examen du module physique 3 (vibrations et ondes) · 2017. 3. 3. · corrigé examen physique 3...
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Université Ferhat Abbas Sétif -1- 2ème
Année LMD- ST
Faculté de technologie 09 janvier 2017
Département de Génie civil Temps alloué: 1h30
Examen du module Physique 3 (Vibrations et ondes)
Exercice 01 : (10 points)
Un disque homogène roule sans glisser sur un plan horizontal
autour de son centre O.
Le disque est relié avec un ressort de constante de raideur et un
amortisseur de coefficient de frottement visqueux en un point B.
Un autre ressort de constante de raideur est attaché en l’une de ses
extrémités au centre O du disque.
L’autre extrémité A est soumise à un déplacement excitateur
horizontal sinusoïdal (Figure 1).
A l’équilibre , On prendra :
1. Ecrire l’équation du mouvement forcé amorti.
2. Déduire la valeur de la force correspondante.
3. Calculer les expressions de l’amplitude A et de la phase de la
solution particulière représentant le régime permanent.
4. Donnez les valeurs de et .
5. Déduire la solution générale de l’équation différentielle.
Exercice 02 : (10 points)
Système A : Système libre non amorti
Un ressort, de constante de raideur , est accroché en l’une de ses extrémités
à un point fixe; à l’autre extrémité, on suspend une masse . Au mouvement
et sous l'action de la masse, le ressort subit un allongement (Figure 2).
1. Trouver l’équation différentielle du mouvement.
2. Donner la solution.
Système B : Système libre amorti
Un système mécanique comprenant une barre horizontale de
masse négligeable et de longueur 2L qui peut pivoter sans
frottement autour d’un axe passant par son milieu (Figure 3).
Dans le cas des oscillations de faibles amplitudes :
1. Trouvez le système équivalent.
2. Trouver l’équation différentielle du mouvement.
3. Donner la solution dans le cas .
Système C : Couplage Elastique
Les 2 sous-systèmes A et B sout couplés par le ressort (Figure 4).
Le nouveau système est repéré à l’instant t par les coordonnées
généralisées et supposées de faibles amplitudes.
On prendra : et
1. Trouvez les équations différentielles du mouvement
du système couplé.
2. On néglige l’effet d’amortissement ( , écrire
les équations du mouvement sous la forme matricielle :
, trouvez les valeurs de a, b, c et d.
Bonne Chance
Figure 1
O O
B S(t)
A
X
Y
Figure 3
Figure 2
Figure 4
Corrigé examen physique 3 (2016-2017)
Le disque effectue un mouvement de
rotation+translation :
Le centre O se déplace avec
Le 1er ressort k
L’amortisseur :
Le 2eme ressort k
1. L’équation différentielle du mouvement :
L’énergie cinétique:
+
L’énergie potentielle:
o La fonction de dissipation :
o La fonction de Lagrange :
L’équation de la grange:
(pas de
force appliquée sur la masse)
On remplace dans l’équation de Lagrange:
1. La valeur de la force correspondante :
Le 2 ème
membre de l’équation différentielle du
mouvement ( correspond au moment
de la force , donc : , tel
que : R est la distance droite d’action de la force
On divise par :
et on trouve:
; Tel que :
1. Les expressions de l’amplitude A et de la
phase de la solution particulière
représentant le régime permanent : Après
calcul (voir cours) on trouve :
et
2. La solution générale de l’équation
différentielle :
.
Exercice 02 :
Système A :
La fonction de Lagrange :
L’équation de Lagrange :
Avec :
:
Equation différentielle du second ordre
Sa solution :
ou
Système B :
1. Le système équivalent : les 2 ressorts sont en
parallèles donc :
2. L’équation différentielle du mouvement :
La masse
Figure 1
O O
B S(t)
A
X
Y
0.5
01
0.5
0.5
0.25
0.25
01
01
0.5 0.5
0.5
0.5
01
01
01
01
Figure 2
01
01
01 01
0.5
0.5
La masse
Le ressort :
Le ressort :
L’énergie cinétique du système :
=
L’énergie potentielle du système :
o La fonction de dissipation :
o La fonction de Lagrange :
o L’équation de la grange:
o
l’équation de Lagrange:
Dans le cas des faibles amplitudes :
, on aura :
On divise par : et on trouve:
0 tel que :
1. La solution dans le cas :
Avec
Système C :
et
Les 2 sous systèmes A et B sous couplés par le
ressort 2k : :
1. Les équations différentielles du mouvement du
système couplé :
L’énergie cinétique du système :
L’énergie potentielle du système :
=
La fonction de dissipation :
o La fonction de Lagrange :
Les 2 équations de la grange:
2. Ecrire le système d’équation sous la forme
matricielle :
On fait l’hypothèse que le système admet des
solutions harmoniques :
=
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1pt
Figure 4
0.5 0.5
0.5
0.5
01