosresultados,comopodráobservarseenlosresultadosdelavalidación;además,debeconsi-

derarsequeeltiempoderespuestaesrápidoylaherramientaflexible.

Esimportanteconsiderarquedadoelcarácterje-rárquicodelplanteamiento,losproblemasquesepresentan para la simulación son relativamentepequeñosyportantosepuedeesperarunabuenasolucióndelmodelo,utilizandoinclusive,elmó-dulode simulaciónparael job shoppresentadoenelprogramaWinQsb.

Resultados y Discusión. Aplicación y validación del

modeloPara la aplicación del modelo se ha tomado elsiguienteproblema,elcualapareceen[34,36].Esteproblemaconsisteen10 trabajoscadaunodeelloscontresoperacionesquedebenprogra-marseen10máquinas,ylaflexibilidadestotal,esdecir,quetodoslostrabajospuedenrealizarseencualquieradelasmáquinas.Losdatossepre-sentanenlatabla1.

Tabla 1 Problema del job shop flexible 10 x 10 [34, 36]

Oj,i m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10J1 O1,1 1 4 6 9 3 5 2 8 9 5

O1,2 4 1 1 3 4 8 10 4 11 4O1,3 3 2 5 1 5 6 9 5 10 3

J2 O2,1 2 10 4 5 9 8 4 15 8 4O2,2 4 8 7 1 9 6 1 10 7 1O2,3 6 11 2 7 5 3 5 14 9 2

J3 O3,1 8 5 8 9 4 3 5 3 8 1O3,2 9 3 6 1 2 6 4 1 7 2O3,3 7 1 8 5 4 9 1 2 3 4

J4 O4,1 5 10 6 4 9 5 1 7 1 6O4,2 4 2 3 8 7 4 6 9 8 4O4,3 7 3 12 1 6 5 8 3 5 2

J5 O5,1 7 10 4 5 6 3 5 15 2 6O5,2 5 6 3 9 8 2 8 6 1 7O5,3 6 1 4 1 10 4 3 11 13 9

168


Oj,i m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 m8 m9 m10J6 O6,1 8 9 10 8 4 2 7 8 3 10

O6,2 7 3 12 5 4 3 6 9 2 15O6,3 4 7 3 6 3 4 1 5 1 11

J7 O7,1 1 7 8 3 4 9 4 13 10 7O7,2 3 8 1 2 3 6 11 2 13 3O7,3 5 4 2 1 2 1 8 14 5 7

J8 O8,1 5 7 11 3 2 9 8 5 12 8O8,2 8 3 10 7 5 13 4 6 8 4O8,3 6 2 13 5 4 3 5 7 9 5

J9 O9,1 3 9 1 3 8 1 6 7 5 4O9,2 4 6 2 5 7 3 1 9 6 7O9,3 8 5 4 8 6 1 2 3 10 12

J10 O10,1 4 3 1 6 7 1 2 6 20 6O10,2 3 1 8 1 9 4 1 4 17 15O10,3 9 2 4 2 3 5 2 4 10 23

Losvaloresdelatablacorrespondenalostiem-posdeprocesamientode lasoperacionesen lasmáquinas.Comopuedeobservarse,hayunagranvariaciónentreestosvalores,porlocualunamalaasignacióndelasoperacionesalasmáquinaspue-degenerargrandesdiferenciasentreelvalordelmakespanqueseobtengaconelvaloróptimo.Elvaloróptimodeesteproblemaes7,yalaplicarelmodelopropuesto,sellegóaobtenerunvalorenelmakespande8,locualmuestraqueelmodeloesefectivopararesolverelproblema,mássiseconsideraquelohaceconeconomíadetiempoyrequerimientos computacionales. Se presenta laconformacióndeloscentrosobtenidaparaelva-lordemakespanreferidoyenlasfiguras2y3semuestranlosresultadosfinales:Centro1:máqui-nasm1,m2,m3,m4ym5;Centro2:máquinasm6,m7,m8,m9ym10.

Otrosproblemassesolucionaronconestemode-lo,encontrándoseresultadoscercanosalóptimo,ademásserealizóunaaplicaciónenunproblemadeflexibilidadparcialquepudoserresueltome-dianteelmodelo.



m2

m3 O10,1 O7,2 O1,2

m4 O10,2 O7,3 O1,3 O2,2

m5

Tiempo 1 2 3 4 5 6 7



m7 O4,1 O3,3 O9,2

m8 O3,2

m9 O6,3

m10 O3,1

Tiempo 1 2 3 4 5 6 7 8


O2,1

O8,2 O8,3

O2,3

O6,1 O5,2

O5,3

O8,1 O10,3

O4,2

O4,3

O5,1 O6,2


Nivel base

Sistema objeto

Implementación





m2

m3 O10,1 O7,2 O1,2

m4 O10,2 O7,3 O1,3 O2,2

m5

Tiempo 1 2 3 4 5 6 7



m7 O4,1 O3,3 O9,2

m8 O3,2

m9 O6,3

m10 O3,1

Tiempo 1 2 3 4 5 6 7 8


O2,1

O8,2 O8,3

O2,3

O6,1 O5,2

O5,3

O8,1 O10,3

O4,2

O4,3

O5,1 O6,2


Nivel base

Sistema objeto

Implementación



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Conclusiones y propuestas para futuros trabajos

• Conrespectoalenfoquejerárquico,sepuedeconcluirque funcionópara resolverelpro-blemadeljob shopflexible,locualesreal-mentesignificativo,sisetieneencuentaqueenlaliteraturaexistentenosehabíaplantea-dohastaelmomentounenfoquerealmentejerárquicocomoelpropuesto,esdecir,queincluyeraagregacióndelainformaciónenelnivelsuperiorconrespectoalinferior.

• Otro elemento relevante, es la simplicidaddel modelo, puesto que a diferencia de lasinvestigaciones existentes en las cuales seevidencia un uso alto de metaheurísticos yprocedimientoscomplejos,aquíseplanteansolucionesmásasequiblesalmundoempre-sarial, y a la mediana o pequeña empresa,dondeestetipodeconfiguraciónesmuyco-múnyportanto,resolverelproblemadeunabuenamanerapuedeconvertirseenunpuntoimportante y diferenciador, que contribuyademanerasignificativaa lacompetitividadypermanenciadeestetipodenegocios.

• Respectoa laagregación, lapropuestapre-sentadapermiteobtenerunabuenasolución,sinembargo,esimportantecontinuarlasin-vestigacionesquepermitandefinirunaagre-gaciónmáseficientemediantemétodosmásrefinadosyutilizandoherramientascompu-tacionalesdemayorenvergadura.Esto,conmiras a acercar el modelo a una soluciónóptima,máscomoelementoacadémicoquepráctico, puesto que ya se mencionó ante-riormente,queunaventajadeestemodelolobrindasusimplicidad.

• Conrespectoalaagregación,tambiénesim-portantedestacarlasensibilidaddelmodelofrente a la misma (especialmente la de lasmáquinasencentros),yaqueaúnutilizandoelmismoprocedimientoparaagregar,enelmomentoquecambieunamáquinadeuncen-troaotro,elresultadopuedesufrircambiosimportantes, por ello, debe experimentarse

másalrespecto,demaneraqueselogrenre-sultadosmáscercanosalóptimomedianteelrefinamientodelmodelodeagregación.

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