piastre circolari
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Piastre circolari inflesse assialsimmetriche
Corso di Costruzione di macchine Corso di laurea magistrale in Ingegneria meccanica Antonio Gugliotta
Piastre circolari assialsimmetriche
Come le piastre piane le piastre circolari sono caratterizzate da uno spessore h piccolo rispetto alle dimensioni nel piano medio.
2
a
b
h
z, w
y
x
r
z, w
hR
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
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Piastre circolari assialsimmetriche
Studio dello stato di sollecitazione della piastra quando inflessa, con spostamenti normali al piano di giacitura della sua superficie media.
3
z, w
r
R
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Piastre circolari assialsimmetriche
IPOTESI: il materiale omogeneo, isotropo e si comporta elasticamente; lo spessore h costante e piccolo rispetto alle dimensioni nel piano medio della piastra; la piastra quindi in stato di tensione piano; lo spostamento w piccolo rispetto allo spessore. lo spostamento w lungo lo spessore della piastra uguale a quello del piano medio, ne deriva che la deformazione lungo z nulla, in contrasto con lipotesi di stato di tensione piano. si assume che una sezione normale al piano medio della piastra indeformata si conserva piana e normale alla superficie media anche dopo la deformazione
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Piastre circolari assialsimmetriche
IPOTESI (cont.): Vincoli assialsimmetrici (appoggio o incastro lungo il contorno). Carichi assialsimmetrici e normali al piano della lastra (paralleli allasse z). La legge di variazione del carico funzione di r ma non dipende da .
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Piastre circolari assialsimmetriche
Se sono valide queste ipotesi si ha: Lo spostamento w funzione del solo raggio r e indipendente da Le tensioni , r e rz sono funzione del solo raggio r e indipendenti da . Le tensioni normali r e sono nulle nel piano z = 0 Le tensioni tangenziali r e z sono nulle. La tensione normale z nulla. La superficie elastica di rivoluzione. Non chiamata in causa la rigidezza membranale
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Curvature spostamenti - rotazioni
8
2
2
1
1 1n
c
wR r r
wR r r r
wr
w
c cR AB R r
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Curvature spostamenti - rotazioni
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Le deformazioni possono essere calcolate da:
2
2
2
2
1
r
rn n
u wz z
r r r
z wz z
R r r R r
1c c
c
R AB R rR r
wu z z
r
2 2 12
1 1
c
cc c
r u r u wz
r r r r
z wz z
R r r r R r
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wr
-
Relazioni tensioni - deformazioni
10
2
2rn
cc
z wz z
R r r
z z wz
R r r r
2
2
1
1
r r c
c c r
E
E
2
3 2 2
2
3 2 2
121
12 11
r
c
m Ez w wz
h r r r
m Ez w wz
h r r r
3
3
12
12
rr
tc
mz
hm
zh
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Relazioni tensioni - deformazioni
11
3 2
22
3 2
22
12 1
1
12 1
r
c
Eh w wm
r r r
Eh w wm
r r r
2
2
2
2
1 1
1 1 1
rn c
cc n
w wm D D
r r r R R
w wm D D
r r r R R
3
212 1
EhD
r
c
m Dr r
m Dr r
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Equazioni di equilibrio
Consideriamo un elemento infinitesimo della lastra, ottenuto con due sezioni cilindriche, al raggio r e dr, del settore individuato dallangolo d , soggetto ad un carico distribuito p (N/m2). Sullelemento agiranno momenti flettenti e forze di taglio:
12
p
rr
mm dr
r
QQ dr
r
Q
rm
cm
cm
il momento flettente, per unit di lunghezza, mr agente nel piano rz il momento flettente, per unit di lunghezza, mc agente in un piano normale al piano rz la forza di taglio, per unit di lunghezza, Q agente nel piano rz
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Equazioni di equilibrio
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drr
d
QQ dr
r
rr
mm dr
r
rmp
cm
cm
Q
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Equazioni di equilibrio
Equazioni di equilibrio: momenti agenti
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Al raggio r rm rd
Al raggio r+dr rrm
m dr r dr dr
Sui lati cm dr
Risultante sui lati 2 sin2c cd
m dr m drd
d
drr
QQ dr
r
rr
mm dr
r
rmp
cm
cm
Q
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Equazioni di equilibrio
Piastra soggetta ad un carico distribuito p (N/m2) Equazioni di equilibrio: forze di taglio
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Al raggio r Qrd
Al raggio r+dr QQ dr r dr dr
Trascurando la variazione di Q per il calcolo della coppia dovuta a Q:
Qrd dr
d
drr
QQ dr
r
rr
mm dr
r
rmp
cm
cm
Q
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Equazioni di equilibrio
Equilibrio alla rotazione
16
0
r rr r
r c
m mm rd m drd rdrd drdrd
r rm rd m drd Qrd dr
0rr cm
m drd rdrd m drd Qrd drr
0rr r cm
m dr r dr d m rd m drd Qrd drr
=0
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Equazioni di equilibrio
Equilibrio alla rotazione
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0rr cm
m r m Qrr
r cm r m Qrr
Sostituendo per mr e mc le espressioni in funzione di o w :
2
2 2
1 Qr r r r D3 2
3 2 2
1 1w w w Qr r r r r D
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Equazioni di equilibrio
Equilibrio alla rotazione
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1 Qr
r r r D
1 w Qr
r r r r D
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Equazioni di equilibrio
Altro modo di risoluzione, in termini di momenti: Riepilogo
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r cm r m Qrr
In termini di rotazione le deformazioni sono:
r cz zr r1
c c
rr
z r z r
r c rr
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Equazioni di equilibrio
Le deformazioni espresse in funzione dei momenti
20
3
1 11 1 121 1
r r r
c c c
m zmE E h
r c rr
3
1121
r r
c c
mzmEh
3 3
12 12r c c r
z zm m r m m
Eh Eh r
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Equazioni di equilibrio
Lequazione di congruenza espressa in funzione dei momenti
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c rr c c r
m mm m m m r
r r
c rr r c c
m mm m m m r
r r
11 c rr c
m mm m
r r r
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Equazioni di equilibrio
Dallequazione di equilibrio
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rc r
mm r m Qr
r
2
2 2c r rm m m Qr Q rr r r r
c rr
m mr m Qr
r r r
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Equazioni di equilibrio
Sostituendo nellequazione di congruenza
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11 r r rr r r
m m mm r m Qr r m Qr
r r r r r
r r r rr
m m m mQ Q r m Qr
r r r r r
11 c rr c
m mm m
r r rc r
r
m mr m Qr
r r rr
c r
mm r m Qr
r
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Equazioni di equilibrio
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r rr
m mr m Qr Q Q
r r r
2r rm
r m Qr Q Qr r r
21rr m Q Q Qrr r r r
21 2rQ
r m Q rr r r r
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Piastre assialsimmetriche: Esempi
Riepilogo equazioni
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0r cm r m Qrr
1 Qr
r r r D
1 w Qr
r r r r D
3
212 1
EhD
21 2rQ
r m Q rr r r r
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Piastre assialsimmetriche: Esempi
Esempio n. 1: carico uniformemente distribuito
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12
w qrr
r r r r D
Integrando una volta: 2
1
14
w qrr C
r r r D
3
14w qr
r C rr r D
222qr
rQ r q Q
p
rmQ Q
rm
r
p
ra
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito Integrando una seconda volta:
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4 2
1 216 2w qr r
r C Cr D
32
116 2w qr r C
Cr D r
(a)
4 2
1 2 3ln( )64 4qr r
w C C r CD
(b)
p
a
!wr
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 1 bordo esterno incastrato
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Condizioni al contorno: 0 0 ;
0, 0
r
r a w
Imponendo le condizioni su (a)
20 0r C3
10 16 2qa a
r a CD
2
1 8qa
CD
p
a
32
116 2w qr r C
Cr D r
(a)
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 1 bordo esterno incastrato
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!wr
3 22 2
16 16 16w qr qa qr
r r ar D D D
2 2
16w qr
a rr D
Dalleq. (b)
4 22
364 32qr qa
w r CD D
p
a
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 1 bordo esterno incastrato
30
4 22
364 32qr qa
w r CD D
0r a w
4 4
3
4
3
064 32
64
qa qaC
D Dqa
CD
p
a
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 1 bordo esterno incastrato
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4 2 42
64 32 64qr qa qa
w rD D D
24 2 2 4 2 2264 64q q
w r a r a a rD D
4
max 064qa
w rD
p
a
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito
32
piastra incastrata - carico uniforme
7.00
6.00
5.00
4.00
3.00
2.00
1.00
0.00- 20 40 60 80 100
raggio
defo
rmat
ap
a
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 1 bordo esterno incastrato
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Calcolo dei momenti mr, mc
r cm D m Dr r r r
2 2
16qr
a rD
2 2316q
a rr D
p
a
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 1 bordo esterno incastrato
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2 2 2 2316 16rq qr
m D a r a rD r D
2 2 2 2 2 2 2 23 316 16rq q
m a r a r a r a r
2 21 316rq
m a r
p
aCalcolo dei momenti mr, mc
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 1 bordo esterno incastrato
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2 2 2 21 316 16cqr q
m D a r a rr D D
2 2 2 2316cq
m a r a r
2 21 1 316cq
m a r
p
aCalcolo dei momenti mr, mc
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 1 bordo esterno incastrato
36
2
116c rqa
m m2
116rqa
m
r = 0
22 2 2 23
16 8c rq qa
m a a a a m
r = a 2
2 2 2 2316 8rq qa
m a a a a
p
aValori caratteristici
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito
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piastra incastrata - carico uniforme
-15,000
-10,000
-5,000
-
5,000
10,000
- 20 40 60 80 100
raggio
mom
enti
mr mc
p
a
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
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Condizioni al contorno:
0 0 ;
0, 0 0r
r
r a w mr r
32
116 2w qr r C
Cr D r
a
p
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
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Imponendo le condizioni su (a)
20 0 0r C
3
116 2w qr r
Cr D
213
16 2qr C
r D
a
p
32
116 2w qr r C
Cr D r
(a)
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
40
0rr a m
2 31
1
30
16 2 16 2r a
qr C qr rC
D r D
2 21 13 0
16 2 16 2qa C qa CD D
Imponendo le condizioni su (a) a
p
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
41
2
13 1 08qa
CD
2
1
3
8 1qa
CD
3 22 23 3
16 2 8 1 16 1qr r qa qr
r aD D D
Imponendo le condizioni su (a) a
p
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
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Dallequazione (b)
0r a w
4 2
1 364 4qr r
w C CD
4 2
1 3 064 4qa a
C CD
a
p
4 2
1 2 3ln( )64 4qr r
w C C r CD
(b)
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
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4 2 4 2 2
3 1
364 4 64 8 4 1qa a qa qa a
C CD D D
4 4 4
3
3 32 1
32 1 64 64 1qa qa qa
CD D D
4 4
3
6 2 1 564 1 64 1qa qa
CD D
a
p
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
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4 2 2 43 564 8 1 4 64 1qr qa r qa
wD D D
4 2 2 43 564 32 1 64 1qr qa r qa
wD D D
4 2 2 43 5264 1 1q
w r a r aD2 2
2 2564 1
q a rw a r
D
a
p
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito
45
piastra appoggiata - carico uniforme
30.00
25.00
20.00
15.00
10.00
5.00
0.00- 20 40 60 80 100
raggio
defo
rmat
a
a
p
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-
Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
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r cm D m Dr r r r
2 2 316 1qr
r aD
2 2 213 3 3
16 2 16 16 1qr C qr qa
r D D D
Calcolo dei momenti mr, mc a
p
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
47
2 22 23 3 3
16 1 16 16 1rqa qr qr
m D a rD D r D
2 2 2 23 3316 1 1rq
m a r a r
2 2 2 231 3 316 1 16rq q
m a r a r
Calcolo dei momenti mr, mc a
p
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
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2 22 21 3 3 3
16 1 16 1 16cqr qa qr
m D a rr D D D
2 2 2 23 3 316 1 1cq
m a r a r
2 23 1 316cq
m a r
Calcolo dei momenti mr, mc a
p
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito
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piastra appoggiata - carico uniforme
-
5,000
10,000
15,000
20,000
25,000
- 20 40 60 80 100
raggio
mom
enti
mr mc
a
p
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-
Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
50
valori caratteristici
4 564 1qa
wD
r = 0
2 316rq
m a
2 316cq
m a
a
p
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Esempio n. 1: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
51
0w
r = a
0rm
22 23 1 3 3 1 3
16 16cq qa
m a a
2
18cqa
m
valori caratteristici a
p
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Esempio n. 2: Momento costante al bordo esterno Piastra appoggiata soggetta a M costante al bordo esterno
52
0rr cm
m r m Qrr
0 0rm
Qr
r cm D m Dr r r r
r cm m M
r r r r
a
M M
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Esempio n. 2: Momento costante al bordo esterno Piastra appoggiata soggetta a M costante al bordo esterno
53
1 1r r
r r
1 1
n tr r r r1 1
n tr r
1rm D Dr r r
da:
1 1rm r Mr
D D
a
M M
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-
Esempio n. 2: Momento costante al bordo esterno Piastra appoggiata soggetta a M costante al bordo esterno
54
!wr1
w Mrr D
2
12 1Mr
w CD
1 1rm r Mr
D D a
M M
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Esempio n. 2: Momento costante al bordo esterno Piastra appoggiata soggetta a M costante al bordo esterno
55
Condizioni al contorno:
0r a w2 2
1 10 2 1 2 1Mr Ma
C CD D
2 2
2 1M
w a rD
2
12 1Mr
w CD a
M M
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-
Esempio n. 2: Momento costante al bordo esterno
56
piastra appoggiata - momento costante
0.18
0.16
0.14
0.12
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00- 20 40 60 80 100
raggio
defo
rmat
a
a
M M
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Esempio n. 2: Momento costante al bordo esterno
57
piastra appoggiata - momento costante
-1.80E-03
-1.60E-03
-1.40E-03
-1.20E-03
-1.00E-03
-8.00E-04
-6.00E-04
-4.00E-04
-2.00E-04
0.00E+00- 20 40 60 80 100
raggio
rota
zion
e
a
M M
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-
Esempio n. 1a: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
58
Il problema della piastra con appoggio al bordo esterno e carico uniformemente distribuito pu essere risolto come sovrapposizione di:
Nel caso di piastra incastrata:
2
8r r aqa
m
p
a
aM M
Piastra incastrata e Piastra appoggiata con mr al raggio r = a pari al momento di incastro.
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
Esempio n. 1a: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
59
Se, nel caso di piastra appoggiata si pone:
Allora la rotazione e lo spostamento valgono:
22 2
16 1qa
w a rD
2
8 1qa r
D
2
8qa
M
a
2
8qa 2
8qa
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
-
Esempio n. 1a: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
60
e, combinando i due casi: 2
2 21 2 16 8 1
qr qa ra r
D D
2 2 2 2 2 22 2 2 2
16 1 16 1qr a qr a a r r a
a rD D
2 2 22 23 1 3
16 1 16 1
a a rqr qra r
D D
p
a
a
2
8qa 2
8qa
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
Esempio n. 1a: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
61
e, combinando i due casi:
222 2 2 2
1 2 64 16 1q qa
w w w a r a rD D
2 2 22 2 4
64 1
q a r aw a r
D
2 2 2 22 2 2 22 24 1 5
64 1 64 1
q a r q a ra a a rw a r
D D
p
a
a
2
8qa 2
8qa
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
-
Esempio n. 1b: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
62
21 2 32 2 2rqr q qr
r m rr r r
2 2qr Q q
Qr
a
p
Il problema della piastra con appoggio al bordo esterno e carico uniformemente distribuito pu anche essere risolto utilizzando lequazione scritta in termini di momento:
21 2rQ
r m Q rr r r r
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Esempio n. 1b: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
63
22
1
13
4rqr
r m Cr r
32
13 4rqr
r m C rr
4 22
1 23 16 2rqr r
r m C C
21 2
23 16 2rqr C C
mr
2 0C 0 rr maltrimenti per
a
p
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-
Esempio n. 1b: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
64
213
16 2rqr C
m
Condizioni al contorno:
0rr a m
21
2
1
0 316 2
38
qa C
qaC
a
p
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
Esempio n. 1b: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
65
2 23
16rq
m a r
3
8r qrmr
rc r
mm r m Qr
r
22 2 23 3 3
8 16 16 2cqr
m qr qa qr
a
p
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-
Esempio n. 1b: Carico uniformemente distribuito 2 bordo esterno appoggiato
66
2 2 23 3 8316 16 16c
m qa qr qr
2 2 2 23 9 8 316 16 16 16c
m qa qr qr qr
2 23 1 316cq
m a r
a
p
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Esempio n. 3: Piastra circolare forata Le equazioni risolutive in termini di rotazione e di spostamento w sono:
67
10
Qr
r r r D
10
w Qr
r r r r D
0Q
1
1r C
r r
1r C rr
ab
M2M2M1M1
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-
Esempio n. 3: Piastra circolare forata
68
2
1 22r
r C C
21 2r C
Cr
21 2
w r CC
r r
2
1 2 3ln4r
w C C r C
ab
M2M2M1M1
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
Esempio n. 3: Piastra circolare forata
69
21 2r C
Cr
21 2
12
CC
r r
rm D r r
1 2 1 22 22 2r
C C C Cm D
r r
1
2
r
r
r b m M
r a m M
ab
M2M2M1M1
Condizioni al contorno sul carico
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-
Esempio n. 3: Piastra circolare forata Condizioni al contorno sul carico
70
1 21 2
1 22 2
1 12
1 12
C CM D
b
C CM D
a
1 2 1 22 1 2 21 1 1 12 2
C C C CM M D
a b
2 22 2
2 1 22 2 2 21 1C C a b
M M D D Cb a a b
ab
M2M2M1M1
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Esempio n. 3: Piastra circolare forata Condizioni al contorno sul carico
71
2 22 1
2 2 21
a b M MC
a b D
2 22 11
1 22 2
11 1
2 1
a b m mCM D
ba b D
22 11
1 2 21
2
a m mCM D
D a b
ab
M2M2M1M1
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
-
Esempio n. 3: Piastra circolare forata Condizioni al contorno sul carico
72
2 2 2 21 1 2 1 1
2 2 12M a M b M a M a C
Da b
22 1 1
1 2 2 12
a M M CM D
a b
2 22 1
1 2 2
2
1
M a M bC
D a b
ab
M2M2M1M1
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Esempio n. 3: Piastra circolare forata Condizioni al contorno su spostamenti e rotazioni
appoggio bordo esterno
73
0r a w
2
1 2 3ln4r
w C C r C
2
1 2 30 ln4a
C C a C
2
3 1 2 ln4a
C C C a
ab
M2M2M1M1
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
-
Esempio n. 3: Piastra circolare forata Lo spostamento w quindi dato da:
74
ab
M2M2M1M12
1 2 3ln4r
w C C r C
2 2
1 2 1 2ln ln4 4r a
w C C r C C a
2 212 ln ln4
Cw a r C r a
2 2 2 22 1 2 12 2
2 2 2 2
2ln
4 1 1
M a M b a b M M rw a r
aD a b D a b
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Esempio n. 3: Piastra circolare forata La rotazione :
75
ab
M2M2M1M1
21 2r C
Cr
2 2 2 22 1 2 1
2 2 2 2
2 121 1
M a M b a b M MrrD a b D a b
2 2 2 22 1 2 1
2 2
1 11 1
M a M b a b M Mr
rD a b
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-
Esempio n. 3: Piastra circolare forata I momenti mr e mc:
76
ab
M2M2M1M1
2 2 2 22 1 2 1
2 2 2 2 2
21 1
2 1 1r
M a M b a b M Mm D
D a b r D a b
2 22 22 12 1
2 2 2 2 2r
a b M MM a M bm
a b r a b
1 221 12r
C Cm D
r
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Esempio n. 3: Piastra circolare forata I momenti mr e mc:
77
ab
M2M2M1M1
2 2 2 22 1 2 1
2 2 2 2 2
21 1
2 1 1c
M a M b a b M Mm D
D a b r D a b
2 22 22 12 1
2 2 2 2 2c
a b M MM a M bm
a b r a b
cm D r r1 2
22C C
r r
1 221 12c
C Cm D
r
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
-
Esempio n. 3: Piastra circolare forata Carico sul bordo interno
78
2 2b
rQ bp Q pr
12
w Q Pr
r r r r D rD
1
1ln
2w P
r r Cr r r D
1ln2w P
r r r C rr r D
ab
p
22P
P bp Qr
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Esempio n. 3: Piastra circolare forata Piastra circolare forata con carico sul bordo interno
79
22 2
1 2ln4 8 2w P P r
r r r r C Cr D D
212ln 18 2
w P r Cr r C
r D r
ab
p
22
1 2 3ln 1 ln8 4P r
w r r C C r CD
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
-
Esempio n. 3: Piastra circolare forata Carico sul bordo interno
80
1 2
3
0,
0
0
r
r
r b mC C
r a m
r a w C
2
2r
w wm D
r r r
21 2 1 2
2 2 22ln 1 2ln 18 4 2 8 2w P P C C P C C
r rr D D r D r
ab
p
212ln 18 2
w Pr r Cr C
r D r
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
Esempio n. 3: Piastra circolare forata Carico sul bordo interno
81
1 22
21
2ln 18 2
2ln 18 2
r
Pr C Cm D r
D r
Pr r Cr C
r D r
ab
p
1 22
1 12ln 1 1
8 2rD DP
m r C Cr
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
-
Esempio n. 3: Piastra circolare forata Carico sul bordo interno
82
ab
p
(a)
(b)
(a) (b):
2 2 2
1 11 ln 1 0
4P a
C Db a b
1 22
1 12ln 1 1 0
8 2
D DPa C C
a
1 22
1 12ln 1 1 0
8 2
D DPb C C
b
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
Esempio n. 3: Piastra circolare forata Carico sul bordo interno
83
ab
p
2 2
2 2 2
1ln
4 1P a b a
CD a b b
2 2
1 2 2 2
1 1 12ln 1 1 ln 0
8 2 4 1
D DP P a b ba C
a D a b a
da (a):
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
-
Esempio n. 3: Piastra circolare forata Carico sul bordo interno
84
ab
p
2
12 2
12ln 1 1 1 ln 0
8 2P b b
a Ca b a
2
1 2 2
1 22ln ln
4 1P b b
C aD a b a
22
1 2 3
1ln 1 ln 0
4 4a
w pba a C C a CD
30r a w C
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Esempio n. 4: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno incastrato
85
22P
rQ P Qr
1 Qr
r r r D
1
1ln
2P
r r Cr r D
12P
rr r r rD
1ln2P
r r r C rr D
a
P
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
-
Esempio n. 4: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno incastrato
86
22 2
1 2
1 1ln
2 2 4 2P r
r r r r C CD
21
1 1ln
2 2 4 2Pr r C
r CD r
2 2
1 2 3
1 1ln ln
2 4 4 4Pr r
w r C C r CD
a
P
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
Esempio n. 4: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno incastrato
87
a
P
Imponendo le condizioni su (a)
20 0r C
1
1 10 ln
2 2 4 2Pa a
r a a CD
1
1 1ln 2ln 1
2 4 4P P
C a aD D
Condizioni al contorno: 0 0 ;
0, 0
r
r a w
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
-
Esempio n. 4: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno incastrato
88
1 1 1 1ln ln
2 2 4 2 2 4Pr Pr
r aD D
a
P
ln4Pr rD a
2 2
1 3
1 1ln
2 4 4 4Pr r
w r C CD
2 2
3
1 1ln 2ln 1
2 4 4 4 4Pr P r
w r a CD D
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
Esempio n. 4: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno incastrato
89
a
P2
32ln 2 2ln 116Pr
w r a CD
2
32ln 116Pr r
w CD a
2
32ln 1 016Pa a
CD a
2
3 16Pa
CD
2 2
2ln 116 16Pr r Pa
wD a D
22 2 ln
16 8P Pr r
w a rD D a
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
-
Esempio n. 4: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno incastrato
90
r cm D m Dr r r r
Calcolo dei momenti mr, mc
a
P
ln ln 14 4Pr r P rD a r D a
ln 1 ln4 4rP r Pr r
m DD a r D a
1 ln 14rP a
mr
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
Esempio n. 4: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno incastrato
91
r cm D m Dr r r r
a
P
ln ln 14 4Pr r P rD a r D a
1ln ln 1
4 4cPr r P r
m Dr D a D a
1 ln4cP a
mr
Calcolo dei momenti mr, mc
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
-
Esempio n. 4: Piastra circolare con carico concentrato
92
piastra incastrata - carico concentrato
0.90
0.80
0.70
0.60
0.50
0.40
0.30
0.20
0.10
0.00- 20 40 60 80 100
raggio
defo
rmat
a
a
Pbordo esterno incastrato
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
Esempio n. 4: Piastra circolare con carico concentrato
93
piastra incastrata - carico concentrato
-1,000
-500
-
500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
- 20 40 60 80 100
raggio
mom
enti
mr mc
a
Pbordo esterno incastrato
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
-
Esempio n. 4: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno incastrato
94
a
P
22 2 ln
16 8P Pr r
w a rD D a
r = 0 valori caratteristici
2
0lim ln 0
8rPr rD a
2
16Pa
wD
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
Esempio n. 4: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno incastrato
95
a
P
r = a
valori caratteristici
1 ln 14rP a
mr
1 ln4cP a
mr
,r cm m
r = 0
4rP
m
4c rP
m m
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
-
Esempio n. 5: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno appoggiato
96
Il problema della piastra con appoggio al bordo esterno e carico concentrato pu essere risolto come sovrapposizione di:
Nel caso di piastra incastrata:
4r r aP
m
aM M
a
P
Piastra incastrata e Piastra appoggiata con mr al raggio r = a pari al momento di incastro.
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
Esempio n. 5: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno appoggiato
97
Se, nel caso di piastra appoggiata si pone:
allora la rotazione e lo spostamento valgono:
2 2
8 1P
w a rD4 1
PrD
4P
Ma
4P
4P
4r cP
m m
e il momento radiale mr e quello circonferenziale mc :
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
-
Esempio n. 5: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno appoggiato
98
e, combinando i due casi: a
P
a4P
4Pln
4 4 1Pr r PrD a D
1ln
4 1Pr rD a
22 2 2 2ln
16 8 8 1P Pr r P
w a r a rD D a D
2 2 23ln
16 1 8
P a r Pr rw
D D a
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
Esempio n. 5: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno appoggiato
99
e, combinando i due casi: a
P
a4P
4P
1 ln 1 1 ln4 4 4rP a P P a
mr r
1 ln 1 ln 14 4 4cP a P P a
mr r
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
-
Esempio n. 5: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno appoggiato
100
r = 0
valori caratteristici a
P
2 3
16 1Pa
wD
r = a
4 1Pa
D
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
Esempio n. 5: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno appoggiato
101
valori caratteristici a
P
r = a
0rm
14cP
m
,r cm m
r = 0
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
-
Esempio n. 5: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno appoggiato
102
piastra appoggiata - carico concentrato
2.50
2.00
1.50
1.00
0.50
0.00- 20 40 60 80 100
raggio
defo
rmat
a
a
P
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta
Esempio n. 5: Piastra circolare con carico concentrato bordo esterno appoggiato
103
piastra appoggiata - carico concentrato
-
500
1,000
1,500
2,000
2,500
3,000
3,500
4,000
- 20 40 60 80 100
raggio
mom
enti
mr mc
a
P
Costruzione di macchine piastre circolari inflesse - a. a. 2012/2013 - Antonio Gugliotta