REGOLA UNIVERSALE PER TROVARE TUTTI I NUMERI PRIMI

Ing. Pier Francesco Roggero, Dott. Michele Nardelli, Francesco Di Noto

Abstract In this paper we examine in detail an universal formula to find all the prime numbers and a prime number as large a desired.

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Index: 1. FORMULA PER TROVARE TUTTI I NUMERI PRIMI ......................................................... 3 2. REGOLA UNIVERSALE PER TROVARE UN QUALSIASI NUMERO PRIMO GRANDE A PIACERE................................................................................................................................. 8 3. References ........................................................................................................................ 10

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1. FORMULA PER TROVARE TUTTI I NUMERI PRIMI

S = 1 + ∑

∞

kdispari

4 + ∑

∞

kpari

2 = 1 + 4 + 2 + 4 + 2+ 4 + 2+ 4 + 2+ 4 + 2+ 4 + 2 + ….

k dispari: 1, 3, 5, 7,….. k pari : 2, 4, 6, 8,….. TAB 1:

K Somma

1 5

2 7

3 11

4 13

5 17

6 19

7 23

8 25

9 29

10 31

11 35

12 37

13 41

14 43

15 47

16 49

17 53

18 55

19 59

20 61

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21 65

22 67

23 71

24 73

25 77

26 79

27 83

28 85

29 89

30 91

31 95

32 97

33 101

34 103

35 107

36 109

Da questa formula S ricaviamo TUTTI i numeri primi (eccetto il 2 e il 3) in quanto sommiamo alternativamente 4 (per k dispari) e 2 (per k pari). In questo modo copriamo l'intero set dei numeri primi 6k ± 1 Si badi bene che se sommassimo alternativamente prima i 2 (per k dispari) e poi i 4 (per k pari) la formula non funziona e NON si otterrebbero tutti i numeri primi. La formula S genera però anche dei numeri composti, che sono i seguenti: Tutte le potenze dei numeri primi, ad es: 25 = 5^2 49 = 7^2

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121 = 11^2 125 = 5^3 2401 = 7^4 I multipli del 5 moltiplicato per tutti i numeri pr imi maggiori di se stesso, ovvero > 5 35 = 5*7 55 = 5*11 65 = 5*13 85 = 5*17 95 = 5*19 175 = 5^2*7 385 = 5*7*11 I multipli del 7 moltiplicato per tutti i numeri pr imi maggiori di se stesso, ovvero > 7: 77 = 7*11 91 = 7*13 119 = 7*17 133 = 7*19 539 = 7^2*11 1001 = 7*11*13 Poi si hanno tutti i multipli del 11 moltiplicato per tutti i numeri primi maggiori di se stesso, ovvero > 11 e così via.

I numeri composti che si generano dalla formula S = 1 + ∑

∞

kdispari

4 + ∑

∞

kpari

2 sono

tutti composti però SOLO da fattori primi successivi, eccetto il fattore 3

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(il fattore 2 è già eliminato a priori perchè la formula S genera solo numeri dispari che non sono MAI multipli del 3 e, ovviamente, delle sue potenze). Possiamo quindi scrivere una formula C che generi tutti questi numeri composti: C = ai pj ≥ i

ai = 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35.... pj = 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.... I coefficienti ai sono tutti quei numeri che non sono multipli né del 2 né del 3. I numeri p j sono tutti i numeri primi.

I numeri composti vengono generati tenendo fisso ad esempio un valore di ai e poi lo si moltiplica per tutti i numeri primi p j ≥ ai. Dalla formula C abbiamo così, in ordine crescente:

25, 35, 49, 55, 65, 77, 85, 91, 95, ....

Ora confrontando la somma S con la formula C, se si verifica che S=C abbiamo un numero composto (vedremo dopo che i multipi del 5 li possiamo eliminare)

S = 1 + ∑

∞

kdispari

4 + ∑

∞

kpari

2

k dispari: 1, 3, 5, 7,….. k pari : 2, 4, 6, 8,…..

Se S = C si ha un numero composto.

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Si osservi che la somma infinita S genera tutti i numeri primi che vengono poi utilizzati dalla formula C che genera i numeri composti. Per i primi 100 numeri si ottengono 9 numeri composti a 2 cifre, di cui l'ultimo, il 95 = 5*19, e quindi già con il prodotto del 1° e del 6° numero primo trovato si ha il numero composto più grande 95 ≤ 100. Il numero primo più grande 97 ≤ 100 comporta dalla formula C che il numero composto più grande è 97*97 = 9409, un numero di 4 cifre, ovvero doppio di quelli di partenza di 2 cifre. Questa considerazione è fondamentale per trovare numeri primi grandi a piacere.

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2. REGOLA UNIVERSALE PER TROVARE UN QUALSIASI NUMERO PRIMO GRANDE A PIACERE

Trovate le formule S e C che danno rispettivamente tutti i numeri primi e i numeri composti non abbiamo più nessun tipo di vincolo per trovare un numero primo grande a piacere. Basta implementare su un super-computer un semplice programma che calcoli tutti gli elementi delle formule S e C.

S = 1 + ∑

∞

kdispari

4 + ∑

∞

kpari

2

k dispari: 1, 3, 5, 7,….. k pari : 2, 4, 6, 8,…..

C = ai pj ≥ i

Possiamo eliminare tutti i multipli del 5 e abbiamo quindi: ai = 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49.... pj = 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.... Si osservi che nei primi 100 numeri si hanno solo 3 numeri composti che derivano dalla formula C: 49 (7*7), 77 (7*11) and 91 (7*13) con ai = 7 I numeri composti derivati dalla formula generatrice C vanno calcolati perchè GIÀ "A PRIORI" SAPPIAMO CHE VENGONO GENERATI DALLA SOMMA S.

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Se ora volessimo battere l'attuale record del più grande numero primo M di 17 milioni di cifre ottenuto con la formula dei primi di Mersenne, possiamo decidere già in anticipo il numero di cifre del primo, ad es. 34 milioni di cifre perchè il numero composto più grande che possiamo calcolare dalla formula C è il numero M*M. Es. Trovare un numero primo H di 34 milioni di cifre.

S = 1 + ∑

∞

kdispari

4 + ∑

∞

kpari

2

H = 1 + 4 1033999999 + 2 1033999999 = 60000........00001 (con 33.999.998 milioni di 0) Per verificare se H è primo basta verificare se esiste un elemento uguale a tutti quelli generati dalla formula C che sia esattamente dell'ordine di 34 milioni di cifre. Se non esiste un tale elemento vuol dire che H è un numero primo. L'uso di un super-computer non è per la velocità dei calcoli, ma semplicemente per maneggiare cifre così grandi. Di conseguenza non abbiamo più nessun limite per trovare numeri primi grandi a piacere!!!

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3. REFERENCES

1) "QUADRUPLE DI NUMERI PRIMI TRAMITE LE FORME 6K + 1 E LORO INFINITA' " Francesco Di Noto, Michele Nardelli Abstract In this paper we show the Eulero's formula x^2+ x + 41 and quadruples of prime numbers by means forms 6k + 1, and their infinity sul nostro sito, file : nardelli.xoom.it/.../QUADRUPLE%20%20DI%20%20NUMERI%20%20... 2) “Ipotesi su p < n come possibile percentuale di n = √N per una fattorizzazione più veloce” Francesco Di Noto, Michele Nardelli (Gruppo “B.Riemann”) 3) “IL TEOREMA FONDAMENTALE DELLA FATTORIZZAZIONE Gruppo “B.Riemann”* Francesco Di Noto, Michele Nardelli 4) Ipotesi RH equivalenti, le funzioni σ(n), φ(n), (n) e le forme numeriche 6k +1” (Accenno finale alla relazione Fattorizzazione veloce – RH) Gruppo “B. Riemann”*

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Francesco Di Noto, Michele Nardelli,Pier Francesco Roggero 5a) “L’EQUAZIONE PREFERITA DALLA NATURA E I RELATIV I GRAFICI PARABOLICI" Gruppo "B. Riemann" Francesco Di Noto, Michele Nardelli 5b)"L'EQUAZIONE PREFERITA DELLA NATURA: n^2+ n +1" (alla base de numeri e dei gruppi di Lie, dei numeri di Fibonacci, delle partizioni di numeri, delle simmetrie e delle teorie di stringa) GRUPPO "B. RIEMANN" Francesco Di Noto, Michele Nardelli 6) "I numeri semiprimi e i numeri RSA come loro sottoinsieme" Francesco Di Noto, Michele Nardelli

Altri riferimenti utili:

7) "Matematica con i numeri primi e le forme 6k + 1" Francesco Di Noto, Michele Nardelli,Pier Francesco Roggero

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8)" I tre principi matematici alla base delle teorie di stringa (geometrico, aritmetico, algebrico) Francesco Di Noto, Michele Nardelli