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Materiale tratto dalle Dispense del Corso di Aggiornamento ProfeMateriale tratto dalle Dispense del Corso di Aggiornamento Professionalessionalein Ingegneria Sismica Organizzato dal DISEG e dagli Ordini degliin Ingegneria Sismica Organizzato dal DISEG e dagli Ordini degli Ingegneri Ingegneri

di Genova, Imperia, la Spezia, Savona (2004)di Genova, Imperia, la Spezia, Savona (2004)

EDIFICI ESISTENTI IN EDIFICI ESISTENTI IN MURATURA:MURATURA:

Esempio di verifica sismica su un Esempio di verifica sismica su un caso studiocaso studio

Dr. Ing. Sonia RESEMINIDISEG, Università di Genova

Materiale tratto dal corso di aggiornamento professionaleMateriale tratto dal corso di aggiornamento professionaleOrdineOrdine degli Ingegneri della Provincia di Genovadegli Ingegneri della Provincia di Genova

Materiale didattico preparato dall’ing. Serena Catt ari , dall’ing. Emanuela Curti, dall’ing. Stefano Podestà, dal Prof.Ing. Sergio Lagomarsino e dall’in g. Sonia Resemini (DISEG, Università di Genova)

180 110 200 110 155 120 305 110 170

1460

130

110

310

110

160

110

130

1060

230 110 365 120 295 110 230

60

422

36164

3628

260

60 577 314 36 377 6036

100

170

210

170

180

170

180

150

280

350

350

380

Il caso studio•Rappresentativo del costruito storico in muratura presente sul territorio italiano;•Composto da quattro piani;• Struttura verticale in muratura ordinaria•Solai in latero-cemento nei primi tre piani e in struttura lignea all’ultimo piano.•Tetto in struttura lignea composta da capriate e copertura leggera.•Pianta dell’edificio rettangolare con dimensioni massime di 10,60x14,60m.

Pianta 1°piano Prospetto lato Nord

N

La progettazione sismica degli edifici in muratura nell’Ordinanza n.3274 20/3/2003 e successive modifiche

•Geometria dell’edificio (punto 11.5.2.1);

•Dettagli costruttivi (punto 11.5.2.2);

•Proprietà dei materiali (punto 1.5.2.3).

Piano delle indagini

11.5.2 Dati necessari e identificazione del livello di conoscenza

La conoscenza dell’edificio in muratura oggetto della verifica risulta di fondamentale importanza ai fini di una adeguata analisi, e può essere conseguita con diversi livelli di approfondimento, in funzione dell’accuratezza delle operazioni di rilievo, delle ricerche storiche, e delle indagini sperimentali.

Tali operazioni sarannofunzione degli obiettivi preposti ed andranno ad interessare tutto o in parte l’edificio, a seconda della ampiezza e della rilevanza dell’intervento previsto.

11.5.2.2 Dettagli costruttivi (continua)

Si distinguono:

Verifiche in-situ limitate: sono basate surilievi di tipo visivo effettuati ricorrendo, di regola, a rimozione dell'intonaco e saggi nella muratura che consentano di esaminarne le caratteristiche sia in superficie che nello spessore murario, e di ammorsamento tra muri ortogonali e dei solai nelle pareti. I dettagli costruttivi di cui ai punti a) e b) possono essere valutati anche sulla base di una conoscenza appropriata delle tipologie dei solai e della muratura.In assenza di un rilievo diretto, o di dati sufficientemente attendibili, dovranno comunque essere assunte, nelle successive fasi di modellazione, analisi e verifiche, le ipotesi più cautelative.

Verifiche in-situ estese ed esaustive: sono basate surilievi di tipo visivo, effettuati ricorrendo, di regola, a saggi nella muratura che consentano di esaminarne le caratteristiche sia in superficie che nello spessore murario, e di ammorsamento tra muri ortogonali e dei solai nelle pareti. L’esame degli elementi di cui ai punti da a) ad f) dovrà estendersi in modo sistematico all’intero edificio.

11.5.2.3 Proprietà dei materiali (continua)

Si distinguono:

Indagini in-situ limitate

Indagini in-situ estese

Indagini in-situ esaustive

Tabella 11.D.1 dell'allegato

11.D:Valori di riferimento dei parametri meccanici (minimi e massimi) e peso specifico medio per diverse tipologie di muratura

La misura delle caratteristiche meccaniche della muratura si ottiene mediante esecuzione di prove, in situ o in laboratorio. L'uso dei risultati delle prove sarà utilizzato in combinazione con quanto riportato nella tabella 11.D.1 dell'Allegato 11.D, secondo quanto descritto al punto 11.5.3.

Livello di Conoscenza

Geometria Dettagli costruttivi Proprietà dei materiali Metodi di analisi FC

LC1 Limitate verifiche in-situ

Limitate indagini in-situ Tutti 1.35

LC2 Estese indagini in-situ Tutti 1.20

LC3

Rilievo strutturale Estese ed esaustive

verifiche in-situ Esaustive indagini in-situ

Tutti 1.00

L’approfondimento con cui ciascuna classe di indagini è prevista determina il livello di conoscenzaraggiunto, che è graduato su tre livelli (punto 11.5.3): LC1, LC2 e LC3. Da essi discende la metodologia di definizione dei valori medi dei parametri meccaniciassociati alla muratura in esame e la quantificazione del

Fattore di Confidenza(Tabella 11.5.1).

11.5.3 Livelli di conoscenza

Tabella 11.5.1 – Livelli di conoscenza in funzione dell’informazione disponibile e conseguenti metodi di analisi ammessi e valori dei fattori di confidenza per edifici in muratura

Per i diversi livelli di conoscenza, per ogni tipologia muraria, i valori medi verranno definiti in modo diverso (tabella 11. D.1)

Nel caso in cui la muratura in esame abbia certe caratteristiche, la normativa prevede l’introduzione di coefficienti correttivi, proposti in Tabella 11.D.2

Geometria (punto 11.5.2.1)LC2 Rilievo strutturale

E’ necessario prevedere il rilievo strutturale dell’edificio finalizzato:•alla determinazione di piante, alzati e sezioni;•all’identificazione delle diverse tipologie costruttive degli orizzontamenti, delle scale e delle fondazioni;•alla localizzazione di eventuali nicchie, cavità o canne fumarie;•al rilievo dell’eventuale quadro fessurativo e deformativo.

180 110 200 110 155 120 305 110 170

1460

130

110

310

110

160

110

130

1060

230 110 365 120 295 110 230

60422

3616

436

282

60

60 577 314 36 377 6036

Pianta 1°piano

Schema dei solai ai piani 1°,2°e 3°

Schema del solaio dell’ultimo piano Schema di una capriata della copertura

Il caso studio: identificazione del livello di conoscenza

Nel caso studio si è assunto:

•tipologia della muratura in mattoni pieni;

•buon grado di collegamento, sia tra le pareti verticali, sia tra queste e gli orizzontamenti, tale da garantire un comportamento scatolare dell’intera struttura;

•la presenza di catene di piano posizionate alle quote dei solai (nelle due direzioni ed ancorate ai muri di spina);

•l’esistenza di architravi in muratura costituiti da piattabande resistenti a flessione efficacemente ammorsati alle estremità nelle pareti.

Dettagli costruttivi (punto 11.5.2.2).LC2 verifiche in-situestese ed esaustive


Proprietà dei materiali (punto 11.5.2.3)LC2 verifiche in-situestese

Il grado di approfondimento richiesto per raggiungere il livello di conoscenza LC2 deve soddisfare quanto previsto per le indagini in-situestese. E’ quindi necessario eseguire almeno, per ogni tipo di muratura presente:

• in maniera estesa e sistematica, esami visivi della superficie muraria, con saggi superficiali e interni per ogni tipo di muratura presente;• prove con martinetto piatto doppio;• prove di caratterizzazione della malta ed, eventualmente, dei blocchi.

Verifica della corrispondenza della muratura esistente con le tipologie definite nella tabella 11.D.1 dell'Allegato 11.D.


Valori di riferimento dei parametri meccanici (minimi e massimi) e peso specifico medio per diverse tipologie di muratura (tabella 11.D.1)

fm (N/cm2)

ττττ0 (N/cm2)

E (N/mm2)

G (N/mm2)

w (kN/m3) Tipologia di muratura

min-max min-max min-max min-max

Muratura in pietrame disordinata (ciottoli, pietre

erratiche e irregolari)

60 90

2 3.2

690 1050

115 175

19

Muratura a conci sbozzati, con paramento di limitato spessore e nucleo interno

110 155

3.5 5.1

1020 1440

170 240

20

Muratura in pietre a spacco con buona tessitura

150 200

5.6 7.4

1500 1980

250 330

21

Muratura a conci di pietra tenera (tufo, calcarenite, ecc.)

80 120

2.8 4.2

900 1260

150 210

16

Muratura a blocchi lapidei squadrati

300 400

7.8 9.8

2340 2820

390 470

22

Muratura in mattoni pieni e malta di calce

180 280

6 9.2

1800 2400

300 400

18

Muratura in mattoni semipieni con malta

cementizia (es.: doppio UNI)

380 500

24 32

2800 3600

560 720

15

Muratura in blocchi laterizi forati (perc. foratura < 45%)

460 600

30 40

3400 4400

680 880

12

Muratura in blocchi laterizi forati, con giunti verticali a secco (perc. foratura < 45%)

300 400

10 13

2580 3300

430 550

11

Muratura in blocchi di calcestruzzo

(perc. foratura tra 45% e 65%)

150 200

9.5 12.5

2200 2800

440 560

12

Muratura in blocchi di calcestruzzo semipieni

300 440

18 24

2700 3500

540 700

14

Il caso studio: valori medi dei parametri meccanici in base al livello di conoscenza raggiunto

I valori dei parametri meccanici medi da associare alla muratura in esame, nel caso di livello di conoscenza LC2, vengono assunti pari al valore medio degli intervalli riportati in Tabella 11.D.1,

Tipologia della muratura in mattoni pieni con malta di calce

Dall’analisi dei dettagli costruttivi e delle proprietà dei materiali

fm (N/cm2) 230

ττττ0 (N/cm2) 7.6

E (N/mm2) 2100

G (N/mm2) 350

w(kN/m3) 18

Tipologia di muratura Malta buona

Ricorsi o listature

Connessione trasversale

Iniezioni di malta

Intonaco armato


erratiche e irregolari) 1.5 1.3 1.5 2 2.5

Muratura a conci sbozzati, con paramento di limitato

spessore e nucleo interno 1.4 1.2 1.5 1.7 2


1.3 1.1 1.3 1.5 1.5


1.5 - 1.5 1.7 2


1.2 - 1.2 1.2 1.2


1.5 - 1.3 1.5 1.5


cementizia (es.: doppio UNI) 1.3 - - - 1.3


1.3 - - - 1.3


1.3 - - - 1.3


(perc. foratura tra 45% e 65%) 1.3 - - - 1.3


1.3 - - - 1.3

Dall’analisi dei dettagli costruttivi:

•Tipologia della muratura in mattoni pieni con malta di calce;

• Presenza di connessione trasversale.

Fattore correttivo pari ad 1,3 da applicare solamente ai parametri di resistenza, lasciando invariati i moduli elastici.

Il caso studio: valori medi dei parametri meccanici in base alle migliori caratteristiche o consolidamenti riscontrate

Tabella 11.D.2 dell'allegato 11.D

fm (N/cm2) 299

ττττ0 (N/cm2) 9.88

E (N/mm2) 2100

G (N/mm2) 350

w(kN/m3) 18

Fattore correttivo pari ad 1,3 da applicare solamente ai parametri di resistenza, lasciando invariati i moduli elastici.

Tipologia di muratura Malta buona

Ricorsi o listature

Connessione trasversale

Iniezioni di malta

Intonaco armato


erratiche e irregolari) 1.5 1.3 1.5 2 2.5

Muratura a conci sbozzati, con paramento di limitato

spessore e nucleo interno 1.4 1.2 1.5 1.7 2


1.3 1.1 1.3 1.5 1.5


1.5 - 1.5 1.7 2


1.2 - 1.2 1.2 1.2


1.5 - 1.3 1.5 1.5


cementizia (es.: doppio UNI) 1.3 - - - 1.3


1.3 - - - 1.3


1.3 - - - 1.3


(perc. foratura tra 45% e 65%) 1.3 - - - 1.3


1.3 - - - 1.3

Tabella 11.D.2 dell'allegato 11.D

Il caso studio: valori medi dei parametri meccanici in base alle migliori caratteristiche o consolidamenti riscontrate

I valori medi delle caratteristiche di resistenza sono stati divisi per il Fattore di Confidenzache, nel caso di LC2, è pari a 1,20.


Geometria Dettagli costruttivi Proprietà dei materiali Metodi di analisi

FC

LC1 Limitate verifiche in-situ Limitate indagini in-

situ Tutti

1.35

LC2 Estese indagini in-situ Tutti

1.20

LC3

Rilievo strutturale Estese ed esaustive verifiche in-situ Esaustive indagini in-

situ Tutti

1.00

Quantificazione del Fattore di Confidenza

fm (N/cm2) 249,2

ττττ0 (N/cm2) 8,23

E (N/mm2) 2100

G (N/mm2) 350

w(kN/m3) 18

Parametri meccanici di calcolo e peso specifico medio per la tipologia di muratura e per il livello di conoscenza LC2

Il caso studio: valori di calcolo dei parametri meccanici in base al livello di conoscenza raggiunto

I valori medi delle caratteristiche di resistenza sono stati divisi per il Fattore di Confidenzache, nel caso di LC2, è pari a 1,20.


Geometria Dettagli costruttivi Proprietà dei materiali Metodi di analisi

FC

LC1 Limitate verifiche in-situ Limitate indagini in-

situ Tutti

1.35

LC2 Estese indagini in-situ Tutti

1.20

LC3

Rilievo strutturale Estese ed esaustive verifiche in-situ Esaustive indagini in-

situ Tutti

1.00

Quantificazione del Fattore di Confidenza

Il caso studio: valori di calcolo dei parametri meccanici in base al livello di conoscenza raggiunto

Se l’analisi è lineare occorre dividere i valori ottenuti per il fattore di sicurezza γγγγm=2

fm (N/cm2) 124,6

ττττ0 (N/cm2) 4.12

E (N/mm2) 2100

G (N/mm2) 350

w(kN/m3) 18

Moduli fessurati Punto 8.1.5.2

fm (N/cm2) 249,2

ττττ0 (N/cm2) 8,23

E (N/mm2) 2100

G (N/mm2) 350

w(kN/m3) 18

fm (N/cm2) 124,6

ττττ0 (N/cm2) 4.12

E (N/mm2) 2100

G (N/mm2) 350

w(kN/m3) 18

Analisi non lineari Analisi lineari

fm (N/cm2) 249,2

ττττ0 (N/cm2) 8,23

E (N/mm2) 1050

G (N/mm2) 175

w(kN/m3) 18

fm (N/cm2) 124,6

ττττ0 (N/cm2) 4.12

E (N/mm2) 1050

G (N/mm2) 175

w(kN/m3) 18

Il caso studio: valori di calcolo dei parametri meccanici adottati ANALISI DEI CARICHI: carichi permanenti

Solai primi tre piani

Pignatte con travetti

prefabbricati ad interasse 0.5 m

1.20 kN/m2

Soletta collaborante 4 cm,

armata con rete elettrosaldata

φ 6/15⋅15

0.04 m⋅25 kN/m3 1.00 kN/m2

Peso proprio struttura 2.20 kN/m2

Soffitto a gesso da 1.5 cm 0.015 m⋅12 kN/m3 0.18 kN/m2

Sottofondo di allettamento

(s = 2.5 cm) in malta di cemento

0.025 m⋅21 kN/m3 0.53 kN/m2

Pavimento in ceramica 0.44 kN/m2

Peso permanente solaio 1.15 kN/m2



Totale peso solaio Gsolaio 1,2,3 3.35 kN/m2

Solaio ultimo piano

Correnti 10x14 cm

(interasse 0.5 m)

(1.00/0.50)⋅(0.10 m⋅0.14 m⋅6 kN/m3)

0.17 kN/m2

Assito (s = 2.5 cm) 0.025 m⋅6 kN/m3 0.15 kN/m2


Soffitto in regoli e cannicciato 0.36 kN/m2

Caldana (s = 4cm) 0.04 m⋅7 kN/m3 0.28 kN/m2

Sottofondo di allettamento

(s = 3 cm)

0.03 m⋅18 kN/m3 0.54 kN/m2

Pavimento in gres 0.40 kN/m2




Totale peso solaio Gsolaio 4 1.90 kN/m2

ANALISI DEI CARICHI: carichi permanenti

Scala su soletta in laterizio e cemento armato gettato in opera

Soletta in pignatte (H = 16+4 cm) 2.20 kN/m2

Intonaco soffitto inferiore a gesso 0.18 kN/m2

Gradini in materiale leggero 0.80 kN/m2

Rivestimento in gres 0.50 kN/m2

Incidenza ringhiere 0.10 kN/m2

Totale peso scala Gscala 3.78 kN/m2

Elementi strutturali copertura 1.27 kN/m2

Piccola orditura lignea e manto

in coppi

1.10 kN/m2

Totale peso copertura Gcopertura 2.37 kN/m2

Copertura

ANALISI DEI CARICHI: carichi permanenti

ANALISI DEI CARICHI: azioni variabili

Carico accidentale: ambiente non suscettibile di

affollamento (D.M. LL. PP. 16 - 1 - 1996)

Q1 2.00 kN/m2

Carico accidentale: scale (D.M. LL. PP. 16 - 1 - 1996) Q2 4.00 kN/m2

Carico accidentale: tetto non accessibile (D.M. LL.

PP. 16 - 1 - 1996) non minore di 0,5 kN/m2

Q3 1.00 kN/m2

Neve (D.M. LL. PP. 16 - 1 - 1996) Q4 1.00 kN/m2

In aggiunta ai carichi permanenti di cui sopra, sono state considerate le seguenti azioni variabili:

In accordo con quanto prescritto nel D.M. LL. PP. 16 gennaio 1996, il carico della neve Q4 non va cumulato con il carico accidentale Q3 sulla medesima superficie. Poiché essi, dall’analisi dei carichi, assumono lo stesso valore, sarà indifferente considerare l’uno o l’altro (nella combinazione si indicheràQ4).

( )I K K 2i KiiE G P Qγ + + + ψ∑

dove:

γI E azione sismica per lo stato limite in esame;

GK valore caratteristico dei carichi permanenti;

PK valore caratteristico dell’azione di precompressione, a cadute di tensione avvenute;

ψ2i (SLU e SLD) coefficiente di combinazione che fornisce il valore quasi-permanente della azione variabile Qi;

QKi valore caratteristico della azione variabile Qi.

Per quanto riguarda il fattore d’importanzaγγγγI , introdotto al fine di disporre di un livello di protezione antisismica differenziato in funzione dell’importanza e dell’uso della struttura esaminata (punto 2.5), nel caso in esame risulta pari a 1.0 (edificio ordinario).

Combinazione dell’azione sismica con le altre azioni (punto 3.3)

ψψψψ2i

0.3

0.8

0.2

Destinazione d’uso

Abitazioni Q1

Scale Q2

Tetto e copertura con neve Q4, Q3

Solai piani intermedi

3.35 + 0.3⋅2.00 = 3.95 kN/m2

Solaio ultimo piano

1.90 + 2.37 + 0.3⋅2.00 + 0.2⋅1.00 = 5.07 kN/m2

Scale 3.78 + 0.8⋅4.00 = 6.98 kN/m2

( )I K K 2i KiiE G P Qγ + + + ψ∑

Combinazione dell’azione sismica con le altre azioni (punto 3.3)

Gli effetti dell'azione sismica saranno valutati tenendo conto delle masse associate ai seguenti carichi gravitazionali: ψEi = ψ2i ϕ

Copertura Archivi Carichi correlati Carichi indipendenti

ϕ 1,0 1,0 0,8 0,5

Solai piani intermedi:

G K solaio 1,2,3 3.35 kN/m2

Q1 2.00 kN/m2

3.35 + 0.5⋅0.3⋅2.00 = 3.65 kN/m2

Solaio ultimo piano:

G K solaio 4 1.90 kN/m2

G K copertura 2.37 kN/m2

Q1 2.00 kN/m2

Q4 1.00 kN/m2

1.90 + 2.37 + 0.5⋅0.3⋅2.00 + 1.0⋅0.2⋅1.00 = 4.77 kN/m2Scale :

G K scala 3.78 kN/m2

Q2 4.00 kN/m2

3.78 + 0.5⋅0.8⋅4.00 = 5.38 kN/m2

+ ψ∑K Ei KiiG ( Q )

Nei confronti delle azioni orizzontali è possibile assimilare il comportamento di una parete in muratura a quello di un assemblaggio di pannelli. In particolare dall’osservazione dei danni indotti dai terremoti reali e dall’analisi dei dati di prove sperimentali, risulta come tipicamente il danneggiamento sia concentrato in porzioni ben definite della parete: i pannelli murari verticali (maschi murari) e le travi di accoppiamento in muratura (fasce di piano); di contro nelle zone di connessione tra fasce e maschi si riscontra generalmente l’assenza di meccanismi di fessurazione e sistematici fenomeni di danno.

Il modello di telaio equivalente(8.1.5 e 11.5.4.4 Metodi di analisi)

Il modello a telaio equivalente

L’edificio è stato modellato come assemblaggio 3D di telai equivalenti(pareti murarie) e orizzontamenti (solai), utilizzando il codice di calcolo TREMURI.

Il modello di calcolo è composto globalmente da 8 pareti, 189 nodi e 235 elementi per un totale di 894 gradi di libertà di cui 70 vincolati. La massa complessiva del modello risulta pari a 1046 t.

La modellazione dell’edificio

100

170

210

170

180

170

180

150

280

350

350

380

180 110 200 110 155 120 305 110 170

1460

130

110

310

110

160

110

130

1060

230 110 365 120 295 110 230

6042

236

164

36282

60

60 577 314 36 377 6036

E’ necessario modellare tutte le pareti con funzione strutturale, trascurando le tramezze di spessore pari a 0.10÷0.15 m di cui il contributo irrigidente per il complesso funzionale si può ritenere non significativo.

Individuazione delle pareti portanti


P1

P2

P3

P4

P5 P6 P7 P8

3.30

4.70

2.00

6.25 4.253.50

Ciascuna parete è stata modellata assemblando elementi che simulassero il comportamento delle travi di accoppiamento in muratura ordinaria (fasce), dei pannelli murari (maschi) e delle porzioni rigide costituite dai nodi secondo i criteri di modello a telaio equivalente.

Modellazione della geometria delle pareti portanti

La schematizzazione è stata effettuata a partire dall’analisi della conformazione dei prospetti, prestando particolare attenzione alla morfologia ed al posizionamento delle aperture.

100

170

210

170

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n17

n1017

n2017

n3017

n4017

N1 N2 N3 N4

N101 N102 N103 N104

N201 N202 N203 N204

N301 N302 N303 N304

N401 N402 N403 N404

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120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

n17

n1017

n2017

n3017

n4017

N1 N2 N3 N4

N101 N102 N103 N104

N201 N202 N203 N204

N301 N302 N303 N304

N401 N402 N403 N404

Modellazione della geometria delle pareti portanti: irregolarità nell’allineamento

delle aperture

Nel caso della parete 6, la larghezza della fascia 616 è stata mediata per riprodurre realisticamente la diffusione delle tensioni nel caso del non perfetto allineamento delle aperture tra il piano terra e il primo; così pure nel caso della parete 1 l’altezza dei nodi 2 e 3 è stata valutata in modo tale da modellare il comportamento della porzione muraria posta tra la finestra e la porta.

Parete 1 Parete 6


600 601 602603

604 605 606607

608 609 610611

612 613 614615

616 617

618 619

620 621

622 623

N2

N102

N202

N302

N402

N6

N106

N206

N306

N406

N10

N110

N210

N310

N410

N14

N114

N214

N314

N414

300

301

302

303

304

305

306

307

308

309

310

311

312

313

314

315

316 317

318 319 320

321 322 323

324 325 326

N9 N10 N11 N12

N109 N110 N111 N112

N209 N210 N211 N212

N309 N310 N311 N312

N409 N410 N411 N412

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219 220 221 222

223 224 225

226 227 228

229 230 231

n18

n1018

n2018

N5 N6 N7 N8

N105 N106 N107 N108

N205 N206 N207 N208

N305 N306 N307 N308

N405 N406 N407 N408

Modellazione della geometria delle pareti portanti: irregolarità nell’allineamento

delle aperture

Nei casi in cui il non allineamento sia netto (parete 3) oppure ci sia un’interruzione nella sequenza delle stesse (parete 2) è più realistico non inserire alcuna fascia e modellare l’intera porzione come nodo rigido

Parete 2 Parete 3


Aperture originarie murate: si suggerisce di simulare delle aperture, in quanto tale condizione appare più conservativa anche per una ridistribuzione delle tensioni quanto mai incerta nella situazione reale.

Modellazione dei solai

I solai di piano dell’edificio in esame si possono distinguere in due tipologie: quelli realizzati in latero-cemento e quelli in legno dell’ultimo piano.

Sono modellati come elementi ortotropi a comportamento membranale ed identificati da una direzione di orditura. In particolare il modulo di taglio G12condiziona la ripartizione delle azioni orizzontali tra le pareti.


Modellazione del vano scalaIl contributo da esso fornito in termini di massa eccitabile sotto l’azione sismica èstato tenuto in conto applicando un’azione concentrata nei nodi sui quali grava, in ragione dell’area d’influenza di ciascuno di essi.

Il criterio adottato è quello di riprodurne l’effetto in termini di massa totale, sommando tale contributo a quello proprio dell’ultimo solaio.

Modellazione della copertura

Modellazione delle catene

Si modellano come elementi elastici resistenti solo a trazione, con un certo valore di pretensione.

• ANALISI STATICA NON LINEARE

PUSHOVER 1Forze proporzionali alle massePUSHOVER 2Forze proporzionali alla prima forma modale

(approssimabile con quelle proporzionali a masse*altezze)

• ANALISI STATICA LINEARE

Forze proporzionali alle masse*altezze

METODI DI ANALISI

• ANALISI DINAMICA MODALE

• ANALISI DINAMICA NON LINEARE

Nell’esempio si svilupperà la verifica a Stato Limite Ultimo

Effetti torsionali:

punto 4.4. : “in aggiunta all’eccentricità effettiva dovrà essere considerata un’eccentricità accidentale spostando il centro di massa di ogni piano, in ognidirezione considerata, di una distanza pari al 5% della dimensione massima del piano in direzione perpendicolare all’azione sismica”

ex= ± 0.05 L ; ey= ± 0.05 B

CONSIDERAZIONI GENERALI

Combinazione delle componenti dell’azione sismica:ANALISI LINEARII valori massimi della risposta ottenuti da ciascuna delle due azioni orizzontali applicate separatamente potranno essere combinati sommando ai massimi ottenuti per l’azione applicata in una direzione il 30 % dei massimi ottenuti per l’azione applicata nell’altra direzione.

ANALISI STATICA NON LINEARE: Non c’è combinazione delle componenti dell’azione sismica.

ANALISI DINAMICA NON LINEARE: Le componenti dell’azione sismica si assegnano già nell’analisi nelle due direzioni (accelerogrammi in x e y).

Azione sismica verticale

ANALISI STATICA LINEARE

Calcolo della distribuzione di forze (Punto 4.5.2)

L’analisi statica consiste nell’applicazione di un sistema di forze distribuite lungo l’altezza dell’edificio assumendo una distribuzione lineare degli spostamenti. La forza da applicare aciascun piano è data dalla formula seguente:

∑=

jj

iihi Wz

WzFF

Dove:g)W(TSF 1dh /λ=

W peso complessivo della costruzione

Wi e Wj peso delle masse ai piani i-esimo e j-esimo rispettivamente

zi e zj altezze dei piani i-esimo e j-esimo rispetto alle fondazionig accelerazione di gravità; λ coeff. Funzione del periodo T e dell’altezza dell’edificio



• Calcolo del periodo fondamentale

Punto 4.5.2 della normativa

per edifici che non superino i 40 m di altezza, in assenza di calcoli più dettagliati, T1 può essere stimato attraverso la formula:

4/311 HCT ⋅=

• 0.085 edifici con struttura a telaio in acciaio

• 0.075 edifici con struttura a telaio in cls

• 0,05 altri edifici

C1 =

Valutazione approssimata

H=13.80m

C=0.05T1= 0.358 s

ANALISI STATICA LINEARECalcolo della distribuzione di forze (Punto 4.5.2)

duttilità della tipologia strutturale

ααααu/αααα1 coefficiente di sovraresistenza

q = fattore di struttura

Sd(T1) spettro di accelerazione di progetto (m/s2) (punto 3.2.5)

• Calcolo del taglio alla base 1( ) /h dF S T W g= λ

Sa

T

Spettro elastico

Spettro di progetto

ANALISI STATICA LINEARECalcolo della distribuzione di forze (Punto 4.5.2)


Nel caso di verifica con analisi lineare ed impiego del fattore q, il valore da utilizzare per quest'ultimo è pari a:

q = 2.0 ααααu/αααα1 per edifici regolari in elevazione q = 1.5 ααααu/αααα1 negli altri casi

in cui ααααu e αααα1 sono definiti al punto 8.1.3. In assenza di più precise valutazioni, potrà essere assunto un rapportoααααu/αααα1 pari a 1.5. La definizione di regolarità per un edificio esistente in muratura è quella indicata al punto 4.3.1, in cui il requisito d) deve essere sostituito da: i solai sono ben collegati alle pareti e dotati di una sufficiente rigidezza e resistenza nel loro piano.

Edifici esistenti (pto.11.5.4.2)




Verifica di regolarità in altezza(pto.4.3.1)I sistemi resistenti verticali (telai- pareti) si estendono per tutta l’altezza dell’edificio

Massa e rigidezza non hanno bruschi cambiamenti dalla base alla cima dell’edificio (ovvero da un piano all’altro le variazioni di massa sono < 25% e quelle di rigidezza sono contenute nei limiti del 30% (riduzione) e 10% (aumento)

Controllo sui restringimenti della sezione orizzontale

SI

SI

NON PRESENTE

q = 2.0ααααu/αααα1 per edifici regolari in elevazione

In definitiva: q = 2.0 * 1.5 = 3



T1

Sd(T1)

Tc (=0.5 suolo B)

Per entrambe le direzioni si ricade nell’ambito del plateau dello spettro di progetto, dunque dato da:

q

2.5Sa(T)S gd =

Suolo B, zona 3 ag=0.15g ; S = 1.25


Sd = 1.53 m\s2




Il peso complessivo della costruzione W è direttamente ricavabile dal modello:

W = Mtotale*g = 1045746 (kg)*9.81(m\s2)= 10.26 MN

λ è un coefficiente pari a 0,85 se l’edificio ha almeno tre piani e seT1 < 2 TC , pari a 1,0 in tutti gli altri casi

λ = 0.85

Il taglio alla base risulta così completamente determinato!!

ANALISI STATICA LINEAREForma della distribuzione di forze risultante

N13 N14 N15 N16

N113 N11 4 N11 5 N11 6

N213 N21 4 N21 5 N21 6

N313 N31 4 N31 5 N31 6

N413 N41 4 N41 5 N41 6

Esempio: Parete 4∑

=jj

iihi Wz

WzFF

Calcolo delle sollecitazioni Eccentricità accidentale;

Combinazione delle componenti dell’azione sismica.

Note, per ciascuno di questi casi, le sollecitazioni negli elementi si procede alla verifica degli stessi

NOTA: la verifica è puntuale su ciascun elemento!!

(a) (b) (c)

Pressoflessione Scorrimento Taglio

MECCANISMI DI COLLASSO DI PANNELLI MURARI

8.2.2.1 Pressoflessione nel piano

ANALISI STATICA LINEAREVerifica di sicurezza degli elementi (pto. 8.2.2)

Momento resistente ultimo

Larghezza complessiva della parete (compresa la zona tesa)

Spessore della zona compressa della parete

Tensione normale media riferita all’area totale (= P\lt)

Resistenza a compressione di calcolo, ovvero fk\γm

Mu = (l2 t σo / 2) (1 –σ0 / 0.85 fd) (8.2)

Dati geometrici noti della sezione

Nota dal calcolo delle sollecitazioni

fk resistenza a compressione assunto per la muratura in esame

γm pari a 2 (pto 8.1.1)

NOTA: se l’elemento risulta soggetto a trazione il momento resistente ultimo risulta nullo!!!

11.5.8.1 Pareti murarie

d0

0d0t

5.11

b

5.1tlV

τσ+τ⋅=

ANALISI STATICA LINEAREVerifica di sicurezza degli elementi

Edifici esistenti

Rispettivamente lunghezza e spessore del pannello

Tensione normale media riferita all’area totale (= P\lt)

b è un coefficiente correttivo legato alla distribuzione degli sforzi sulla sezione, dipendente dalla snellezza

della parete (= f (h\l))

Noti dai dati geometrici della sezione

Nota dal calcolo delle sollecitazioni

τ0k resistenza a taglio di riferimento per la muratura in

esame (τ0d =τ0k \γm )

Travi in muratura


Azione assiale nota Verifica secondo quanto previsto per i maschi murari

Azione assiale non nota dal modello di calcolo e presenti, in prossimitàdelle travi in muratura,

elementi resistenti a trazione

Verifica secondo quanto previsto al punto 8.2.2.4

Vt = h t fvk0 / γM = h t fvd0in cui :h è l'altezza della sezione della trave;fvd0 è la resistenza di calcolo a taglio in assenza di compressione


8.2.2.4 Travi in muratura

Si determina il valore della resistenza a taglio Vt

Si determina il valore della resistenza a taglio Vp

[ ])85.0/(12/ htfHhHM hkmppu γ−=dove Hp è il minimo tra la resistenza a trazione dell'elemento teso disposto orizzontalmente ed il valore0.4fhdht; fhd=fhk/γm è la resistenza di calcolo a compressione della muratura in direzione orizzontale (nel piano della parete). Nel caso di analisi statica non lineare essa potrà essere posta uguale al valore medio(fhd = fhm).

2/lMV up =

Il valore della resistenza a taglio sarà assunto pari al minimo tra Vt e Vp


Noti i valori delle resistenze dei singoli elementi, occorreràverificare per ciascuno di essi:

Msollecitante < Mresistente

Tsollecitante< Tresistente

La verifica si ritiene superata se per tutti gli elementi tali condizioni soddisfatte !!!

ANALISI STATICA LINEAREEsempio di verifica

Esempio : modello senza eccentricità accidentale aggiuntiva

Direzione X Direzione Y

Tipo di suolo Zona 1 Zona 2 Zona 3Tres/Tsoll 0.44 0.62 1.04Mres/Msoll 0.43 0.60 1.00

Tres/Tsoll 0.36 0.50 0.83Mres/Msoll 0.34 0.48 0.80


A

B, C, E

D

Tipo di suolo Zona 1 Zona 2 Zona 3Tres/Tsoll 0.42 0.59 0.99Mres/Msoll 0.30 0.43 0.71



A

B, C, E

D

Tipo di suolo Zona 1 Zona 2 Zona 3 A 0.30 0.43 0.71

B, C, E 0.24 0.34 0.57 D 0.23 0.32 0.53

Tipo di suolo Zona 1 Zona 2 Zona 3 A 0.43 0.60 1.00

B, C, E 0.34 0.48 0.80 D 0.32 0.45 0.74

Minimo dei due rapporti Mres\Msoll e Tres\Tsoll

ANALISI STATICA LINEAREEsempio di verifica

Esempio : modello senza eccentricità accidentale aggiuntiva

Combinazione delle componenti dell’azione sismica

COMBINAZIONE X-0.3*Y

Tipo di suolo zona 1 zona 2 zona 3 A 0.428 0.599 0.998

B, C, E 0.342 0.479 0.798 D 0.317 0.444 0.739

COMBINAZIONE X+0.3*Y


B, C, E 0.346 0.484 0.807 D 0.320 0.448 0.747

COMBINAZIONE Y-0.3*X


B, C, E 0.239 0.335 0.558 D 0.222 0.310 0.517

COMBINAZIONE Y+0.3*X


B, C, E 0.238 0.334 0.556 D 0.221 0.309 0.515

La verifica si completa considerando il minimo valore tra tutte le possibili combinazioni delle componenti dell’azione sismica e della valutazione dell’eccentricità aggiuntiva!!!!!

A titolo di esempio si riportano solo alcune delle combinazioni che è necessario analizzare

1. analisi modale

2. calcolo forze modali e relativa risposta

3. combinazione degli effetti associati alle diverse

forze modali per es. SRSS (o CQC)

4. combinazione con gli altri carichi:

altri carichi ± SRSS (o ± CQC)

ANALISI DINAMICA MODALE (Punto 8.1.5.3)

Metodologia

1. analisi modale

ANALISI DINAMICA MODALE

Applicazione al caso studio

Periodi e frequenze di vibrazione, masse partecipanti su ogni modo

Massa totale =1045748kg

Modo 1 2 3 4 5ΩΩΩΩ [1/sec] 17.63 20.37 23.15 46.07 53.33T [sec] 0.36 0.31 0.27 0.14 0.12

freq [1/sec] 2.81 3.24 3.69 7.33 8.49Massa X [kg] 81 710126 63398 14 123800Massa Y [kg] 746008 267 7461 151235 15Massa Z [kg] 11 0 37 14 10

Modi in Ymassa partecipante 86%Modi in X

massa partecipante 86%

Dovranno essere considerati tutti i modi con massa partecipante superiore al 5%, oppure un numero di modi la cui massa partecipante totale sia superiore all’85%.


Modi di vibrazione (AUTOVETTORIΨ)

Modo 1 Modo 2 Modo 3


1. analisi modale

P1

P2

P3

P4

P5 P6 P7 P8

P1

P2

P3

P4

P5 P6 P7 P8

P1

P2

P3

P4

P5 P6 P7 P8

Modo 4

P1

P2

P3

P4

P5 P6 P7 P8

Modo 5

P1

P2

P3

P4

P5 P6 P7 P8



Metodologia

ψk ψk

= × |pk|max = × gkSa(Tk)/ω2k

Effetto massimosul modo

Applicazione forze al modello

Distribuzione di forze relative al singolo modoψk ( )

max,

eqk k k k a k kg S T ξ= =f Kq Mψ



Applicazione forze al modello

Distribuzione di forze relative al singolo modoψk

( )max

,eqk k k k a k kg S T ξ= =f Kq Mψ


Sa

T

Spettro elastico

Spettro di progetto

Tk

Sd(Tk)

gk

Modo1 863.72Modo2 842.69Modo3 251.79Modo4 388.89Modo5 351.85


q(t)

=

ψ1

× p1(t)+

ψ2

×p2(t)+ ×p3(t) +….

ψ3

3. combinazione degli effetti associati alle diverse

forze modali SRSS

Rispostaglobale

Combinazione dei modi SRSS

Valutare l’effetto sollecitazioni e spostamenti complessivi mediante un’opportuna regola di combinazione modale

E = (Σ Ei2)1/2


4. combinazione con gli altri carichi:


Alle sollecitazioni ottenute dalle analisi lineari con carichi elementari (peso proprio, carichi variabili, ecc.) sono sommate e sottratte le sollecitazioni legate alla combinazione modale.


La verifica deve essere effettuata per ogni elemento con lo stesso procedimento già illustrato per l’analisi statica lineare

altri carichi ± SRSS

5. verifica


Applicazione al caso studio: modello senza eccentricità accidentale aggiuntiva

5. verifica

COMBINAZIONE PP+ X+0.3*Y

Tipo di suolo zona 1 zona 2 zona 3terreno A 0.441 0.617 1.028

terreno BCE 0.353 0.494 0.823terreno D 0.326 0.457 0.762

COMBINAZIONE PP+X-0.3*Y



COMBINAZIONE PP+Y-0.3*X



COMBINAZIONE PP+Y+0.3*X



A titolo di esempio si riportano solo alcune delle combinazioni che è necessario analizzare

La verifica si completa considerando il minimo valore tra tutte le possibili combinazioni delle componenti dell’azione sismica e della valutazione dell’eccentricità aggiuntiva!!!!!

ANALISI STATICA NON LINEAREMetodologia

La metodologia proposta nella OPCM 3274 e succ. mod. si basa sull’assunzioneche la risposta di un sistema a N gradi di libertà possa essere correlata alla risposta di un sistema equivalente ad 1 grado di libertà.

L’applicazione della metodologia proposta prevede l’esecuzione dei seguenti passi per ciascuna delle distribuzioni applicate: Analisi “pushover” per la definizione della curva di capacità

Conversione al sistema bilineare equivalente

Determinazione della risposta massima in spostamentodel sistema equivalente, tramite lo spettro di risposta anelastico, per il periodo del sistema bilineare equivalente

Conversione dello spostamento del sistema equivalente nella configurazione deformata della struttura e verifica

Non si applica la combinazione delle due componenti orizzontali dell’azione

Analisi “pushover” per la definizione della curva di capacità

ANALISI STATICA NON LINEARE

La distribuzione di forze da adottare(Punto 4.5.4.2 e 8.1.5.4)

una distribuzione di forze proporzionali alle masse;

una distribuzione di forze proporzionale alle forze modali corrispondenti al primo modo, approssimabilecon una uguale a quella adottata dell’analisi statica lineare.

Devono essere applicate due differenti distribuzioni di forze orizzontali, applicate ai baricentri delle masse a ciascun piano:

Punto di controllo

Generalmente assunto coincidente con un punto all’ultimo piano o ad un piano baricentrico in altezza, rispetto alla distribuzione delle forze applicata


Nodi di controllo : direzione X

P1

P2

P3

P4

P5 P6 P7 P82

6

X

Y

Parete 2

Nodi di controllo

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219 220 221 222

223 224 225

226 227 228

229 230 231

n18

n1018

n2018

N5 N6 N7 N8

N105 N106 N107 N108

N205 N206 N207 N208

N305 N306 N307 N308

N405 N406 N407 N408

Nodo 305

600 601 602603

604 605 606607

608 609 610611

612 613 614615

616 617

618 619

620 621

622 623

N2

N102

N202

N302

N402

N6

N106

N206

N306

N406

N10

N110

N210

N310

N410

N14

N114

N214

N314

N414


P1

P2

P3

P4

P5 P6 P7 P82

6

X

Y

Nodi di controllo : direzione Y

Parete 6

Nodi di controllo

Nodo 302

ANALISI STATICA NON LINEARE: Direzione YPushover proporzionale alle masse

Vpicco

0.8*Vpicco

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

spostamento [m]

Tag

lio a

lla b

ase

[N]

nodo 102

nodo 202

nodo 302

nodo 402N1

N101

N201

N301

N401

N5

N105

N205

N305

N405

N9

N109

N209

N309

N409

N13

N113

N213

N313

N413

500 501 502 503

504 505 506 507

508 509 510 511

512 513 514 515

516 517 518

519 520 521

522 523 524

525 526 527

528 529 530

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

N2

N102

N202

N302

N402

N6

N106

N206

N306

N406

N10

N110

N210

N310

N410

N14

N114

N214

N314

N414

600 601 602603

604 605 606607

608 609 610611

612 613 614615

616 617

618 619

620 621

622 623

3

4

5

6

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

N3

N103

N203

N303

N403

N7

N107

N207

N307

N407

N11

N111

N211

N311

N411

N15

N115

N215

N315

N415

700701 702703

704705 706707

708 709 710711

712 713 714715

716

717

718 719

720 721

7 8

9 10

11

12

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

Parete 5 Parete 7Parete 6

Collasso per taglio

Collasso per pressoflessione

Esempio: modello senza eccentricità accidentale aggiuntiva

ANALISI STATICA NON LINEARE: Direzione YPushover proporzionale alle masse*altezze

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

spostamento [m]

Tag

lio a

lla b

ase

[N]

nodo 102

nodo 202

nodo 302

nodo 402

N1

N101

N201

N301

N401

N5

N105

N205

N305

N405

N9

N109

N209

N309

N409

N13

N113

N213

N313

N413

500 501 502 503

504 505 506 507

508 509 510 511

512 513 514 515

516 517 518

519 520 521

522 523 524

525 526 527

528 529 530

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

72

N2

N102

N202

N302

N402

N6

N106

N206

N306

N406

N10

N110

N210

N310

N410

N14

N114

N214

N314

N414

600 601 602603

604 605 606607

608 609 610611

612 613 614615

616 617

618 619

620 621

622 623

3

4

5

6

85

86

87

88

89

90

91

92

93

94

95

96

N3

N103

N203

N303

N403

N7

N107

N207

N307

N407

N11

N111

N211

N311

N411

N15

N115

N215

N315

N415

700701 702703

704705 706707

708 709 710711

712 713 714715

716

717

718 719

720 721

7 8

9 10

11

12

97

98

99

100

101

102

103

104

105

106

107

108

Parete 5 Parete 6 Parete 7

Collasso per taglio



ANALISI STATICA NON LINEARE: Direzione Y

Confronto delle due distribuzioni (nodo 302 quota 10.8 m)

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035

spostamento [m]

Tag

lio a

lla b

ase

[N]

nodo 302 distr.massa*altezza

nodo 302 distr.massa

ANALISI STATICA NON LINEARE: Direzione XPushover proporzionale alle masse

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

4000000

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

spostamento [m]

Tag

lio a

lla b

ase

[N]

n17

n1017

n2017

n3017

n4017

N1 N2 N3 N4

N101 N102 N103 N104

N201 N202 N203 N204

N301 N302 N303 N304

N401 N402 N403 N404

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

n18

n1018

n2018

N5 N6 N7 N8

N105 N106 N107 N108

N205 N206 N207 N208

N305 N306 N307 N308

N405 N406 N407 N408

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219 220 221 222

223 224 225

226 227 228

229 230 231

1

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

N13 N14 N15 N16

N113 N114 N115 N116

N213 N214 N215 N216

N313 N314 N315 N316

N413 N414 N415 N416

400 401 402 403

404 405 406 407

408 409 410 411

412 413 414 415

416 418

419 420 421

422 423 424

425 426 427

428 429 430

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

Parete 1 Parete 4Parete 2

Collasso per taglio



ANALISI STATICA NON LINEARE: Direzione XPushover proporzionale alle masse*altezze

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

spostamento [m]

Tag

lio a

lla b

ase

[N]

n17

n1017

n2017

n3017

n4017

N1 N2 N3 N4

N101 N102 N103 N104

N201 N202 N203 N204

N301 N302 N303 N304

N401 N402 N403 N404

101

102

103

104

105

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

125

126

127

128

129

130

131

132

133

134

135

136

137

138

139

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

n18

n1018

n2018

N5 N6 N7 N8

N105 N106 N107 N108

N205 N206 N207 N208

N305 N306 N307 N308

N405 N406 N407 N408

201

202

203

204

205

206

207

208

209

210

211

212

213

214

215

216

217

218

219 220 221 222

223 224 225

226 227 228

229 230 231

1

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

N13 N14 N15 N16

N113 N114 N115 N116

N213 N214 N215 N216

N313 N314 N315 N316

N413 N414 N415 N416

400 401 402 403

404 405 406 407

408 409 410 411

412 413 414 415

416 418

419 420 421

422 423 424

425 426 427

428 429 430

49

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

Parete 1 Parete 2 Parete 4

Collasso per taglio


Esempio: modello senza eccentricità accidentale aggiuntivaEffetto dell’eccentricità : Esempio Direzione X

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

spostamento [m]

Tag

lio a

lla b

ase

[N]

con eccentricità

senza eccentricità


ANALISI STATICA NON LINEAREConversione al sistema bilineare equivalente (Punto 4.5.4.3)

Φ : vettore rappresentativo della deformata legata alla distribuzione di forze applicata alla struttura, normalizzato al valore unitario della componente relativa al punto di controllo

Γ :∑∑

ΦΦ

=2ii

ii

m

m“coefficiente di partecipazione”

Γ= bF

F *

Γ= cd

d*

Γ= bu

y

FF *

*

**

k

Fd y

y =

*

** 2

k

mT π=

Caratterizzazione del sistema equivalente:

iimm ΦΣ=*


Conversione al sistema bilineare equivalente (Punto 4.5.4.3)

Analisi statica lineare (distribuzione di forze proporzionale al prodotto masse*altezza) (punto 8.1.6)

Deformata corrispondente

Normalizzazione della deformata al valore unitario della componente

relativa al nodo di controlloVettore ΦΦΦΦ

Calcolo del coefficiente di partecipazione ΓΓΓΓ∑∑

ΦΦ

=2ii

ii

m

m

Calcolo del coefficiente di partecipazione Γ

Calcolo della massa iimm ΦΣ=*


Conversione al sistema bilineare equivalente (Punto 4.5.4.3)

Nodo i-esimo

Massa i-esima

Deformata coerente con la distribuzione di forze dell’analisi statica lineare Vettore ΦΦΦΦ

Componenti mi Componenti φφφφi

∑∑

ΦΦ

=2ii

ii

m

mΓΓΓΓ

Calcolo del coefficiente di partecipazione Γ

NODO massa deformata (m)101 12375 0.001559102 15610 0.001586103 20426 0.001591302 10907 0.0046303 13250 0.004594304 7598 0.004598401 5124 0.005488402 7742 0.005506403 7950 0.005498208 19291 0.002946305 19724 0.004409306 11298 0.004434307 10840 0.004415308 15409 0.004415….. ….. …..

φφφφ3050.3540.3600.3611.0431.0421.0431.2451.2491.2470.6681.0001.0061.0011.001…..


Conversione al sistema bilineare equivalente (Punto 4.5.4.3)Definizione della bilineare equivalente alla curva di capacità ottenuta dall’analisi pushover (vedere anche punto 8.1.6)

Per definire univocamente la bilineare equivalente sono necessarie 3 condizioni:du*

k*

Fy*

k* Rigidezza elastica individuata tracciando la secante alla curva di capacità nel punto corrispondente ad un taglio alla base pari a 0.7 volte il valore massimo

du* Spostamento ultimo pari a quello della curva di capacità in corrispondenza della riduzione del 20% valore massimo del taglio alla base

Fy*Ottenuto tramite l’uguaglianza delle aree sottese dalle curve tracciate fino allo spostamento ultimo del sistema

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

spostamento [m]

Tag

lio a

lla b

ase

[N]

curva di capacità

bilineare equivalente

Bilineare equivalente (nodo 305 quota 10.8 m)ANALISI STATICA NON LINEARE: Direzione X

d* = d\Γ

V* = V\ Γ

Esempio: distribuzione proporzionale massa*altezza

0.7* Vpicco

du*

Fy*

NOTA: Γ Γ Γ Γ pari a 1.19


massa*altezza massam* (kg) 655403 655402.991

ΓΓΓΓ 1.19 1.19Fy* (N) 2155609 2615110du* (m) 0.0171 0.018456287k* (N/m) 259878673 313900024

T* (s) 0.316 0.287

Distribuzione

Direzione X (nodo di controllo 305)

Direzione Y (nodo di controllo 302)

massa*altezza massam* (kg) 649705 649704.565

ΓΓΓΓ 1.14 1.14Fy* (N) 2039353 2247234du* (m) 0.0276 0.015755062k* (N/m) 185226860 239310174

T* (s) 0.372 0.327

Distribuzione

*

** 2

k

mT π=

NOTA:

Conversione al sistema bilineare equivalente (Punto 4.5.4.3)Esempio: modello senza eccentricità accidentale aggiuntiva


Idea base: riduzione operata facendo riferimento al concetto di duttilità

Riduzione operata introducendo un fattore di riduzione Rµ (Fajfar 2000):

≥

<+−=

C

CC

TT

TTT

T

R

,

,1)1(

µ

µµ

Sistema anelastico:

µR

SS ae

a = ded SR

Sµ

µ=

µR

SS ae

a =

ded SR

Sµ

µ=

Sa

SDDuDy

AuAy

Curva di capacità(bilineare)

Spettro anelastico ridottoPP

Spettro elastico iniziale

Determinazione della risposta massima in spostamento


Determinazione della risposta massima in spostamento

Con riferimento all’azione sismica definita al Punto 3.2:

CTT ≥* )( *max,

*max TSdd Dee ==

CTT ≤*

maxe,C*

*maxe,*

max d*T

T1)(q1

q

dd ≥

−+=

*

*** )(

y

Ae

F

mTSq =Con:

N.B.: Nel caso di risposta elastica per q*<1 porre:

max,*max edd =

Nota: il valore di q* non può comunque eccedere 3 per gli edifici in muratura ordinaria (punto 8.1.6)


Conversione dello spostamento del sistema equivalente nella configurazione deformata della struttura e verifica

Noto *maxd ricondursi allo spostamento massimo del punto di

controllo del sistema originario è immediato dalla:

*maxmax dd Γ=

*F

*d*maxd

Spettro elastico

Spettro anelastico ridotto


Verifica

Nel seguito vengono riportati i risultati delle verifiche, per ciascuna delle due direzioni (si ricorda che nell’ambito dell’analisi statica non lineare non è necessario effettuare alcuna combinazione delle azioni) in termini di rapporto:

max

u

d

d

Si precisa che in ciascun caso è necessario verificare il valore di q* (valore limite 3!!!)

La verifica si completa considerando il minimo valore tra le duedirezioni (e per ciascuna tra le due distribuzioni) considerandotutti i modelli che tengano cono dell’eccentricità accidentale

aggiuntiva!!!!!


Verifica e confronto dei risultati (nodo controllo 302)

Distribuzione proporzionale alle Masse

zona 1 zona 2 zona 3 terreno A 0.60 0.86 1.56

terreno BCE 0.40 0.59 1.12 terreno D 0.25 0.38 0.81

Rapporto Dultimo\Dmax

Controllo q*

q* zona 1 zona 2 zona 3terreno A 2.54 1.81 1.09


q*> 3 !!!!


zona 1 zona 2 zona 3 terreno A 0.87 1.24 2.11

terreno BCE 0.59 0.85 1.54 terreno D 0.37 0.55 1.11


Verifica e confronto dei risultati (nodo controllo 302)

Distribuzione proporzionale alle Masse*Altezze

Rapporto Dultimo\Dmax

Controllo q*q* zona 1 zona 2 zona 3

terreno A 2.74 1.96 1.17terreno BCE 3.42 2.45 1.47

terreno D 3.70 2.64 1.58

q*> 3 !!!!


Metodologia

Definizione del modello geometrico tridimensionale della struttura

Definizione delle masse interessate all’evento sismico e loro applicazione sotto forma di carichi gravitazionali nel modello

Definizione dello smorzamento della struttura

Definizione del legame costitutivo non lineare del materiale

Definizione dell’input sismico

Svolta l’analisi e calcolata la risposta nel tempo della struttura sollecitata da un dato accelerogramma è possibile passare alla verifica della stessa

ANALISI DINAMICA NON LINEARE (Punto 8.1.5.5 e 4.5.5 ) ANALISI DINAMICA NON LINEARE

Accelerogrammi

Accelerogrammi spettro compatibili ( terreno B , PGA = 0.15 g Zona 3)

SLU, componente orizzontale, acc. 4

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 5 10 15 20

Tempo [s]

Acc

eler

azio

ne [g

]SLU, componente orizzontale, acc. 5

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 5 10 15 20

Tempo [s]

Acc

eler

azio

ne [g

]

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 5 10 15 20

Tempo [s]

Acc

eler

azio

ne [g

]

7 differenti gruppi di accelerogrammi

(al minimo 3 gruppi)

ANALISI DINAMICA NON LINEARE

Esempio: analisi effettuate per ciascun gruppo di accelerogrammi applicando rispettivamente in direzione X l’accelerogramma scalato al 100% ed in direzione Y quello scalato al 30%

-3000000

-2000000

-1000000

0

1000000

2000000

3000000

1

118

235

352

469

586

703

820

937

1054

1171

1288

1405

TAGLIOX

TAGLIOY

Risultati in termini di storia temporale

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

1 86 171

256

341

426

511

596

681

766

851

936

1021

1106

1191

1276

1361

1446

Taglio di base Spostamenti dei nodi


-3000000

-2000000

-1000000

0

1000000

2000000

3000000

-0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02

Taglio di base X

Spostamento di un nodo di controllo

Dmax


Verifica

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

1 87 173

259

345

431

517

603

689

775

861

947

1033

1119

1205

1291

1377

1463

Ricerca dello spostamento massimo raggiunto a seguito dell’applicazione di ciascun gruppo di accelerogrammi per ciascun

nodo!

7 gruppi di accelerogrammi: media dei risultati ottenuti

3 gruppi di accelerogrammi: massimo risultato ottenuto(o comunque inferiore a 7 )


Verifica

Spostamento massimo raggiunto nel nodo 401

Dmax(401) = 0.018 m

Tale valore rappresenta la “domanda” richiesta dall’azione sismica da confrontare ancora con la “capacità” del sistema

Confronto effettuato con i risultati forniti da un’analisi pushover con una distribuzione di forze proporzionale alle masse sia in direzione X sia in direzione Y(quest’ultima scalata del 30 %)

Risultati Pushover: =ultimo

max

D

D

Risultati Dinamica non lineare: =

ultimo

max

D

D

1.48

1.56 !!!!!

CONFRONTO DEI RISULTATI

Analisi non lineari

I risultati sono equivalenti in termini qualitativi

=ultimo

max

D

D


Analisi statica lineare



Analisi dinamica modale


B, C, E 0.238 0.334 0.556 D 0.221 0.309 0.515

I risultati sono equivalenti in termini qualitativi

Analisi lineari


Analisi lineari e non lineariAnalisi statica lineare Analisi statica non lineare


B, C, E 0.238 0.334 0.556 D 0.221 0.309 0.515



L’analisi statica lineare è una analisi semplificata e quindi ragiona in termini più conservativi;

Differente approccio per la combinazione delle componenti dell’azione sismica;

Dominio di rottura assunto;

Caratterizzazione della domanda.

MeccanismiMeccanismi localilocaliNegli edifici esistenti in muratura spesso avvengono collassi parziali per cause sismiche, in genere per perdita dell'equilibrio di porzioni murarie.

Muratura di buona qualità Muratura di qualità scadente

Formazione di lesioni e comportamento per blocchi rigidi

Fessurazione diffusa, disgregazione e distacco tra i

paramenti

MeccanismiMeccanismi di RIBALTAMENTO GLOBALEdi RIBALTAMENTO GLOBALE MeccanismiMeccanismi di RIBALTAMENTO GLOBALEdi RIBALTAMENTO GLOBALE

MeccanismiMeccanismi di RIBALTAMENTO PARZIALEdi RIBALTAMENTO PARZIALE

11.5.4 Valutazione della sicurezza

11.5.4.1 Livelli di protezione antisismica e fattori di importanza

11.5.4.2 Azione sismica11.5.4.3 Modellazione della struttura

11.5.4.3.1 Meccanismi locali 11.5.4.3.2 Aggregati edilizi 11.5.4.3.3 Edifici misti

11.5.4.4 Metodi di analisi11.5.4.5 Combinazione delle componenti dell’azione sismica

11.5.5 Verifiche di sicurezza

11.5.5.1 Verifica globale semplificata per gli edifici i n aggregati edilizi

11.5.4.3.1 Meccanismi locali

È obbligatorio valutare la sicurezza dell'edificio nei co nfrontidi tali meccanismi.

Un possibile modello di riferimento per questo tipo di valutazioni è quello dell’analisi limite dell’equilibrio dellestrutture murarie , considerate come corpi rigidi non resistenti a trazione ; la debole resistenza a trazione della muratura portainfatti, in questi casi, ad un collasso per perdita di equilibrio, la cui valutazione non dipende in modo significativo dalla deformabilitàdella struttura ma dalla sua geometria e dai vincoli.

Nonostante le costruzioni in muratura presentino una grande varietà per tipologie, dimensioni e materiali, l’osservazione dei danni a seguito di eventi sismici ha mostrato mecca nismi locali ricorrenti , a cui fare riferimento per le verifiche.

ALLEGATO 11.C – Analisi dei meccanismi locali di collasso in edifici in muratura

Le norme propongono il metodo dell’analisi limite dell’equilibriosecondo l’approccio cinematico per la verifica obbligatoria della vulnerabilità alla creazione di meccanismi locali in parti dell’edificio:

- Analisi cinematica lineare- Analisi cinematica non lineare

Per questo tipo di meccanismi, la verifica allo stato limite di danno non è indispensabile.

L'analisi deve essere eseguita su un numero limitato di meccanismi, riconosciuti tra i più probabili, in considerazione della tecnologia costruttiva o individuati, a seguito di un sisma, sul manufatto in oggetto o su altri edifici simili.

Analisi Limite dell’Equilibrio (approccio cinematic o)

• Scelta dei meccanismi di collasso

• Valutazione dell’azione orizzontale che attiva tale cinematismo

• Determinazione dell’andamento dell’azione orizzontale che la struttura è progressivamente in grado di sopportare all’evolversi del meccanismo

Analisi cinematica lineare

Analisi cinematica non lineare


1. trasformazione di una parte della costruzione in un sistema labile (catena cinematica ), attraverso l’individuazione di corpi rigidi, definiti da piani di frattura, in grado di ruotare o scorrere tra loro

Per ogni possibile meccanismo locale ritenuto significativo per l’edificio, il metodo si articola nei seguenti passi:


2. valutazione del moltiplicatore orizzontale dei carichi αααα0 che comporta l’attivazione del meccanismo (stato limite di danno)

Principio dei Lavori Virtuali

Si applicano ai blocchi rigidi le seguenti forze: - i pesi propri dei blocchi , applicati nel loro baricentro; - i carichi verticali portati dagli stessi (pesi propri e sovraccarichi dei solai e della copertura, ecc); - un sistema di forze orizzontali proporzionali ai carichi verticali portati, se queste non sono efficacemente trasmesse; - eventuali forze esterne (ad es. catene metalliche); - eventuali forze interne (ad es. ingranamento tra i conci murari).

Assegnata una rotazione virtuale θθθθk al generico blocco k, è possibile determinare gli spostamenti delle diverse forze nella rispettiva direzione

αααα0


2. valutazione del moltiplicatore orizzontale dei carichi αααα0 che comporta l’attivazione del meccanismo (stato limite di danno)-

fi

o

1hhh

n

1iiy,i

mn

1njjx,j

n

1iix,i0 LFPPP =δ−δ−

δ+δα ∑∑∑∑

==

+

+==(11.C.1)

Principio dei Lavori Virtuali

αααα0P1

P1

θθθθ11

1

x,1 1

y,1 1

= ( )

= ( )

G C

G C

y y

x x

δ θ −δ θ −

δx,i è lo spostamento virtuale orizzontale del punto di applicazione dell’i-esimo peso Pi,

δy,i è lo spostamento virtuale verticale del punto di applicazione dell’i-esimo peso Pi, assunto positivo se verso l’alto;


3. valutazione dell’evoluzione del moltiplicatore orizzontale dei carichi αααα al crescere dello spostamento dk di un punto di controllo della catena cinematica, usualmente scelto in prossimità del baricentro, fino all’annullamento della forza sismica orizzontale;

Il valore del moltiplicatore α può essere valutato utilizzando l’equazione (11.C.1), riferendosi alla geometria variata. L’analisi può essere svolta per via grafica , individuando la geometria del sistema nelle diverse configurazioni fino al collasso, o per via analitico-numerica , considerando una successione di rotazioni virtuali finite e aggiornando il sistema.

Se le diverse azioni (forze peso, azioni esterne o interne) vengono mantenute costanti all’evolversi del cinematismo, la curva è pressochélineare . In tal caso, in via semplificata, è richiesta la sola valutazione dello spostamento dk,0 per cui si ha l’annullamento del moltiplicatore, e la curva assume la seguente espressione:

(11.C.2)( )0,kk0 d/d1−α=α


4. trasformazione della curva così ottenuta in curva di ca pacità(oscillatore equivalente) , ovvero in accelerazione a* e spostamento d*

spettrali, con valutazione dello spostamento ultimo per collasso del meccanismo (stato limite ultimo), definito in seguito;

Noto l’andamento del moltiplicatore orizzontale α dei carichi in funzione dello spostamento dk del punto di controllo:

001

0*

* *

n m

ii

Pg

aM e

+

=

αα

= =∑

1*

* *

n m

ii

Pg

aM e

+

=

αα

= =∑

accelerazione sismica spettrale

accelerazione spettrale di attivazione

∑

∑+

=

+

=

δ

δ=

mn

1iikx,

mn

1ix,ii

k*

P

P

dd spostamento spettrale


d*

a*

a0*

d0*d'0*

a'0

du*=0.4 d'0*

(a)

(b)

(a) con forze esterne variabili

(b) lineare ( )0 01* * * */a a d d= −

Lo spostamento ultimo a collasso du * è il minimo tra:1) il 40% dello spostamento per cui si annulla a*, valutato su una curva in

cui si considerino solamente le azioni di cui è verificata la presenza fino al collasso;

2) lo spostamento corrispondente a situazioni localmente incompatibili (ad es., sfilamento di travi), nei casi in cui questo sia valutabile.


5. verifiche di sicurezza , attraverso il controllo della compatibilità degli spostamenti e delle resistenze (ANALISI CINEMATICA NON LINEARE ) o delle sole resistenze (ANALISI CINEMATICA LINEARE )

Stato limite di danno (NON OBBLIGATORIA)

La verifica è soddisfatta qualora

cioè, se l’accelerazione spettrale di attivazione del meccanismo sia superiore all'accelerazione dello spettro elastico definito nel punto 3.2.6, valutata per T=0, opportunamente amplificato per considerare la quota della porzione di edificio interessata dal cinematismo

+≥H

Z5.11

5.2

Saa

g*0 (11.C.7)

La verifica è la medesima sia nell’ANALISI CINEMATICA NON LINEARE , sia nell’ANALISI CINEMATICA LINEARE


Stato limite ultimo (ANALISI CINEMATICA LINEARE )

Verifica semplificata con fattore di struttura q

La verifica è soddisfatta qualora

in cui q è il fattore di struttura uguale a 2.0.

+≥H

Z5.11

q

Saa

g*0 (11.C.8)


Stato limite ultimo (ANALISI CINEMATICA NON LINEARE )

Verifica mediante spettro di capacità

Confronto tra la capacità di spostamento ultimo du * del meccanismo locale e la domanda di spostamento ∆∆∆∆d.∆d è valutato su uno spettro definito analogo a quello per elementi non strutturali (punto 4.9), in corrispondenza del periodo secante Ts

*u

*s d4.0d = spostamento secante

*sa accelerazione in corrispondenza del periodo

secante, valutata sulla curva comprensiva di eventuali forze esterne non assicurate a collasso

*s

*s

sa

d2T π= periodo secante







Confronto tra la capacità di spostamento ultimo du * del meccanismo locale e la domanda di spostamento ∆∆∆∆d.∆d è valutato su uno spettro definito analogo a quello per elementi non strutturali (punto 4.9), in corrispondenza del periodo secante Ts

( )( )

2s

s 1 d s g 2 2

s 1

1 s1 s D d s g 2

1 DD s d s g 2

3 1 Z HTT < 1.5T ∆ (T ) = a S 0 5

4 1 1 T T

1 5T T Z1.5T T < T ∆ (T ) =a S 1 9 2 4

H4

1 5T T ZT T ∆ (T ) =a S 1 9 2 4

H4

.

.. .

.. .

+ − π + −

≤ + π

≤ + π

(11.C.9)


OSSERVAZIONI (1):

• E’ necessario individuare correttamente i meccanismi da analizzare

Presenza di incatenamento (forza esterna)

αααα0P1

P1

θθθθ1

F1

αααα0P1

P1

θθθθ1

αααα0P2

P2


OSSERVAZIONI (1):


Ribaltamento globale con buon ammorsamento


OSSERVAZIONI (1):


Presenza di solaio intermedio spingente

αααα0P2

P2

θθθθ1

θθθθ2

αααα0P1

P1

C1

C12

C2

APPLICAZIONE: ALLEGATO 11.C – Analisi dei meccanismi locali di collasso in edifici in muratur a

Ribaltamento fuori piano della sommità di una parete (timpano)

9.0 m

6.0 m

6.0 m

1.5 m

Materiale tratto da appunti del Prof. G. Magenes (Università di Pavia)

9.0 m

6.0 m

6.0 m

1.5 m

6.00

m1.

50

cm

0.40 m

o




6.00

m1.

50

cm0.40 m

o

.50

m

W

αW

PαP' ∆x1

∆x0

∆y0

.40 m

O

1.50

m




.50

m

W

αW

PαP' ∆x1

∆x0

∆y0

.40 m

O

1.50

m

peso/m2 del tetto (incluse le capriate): 1.4 kN/ m2

peso della muratura: 20 kN/m3

Si assume che ogni timpano porti 1/3 del carico verticale trasmesso dalla trave di colmo, P = 26 kN

P’=1/2 del peso = 1.5 P = 39 kN

Baricentro delle masse del timpano: 1/3 dell’altezza

Si assume che P sia applicato in mezzeria del muro

02.02.0)5.0'5.1(0 =⋅−⋅−⋅+⋅ WPWPα

Equilibrio diretto dei momenti nella condizione limite:

162.05.0'5.1

2.02.00 =

⋅+⋅⋅+⋅=WP

WPα



0' 000010 =∆⋅−∆⋅−∆⋅+∆⋅ yyxx WPWP αα

162.05.0'5.1

2.02.00 =

⋅+⋅⋅+⋅=WP

WPα

.50

m

W

αW

PαP' ∆x1

∆x0

∆y0

.40 m

O

1.50

m

θ

2.0 ;5.1 ;5.0 010 ⋅=∆⋅=∆⋅=∆ θθθ yxx

02.02.05.05.1' 00 =⋅−⋅−⋅+⋅ θθθαθα WPWP

Valutazione della massa partecipante M *:

usando ∆x1 come spostamento di controllo, ∆∆∆∆x0 = ∆∆∆∆x1 /3

( )( ) 162.6

333.01'81.9

333.01'

P

P

M22

2

mn

1i

2ix,i

2mn

1iix,i

* =⋅+⋅⋅

⋅+⋅=

=∑

∑+

=

+

=

WP

WP

g δ

δ

Oppure, con l’applicazione del PLV:



.50

mW

αW

PαP' ∆x1

∆x0

∆y0

.40 m

O

1.50

m

θ

Valutazione dell’accelerazione di attivazione a 0*:

Frazione di massa partecipante e* :

806.0'

162.681.9/

1

** =+⋅== ∑

+

= PWPgMe

mn

ii

2*

0*1

0*0 m/s 972.1

806.0

81.9162.0 =⋅===∑

+

=

e

g

M

Pa

mn

ii α

α

Verifica tramite il metodo lineare (stato limite ultimo):

+≥H

Z5.11

q

Saa

g*0 con q = 2.0



Verifica tramite il metodo lineare (stato limite ultimo):

+≥H

Z5.11

q

Saa

g*0 con q = 2.0

6.00

m1.

50

cm0.40 m

o

78.0=H

Z dove Z= 7.02 m è l’altezza del baricentro dei pesi P’ e W rispetto alla fondazione e H = 7.5 m

( ) SaSa

a gg 202.1936.05.110.2

*0 =⋅+≥

Il meccanismo è verificato se

agS ≤≤≤≤ a0*/1.202 = 1.641 m/s2 = 0.167g



.50

m

W

αW

PαP' ∆x1

∆x0

∆y0

.40 m

O

1.50

m

θ

Valutazione dell’andamento α-∆x1 (α-dk ) per spostamenti finiti.

Tutte le forze sono proporzionali ai pesi, quindi la relazione α-dk è lineare:

( )0,kk0 d/d1−α=αValutazione dello spostamento dk,0 per forza orizzontale nulla (per es. momenti resistenti nulli):

0)2.0()2.0( 10 =∆−⋅−∆−⋅ xx PW

0)2.0()3/2.0( 11 =∆−⋅−∆−⋅ xx PW

m 326.03/

2.02.00,0,1 =

+⋅+⋅==∆PW

PWdkx

Verifica tramite il metodo non lineare (stato limite ultimo):



.50

m

W

αW

PαP' ∆x1

∆x0

∆y0

.40 m

O

1.50

m

θ

Valutazione dello spostamento effettivo del sistema 1 d.o.f equivalente :

∑

∑+

=

+

=

δ

δ=

mn

1iikx,

mn

1ix,ii

k*

P

P

dd kk d68.0)'(1

333.01'd ⋅=

+⋅⋅+⋅=WP

WP

m 222.0d68.0d k,0*0 =⋅=

m 089.0d4.0d *0

*u =⋅=

m 035.0d4.0d *u

*s =⋅=



d*

a*

d0*

du*=0.4d0

*ds*=0.4du

*

a0*

as*

(2π/Ts*)2

*

** 2

s

ss a

dT π=

m 222.0d68.0d k,0*0 =⋅=

m 089.0d4.0d *0

*u =⋅=

m 035.0d4.0d *u

*s =⋅=

sec 92.0T*s =



Si assume come periodo fondamentale dell’edificio un valore precedentemente determinato, pari a T1=0.2 s

Si ottiente Ts*=0.92 >1.5 T1=0.3 s

Quindi, assumendo, per esempio,

agS = 0.2g = 1.962 m/s2 ,

La domanda effettiva in termini di spostamento vale:

*u2

*1* d m 0.089m 071.04.29.1

45.1)( =<=

+⋅⋅=∆H

ZTTSaT s

gs π

La verifica tramite il metodo non lineare (stato limi te ultimo) per il cinematismo di ribaltamento del timpano è soddisfa tta

pianta 1°piano prospetto lato nord esempio di verifica ... 16... · operazioni di rilievo, delle...

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