lezione 6_le piastre anulari
DESCRIPTION
piastreTRANSCRIPT
Corso diProgetto di Strutture
POTENZA, a.a. 2012 – 2013
Le piastre anulari
Dott. Marco VONAScuola di Ingegneria, Università di Basilicata
[email protected] http://www.unibas.it/utenti/vona/
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
Sono considerate tali le piastre che abbiano carichi e vincoli dotatidi simmetria radiale
r r
Tutte le grandezze (spostamenti, deformazioni, tensioni …)
dipendono soltanto dalla variabile raggior
Il problema si risolve con equazioni differenziali ordinarie
LE PIASTRE CIRCOLARI CARICATE ASSIALMENTE
Mr
M t bz
Le equazioni si riducono a:
2 equazioni di equilibrio
2 di collegamento aMr ed
dθθθθ
M t
r
t
Mr
Mt
EQUAZIONE DELLA SUPERFICIE ELASTICA
( )D
bwr
rr
rw z=
′
′
′′=∆ 112
PIASTRA ANULARE
Non valgono più le considerazioni svolte per le piastre circolari
0≠ϕ 0=rper
Quindi in generale sarà:R
Studiamo il caso dellapiastra anulare incastrata al bordoesterno e libera su quello interno che sia soggetta ad un caricoripartito lungo una circonferenza. Utilizziamo il procedimentodiretto
Sia P il carico totale applicato sulla circonferenza di raggioR1
02 ≠C
0=Q
10 RrR ≤≤PerR1
RR0
P
Carico applicato lungo una circonferenza
PIASTRA ANULARE INCASTRATA SUL CONTORNO ESTERNO
0=Q
r
PQ
π2=
RrR ≤≤1Per
R
R
0=rM
0Rr =Per
R1
P
Carico applicato lungo una circonferenza.
CONDIZIONI AL CONTORNO
Bordo interno libero
PIASTRA ANULARE INCASTRATA SUL CONTORNO ESTERNO
0=rM
R
RR0
0=ϕ
Rr =Per
Bordo esterno incastrato
Carico applicato lungo una circonferenza.
CALCOLO DELLE COSTANTI C 1 e C2
PIASTRA ANULARE INCASTRATA SUL CONTORNO ESTERNO
METODO DI SOVRAPPOSIZIONE
Invece di procedere direttamente alla determinazione dellecostanti d’integrazione C1 e C2 e conseguentementedeicostanti d’integrazione C1 e C2 e conseguentementedeimomenti Mr e M t si può applicare il principio diSOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
La piastra anulare si studia come somma di una piastra circolarecon carico lungo una circonferenza più una piastra anularesoggetta ad un momento pari a –Mr sul bordo interno
R1
RR0
P
Carico applicato lungo una circonferenza
SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
PIASTRA ANULARE INCASTRATA SUL CONTORNO ESTERNO
Piastra anulare
=R1
R
P
-Mr0
RR0
Piastra circolare. Per:
00 ≠rM0Rr =
Piastra anulare soggetta a:– Mr0 sul bordo interno
=
+
Carico applicato lungo una circonferenza
SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
PIASTRA ANULARE INCASTRATA SUL CONTORNO ESTERNO
Si ha quindi:
tmrtt
rmrrr
MMM
MMM
µµ
0
0
−=
−=
tmrtt MMM µ0−=
Con momenti della piastra circolaretr MM ;
Con momenti radiale e tangenziale dovuti ad unmomento unitario applicato al bordo interno
tmrm µµ ;
Carico applicato lungo una circonferenza
SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
PIASTRA ANULARE INCASTRATA SUL CONTORNO ESTERNO
Valutiamo quindi gli effetti dovuti ad un momento unitarioapplicato al bordo interno della piastra anulare
Si haQ = 0 sututtala piastraequindianche:Si haQ = 0 sututtala piastraequindianche:
00 0
=′
′∫ ∫
′r
dQd ρρρρ
∫ =r
Qd0
0ρ
Considerando le condizioni al contorno
1=rM0Rr = 0=ϕRr =
Carico applicato lungo una circonferenza
PIASTRA ANULARE INCASTRATA SUL CONTORNO ESTERNO
Si ricava: ( ) ( )
=+
=−−+
02
112
1
21
20
21
R
CRC
R
CC νν
Risolvendo rispetto alle costanti C1 e C2 si ottiene
( )( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
+−++−=
+−++=
ννν
ννν
111
111
2
2
0
2
0
2
2
2
0
2
01
RR
RRRC
RR
RRC
Carico applicato lungo una circonferenza
PIASTRA ANULARE INCASTRATA SUL CONTORNO ESTERNO
Sostituendo tali espressioni delle costanti nelle espressioni deimomenti unitari : ( ) ( )
( ) ( )
−++=
−−+=
21
221
11
1
2
1
CCr
CCrm
ννµ
ννµ
Si ottiene quindi:
+=2
21
2 rtmµ
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
−
+−
+−+=
+
+−
+−+=
11
1
1
11
11
1
1
11
22
0
2
0
22
0
2
0
RrRR
RR
RrRR
RR
tm
rm
νν
ννµ
νν
ννµ
PIASTRA ANULARE
Studiamo il caso dellapiastra anulare incastrata al bordoesterno e libera su quello interno che sia soggetta ad un caricoripartito uniformemente ripartito
R0
R
RR0
Carico ripartito uniformemente
PIASTRA ANULARE INCASTRATA SUL CONTORNO ESTERNO
METODO DI SOVRAPPOSIZIONE
Anche in questo caso possiamo applicare il principio diSOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI , invece di procederedirettamente alla determinazione delle costanti d’integrazioneC11e C2 , e conseguentemente dei momentiMr eM t
La piastra anulare si studia quindi come somma di una piastracircolare con carico uniformemente ripartito più una piastraanulare soggetta ad un momento pari a –M0 e – Q0 sul bordointerno
SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
PIASTRA ANULARE INCASTRATA SUL CONTORNO ESTERNO
Piastra anulare
=R
R0
Carico ripartito uniformemente
Piastra circolare. Per:
00 ≠rM0Rr =
Piastra anulare soggetta a:– Mr0 e –Qr0 sul bordo interno
=
+
R
R
-Mr0
RR0-Qr0
PIASTRA ANULARE INCASTRATA SUL CONTORNO ESTERNO
µµ −−=
Carico ripartito uniformemente
Lungo la circonferenza interna la piastra circolare sarà soggettasia ad un momento radiale sia ad uno sforzo di taglio.
Tali sollecitazioni, cambiate di segno, devono essere riapplicatealla piastra anulare
tqtmrtt
rqrmrrr
QMMM
QMMM
µµ
µµ
00
00
−−=
−−=
Con momenti radiale e tangenziale dovuti ad untaglio unitario applicato al bordo interno
tmrm µµ ;
PIASTRA ANULARE INCASTRATA SUL CONTORNO ESTERNO
Valutiamo quindi gli effetti dovuti ad un taglio unitario applicatoal bordo interno della piastra
RRQ 002 == π
Considerando le condizioni al contorno 1=Q0Rr =
Carico ripartito uniformemente
Perungenericoraggior invece:
000
0
ln00
R
rR
dRQdQd
r
R
r
R
r
=== ∫∫∫ ρρρρ
r
R
r
RQ 00
2
2 ==π
πPerungenericoraggior invece:
Quindi si ricava:
=′
′∫ ∫
′r
dQd0 0
ρρρρ
000
30
00
00
lnlnR
dRR
RdR
Rr
R
r
R
ρρρρρρ ′′′=′′′ ∫∫
PIASTRA ANULARE INCASTRATA SUL CONTORNO ESTERNO
Ponendo
Carico ripartito uniformemente
Si ricava:
−
== ∫∫
===
µµµµµµµµµµ 000 2
33
21ln2ln
RrRrRr
dRdR
0R
ρµ ′=
−
== ∫∫===
µµµµµµµµµµ 11
0
1
0 21ln2ln dRdR
+
−=
2
0
2
0
2
0
30 ln1
4 R
r
R
r
R
rR
PIASTRA ANULARE INCASTRATA SUL CONTORNO ESTERNO
Carico ripartito uniformemente
Considerando le condizioni al contorno
0=rM0Rr = 0=ϕRr =
Si ricava:
( ) ( ) ( ) +−−ν ln1122
RRRRR ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
+−++−
+−=
+−++−
+−=
νννν
νννν
11
ln1
1
1
4
11
ln1
1
1
2
2
0
2
0
2
002
2
0
2
0
2
001
RR
RRRRRC
RR
RRRRRC
Che forniscono infine i valori dei momenti unitari
PIASTRA ANULARE INCASTRATA SUL CONTORNO ESTERNO
Carico ripartito uniformemente
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )[ ] ( )( ) ( )
−+−−
+−+++−= 2
0
2
02
0
2
00 ln1
11
11
ln121
4rRrR
RR
RRRrq ν
ννν
ννµ
Che forniscono infine i valori dei momenti unitari
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )[ ] ( )( ) ( )
−+−−
+−++++−−= 2
0
2
02
0
2
00 ln1
11
11
ln1221
4rRrR
RR
RRRtq ν
ννν
ννµ
PIASTRA ANULARE APPOGGIATA SUL CONTORNO ESTERNO
Anche in questo caso la soluzione del problema consiste neldeterminare gli effetti del momento unitario e del taglio unitario albordo interno
Valutiamo quindi gli effetti dovuti ad UN MOMENTOUNITARIO applicato al bordo interno della piastra
Per le condizioni al contorno si ha:
R
M=1
1=rM0Rr =
Rr = 0=rM
Si ricava:
( ) ( )
( ) ( )
=−−+
=−−+
01
2
1
11
2
1
221
20
21
R
CCR
CC
νν
νν
PIASTRA ANULARE APPOGGIATA SUL CONTORNO ESTERNO
Si ottiene quindi:
2 R
( )( )
( )
( )( )
( )
−−−=
−+=
2
0
2
02
2
2
0
2
01
11
11
2
RR
RRRC
RR
RRC
ν
ν
Da cui si ricavano i momenti:
PIASTRA ANULARE APPOGGIATA SUL CONTORNO ESTERNO
( )( ) ( )[ ]
( )( ) ( )[ ]
+−
=
−−
=
11
11
2
2
2
0
2
2
0
2
0
rRRR
RR
rRRR
RR
tm
rm
µ
µ
E le rotazioni:
( ) −1 0 RR
( )( )
( )( )( )
−++
−+=
r
R
R
r
RR
RR
D
Rm ν
νν
ϕ1
1
11 2
0
2
0
PIASTRA ANULARE APPOGGIATA SUL CONTORNO ESTERNO
Valutiamo ora gli effetti dovuti adUN TAGLIO UNITARIOapplicato al bordo interno della piastra
R
Q=1
′r ρr
Per le condizioni al contorno si ha:
0=rM0Rr = Rr = 0=rM
∫ ∫ ′
′
′r
dQd0 0
ρρρρ
∫r
Qd0
ρPer le espressioni
Vale quanto è stato ricavato in precedenza
Si ricava:
PIASTRA ANULARE APPOGGIATA SUL CONTORNO ESTERNO
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
−−+−−=
−−
−+−=
2
0
2
030
2
2
0
2
001
1
ln
1
11
4
1
ln
1
1
4
RR
RRRC
RR
RRRC
νν
νν
Da cui si ricavano i momenti:
E le rotazioni:
( ) ( )( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )( )
( )( ) ( )[ ] ( )
−−−
++−−+=
−−−
+−=
2
0
2
02
0
2
00
2
0
2
02
0
2
00
ln11
ln
1
121
4
ln11
ln1
4
rRrRRR
RRR
rRrRRR
RRR
tq
rq
νννµ
νµ
( )( ) ( )
( )( )( )
+
−
−+
−+
+−=
22
2
0
2
0
2
00 ln11
1
1
ln
1
2
4 R
r
r
R
RR
RRRR
D
rRq ν
νν
ϕ
PIASTRA ANULARE VINCOLATA SUL CONTORNO INTERNO
RR0
Valgono le stesse applicazioni viste in precedenza
Infatti, nei casi trattati non esistono limitazioni alla condizione
Quindi per tutte le formule esposte vale l’estrapolazione al casodelle piastre vincolate sul bordo interno, incastrate o appoggiate chesiano, a condizione di attribuire ai i significati descritti
0RR >
PIASTRA APPOGGIATA LUNGO UNA CIRCONFERENZA
Nel caso di una piastra circolare vincolata come in figura
RR1
Con un carico applicato ortogonalmente :
PIASTRA APPOGGIATA LUNGO UNA CIRCONFERENZA
RR1
Piastra appoggiata, caricata uniformemente
La reazione del vincolo di appoggio è isostatica e vale:
11 2 R
VF
π=
Dove V è la risultate di tutti i carichi esterni
PIASTRA APPOGGIATA LUNGO UNA CIRCONFERENZA
Valgono le stesse applicazioni viste in precedenza ovvero si applicail PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
RR1
Piastra appoggiata lungo una circonferenza
=Piastra circolare caricatauniformemente
Piastra circolare caricatalungo una circonferenza
=
+
PIASTRA APPOGGIATA LUNGO UNA CIRCONFERENZA
La reazione del vincolo diappoggio vale
RR1
11 2 R
VF
π=
V risultante dei carichiV risultante dei carichiapplicati
Le sollecitazioni si calcolanosovrapponendo le soluzionigià viste
In modo analogo si procedeper le piastre anulari
1F1F
PIASTRA APPOGGIATA LUNGO DUE CIRCONFERENZE
Per analogia con la trave continua si definiscepiastra continua
RR1
Piastra appoggiata lungo due circonferenze
L’incognita è la reazione vincolare
Si procede come in precedenza ovvero applicando ilPRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
PIASTRA APPOGGIATA LUNGO DUE CIRCONFERENZE
Si prescrive l’annullarsi dell’abbassamento in corrispondenzadell’appoggio intermedio
Piastra appoggiata lungo due circonferenze
=R
R1
Piastra circolare caricatauniformemente
Piastra circolare caricatalungo una circonferenza
=
+
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
Sono piuttosto frequenti casi in cui una piastra è irrigidita da unoo più anelli concentrici
Un semplice caso è quello di una piastra con un anello irrigidenteconcentrico posto sul perimetro
È evidente che la presenza di anelli modifica le caratteristiche disollecitazioneedi deformazionedellapiastrasollecitazioneedi deformazionedellapiastra
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
La piastra risulta vincolata con un incastro elastico pertanto le suesollecitazioni e deformazioni saranno intermedie tra quelle dipiastra appoggiata e di piastra incastrata
La ripartizione tra queste due componenti dipende ovviamentedalle rigidezze relative di piastra ed anello
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
Studiamo quindi l’anello separatamente.
Consideriamo un anello circolare, anche con sezione di formaqualsiasi, sollecitato da un momentoM per unità di lunghezza,misurata lungo la circonferenza baricentrica
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
Studio dell’anello isolato
Carico:M momento per unità di lunghezza (rotazione intorno allacirconferenza baricentrica)
Definiamo il raggio baricentrico della sezione come R
ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ
z
σσσσ
M
ϕϕϕϕ
R R
ϕϕϕϕ
M
Pr
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
Sotto l’azione del momentoM tutte le sezioni subiscono la stessarotazioneϕϕϕϕ . Il raggio r relativo ad un generico punto P, postoalla distanzaz dall’asse baricentrico, diviene per effetto dellarotazione pari a: ϕzr −
La deformazione è quindi pari a:r
zϕ−
z
σσσσ
M
ϕϕϕϕ
R R
ϕϕϕϕ
M
Pr
z
σσσσ
M
ϕϕϕϕ
R R
ϕϕϕϕ
M
Pr
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
Lungo tutta la fibra circolare passante per P ci sarà la stessadeformazione
Quindi è possibile determinare la tensione che (in regime elastico)sarà:
r
zE
ϕσ −=
z
σσσσ
M
ϕϕϕϕ
R R
ϕϕϕϕ
M
Pr
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
La sezione è soggetta ad una distribuzione di tensioni lineare ovveroa FLESSIONE SEMPLICE
Se consideriamo un’ipotesi semplificativa secondo cui le dimensionidell’anello sono piccole rispetto a R si avràr ≅ R e quindi
R
zE
ϕσ −=
z
σσσσ
M
ϕϕϕϕ
R R
ϕϕϕϕ
M
Pr
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
Si è supposto che la rotazioneϕ avvenga attorno alla fibrabaricentrica
In tale ipotesi si haN = 0 , infatti :
∫∫ −==AA
zdAR
EdAN
ϕσ
z
σσσσ
M
ϕϕϕϕ
R R
ϕϕϕϕ
M
Pr
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
Le distanzez sono misurate a partire da un asse baricentrico. Quindiin tale caso
Quindi:
Come deve essere in assenza di forze esterne (o vincoli) capaci diesercitare uno sforzo assialeN
0=∫A
zdA
0=N
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
Infatti, un caso di forze esterne capaci di fornire uno sforzoassiale, con N≠ 0, è rappresentato dall’esempio di una pressioneinterna all’anello :
NN
pMf
Mf
MNN
Il momento risultante delleσ vale
ϕϕσR
EJdAz
R
EzdAM
AA
f −=−== ∫∫2
EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DELL’ANELLO
Essendo J il momento d’inerzia della sezione rispetto all’assebaricentrico normale all’asse dell’anello
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
Scriviamo ora l’EQUAZIONE DI EQUILIBRIO
Mf0=+ ϑϑ dMMRd f
MRM −=
Consideriamo un elemento di anello di ampiezza angolaredθ
dθθθθ
MfM
MRM f −=
Da cui tenendo contodell’equazione di collegamento
EJ
MR 2
=ϕ
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
Casi particolari
L’anello vincolato
t
ϕϕϕϕ
R R
ϕϕϕϕConsideriamo gli spostamentiimpediti da un vincolo lungo unacirconferenza posta ad unadistanzat dal piano baricentrico
Tale condizione si può realizzare ad esempio per una piastra chepossa considerarsi indeformabile nel suo piano. In tal caso ilvincolo è rappresentato dal piano della Superficie Media dellapiastra
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
Casi particolari
L’anello vincolato
t
ϕϕϕϕ
R R
ϕϕϕϕLa deformazione può scriversi
Dacui:
R
tz
r
tz ϕϕε )()( −−≅−−=
tz ϕσ )( −−=Dacui:R
tzE
ϕσ )( −−=
ϕϕσR
EJzdAtz
R
EzdAM
AA
f −=−−== ∫∫ )(
ϕϕR
EAtdAtz
R
EN
A
−=−−= ∫ )(
EQUAZIONI DI COLLEGAMENTO
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
Scriviamo orale EQUAZIONI DI EQUILIBRIO
Mf
Mf
M
N
t MZ
L’anello vincolato
Sia Z la reazionedel vincolo per
dθθθθ
MfMN
M
=+−=−
0
0
ϑϑϑϑϑ
dMZRtdMRd
NdZRd
f
Le equazioni di equilibrio si scrivono come:
=+−=−
0
0
fMZRtMR
NZR
unita di lunghezza
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
L’anello vincolatoEQUAZIONE DI EQUILIBRIO
Mf
Mf
M
N
t MZ
ϕ2R
EAt
R
NZ ==
Ricavando Z dalla prima equazione e sostituendo nella seconda ericordando le equazioni di collegamento:
02
=−− ϕϕR
EJ
R
EAtMR
dθθθθM
N
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
L’anello vincolatoEQUAZIONE DI EQUILIBRIO
Mf
Mf
M
N
t MZ
Poiché e posto: si ha:2ρ=AJ 22 ρα t=
( ) ( )ϕαϕ +=+= 122 EJJAtEMR
Ovvero: ( )αϕ
+=
1
2
EJ
MR
dθθθθM
N
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
Mf
Mf
M
N
t MZ
Ricaviamo quindi leEQUAZIONE DI COLLEGAMENTO
L’anello vincolato
ααϕ
+−=
+−=−=
1)1(
2 MR
EJ
MR
R
EJ
R
EJM f
αα
αϕ
+=
+==
1)1(
2
t
MR
EJ
MR
R
EAt
R
EAtN
dθθθθM
N
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
L’anello vincolato
t
ϕϕϕϕ
R R
ϕϕϕϕ
Dal confronto con l’anello isolato si conclude che:
1. La rigidezzaM / ϕϕϕϕ cresce nel rapporto 1+αααα;
2. Il momento flettenteM f diminuisce nello stesso rapporto
3. Nasce uno sforzo assiale N del quale si deve tener contoinsieme aM f nelle verifiche dell’anello stesso
R R
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
RISOLUZIONE DI PIASTRA IRRIGIDITA DA UN ANELLO
R
h
s
b
µµµµµµµµ
In assenza dell’anello la rotazione in corrispondenza del bordo èquella prodotta dal momento d’incastro perfetto cambiato disegno e applicato al contorno esterno:
µµµµµµµµ
( ) ( )ννϕ
+=
+−=
1818
32
D
pR
D
RpRR
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
RISOLUZIONE DI PIASTRA IRRIGIDITA DA UN ANELLO
R
h
s
b
µµµµ
Consideriamo una piastra irrigidita da un anello che sia caricatada un carico uniformemente distribuito
µµµµµµµµ
In assenza dell’anello il problema è stato già risolto
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
RISOLUZIONE DI PIASTRA IRRIGIDITA DA UN ANELLO
R
h
s
b
Sotto l’azione del momentoµ tale rotazione diviene quindi:
µµµµµµµµ
( ) ( )νµ
νϕ
+−
+=
118
3
D
R
D
pRR
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
RISOLUZIONE DI PIASTRA IRRIGIDITA DA UN ANELLO
R
h
s
b
µµµµµµµµ
Poiché come abbiamo visto la rotazione dell’anello vale
µµµµµµµµ
( )αϕ
+=
1
2
EJ
MR
E inoltre per la congruenza deve essere: Rϕϕ =
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
RISOLUZIONE DI PIASTRA IRRIGIDITA DA UN ANELLO
R
h
s
b
µµµµµµµµ
Risulta infine:
µµµµµµµµ
( )( ) ( )( ) 8111
1
8
22 pR
EJRD
pR βαν
µ =+++
=
Avendo posto ( )( ) ( )( )ανβ
+++=
111
1
EJRD
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
RISOLUZIONE DI PIASTRA IRRIGIDITA DA UN ANELLO
R
h
s
b
µµµµµµµµ
La piastra con anello irrigidente può quindi considerarsi come unapiastra semplice più una piastra anulare che si scambiano ilmomentoµ e lo sforzo assiale indicato con Z
µµµµµµµµ
Zµµµµ µµµµZ principio diSOVRAPPOSIZIONEDEGLI EFFETTI
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
Il parametro
RISOLUZIONE DI PIASTRA IRRIGIDITA DA UN ANELLO
( )( )α
νβ
+++
=
11
1
1
EJ
RD
Rappresenta ilGRADO DI INCASTRO
− Vale 0 per la piastra senza anello
− Vale 1 per la piastra munita di anello molto rigido e quindiperfettamente incastrata all’anello stesso
PIASTRA CIRCOLARI CON ANELLI DI IRRIGIDIMENTO
( )α+==
18;25
Rbh
Il GRADO DI INCASTRO è notevole anche per dimensionirelativamente modeste dell’anello. Ad esempio consideriamo:
Si ha:( ) νν −=+=++ 21
11
1RD
Si ha:( )( ) ν
ννα
ν−−=
−+=
+++
1
2
1
11
1
11
EJ
RD
Ovvero:ννβ
−−=
2
1
Per ν = 0 risulta β = 1 / 2 ovvero la condizione diSEMINCASTRO