physique des sons et vibrations
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CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHESCIENTIFIQUE
Master 2e année - Acoustique
Physique des sons et vibrations
Philippe Herzog
Mail : [email protected] - Tel : 04 91 16 40 89
Adnane Boukamel
Mail : [email protected] - Tel : 04 91 05 43 90
Laboratoire de Mécanique et d’Acoustique - U.P.R. 7051 C.N.R.S.
31 chemin Joseph Aiguier - 13402 Marseille cedex 09
Physique des sons et vibrations 2009 - 1
Domaines d’application
Bruits :
– transports
– bâtiment
– déficiences auditives
Ondes :
– imagerie médicale
– sismique
– contrôle non destructif
– sonars
Sons :
– communications
– musique
– reproduction sonore
Physique des sons et vibrations 2009 - 2
Caractéristiques générales
Géométrie
– confinement
– trajectoires
– obstacles
Flux
– source
– récepteur
– dissipation
Milieu
– fluides
– solides
– composites
Echelles
– distance
– taille
– durée
– fréquence
Physique des sons et vibrations 2009 - 3
Objectif du cours
Analyse des problèmes de propagation :
– principaux phénomènes physiques
– propagations acoustique et vibratoire
– formulation analytique
– équations locales
⇒ Hypothèses et équations pour chaque cas d’étude
Physique des sons et vibrations 2009 - 4
Contenu
Physique des sons et vibrations
C1 : Propagation : principe et applications
C2 : Ondes sonores en fluide non dissipatif
C3 : Ondes élastiques dans les solides
C4 : Dissipation dans les solides
C5 : Sources et dissipation acoustiques
C6 : Interface solide/fluide, couche limite
Examen : "pot-pourri" avec documents
Physique des sons et vibrations 2009 - 5
Exemple : compression 1D
X
x1 x2
P1 P2
X
Dynamique dans un milieu élastique
Forces "externes" : P1∆S − P2∆S = M ∂tx
Forces "internes" : P1∆S + P2∆S = K (x2 − x1)
Physique des sons et vibrations 2009 - 6
Limite (1D) pour un volume infinitésimal
Propriétés "locales" du volume de matière :
ρ0 = lim(∆S,∆x→0) m/V [kg.m−3]
χs = lim(∆S,∆x→0)−1V(∂PV )s [m2.N−1]
Expression locale : système de deux EDL1 en (p, v)
χs ∂tp + ∂xv = 0 [s−1]
ρ0 ∂tv + ∂xp = 0 [kg.m−2.s−2]
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Formulation "équation d’onde" (1D)
Système de 2 équations : EDL2 en p + EDL1 en (p, v)
(c−20 ∂2
tt − ∂2xx)p = 0 [kg.m−3.s−2]
χs ∂tp + ∂xv = 0 [s−1]
Propagation :
EDL2 = Décalage d’un "signal" simultanément en espace et en temps
Célérité : c0 = 1/√ρ0χs [m/s]
Comportement du milieu :
EDL1 = Un des deux phénomènes physiques associés à ce "signal"
Compressibilité : G.P. (χs ≈ 1/γp0) - solide (χs ≈ 3/E si ν ≈ 0)
Autres phénomènes : cohésion, dissipation, hétérogénéités, etc
Physique des sons et vibrations 2009 - 8
Acoustique / vibration = écarts
Variations temporelles
Signaux à moyenne nulle
Plus rapides que "quasi-statique"
Grand nombre de "cycles"
Amplitudes
Ecarts par rapport à "quasi-statique"
Faibles variations relatives (D.L., linéarisation)
Pas de changement d’état du milieu
Limite floue : fatigue mécanique, vibrations NL, etc
Physique des sons et vibrations 2009 - 9
Grandeurs énergétiques
Deux formes d’énergie :
ec = 12 ρ0 |−→v |2
ep = 12 χs p
2[J.m−3]
Impédance caractéristique :
ec = ep ⇒ p/v = ρ0c0 = Zc [kg.m−2.s−1]
Etat "d’équilibre" entre les deux phénomènes fondamentaux
Solution particulière : "l’onde plane" (cf "impédance itérative")
Intensité acoustique :−→I = p−→v [W/m2]
Densité de puissance transportée par l’onde acoustique
Physique des sons et vibrations 2009 - 10
Onde Plane sinusoïdale
Solution particulière - principe général
−1
0
1
Pre
ssio
n
−1
0
1
Vite
sse
−1
0
1
1 2 3 4 1
Inte
nsité
phase
Phases schématiques :
1 : compression ⇒ ∆ ep car I > 0
2 : mouvement / aval ⇒ ep → ec
3 : détente ⇒ ∆ ep car I > 0
4 : mouvement / amont ⇒ ep → ec
Transfert d’énergie sans déplacement moyen du milieu
Importance de la phase relative entre p et v
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Puissance acoustique
−1
0
1
Pre
ssio
n
−1
0
1
Vite
sse
−1
0
1
Inte
nsité
phase
Déphasage ⇒ I < 0 par instants
Vitesse sans compression : ec augmente
Compression sans vitesse : ep augmente
Deux échelles de temps : (t, T )
Puissance P =∫
S
−→I · −→dS
Puissance moyenne Pa = 〈P (t)〉T : puissance "active"
Puissance fluctuante 〈Pr(t)〉T = 0 : puissance "réactive"
Onde générale : concentrations locales ec ou ep
Physique des sons et vibrations 2009 - 12
Domaine fréquentiel
Transformation de Fourier (projection / base)
Axcos(ωt+ φ) = ℜ[
Xejωt]
avec X = Axejφ
x(t) X(ω) : superposition de composantes
∂tx(t) jωX : simplicité dérivée/intégrale
Propagation
(∆ + k2)p = 0 : équation de Helmholtz
k = ω/c : nombre d’onde
Echelle implicite : λ = c/f ⇔ kD = 2πD/λ
Etalon géométrique : la longueur d’onde λ
Physique des sons et vibrations 2009 - 13
Ordres de grandeur : O.P audible
Pression Vitesse Déplacement
à 20 Hz à 1 kHz à 20 kHz
20 Pa 50 mm/s 0,4 mm 8 µm 0,4µm
20 mPa 50 µm/s 0,4 µm 8 nm 0,4nm
20 µPa 50 nm/s 0,4 nm [8 pm] [0,4pm]
Grande dynamique
Gamme de pressions > 106
Echelle logarithmique (dB)
Très faibles perturbations
Pressions << P0 = 105Pa
Vitesses << 6km/h ↔ 1.6m/s
Déplacements ≈ échelle atomique (HF)
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Ordres de grandeur (2)
Milieu Air Eau Acier Aluminium
ρ0 [kg/m3] 1.2 1000 7700 2700
cl [m/s] 340 1490 5900 6300
ct [m/s] - - 3230 3080
Source φ80mm, à 1m, à 100Hz :
Déplacement (mm) Milieu Pression (Pa) Puissance (W)
1 eau 160 0.21
1 air 0.19 0.001
14.4 air 39.4 0.21
Très grandes différences de comportement du milieu
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OdG (3) : quelques cas usuels
Source Niveau Pression Puissance
Parole 60 dB / 1 m 0.02 Pa 12 µW
Automobile 94 dB / 1 m 1.0 Pa 30 mW
Concert Rock 105 dB / 30 m 3.5 Pa 50 W
Sonar 166 dB / 1 m 300 Pa 0.75 W
Très faible / mécanique
cycliste ≈ 500 W
automobile ≈ 50 kW
Conversion mécanique -> acoustique :
Rayonnement "parasite" ≈ 10−6 à ≈ 10−4
Sonorisation ≈ 10−2
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Physique des matériaux
Physique théorique : interactions via 4 forces ("unification")
Gravitation Electromagnétisme I.N. faible I.N. forte
Intensité relative ∼ 10−38 ∼ 10−2 ∼ 10−14 1
Rayon d’action (m) ∞ ∞ ≤ 10−17 ≤ 10−15
Domaine astronomie chimie radioactivité nucléaire
(Peu de phénomènes mais beaucoup d’objets + stats complexes ... )
Inutile d’écrire les "équations du monde entier" !
- Expliquer ce qui est observable (macroscopiquement)
- Lisser les phénomènes à trop petite échelle (statistiques)
- Séparer les phénomènes à trop grande échelle (paramètres)
⇒ Déterminer une échelle "utile"
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Echelle "locale"
log(V)
gra
nd
eu
r (e
x :
m/V
)
atome,molécule, maille
domaine local global
??
Dimensions d’un "petit volume" local :
- Peu de variations de l’ensemble des variables d’état
- Finesse de description suffisante (cf problème global)
- Nombre "minimal" de variables d’état (cf hétérogénéités)
⇒ Volume "représentatif" (homogénéisation)
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Description des propriétés locales
Interactions particulaires "purement" électromagnétiques :
- Echelle > échelle moléculaire (ni nucléaire, ni chimique)
- Gravitation négligeable en interne, paramètre si externe
- Résultante = Ep "de Lennard-Jones" (Pauli + Van der Waals)
Phénomènes microscopiques :
- Agitation thermique (Brown)
- Collisions des particules (fortes distances)
- Attraction intermoléculaire (faibles distances)
- Répulsion interatomique (très faibles distances)
⇒ propriétés résultant de leurs importances relatives
Physique des sons et vibrations 2009 - 19
Gaz "idéal" (G.P. de Laplace)
Théorie cinétique :
Agitation thermique dominante
Collisions sans interaction
statistiques ⇒ PV = nRT
ν d.d.l. par molécule ⇒ γ =Cp
Cv
= 2+νν
énergie interne U = ν2nRT = PV
γ−1
Mélange de G.P. = G.P.
Modèle très simplifié :
- Energie interne U = EcT + EiM et PV proportionnels à T
- Pression = résultante des collisions / interface
- Deux variables d’état indépendantes
Permet d’établir analytiquement des propriétés remarquables
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Gaz "plus réaliste"
Termes correctifs (empiriques) :
Agitation thermique dominante
Interactions occasionnelles
Gas de Van der Waals : p = RT(Vm−b) − a
V 2m
Equation du Viriel : p = RTVm
[1 + B(T )Vm
+ C(T )V 2m
+ ...]
Compromis entre complexité et réalisme :
- S’écarte du gaz idéal à pression croissante
- Approximation locale proche du G.P.
- Toujours deux variables d’état indépendantes
Assimilable à un GP pour de faibles variations (coefficients tabulés)
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Elasticité isentropique d’un gaz
- Peu dense
- Pas de cohésion
- Faible conduction thermique
- Faible viscosité
Gaz "quasi-idéal" isentropique (γ empirique)
U = ν2nRT , pV = nRT et γ = 2+ν
ν
Soit U = pVγ−1 , or dU = TdS − pdV = −pdV
Donc V dP + γpdV = 0, soit pV γ = Cte
Compression isentropique ⇒ échauffement local : T liée à p
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Agitation thermique
T = 0 T > 0 T >> 0
Energie interne associée à l’agitation thermique
- Mouvements aléatoires croissant avec T
- Peu dense ⇒ collisions seules
- Dense ⇒ collisions + interactions
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Entropie
Agitation thermique : fluctuations "invisibles"
- Nombre considérable d’états microscopiques
- Détail des mouvements inobservable
- Associé à une énergie interne significative
Entropie = quantification de "l’indétermination"
- Nombre d’états "équivalents" = Ω
- Théorie de Boltzman : S = kBLog(Ω)
- Energie interne : dU = TdS, où T est la température
⇒ Prise en compte des phénomènes "occultés"
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Conduction thermique
choc élastique 1 collision résultante
Agitation thermique répercutée → zone froide
- Perturbation aléatoire des collisions
- Homogénéisation de proche en proche : diffusion
- Coefficient dépendant de la structure du milieu
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Viscosité
choc élastique 1 collision résultante
Mouvement répercuté → zone inerte
- Perturbation systématique des collisions
- Homogénéisation de proche en proche : diffusion
- Coefficient dépendant de la structure du milieu
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Relaxation moléculaire
mono-atomique di-atomique dissipation
Excitation de d.d.l. internes
- Conversion de l’énergie des collisions
- Résultante = absorption d’énergie
- Fréquences propres des molécules
- Restitution retardée et imparfaite
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Température et état
peu dense dense très dense
agitation répulsion cohésion
attraction attraction agitation
- agitation -
T >> Tc T ≈ Tc T << Tc
Température ou densité = réglage de l’équilibre agitation/cohésion
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Etat liquide
– Cohésion : agitation ≈ attraction
– Glissement possible (pas de forme propre)
– Bonne conduction thermique
– Viscosité importante
Fluide (lourd), transformation quasi-isotherme (γ ≈ 1)
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Solide amorphe
– Cohésion : agitation < attraction
– Glissement infinitésimal (forme "figée")
– Bonne conduction thermique
– Viscosité quasi-infinie
– Contraintes de cisaillement
Fluide hyper-visqueux ≈ solide isotrope
Physique des sons et vibrations 2009 - 30
Cohésion cristalline
– Cohésion : agitation ≪ attraction
– Déformation très limitée (rupture)
– Très bonne conduction thermique
– Viscosité infinitésimale
– Contraintes de cisaillement
– Axes particuliers (mailles)
Solide cristallin : anisotrope, très peu compressible
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Etats d’un milieu
gaz liquide amorphe cristal
fluide fluide solide solide
isotrope isotrope isotrope anisotrope
très compressible peu compressible très peu compressible ≈ incompressible
pas de forme pas de forme forme figée forme imposée
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Equations de la mécanique
Quel élément de volume ?
- Choix des coordonnées
- Forme locale : (n, V ) → ρ à n constant
- Conservation de la quantité de matière
Inertie de cet élément
- Bilan des forces (écart externe - interne)
- Forme locale : contrainte, déformation/déplacement
- Conservation de la quantité de mouvement
Comportement de cet élément
- Etat du milieu (nature et dépendance / T )
- Phénomènes de transport éventuels
- Conservation de l’énergie (y.c. chaleur)
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Elément de volume
Echelle "locale"
- Intermédiaire entre microscopique et "système"
- Hypothèse de "milieu continu"
- Définition de grandeurs locales
Coordonnées de Lagrange
- Groupe déterminé de molécules
- Trajectoires depuis une référence
- Description "mobile dans l’espace"
Coordonnées d’Euler
- Elément de volume fixe dans l’espace
- Observation des molécules qui y "passent"
- Bilan des échanges : "champs" de vecteurs
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Conservation de la masse
d
dt
∫
dV
ρd−→R = 0
Volume infinitésimal dV
- Variations de ρ (effet des contraintes)
- Flux échangés (dérivées spatiales de la vitesse)
- Vrai pour tout dV
∂ρ
∂t+−→∇ · (ρ−→v ) = 0
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Conservation de l’impulsion
Bilan des forces
- Inertie de l’élément de volume
- Action/réaction sur les frontières
- Résultante des contraintes internes
- Forces volumiques (transport)
∂
∂t(ρ−→v ) +
−→∇ · (ρv ⊗ v) =−→F +∇ · σ
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Comportement du milieu
Ensemble de phénomènes "internes"
- Equation d’état : relie σ (ou p) à ρ et s
- Equations de transport : une pour chaque "autre" phénomène
- Conservation de l’énergie : relie (par exemple) −→v à ρ, s, q, r (thermique)
⇒ Relation entre σ (ou p) et −→v
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A suivre ...
Questions ?
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