pier francesco roggero, michele nardelli, francesco di noto - time and space in the infinitely small...

TIME AND SPACE IN THE INFINITELY SMALL AND IN THE INFINITELY LARGE

Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, P.A. Francesco Di Noto

Abstract: In this paper we focus attention on the behavior of space and time at the subatomic level and astronomical scale.

Versione 1.0 21/01/2014

Pagina 2� di 43�

Index: 1. ELENCO DI ORDINI DI GRANDEZZA PER LA LUNGHEZZA................................................... 3

1.1 OSSERVAZIONI SUGLI ORDINI DI GRANDEZZA PER LA LUNGHEZZA ..............17

2. COME SI MISURA LA VELOCITA’..............................................................................................18

2.1 COMPOSIZIONE RELATIVISTICA DELLE VELOCITÀ..............................................20

2.1.1 ESEMPIO DI COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ...................................................22

3. L’ATOMO VISTO A SCALA UMANA ..........................................................................................23

3.1 VELOCITA’ DELL’ELETTRONE NELL’ATOMO DI IDROGENO..............................25

3.2 RAGGIO DELL’ELETTRONE NELL’ATOMO DI IDROGENO....................................27

3.3 ENERGIA DELL’ELETTRONE NELL’ATOMO DI IDROGENO..................................28

5. OSSERVAZIONI IMPORTANTI.....................................................................................................30

5.1 LA LEGGE ASTRONOMICA DI BODE E I NUMERI DI FIBONACCI ........................33

6. SPAZIO E TEMPO NELLE DIVERSE SCALE DI LUNGHEZZA................................................39

7. CONCLUSIONI................................................................................................................................40

8. RIFERIMENTI..................................................................................................................................41

Versione 1.0 21/01/2014


1. ELENCO DI ORDINI DI GRANDEZZA PER LA LUNGHEZZA TAB. 1

Ordine Prefisso SI Lunghezza dell'oggetto Oggetto

10−35 m 1,6 × 10−35 m Lunghezza di Planck; lunghezze inferiori a questa non hanno alcun senso fisico, secondo le attuali teorie della fisica

...

10−24 m 1 yoctometro (ym)

10−21 m 1 zeptometro (zm)

dimensione di un quark

10−18 m 1 attometro (am)

sensibilità del rilevatore LIGO per le onde gravitazionali

dimensione di un protone

10−15 m 1 femtometro (fm)

l'elettrone classico

Versione 1.0 21/01/2014


scala del nucleo atomico

10−14 m 10 fm

raggio d'azione della forza nucleare debole

10−13 m 100 fm lunghezza d'onda di Compton dell'elettrone

distanza tra i nuclei atomici in una nana bianca

lunghezza d'onda dei raggi gamma 10−12 m 1 picometro (pm)

5 pm lunghezza d'onda dei raggi X più corti

25 pm raggio dell'atomo di idrogeno

10−11 m 10 pm

31 pm raggio dell'atomo di elio

lunghezza d'onda dei raggi X

100 pm 1 Ångström

100 pm (0,1 nm) raggio covalente dell'atomo di zolfo

126 pm (0,126 nm) raggio covalente dell'atomo di rutenio

10−10 m 100 pm

135 pm (0,135 nm) raggio covalente dell'atomo di tecnezio

Versione 1.0 21/01/2014


153 pm (0,153 nm) raggio covalente dell'atomo di argento

154 pm (0,154 nm) lunghezza di un tipico legame covalente (C-C).

155 pm (0,155 nm) raggio covalente dell'atomo di zirconio

175 pm (0,175 nm) raggio covalente dell'atomo di tulio

225 pm (0,225 nm) raggio covalente dell'atomo di cesio

500 pm (0,50 nm) larghezza dell'elica alfa di una proteina

10−9 m 1 nanometro (nm) 2 nm diametro dell'elica del DNA

20 nm spessore di un flagello batterico

32 nm dimensione di un transistor realizzato con le ultime tecnologie disponibili

40 nm lunghezza d'onda degli ultravioletti (limite inferiore)

90 nm Il virus dell'AIDS (in genere i virus vanno da 20 nm a 450 nm)

10−8 m 10 nm

100 nm il 90% delle particelle del fumo di legno sono inferiori a questa misura

Versione 1.0 21/01/2014


dimensioni dei cromosomi

100 nm dimensione massima di una particella che può passare attraverso una mascherina da chirurgo

120 nm dimensione massima di una particella che può passare attraverso un filtro ULPA

280 nm lunghezza d'onda degli ultravioletti (limite superiore)

300 nm dimensione massima di una particella che può passare attraverso un filtro HEPA

380-430 nm lunghezza d'onda della luce viola -- si veda colore e spettro ottico

430-450 nm lunghezza d'onda della luce indaco

450-500 nm lunghezza d'onda della luce blu

500-520 nm lunghezza d'onda della luce azzurra

520-565 nm lunghezza d'onda della luce verde

10−7 m 100 nm

565-590 nm lunghezza d'onda della luce gialla

Versione 1.0 21/01/2014


590-625 nm lunghezza d'onda della luce arancione

625-740 nm lunghezza d'onda della luce rossa

1-10 µm diametro tipico di un batterio

1,55 µm lunghezza d'onda della luce usata nelle fibre ottiche

6-8 µm diametro di un globulo rosso umano

6 µm spora dell'antrace

7 µm spessore di un filo di ragnatela

10−6 m 1 micrometro, micron (µm)

7 µm diametro del nucleo di una tipica cellula eucariota

10 µm dimensione tipica di una goccia d'acqua di nebbia, rugiada o delle nuvole

10 µm larghezza di una fibra di cotone

10,6 µm lunghezza d'onda della luce emessa da un laser al diossido di carbonio

10−5 m 10 µm

12 µm larghezza di una fibra di acrilico

Versione 1.0 21/01/2014


13 µm larghezza di una fibra di nylon

14 µm larghezza di una fibra di poliestere

15 µm larghezza di una fibra di seta

17 µm escrementi dell'acaro della polvere

20 µm larghezza di una fibra di lana

25,4 µm 1/1000 di pollice, comunemente chiamato 1 mil

50 µm lunghezza tipica dell'Euglena gracilis, un protista flagellato

80 µm spessore medio di un capello umano (varia da 18 a 180 µm)

125 µm acaro della polvere

200 µm lunghezza tipica di un Paramecium caudatum, un protista cigliato

300 µm diametro del Thiomargarita namibiensis, il più grosso batterio mai scoperto

10−4 m 100 µm

500 µm micro motori MEMS

Versione 1.0 21/01/2014


500 µm diametro di un ovulo umano

500 µm lunghezza tipica di un Amoeba proteus, un ameboide protesta

2,54 mm distanza tra i pin nei vecchi componenti elettronici DIP (dual in-line package)

5 mm lunghezza media di una formica rossa 10−3 m 1 millimetro (mm)

7,62 mm calibro comune delle pallottole delle armi da guerra

1,5 cm lunghezza di una grossa zanzara

2,54 cm 1 pollice

3,1 cm 1 attoparsec (10−18 parsec)

10−2 m 1 centimetro (cm)

4,267 cm diametro di una pallina da golf

10 cm lunghezza d'onda delle più alte frequenze radio UHF, 3 GHz

10 cm diametro della cervice all'inizio della seconda fase del travaglio

10−1 m 1 decimetro (dm)

12 cm lunghezza d'onda della banda radio 2,45

Versione 1.0 21/01/2014


GHz ISM

15 cm altezza di un lillipuziano (da I viaggi di Gulliver)

30,48 cm 1 piede

50-65 cm la coda del Pizote

66 cm dimensioni delle pigne più lunghe

89 cm altezza media di uno Hobbit adulto

90 cm lunghezza della lama del fioretto

91 cm 1 iarda

1 m lunghezza d'onda delle più basse frequenze UHF e più alte frequenze VHF, 300 MHz

1,435 m scartamento standard dei binari ferroviari

1,7 m altezza media di una persona adulta

2,77 - 3,44 m lunghezza d'onda delle radio in modulazione di frequenza 108 - 87 MHz

1 m 1 metro

3,048 m altezza del canestro nella pallacanestro

Versione 1.0 21/01/2014


5,5 m altezza dell'animale più alto, la giraffa

10 m lunghezza d'onda delle frequenze radio a onde corte più alte, 30 MHz

11 m distanza del dischetto del calcio di rigore dalla linea di porta

21 m altezza della cascata High Force in Inghilterra.

23 m altezza dell'obelisco di Place de la Concorde, a Parigi.

27,43 m distanza tra le basi su un campo da baseball

30 m lunghezza di una balenottera azzurra, l'animale più grande

40 m profondità media sotto il letto del mare dell'Eurotunnel

49 m larghezza di un campo da football americano (53 iarde e 1/3)

52 m altezza delle Cascate del Niagara

10 m 1 decametro (dam)

55 m altezza della Torre di Pisa

Versione 1.0 21/01/2014


60 m altezza della Piramide di Djoser

70 m larghezza di un campo di calcio

70 m lunghezza dell'Arazzo di Bayeux

91,44 m lunghezza di un campo da football americano (100 iarde misurate tra le due linee di meta)

100 m lunghezza d'onda delle frequenze radio a onde corte più basse e di quelle a onde medie più alte, 3 MHz

105 m lunghezza di un campo di calcio

112,34 m altezza dell'albero più alto del mondo

137 m altezza della Grande Piramide di Giza

147 m altezza originale della Grande Piramide di Giza

168 m altezza del punto più alto dello Schleswig-Holstein (Germania)

100 m 1 ettometro (hm)

193 m lunghezza della nave da trasporto UND Adriyatik

Versione 1.0 21/01/2014


244 m altezza dell'edificio del City Gate di Ramat Gan (Israele)

300 m altezza della Torre Eiffel

340 m distanza percorsa dal suono nell'aria in un secondo; si veda velocità del suono

400-500 m altezza dei grataceli più alti degli ultimi 70 anni.

541 m altezza prevista della Freedom Tower sul luogo dove sorgeva il World Trade Center

553,33 m altezza della CN Tower

647 m altezza dell'antenna radio di Varsavia, crollata nel 1991

1 km lunghezza d'onda delle più basse frequenze radio in onde medie, 300 kHz

1609 m 1 miglio internazionale

1852 m 1 miglio nautico

1,000 m 1 chilometro (km)

8850 m altezza della montagna più alta, l'Everest

Versione 1.0 21/01/2014


10 540 m Fossa di Mindanao

10 000 m

10 km = 1 Miriametro (Mm)

33 km punto più stretto della Manica, nello stretto di Dover

100 000 m

100 km 111 km un grado di latitudine della Terra

3 480 km diametro della Luna

106 m 1 000 km = 1 megametro (Mm)

8 851 km lunghezza della Grande muraglia cinese

107 m 10 000 km 12 756 km 40 075 km

diametro equatoriale della Terra lunghezza dell'equatore terrestre

108 m 100 000 km 384 000 km = 384 Mm distanza orbitale tra Terra e Luna

109 m 1 milione di km = 1 gigametro (Gm)

1 390 000 km = 1,39 Gm diametro del Sole

1010 m 10 milioni di km

1011 m 100 milioni di km 150 milioni di km = 150 Gm

1 unità astronomica (UA); distanza media tra Terra e Sole.

1,4 × 109 km distanza orbitale di Saturno dal Sole

1012 m 1 miliardo di km = 1 terametro (Tm)

5,9 Tm distanza orbitale di Plutone dal Sole

Versione 1.0 21/01/2014


1013 m 10 Tm 13,8 Tm distanza della Voyager 1 dal Sole (maggio 2004)

1014 m 100 Tm

1015 m 1 petametro (Pm) 9,46 Pm = 1 anno luce distanza percorsa dalla luce in un anno

3,2616 anni luce = 30,8568 Pm

1 parsec

1016 m 10 Pm

4,22 anni luce = 39,9 Pm distanza della stella più vicina (Proxima Centauri)

1017 m 100 Pm

1018 m 1 exametro (Em)

1019 m 10 Em

1020 m 100 Em 10 000 anni luce

52 chiloparsec (1,6 × 1021 m = 1,6 Zm)

54 kiloparsec (1,66 × 1021 m = 1,66 Zm)

distanza dalla Grande Nube di Magellano (una galassia nana che orbita attorno alla Via Lattea)

distanza dalla Piccola Nube di Magellano (un'altra galassia nana che orbita attorno alla Via Lattea)

1021 m 1 zettametro (Zm)

100.000 anni luce ≈ 1021 m Diametro della via Lattea

Versione 1.0 21/01/2014


22,3 Zm (2,36 milioni di anni luce = 725 kiloparsec = 22,3 Zm)

distanza dalla Galassia di Andromeda

1022 m 10 Zm

50 Zm (1,6 Mpc) diametro del gruppo locale di galassie

1023 m 100 Zm 300-600 Zm (10-20 megaparsec)

distanza dall'ammasso della Vergine

200 milioni di anni luce (2 Ym, 60 megaparsec)

diametro del Superammasso Locale

1024 m 1 yottametro (Ym)

500 milioni di anni luce (5 Ym, 150 megaparsec)

lunghezza della Grande Muraglia, la seconda più grande superstruttura osservata dell'universo

1025 m 10 Ym

1010 anni luce distanza stimata da alcune quasar, gli oggetti più lontani osservati nell'universo

1026 m 100 Ym

1,37 × 1010 anni luce = 1,3 × 1026 m = 130 Ym

distanza che la radiazione cosmica di fondo ha percorso dal Big Bang

Versione 1.0 21/01/2014


1.1 OSSERVAZIONI SUGLI ORDINI DI GRANDEZZA PER LA LUNGHEZZA

Un’interessante osservazione che deriva dall’analisi della TAB. 1 è che l’altezza media di un uomo rappresenta lo spartiacque ovvero il valore della media di tutte le lunghezze sia infinitesimali che infinitamente grandi. Ricorda la celeberrima rappresentazione dell’uomo vitruviano di Leonardo da Vinci delle proporzioni ideali del corpo umano, che dimostra come esso possa essere armoniosamente inscritto nelle due figure "perfette" del cerchio e del quadrato. L’altezza media dell’uomo, che per semplicità poniamo uguale a 1 metro per semplificare i calcoli successivi, è come lo 0 su una retta reale dove a sinistra dello 0 possiamo immaginare valori più piccoli di 1 metro e sulla destra dello 0 valori più grandi di un metro (0 = 1m)

Versione 1.0 21/01/2014


2. COME SI MISURA LA VELOCITA’

La terra gira su se stessa ad una velocità di circa 1700 km/h che è dovuta al moto di rotazione terrestre. La Terra ruota attorno al proprio asse in quasi 24 ore. Considerando che il raggio equatoriale è 6378 km, un punto sull'equatore compie un intero giro, pari a 2 π r = 40053 km, in 24 ore e questo corrisponde a 1670 km/h. Ma avvicinandoci ai poli il raggio compiuto si riduce progressivamente, finché la velocità dei poli, dovuta alla rotazione terrestre, è nulla. L'Italia, più o meno a metà strada, viaggia a circa 1180 km/h, pari a 0.33 km/s (con Reggio Calabria un po' più veloce di Bolzano). Si tratta comunque del valore meno cospicuo, visto che la Terra, tutta quanta, ruota attorno al Sole. In un anno compie una circonferenza (rigorosamente si tratta di un ellisse) di raggio pari a 150 milioni di km. Fatti i conti si tratta di una velocità più di 60 volte superiore all'altra, mediamente pari 29,8 km/s. Ed anche questo non è il movimento più consistente. La Terra, trascinata dal Sole, partecipa del moto dell'intero Sistema Solare intorno alla Galassia. Si stima che la velocità sia di circa 220 km/s. Pertanto un uomo sulla Terra, quando sta fermo, è sottoposto ai tre moti sopra menzionati, che sommandosi vettorialmente possono fargli sfiorare anche i 250 km/s. A voler essere ancora più generali dovremmo pure aggiungere il moto della Galassia che si muove a circa 1.000 km/s rispetto al riferimento dato da un’altra galassia qualsiasi, ad esempio la galassia Sombrero.

Questo significa che la Terra compirebbe uno spostamento nello spazio di 86, 4 milioni di km al giorno, o più di 31,536 miliardi di km all'anno, circa 7 volte la distanza minima da Plutone. La nostra Galassia si starebbe muovendo in un punto di Spazio visibile nella costellazione dell'Idra, e potrebbe col tempo diventare un membro dell'Ammasso della Vergine.

Secondo la teoria della Relatività ristretta di Einstein, il movimento infatti deve essere SEMPRE necessariamente specificato in rapporto ad un altro oggetto. Com'è possibile che non avvertiamo nessuno di questi moti? La ragione è da ricercarsi in una legge della fisica, detta principio d'inerzia: "un corpo non sottoposto a forze

Versione 1.0 21/01/2014


permane nel proprio stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché non interviene una forza esterna ad interromperlo". La Terra, l'atmosfera e tutte le cose poste in superficie sono animate dallo stesso moto rettilineo uniforme. Prendendo a termine di paragone un qualunque oggetto fisso terrestre, essendo animato dello stesso moto della Terra, si muove come noi (se stiamo fermi), alla medesima velocità, nella medesima direzione. In quanto corpi fisici tutte le cose sono quindi sensibili alle accelerazioni, ma del tutto indifferenti alle velocità. Ci accorgiamo quando parte o si ferma un ascensore ma senza guardare fuori del finestrino non potremo dare neanche l'ordine di grandezza della velocità di un'auto sulla strada.

Questo è il principio di relatività classico di Galileo secondo cui tutti i sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme sono equivalenti. Anche il calcolo della velocità della Terra lo si deve riportare sempre ad un determinato sistema. Quando ad esempio ho accennato ai moti della Galassia, mi sono riferito, come usualmente si fa, ad un sistema di riferimento (inerziale) nel quale la radiazione cosmica di fondo risulta isotropa. Si potrebbe obiettare che in realtà il moto della Terra è combinazione di moti curvilinei e non rigorosamente rettilinei, ma per brevi intervalli temporali lo scostamento fra l'arco compiuto e la direzione rettilinea è minimo, non si percepisce a sensazione. Tuttavia lo scostamento c'è ed è il responsabile di effetti quali la deriva dei gravi verso oriente, la deflessione del piano di oscillazione dei pendoli di Foucault.

Versione 1.0 21/01/2014


2.1 COMPOSIZIONE RELATIVISTICA DELLE VELOCITÀ

La luce si propaga a una velocità finita. Questo è un postulato, quindi indimostrabile, ed è alla base di tutta la teoria della relatività sia ristretta che generale di Einstein. Anche gli osservatori in movimento misurano sempre lo stesso valore di c, la velocità della luce nel vuoto, dove c ≈ 300.000 km/s (c implica di default la velocità della luce nel vuoto). Quando però la luce passa attraverso una sostanza trasparente, come l'aria, l'acqua o il vetro, la sua velocità c si riduce a v=c/n (dove n è il valore dell'indice di rifrazione del mezzo) ed è sottoposta a rifrazione. In altre parole, n = 1 nel vuoto e n > 1 nella materia. L'indice di rifrazione dell'aria di fatto è molto vicino a 1, e in effetti la velocità della luce nell’aria è un po’ meno di c nel vuoto.

Ricordiamo che un corpo si muove di moto rettilineo ed uniforme se mantiene una velocità costante in modulo, direzione e verso (la velocità è un vettore). Inoltre un sistema di riferimento inerziale è un sistema di riferimento caratterizzato dalla seguente condizione: se un punto materiale è libero, cioè non sottoposto a forze oppure sottoposto ad una risultante nulla di forze, allora persevererà nel suo stato di quiete finché esso non viene perturbato. In altre parole un osservatore S o sistema di riferimento si dice inerziale se, di un punto materiale isolato misura accelerazione nulla, qualunque sia l'istante t in cui si effettua tale misura.

È semplice verificare che gli osservatori, che di un punto materiale isolato misurano accelerazione nulla, sono tutti e solo quelli che si muovono di moto traslatorio, rettilineo uniforme rispetto all'osservatore S sopra citato. La composizione delle velocità è un insieme di equazioni che descrivono il legame tra le velocità di un oggetto in due sistemi di riferimento diversi, l'uno in moto rettilineo uniforme rispetto all'altro.

Versione 1.0 21/01/2014


Nella teoria della relatività ristretta esse tengono conto, in particolare, dell'insuperabilità della velocità della luce e della sua costanza indipendentemente dal sistema di riferimento inerziale scelto. Se le velocità in gioco sono molto grandi e si avvicinano a circa un 1/10 della velocità c della luce nel vuoto, dobbiamo tener conto delle trasformazioni di Lorentz: Passando da un sistema inerziale S ad un altro sistema inerziale S* con velocità relativa v rispetto al primo, si ha la seguente formula:

21

c

uvvuw

−−=

La formula è semplificata perché si considera solo una direzione nel moto delle velocità u e v in un sistema di riferimento inerziale S e w è la velocità nel nuovo sistema di riferimento inerziale S* In questo modo le velocità sono dei scalari (ovvero dei numeri) e non dei vettori.

Versione 1.0 21/01/2014


2.1.1 ESEMPIO DI COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ Sia dato un sistema di riferimento inerziale S, dove due astronauti U e V viaggiano

lungo l'asse x con velocità rispettivamente di cu32= e cv

32−= , cioè opposte e

uguali in modulo.

Qual è la velocità dell'astronauta U visto nel sistema di riferimento S* solidale con l'astronauta V? Applicando la formula precedente si ha:

232

32

1

32

32

c

cc

ccw

−−

−= = c

1312

Possiamo notare che il modulo della nuova velocità w è minore di c, come prevede la relatività ristretta.

Versione 1.0 21/01/2014


3. L’ATOMO VISTO A SCALA UMANA

Il modello planetario è stato il primo proposto da Rutherford dove quasi tutta la massa dell'atomo è concentrata in una porzione molto piccola, il nucleo (caricato positivamente) e gli elettroni gli ruotano attorno così come i pianeti ruotano attorno al Sole. L'atomo è quindi largamente composto da spazio vuoto e il nucleo è così concentrato che gli elettroni gli ruotano attorno a distanze relativamente enormi, aventi un diametro da 10.000 a 100.000 volte maggiore di quello del nucleo. L’analogia con il nostro sistema solare è evidente. Siccome però il modello planetario portava delle incongruenze con le leggi della fisica classica, ben presto fu abbandonato il concetto di orbita e fu introdotto il concetto di orbitale. Nasce così anche la meccanica quantistica. Non ha più senso infatti parlare di traiettoria di una particella: da ciò discende che non si può neanche definire con certezza dove un elettrone si trova in un dato momento. Ciò che si poteva conoscere era la probabilità di trovare l'elettrone in un certo punto dello spazio in un dato istante di tempo. Un orbitale quindi non è una traiettoria su cui un elettrone (secondo le idee della fisica classica) poteva muoversi, bensì una porzione di spazio intorno al nucleo definita da una superficie di equiprobabilità, ossia entro la quale c'è il 95% della probabilità che un elettrone vi si trovi. Fu Erwin Schrödinger con la sua equazione di Schrödinger, a ipotizzare la struttura dell'atomo come costituita da un nucleo centrale carico di energia positiva circondato da una nuvola di elettroni.

Alla luce delle ultime ricerche, sfruttando sofisticate e potenti apparecchiature elettroniche, è stato possibile determinare in modo più completo anche la struttura del nucleo. In particolare si è scoperto che i protoni e i neutroni sono a loro volta formati da particelle più piccole: i quark.

Versione 1.0 21/01/2014


L'atomo è composto principalmente da tre tipologie di particelle subatomiche (cioè di dimensioni minori dell'atomo): i protoni, i neutroni e gli elettroni.

In particolare:

• i protoni (carichi positivamente) e i neutroni (privi di carica) formano il "nucleo" (carico positivamente); protoni e neutroni sono detti quindi "nucleoni";

• gli elettroni (carichi negativamente) sono presenti nello stesso numero dei protoni e ruotano attorno al nucleo senza seguire un'orbita precisa (l'elettrone si dice quindi "delocalizzato"), rimanendo confinati all'interno degli orbitali (o "livelli energetici").

In proporzione, se il nucleo atomico fosse grande quanto una mela, gli elettroni gli ruoterebbero attorno ad una distanza pari a circa un chilometro; un nucleone (protone o neutrone) ha massa quasi 1800 volte superiore a quella di un elettrone.

Gli atomi non hanno quindi un contorno ben definito, in quanto la distanza degli elettroni rispetto al nucleo varia in ogni istante ed è influenzata dalle condizioni energetiche dell'atomo, in particolare aumenta all'aumentare della temperatura e diminuisce in seguito alla formazione di un legame chimico.

In proporzione se una mela diventasse della dimensione della Terra, gli atomi nella mela avrebbero approssimativamente le dimensioni della mela originale.

Versione 1.0 21/01/2014


3.1 VELOCITA’ DELL’ELETTRONE NELL’ATOMO DI IDROGENO La velocità dell’elettrone nell’atomo di idrogeno, nel modello di Bohr, è data dalla seguente formula:

n

cnv α=

α è la costante di struttura fine adimensionale n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 livello energetico dove si può trovare l’elettrone dove

α = 03599,1371

= 0,0072973

nello stato fondamentale n=1 si ha: v1 = 2.188 km/s La scelta dell'atomo di idrogeno è dovuta perché è il più semplice sistema studiabile in 3 dimensioni, poiché possiede un nucleo con un protone e ha un solo elettrone. A livello energetico n=5 si ha una velocità dell’elettrone attorno al nucleo più piccola e precisamente di:

v5 = 5

2188 ≈ 437 km/s

Versione 1.0 21/01/2014


Il numero quantico n può assumere tutti i valori interi da 1 fino al valore massimo di n=7 perché in questo modo vengono sistemati tutti gli elettroni degli elementi della tavola periodica attualmente conosciuti. E’ interessante osservare che la velocità dell’elettrone attorno al proprio nucleo è sempre inferiore o uguale al valore di: v1 = αc = 2.188 km/s Questo vale per qualsiasi atomo anche molto più complesso. Di conseguenza le velocità degli elettroni in un qualsiasi atomo sono sempre inferiori o

uguali a 03599,1371

della velocità della luce, ovvero meno dell’1% (precisamente del

0,72973%).

Ovviamente la formula n

cnv α= non vale più per atomi che non siano di idrogeno ma

siccome le massime velocità degli elettroni sono proprio nell’atomo di idrogeno, per tutti gli altri atomi le velocità degli elettroni sono comunque inferiori (già con 2 elettroni attorno al nucleo come per l’atomo di elio). Osserviamo anche che le leggi della relatività non servono per calcolare queste velocità, NON SI HA NESSUN AUMENTO DI MASSA DELL’ELETTRONE perché le velocità sono comunque inferiori al 10% della velocità della luce c, e quindi valgono le leggi della fisica classica.

Versione 1.0 21/01/2014


3.2 RAGGIO DELL’ELETTRONE NELL’ATOMO DI IDROGENO Nel modello di Bohr dell'atomo di idrogeno, il raggio di Bohr (simbolo spesso usato a0) è il raggio dell'orbita più interna, ed è pari a: a0 = 5,291×10-11 m (circa 0,53 Angström). Le altre orbite si trovano su orbite circolari di raggio:

02annr =

Quindi per n=2 abbiamo, ad esempio: r2 = 2,12 Å Per gli atomi il raggio è compreso tra 0,25 Å e 3 Å e il raggio dipende soprattutto dalla carica efficace dell'elemento: all'aumentare della stessa, il raggio atomico diminuisce. La carica si dice "efficace" perché, a causa dell'effetto di schermo degli altri elettroni degli strati più interni negli atomi con più elettroni (e quindi tutti meno l’idrogeno), l'elettrone all'ultimo strato non risente totalmente della carica nucleare. Il raggio atomico più piccolo è l'atomo di elio (con raggio atomico di 0,25 A), mentre uno degli atomi più grandi è l'atomo di cesio (con raggio atomico di 2,6 A) Si vede che già per n ≥ 3 il raggio rn calcolato di Bohr con orbite circolari non va già più bene ma si tratta di una buona approssimazione.

Versione 1.0 21/01/2014


3.3 ENERGIA DELL’ELETTRONE NELL’ATOMO DI IDROGENO L’energia dell’elettrone che occupa diversi raggi di orbite circolari è data dalla seguente formula:

20

n

EnE =

Dove E0 è l’energia della prima orbita di Bohr e vale: E0 = 2.18 x10#18J = 13.61 eV Ad esempio per n=2 si ha:

E2 = E0

41

= 3,4 eV

Lo straordinario successo del modello di Bohr è l’aver riprodotto con incredibile precisione la lunghezza d’onda delle righe di emissione dell’idrogeno. Infatti dalla formula precedente deriva immediatamente che le energie dei fotoni emessi a seguito della transizione dell’elettrone da uno stato di numero quantico n1 ad uno di numero quantico n2 dovranno essere:

Efotone = E0

− 2

22

1

11

nn

Versione 1.0 21/01/2014


Ad esempio per un elettrone che passa dallo stato quantico n1=1 allo stato quantico n2=2, ovvero dalla prima orbita “circolare” alla seconda orbita “circolare” viene emesso un fotone di energia pari a:

Efotone = E0

43

= 10,2 eV

Ricordiamo che la luce visibile, dal blu al rosso, ha i seguenti parametri: λ = 400 nm (blu) - 700 (rosso) nm, lunghezza d’onda f = 750 THz (blu) - 430 (rosso) THz, frequenza E = 3,1 eV (blu) - 1,8 (rosso) eV, Energia del fotone

Con h costante di Plank:

(essendo 1 eV = 1,60217653×10-19 J).

Versione 1.0 21/01/2014


5. OSSERVAZIONI IMPORTANTI Circa la costante di struttura fine possiamo aggiungere le considerazioni RIF: Michele Nardelli in “Sistema Musicale Aureo Phi (n/7) e connessioni matematiche tra numeri primi e “Paesaggio” della Teoria delle Stringhe”, Christian Lange1, Michele Nardelli e Giuseppe Bini, sul sito xoomer.virgilio.it/stringtheory/Nardlanbin01.pdf, dove gli Autori mostrano le connessioni tra il numero 432, la costante di struttura fine e la sezione aurea, ma anche con π.

Vediamo ora l’angolo aureo , dal primo volume “La sezione aurea – il linguaggio

matematico della bellezza” della collana matematica “Il mondo è matematico”, pag.

131:

“… Bravais scoprì che le nuove foglie si sviluppano ruotando di uno stesso angolo, approssimativamente 137,35°,: Se calcoliamo:

360° * Ф^2 = 360/Ф^2

I 360° corrispondono ad un giro completo per il limite a cui converge la successione precedente) si ottiene appunto137,35°, chiamato a volte angolo aureo…”

Dividendo infatti 360° per 2,6180307 abbiamo 137,50793, numero vicinissimo a quello della costante di struttura fine α = 137,03599, con differenza 137,50793-137,03599 = 0,47194 e rapporto 137,50793/137,03599 = 1,0034439, molto vicino a

Versione 1.0 21/01/2014


0037665,1...61803398,1128 =

con una differenza di circa 3 millesimi tra il valore reale e il valore stimato di tale rapporto. Poiché il diametro di un ramo è circolare e anche l’orbita di un elettrone è anch’essa circolare, e nella formula della costante di struttura fine compare π, è possibile che tra il valore della costante di struttura fine e l’angolo aureo ci sia qualche relazione, confermata indirettamente anche dal suddetto lavoro di Nardelli, Lange e Bini, a pag. 23 e seguenti, anche in relazione al numero 432, somma di 267 e

165 :

“…Vi sono ulteriori connessioni matematiche che vale la pena di andare a descrivere ed analizzare. L’Ing. Christian Lange ha ottenuto alcuni risultati lavorando sul numero 432, corrispondente alla frequenza del La naturale (ricordiamo che 432 = 24 · 33). Dividendo 432 per π, si ottiene 137,5 un valore molto vicino a quello della Costante di Struttura Fine,di importanza fondamentale nella fisica teorica e nella cosmologia, in quanto ha un ruolo di primo piano nelle teorie delle stringhe e del multiverso.

Inoltre, dividendo 432 per Ф e per Ф^2 si ottengono rispettivamente i numeri 267 e 165. Le somme di tali numeri forniscono nuovamente 432…Si osserva anche che i numeri 267 e 165 sono dati da somme di numeri di Fibonacci. Infatti:267 = 233 + 34 e 165 = 144 + 21 (233 = 89 + 144; 144 = 55 + 89)…”.

(E anche le formule per ottenere i numeri 267 = 432/Ф e 165=432/Ф^2 sono connessi alla sezione aurea) Ora però il numero 137,5796 si ottiene da 432/π. Ma 432 è connesso anche ad alcuni numeri di Fibonacci, dalle relazioni di cui sopra. Quindi anche π, già presente nella formula della costante di struttura fine, potrebbe essere connesso all’angolo aureo 137,5° (ma per angolo aureo si intendono anche altri angoli, come 36°, ecc. ; noi in questo lavoro ci riferiremo sempre all’angolo 137,5 , molto prossimo all’inverso della costante di struttura fine, 137,035…)

Quindi, sarebbe possibile una connessione tra 432, π, Ф, e α = costante di struttura fine “.

Infine ricordiamo che, come prima detto,

Versione 1.0 21/01/2014


“La velocità orbitale della Terra RIMANE di 30 km/s all’incirca quella di un elettrone attorno ad un nucleo ad un certo livello energetico molto basso di un atomo complesso”.

Essendo all’incirca uguale le due velocità orbitali della Terra attorno al Sole e di un elettrone intorno al nucleo atomico, possiamo ipotizzare una possibile relazione tra le orbite dei pianeti solari (Terra compresa), e gli orbitali o numeri quantici, con la serie di Fibonacci e quindi con la sezione aurea.

Per le orbite planetarie, è nota la legge di Bode , che misura le distanze planetari dal Sole in termini di unità astronomiche (U.A.), con connessione con i numeri di Fibonacci, idem se si usano milioni d chilometri (Rif. 13, La serie di Fibonacci nel microcosmo (effetto Hall quantistico, cariche frazionarie, masse dei quark, numeri quantici, stabilità nucleare) Gruppo “B. Riemann”*Francesco Di Noto, Michele Nardelli ) al quale rimandiamo Idem per i numeri quantici e gli orbitali elettronici

Versione 1.0 21/01/2014


5.1 LA LEGGE ASTRONOMICA DI BODE E I NUMERI DI FIBONACCI

In questo lavoro mostriamo la connessione con la legge astronomica empirica di Bode sulle distanze planetarie dal Sole con i numeri di Fibonacci. °°°°°°° Da “Il libro della Fisica” di Gifford A. Pickover ( ed.Logos) riportiamo la pag. 128 dedicata alla “Legge delle distanze planetarie di Bode”, che sarà poi seguita da nostre osservazioni e tabelle numeriche riguardanti la connessione con i numeri di Fibonacci ( avevamo gia trattato l’argomento in Rif.1)

Versione 1.0 21/01/2014


Versione 1.0 21/01/2014


Nostre osservazioni e tabelle La serie numerica empirica 0 3 6 12 24 si potrebbe benissimo completare con 1,5 compreso tra 0 e 3 e 48, 92 e 188 dopo 24, in modo da avere una serie (che poi è una progressione geometrica con numero fisso 2) 0 1,5 3 6 12 24 48 92 184 Notiamo anzitutto che essa rispecchia grosso modo la successione di Fibonacci: TABELLA 1 Serie di Bode più completa

Serie di Fibonacci Differenza Bode – Fibonacci Prossima a numeri di Fibonacci

0 0 0 1,5 1 2 0,5 ≈ 0 3 3 0 6 5 1 12 13 -1 24 21 3 48 34

14 ≈ 13

Versione 1.0 21/01/2014


≈ 44, 5 media tra 34 e 55

3,5 ≈ 3

92 89 3 184 ≈ 188,5 media tra 144 e

2332 -4,5 ≈ 5

… … … Una leggera connessione quindi c’è, tra le due serie numeriche: la prima progressione geometrica con numero fisso 2, la seconda progressione geometrica con numero fisso 1,618… non molto lontano da 2. La correzione apportata da Bode ( aggiungendo 4 alla progressione iniziale e dividendo per 10), avvicina ancora di più le due progressioni: TABELLA 2 Bode ≈ Fibonacci Rapporti successivi nella

serie di Bode (nella serie di Fibonacci è ≈ 1,618

0 0 - 0,55 1 - 0,7 1 0,7/0,55 = 1,2727

≈ √1,618 = 1,2720 1,0 1 1/0,7 = 1,4285… 1,6 2 1,6/1 =1,6 ≈ 1,618

Versione 1.0 21/01/2014


2,8 3 2,8/ 1,6 =1,75≈ 1,618 5,2 5 5,2/2,8 = 1,857 10,0 8 10,0/5,2= 1,9230 19,6 21 19,6/10=1,96 38,8 34 38,8/19,6=1,97 77,2 ≈ 72 media tra 55 e 89 77,2/19,6=1,98 Come si nota, la vicinanza con i numeri di Fibonacci è più marcata, ma ora manca il 13 e il 55. Con i rapporti successivi, essi sono minori di 2, quindi mediamente più vicini a 1,618 = rapporto aureo, e questo spiega la maggiore vicinanza della seconda serie con i numeri di Fibonacci. Conclusioni Esiste quindi una connessione tra la progressione geometrica originale di Bode 0 3 6 12 24 , le sue e le nostre modifiche mostrate in questo lavoro, e la successione di Fibonacci, in merito alle distanze dei pianeti dal Sole espresse in Unità Astronomiche (U.A.). In Rif. 1) avevamo già trovato altre connessioni sull’argomento. Rif. 1) “La sezione aurea in astronomia” sul sito www.attuttoportale.it sezione OLTRE LA BOTANICA LA SEZIONE AUREA -DAGLI ATOMI AL LE STELLE, Rubrica curata da Francesco Di Noto e Eugenio Amitrano

Versione 1.0 21/01/2014


http://www.atuttoportale.it/ , dal quale riportiamo la parte iniziale, con le distanze in milioni di km anziché in U.A., e rispunta anche qui la serie di Fibonacci : “ Di seguito sono riportate le distanze medie dal Sole in milioni di km: Pianeti interni (pianeti terrestri) Mercurio 58 Venere 108 Terra 150 Marte 228 Fascia degli asteroidi 420 Pianeti esterni (pianeti gioviani, giganti gassosi) Giove 778 Saturno 1426 Urano 2870 Nettuno 4497 Se dividiamo tutti i numeri per 50 otteniamo la seguente sequenza che risulta essere molto vicina alla Successione di Fibonacci: � Mercurio: 1,16 ≈ 1; � Venere: 2,16 ≈ 2; � Terra: 3,00 = 3; � Marte: 4,56 ≈ 5; � Asteroidi: 8,40 ≈ 8; � Giove: 15,56 ≈ 13; � Saturno: 28,52 ≈ 27,5 = (21 + 34) / 2; � Urano: 57,40 ≈ 55; � Nettuno: 89,94 = 89 “ Qui però mancano il 21 e il 34, ma sono coinvolti nel numero 28,52 molto vicino alla media 27.5 = (21+34)/2

Versione 1.0 21/01/2014


6. SPAZIO E TEMPO NELLE DIVERSE SCALE DI LUNGHEZZA Abbiamo visto che la velocità deve essere sempre necessariamente specificata in rapporto ad un altro oggetto e inoltre che in base alla composizione delle velocità qualunque oggetto non può mai superare la velocità della luce c. Ma immaginiamo di cambiare scala e di passare a dimensioni molto maggiori, anzi supponiamo di avere le dimensioni di una galassia ovvero di 1021 m e di vivere nell’universo e non sulla Terra. Se avessimo queste dimensioni come apparirebbe il nostro sistema solare con la Terra e gli altri suoi 8 pianeti orbitanti? Avrebbe approssimativamente le dimensioni di un atomo con il sole che rappresenta il nucleo e i pianeti gli elettroni e si avrebbe un modello planetario con le leggi della fisica e relatività di Einstein perfettamente funzionanti. La velocità orbitale della Terra RIMANE di 30 km/s all’incirca quella di un elettrone attorno ad un nucleo ad un certo livello energetico molto basso di un atomo complesso. Non si avrebbe più bisogno di una nuova teoria come quella basata sulla meccanica quantistica. Quindi non è solo importante stabilire i parametri di spazio e di tempo relativamente alla velocità di un oggetto in un certo sistema di riferimento inerziale ma è fondamentale anche stabilire qual è la scala di dimensioni a cui si fa riferimento. Se avessimo le dimensioni “mostruose” di una galassia non ci sarebbe nessun bisogno di scomodare o inventare una nuova teoria come quella meccanica quantistica. Notiamo anche che le velocità degli oggetti non cambiano se cambiamo di scala. Questo è fondamentale perché se le velocità rimangono le stesse sono quindi sono invarianti e costanti indipendentemente dal cambio di scala.

Versione 1.0 21/01/2014


7. CONCLUSIONI Osserviamo che insieme alla velocità ecc. alle diverse scale, non cambiano neanche le relazioni con la sezione aurea e i numeri di Fibonacci, molto presenti sia a scala microcosmica e nucleare (stringhe, masse di quark, stabilità nucleare, ecc.) sia macroscopica (livello umano, tipo fiori, pigne, conigli, ecc.) sia anche astronomica (orbite planetarie con la legge di Bode, bracci a spirale in galassie particolari, dette appunto “a spirale”). Abbiamo già visto le possibili connessioni tra sezione aurea e costante di struttura fine. L’analogia dei sistemi orbitanti attorno ad un nucleo si verificano sia a livello subatomico che a livello cosmologico. Tutto è in continuo movimento e in trasformazione nel tempo e le forze che intervengono sono anch’esse simili nella forma con forze repulsive ed attrattive.

Versione 1.0 21/01/2014


8. RIFERIMENTI Tutti sul nostro sito , salvo diversa indicazione. 1) “Teoria matematica dei nodi, fisica quantistica, teoria di stringa (connessioni con i numeri di Fibonacci, di Lie e i numeri di partizione) Parte Prima Michele Nardelli, Francesco Di Noto Gruppo “B. Riemann”

2) “Osservazioni sul nuovo “numero magico” 34 della nucleosintesi stellare” Gruppo “B.Riemann” Michele Nardelli, Francesco Di Noto (connessione con i numeri di Fibonacci e la stabilità nucleare) 3) “Teoria delle stringhe, effetto entanglement e fotosintesi clorofilliana” Gruppo “B. Riemann”* Francesco Di Noto, Michele 4) “I numeri fibonoriali F!(n), 2° parte (numeri pr imoriali #(n) come loro fattori e numeri di Fibonacci come esponenti, es. F!(19) “ Gruppo “B. Riemann”* Francesco Di Noto, Michele Nardelli 5) “I numeri Fibonoriali e i numeri di Lie” Gruppo “B. Riemann”* Michele Nardelli Francesco Di Noto

Versione 1.0 21/01/2014


6) “MUSICA AUREA E FISICA TEORICA (Da Pitagora al b osone di Higgs)” Gruppo ” B. Riemann”* Nardelli Michele, Francesco Di Noto 7) “STUDY ON INFINITY IN MATHEMATICS AND PHYSICS” Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli, Francesco Di Noto 8) “La matematica dell’evoluzione naturale (Proposta di considerare la sezione aurea nella simulazione informatica del DNA e nella futura dimostrazione matematica della teoria evoluzionistica) Gruppo “B. Riemann”* Francesco Di Noto, Michele Nardelli 9)” DALLE TEORIE DI STRINGA AI MATERIALI SUPERCONDUTTORI TRAMITE LA SEZIONE AUREA” Gruppo “B. Riemann”* Francesco Di Noto, Michele Nardelli 10)” WORMHOLES, UNIVERSO E STRINGHE” Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, Francesco Di Noto 11)” Percorso riepilogativo Teoria dei Numeri →Teorie di stringa → effetti quantistici →realtà fisica” Gruppo “B. Riemann”* Francesco Di Noto, Michele Nardelli 12)” REPULSIVE GRAVITATIONAL INTERACTION BETWEEN MA TTER AND ANTIMATTER” Pier Francesco Roggero, Michele Nardelli, Francesco Di Noto 13)” La serie di Fibonacci nel microcosmo (effetto Hall quantistico, cariche frazionarie , masse dei quark, numeri quantici, stabilità nucleare)” Gruppo “B. Riemann”* Francesco Di Noto, Michele Nardelli

Versione 1.0 21/01/2014


14)” - NOTA AGGIUNTIVA SUL GRUPPO DI LIE E8 -

Francesco Di Noto, Michele Nardelli 15)” Studi ed osservazioni sul Gruppo di Lie E8” Gruppo ”B. Riemann”* Michele Nardelli, Francesco Di Noto 16)” L’EQUAZIONE PREFERITA DALLA NATURA E I RELATIVI GRAFICI PARABOLICI “ Gruppo “B. Riemann” Francesco Di Noto, Michele Nardelli 17)”DAI NUMERI COMPLESSI ALLA REALTA’ FISICA (in particolare gli ottonioni)” Gruppo “B. Riemann” Michele Nardelli, Francesco Di Noto 18) “FIBONACCI, DIMENSIONI, STRINGHE: NUOVE INTERESSANTI CONNESSIONI” Francesco Di Noto e Michele Nardelli Sul sito: eprints.bice.rm.cnr.it/640/1/Nardinot02.pdf

pier francesco roggero, michele nardelli, francesco di noto - time and space in the infinitely small...

Documents