phương pháp đơn hình

8/20/2019 Phương pháp đơn hình

1/69

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH

TS. Lê Xuân Đi

Trưng Đi hc Bách Khoa TP HCMKhoa Khoa hc ng dng, b môn Toán ng dng

TP. HCM — 2013.

TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH TP. HCM — 2013. 1 / 1

http://find/


2/69

Nhng khái nim cơ bn Nghim cơ s ca h phương trình tuyn tính

Nghim cơ s ca h phương trình tuyn tính

Đnh nghĩaBin cơ s là bin có h s bng 1 phương trình nào đó ca h và có h s bng 0 nhng phương trình còn li ca h.


http://find/


3/69




Đnh nghĩaNghim cơ s ca h phương trình tuyn tính là nghim nhn đưc t nghim tng quát khi cho các bin t do bng 0.


http://find/http://goback/


4/69





Đnh nghĩaNghim cơ s không suy bin là nghim cơ s có tương ng vi nó đúng 1 h bin cơ s. Nghim cơ s suy bin là nghim cơ s có tương ng vi nó nhiu hơn 1 h bin cơ s.


Nh khái i b N hi h h ì h í h

http://find/


5/69





Đnh nghĩaNghim cơ s không suy bin là nghim cơ s có tương ng vi nó đúng 1 h bin cơ s. Nghim cơ s suy bin là nghim cơ s có tương ng vi nó nhiu hơn 1 h bin cơ s.


Nh khái i b N hi h h ì h í h

http://goforward/http://find/http://goback/


6/69


Ví d. Tìm nghim cơ s ca h phương trình

5x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 3

2x 1

+ 2x 2

+ x 3

= 311x 1 + 2x 2 + 10x 3 = 3


Nh khái i ơ b N hi ơ h hươ t ì h t tí h

http://find/


7/69



5x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 3

2x 1

+ 2x 2

+ x 3

= 311x 1 + 2x 2 + 10x 3 = 3

b i x 1 x 2 x 3



http://find/


8/69



5x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 3

2x 1

+ 2x 2

+ x 3

= 311x 1 + 2x 2 + 10x 3 = 3

b i x 1 x 2 x 33 5 2 4



http://find/


9/69



5x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 3

2x 1 + 2x 2 + x 3 = 311x 1 + 2x 2 + 10x 3 = 3

b i x 1 x 2 x 33 5 2 4

3 2 2 1



http://find/


10/69



5x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 3

2x 1 + 2x 2 + x 3 = 311x 1 + 2x 2 + 10x 3 = 3

b i x 1 x 2 x 33 5 2 4

3 2 2 1

3 11 2 10





11/69



5x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 3

2x 1 + 2x 2 + x 3 = 311x 1 + 2x 2 + 10x 3 = 3

b i x 1 x 2 x 33 5 2 4

3 2 2 1

3 11 2 10

→

b i x 1 x 2 x 30 1 0 1

3/2 0 1 −1/2

0 0 0 0



http://find/


12/69



5x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 3

2x 1 + 2x 2 + x 3 = 311x 1 + 2x 2 + 10x 3 = 3

b i x 1 x 2 x 33 5 2 4

3 2 2 1

3 11 2 10

→

b i x 1 x 2 x 30 1 0 1

3/2 0 1 −1/2

0 0 0 0

NCS (0, 3/2, 0)T ng vi

h BCS (x 1, x 2) →



http://find/


13/69

g g p g y


5x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 3

2x 1 + 2x 2 + x 3 = 311x 1 + 2x 2 + 10x 3 = 3

b i x 1 x 2 x 33 5 2 4

3 2 2 1

3 11 2 10

→

b i x 1 x 2 x 30 1 0 1

3/2 0 1 −1/2

0 0 0 0

NCS (0, 3/2, 0)T ng vi

h BCS (x 1, x 2) →

b i x 1 x 2 x 30 1 0 1

3/2 1/2 1 0

0 0 0 0



http://find/


14/69

g g p g y


5x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 32x 1 + 2x 2 + x 3 = 3

11x 1 + 2x 2 + 10x 3 = 3

b i x 1 x 2 x 33 5 2 4

3 2 2 1

3 11 2 10

→

b i x 1 x 2 x 30 1 0 1

3/2 0 1 −1/2

0 0 0 0

NCS (0, 3/2, 0)T ng vi

h BCS (x 1, x 2) →

b i x 1 x 2 x 30 1 0 1

3/2 1/2 1 0

0 0 0 0

NCS (0, 3/2, 0)T ng vi h

BCS (x 2, x 3). →



http://find/


15/69


5x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 32x 1 + 2x 2 + x 3 = 3

11x 1 + 2x 2 + 10x 3 = 3

b i x 1 x 2 x 33 5 2 4

3 2 2 1

3 11 2 10

→

b i x 1 x 2 x 30 1 0 1

3/2 0 1 −1/2

0 0 0 0

NCS (0, 3/2, 0)T ng vi

h BCS (x 1, x 2) →

b i x 1 x 2 x 30 1 0 1

3/2 1/2 1 0

0 0 0 0

NCS (0, 3/2, 0)T ng vi h

BCS (x 2, x 3). →

b i x 1 x 2 x 33 1 2 0

−3 0 −2 1

0 0 0 0TS. Lê Xuân Đi (BK TPHCM) PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH TP. HCM — 2013. 3 / 1


http://find/


16/69


5x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 32x 1 + 2x 2 + x 3 = 3

11x 1 + 2x 2 + 10x 3 = 3

b i x 1 x 2 x 33 5 2 4

3 2 2 1

3 11 2 10

→

b i x 1 x 2 x 30 1 0 1

3/2 0 1 −1/2

0 0 0 0

NCS (0, 3/2, 0)T ng vi

h BCS (x 1, x 2) →

b i x 1 x 2 x 30 1 0 1

3/2 1/2 1 0

0 0 0 0

NCS (0, 3/2, 0)T ng vi h

BCS (x 2, x 3). →

b i x 1 x 2 x 33 1 2 0

−3 0 −2 1

0 0 0 0

NCS (3, 0, −3)T - h BCS (x 1, x 3)


Nhng khái nim cơ bn Phương án cc biên

http://find/


17/69

Phương án cc biên

Đnh nghĩaPhương án cc biên là nghim cơ s ca h ràng buc có tha mãn điu kin v du ca bin.


http://find/


18/69

Nhng khái nim cơ bn Phương án cc biên


19/69

Phương án cc biên

Đnh nghĩaPhương án cc biên là nghim cơ s ca h ràng buc có tha mãn điu kin v du ca bin.

Ví dXét bài toán QHTT vi h ràng buc

x 1 + 3x 2 + 6x 3 + x 4 = 7x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 2x 4 = 6

x j 0, j = 1, 4

Tìm PACB.

4 PACB (4, 1, 0, 0)T , (4, 0, 1/2, 0)T , (0, 0, 1, 1)T , (0, 2, 0, 1)T


Nhng khái nim cơ bn Thut toán tìm PACB

http://find/


20/69

Thut toán tìm PACB





21/69


PACB x 0

đưc xác đnh như sau:x 0B i = b i , i = 1, m, x

0

j = 0, j /∈ B .



http://find/


22/69


PACB x 0


0

j = 0, j /∈ B .

Xét ct v





23/69


PACB x 0


0

j = 0, j /∈ B .

Xét ct v 1. Nu aiv 0, ∀i = i , m thì ta không tìm đưc PACB mi theo hưng này.





24/69


PACB x 0


0

j = 0, j /∈ B .

Xét ct v 1. Nu aiv 0, ∀i = i , m thì ta không tìm đưc PACB mi theo hưng này.2. Nu tn ti ∃aiv > 0 ta xác đnh t s

λr = b r

arv

= minb i

aiv

\∀aiv > 0 .





25/69


PACB x 0


0

j = 0, j /∈ B .


λr = b r

arv

= minb i

aiv

\∀aiv > 0 .T đó ta xác đnh đưc phn t xoay arv và thc hin phép kh vi phnt này ta s thu đưc PACB mi nu λr > 0.





26/69


PACB x 0


0

j = 0, j /∈ B .


λr = b r

arv

= minb i

aiv

\∀aiv > 0 .T đó ta xác đnh đưc phn t xoay arv và thc hin phép kh vi phnt này ta s thu đưc PACB mi nu λr > 0.





27/69

Ví d. Tìm PACB ca h ràng buc

x 1 + 2x 2 + 4x 4 = 4

3x 2 + x 3 + 2x 4 = 3x j 0, j = 1, 4



http://find/


28/69


x 1 + 2x 2 + 4x 4 = 4

3x 2 + x 3 + 2x 4 = 3x j 0, j = 1, 4

b i x 1 x 2 x 3 x 44 1 2 0 4

3 0 3 1 2

PACB (4, 0, 3, 0)T . Xét ct 2,

λ2 = min

4

2, 3

3

= 1,



http://find/


29/69


x 1 + 2x 2 + 4x 4 = 4

3x 2 + x 3 + 2x 4 = 3x j 0, j = 1, 4

b i x 1 x 2 x 3 x 44 1 2 0 4

3 0 3 1 2

PACB (4, 0, 3, 0)T . Xét ct 2,

λ2 = min

4

2, 3

3

= 1,

b i x 1 x 2 x 3 x 42 1 0 −2/3 8/3

1 0 1 1/3 2/3PACB (2, 1, 0, 0)T .

Xét ct 4, λ1 = min

2

8/3,

1

2/3

= 3/4,



http://find/


30/69


x 1 + 2x 2 + 4x 4 = 4

3x 2 + x 3 + 2x 4 = 3x j 0, j = 1, 4

b i x 1 x 2 x 3 x 44 1 2 0 4

3 0 3 1 2

PACB (4, 0, 3, 0)T . Xét ct 2,

λ2 = min

4

2, 3

3

= 1,

b i x 1 x 2 x 3 x 42 1 0 −2/3 8/3

1 0 1 1/3 2/3PACB (2, 1, 0, 0)T .


28/3

, 12/3

= 3/4,

b i x 1 x 2 x 3 x 43/4 3/8 0 −1/4 11/2 −1/4 1 1/2 0

PACB (0, 1/2, 0, 3/4)T



http://find/


31/69


1/2

1/2

= 1,



http://find/


32/69


1/2

1/2

= 1,

b i x 1 x 2 x 3 x 41 8/3 1/2 0 1

1 −1/2 2 1 0PACB

(0, 0, 1, 1)T


Bài toán QHTT dng chu n Đt vn đ

Đt đ

http://find/


33/69

Đt vn đ

Bài toán QHTT dng chun có nghĩa là bài toán có PACB ban đu. Lúcnày bài toán QHTT có dng

f =

n j =1 c j x j → max(min)

x B i + j /∈B

aij x B j = b i , i = 1, m

x j 0, j = 1, n



Đt đ

http://find/


34/69

Đt vn đ


f =


x B i + j /∈B

aij x B j = b i , i = 1, m

x j 0, j = 1, n

vi b i 0 bài toán có PACB ban đu là x 0B i = b i , i = 1, m, x 0 j = 0, j /∈ B .



Đt vn đ

http://find/


35/69

Đt vn đ


f =


x B i + j /∈B

aij x B j = b i , i = 1, m

x j 0, j = 1, n

vi b i 0 bài toán có PACB ban đu là x 0B i = b i , i = 1, m, x 0 j = 0, j /∈ B .


Bài toán QHTT dng chu n Các bưc gii bài toán QHTT bng phương pháp đơn hình

Các bưc gii bài toán QHTT bng phương pháp đơn hình

http://find/


36/69


Bưc 1. Lp bng đơn hình xut phát.




http://find/


37/69


Bưc 1. Lp bng đơn hình xut phát.x B c B PA c 1 c 2 . . . c nx B 1 c B 1 b 1 a11 a12 . . . a1nx B 2 c B 2 b 2 a21 a22 . . . a2n

... ... ... ... ... ...x B m c B m b m am1 am2 . . . amn

f ∆0 ∆1 ∆2 . . . ∆n




http://find/


38/69


Bưc 1. Lp bng đơn hình xut phát.x B c B PA c 1 c 2 . . . c nx B 1 c B 1 b 1 a11 a12 . . . a1nx B 2 c B 2 b 2 a21 a22 . . . a2n

... ... ... ... ... ...x B m c B m b m am1 am2 . . . amn

f ∆0 ∆1 ∆2 . . . ∆n

∆0 =

mi =1 c B i .b i :giá tr hàm mc tiêu ng vi PACB ban đu x

0

.

∆ j =mi =1

c B i .aij − c j : h s ưc lưng.



http://find/


39/69

Bưc 2. Bin lun đi vi bài toán tìm min



http://find/


40/69

Bưc 2. Bin lun đi vi bài toán tìm min1. Nu ∆ j 0, ∀ j thì bài toán có PATƯ.



http://find/


41/69

Bưc 2. Bin lun đi vi bài toán tìm min1. Nu ∆ j 0, ∀ j thì bài toán có PATƯ.2. Nu tn ti v sao cho ∆v > 0 và tn ti aiv > 0 ta s chn ct xoay v và phn t xoay như sau:

λv = min

b i

aiv \∀aiv > 0.

max{∆v .λv \∀∆v > 0.}

T đó ta chn đưc phn t xoay arv và thc hin phép kh đ tìm PACBmi.





42/69


λv = min

b i

aiv \∀aiv > 0.

max{∆v .λv \∀∆v > 0.}


3. Nu phát hin ra ct v mà aiv 0, ∀i = 1, m thì bài toán không cóPATƯ.



http://find/


43/69


λv = min

b i

aiv \∀aiv > 0.

max{∆v .λv \∀∆v > 0.}


3. Nu phát hin ra ct v mà aiv 0, ∀i = 1, m thì bài toán không cóPATƯ.



http://find/


44/69

Bin lun đi vi bài toán tìm max



http://find/


45/69

Bin lun đi vi bài toán tìm max1. Nu ∆ j 0, ∀ j thì bài toán có PATƯ.





46/69

Bin lun đi vi bài toán tìm max1. Nu ∆ j 0, ∀ j thì bài toán có PATƯ.2. Nu tn ti v sao cho ∆v 0 ta s chn ct xoay v và phn t xoay như sau:

λv = min

b i

aiv \∀aiv > 0.

max{|∆v |.λv \∀∆v


47/69


λv = min

b i

aiv \∀aiv > 0.



48/69


λv = min

b i

aiv \∀aiv > 0.



49/69

Ví d. Gii bài toán QHTT

f = 3x 1 + x 2 + 2x 3 + 3x 4 + 2x 5 + 4x 6 → min2x 1 + x 3 + x 4 + 2x 6 = 5

3x 1 + x 2 + 2x 4 + x 6 = 11

x 1 + 2x 4 + x 5 + x 6 = 5x j 0, j = 1, 6

Đáp s: x ∗ = (53

, 83

, 0, 53

, 0, 0), f min = 38

3 .


Bài toán QHTT dng chu n Ví d. Gii bài toán QHTT

x B c B PA 3 1 2 3 2 4

http://find/


50/69

x 3 2 5 2 0 1 1 0 2x 2 1 11 3 1 0 2 0 1x 5

2 5 1 0 0 2 1 1f 31 6 0 0 5 0 3



x B c B PA 3 1 2 3 2 42 5 2 0 1 1 0 2



51/69

x 3 2 5 2 0 1 1 0 2x 2 1 11 3 1 0 2 0 1x 5 2 5 1 0 0 2 1 1f 31 6 0 0 5 0 3

λ1 = min5

2, 113

, 51

=

5

2, λ4 = min

5

1, 112

, 52

=

5

2,

λ6

= min52 ,

11

1 ,

5

1

=

5

2 ,max{∆1.λ1, ∆4.λ4, ∆6.λ6} = max{6.

5

2, 5.5

2, 3.5

2} →

x B c B PA 3 1 2 3 2 4x 1 3 5/2 1 0 1/2 1/2 0 1

x 2 1 7/2 0 1 -3/2 1/2 0 -2x 5 2 5/2 0 0 -1/2 3/2 1 0f 16 0 0 -3 2 0 -3

λ4 = min5/21/2

, 7/21/2

, 5/23/2 =

5

3, max{∆4.λ4} = max{2.

5

3}





52/69

→

x B c B PA 3 1 2 3 2 4x 1 3 5/3 1 0 2/3 0 -1/3 1x 2 1 8/3 0 1 -4/3 0 -1/3 -2

x 4 3 5/3 0 0 -1/3 1 2/3 0f 38/3 0 0 -7/3 0 -4/3 -3

Đáp s: x ∗ = (53

, 83

, 0, 53

, 0, 0), f min = 38

3 .


Bài toán QHTT dng chu n Bài tp

http://find/


53/69

Ví d. Gii bài toán QHTTf = 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 + 8x 4 + x 5 + 6x 6 → min(max)

x 1 + 2x 3 + x 4 = 62x 1 + x 2 + 3x 3 + x 6 = 10

4x 1 + 3x 3 + x 5 + x 6 = 36x j 0, j = 1, 6


Bài toán QHTT dng chu n Bài tp

http://find/


54/69

Ví d. Gii bài toán QHTTf = 2x 1 + 4x 2 + 6x 3 + 8x 4 + x 5 + 6x 6 → min(max)

x 1 + 2x 3 + x 4 = 62x 1 + x 2 + 3x 3 + x 6 = 10

4x 1 + 3x 3 + x 5 + x 6 = 36x j 0, j = 1, 6

Đáp s: x ∗ = (5, 0, 0, 1, 16, 0), f min = 34,x ∗ = (0, 0, 0, 6, 26, 10), f max = 134,


Trưng hp bài toán chưa có dng chu n Đt vn đ

Đt vn đ

http://find/


55/69

Bài toán chưa có dng chun có nghĩa là chưa có PACB ban đu.



Đt vn đ

http://find/


56/69

Bài toán chưa có dng chun có nghĩa là chưa có PACB ban đu. ràng buc nào chưa có bin cơ s thì ta thêm bin cơ s vào. Bin cơ smi thêm vào đưc gi là bin gi.



Đt vn đ



57/69

Bài toán chưa có dng chun có nghĩa là chưa có PACB ban đu. ràng buc nào chưa có bin cơ s thì ta thêm bin cơ s vào. Bin cơ smi thêm vào đưc gi là bin gi.Bin gi phi không âm và h s tương ng vi nó trong hàm mc tiêu làM (đi vi bài toán min) hoc là −M (đi vi bài toán max).



Đt vn đ

http://find/


58/69

Bài toán chưa có dng chun có nghĩa là chưa có PACB ban đu. ràng buc nào chưa có bin cơ s thì ta thêm bin cơ s vào. Bin cơ smi thêm vào đưc gi là bin gi.Bin gi phi không âm và h s tương ng vi nó trong hàm mc tiêu làM (đi vi bài toán min) hoc là −M (đi vi bài toán max).Bài toán dng chun có bin gi đưc gi là bài toán m rng P M .



Đt vn đ



59/69


Dùng phương pháp đơn hình đ gii bài toán m rng P M ta có 2 trưnghp sau:



Đt vn đ

http://find/


60/69


Dùng phương pháp đơn hình đ gii bài toán m rng P M ta có 2 trưnghp sau:1. Trưng hp P M không có PATƯ thì bài toán ban đu P cũng không cóPATƯ.



Đt vn đ

http://find/


61/69


Dùng phương pháp đơn hình đ gii bài toán m rng P M ta có 2 trưnghp sau:1. Trưng hp P M không có PATƯ thì bài toán ban đu P cũng không cóPATƯ.2. Trưng hp P M có PATƯ là x ∗M



Đt vn đ

http://find/


62/69



a. Nu trong x ∗

M có thành phn ng vi bin gi = 0 thì P không có PA,do đó không có PATƯ.



Đt vn đ

http://find/


63/69



a. Nu trong x ∗

M có thành phn ng vi bin gi = 0 thì P không có PA,do đó không có PATƯ.b. Nu trong x ∗M có tt c các thành phn tương ng vi các bin gi đu= 0 thì P có PATƯ chính là x ∗M mà loi đi các thành phn ng vi bingi.



Đt vn đ

http://find/


64/69



a. Nu trong x ∗

M có thành phn ng vi bin gi = 0 thì P không có PA,do đó không có PATƯ.b. Nu trong x ∗M có tt c các thành phn tương ng vi các bin gi đu= 0 thì P có PATƯ chính là x ∗M mà loi đi các thành phn ng vi bingi.


Trưng hp bài toán chưa có dng chu n Ví d. Gii bài toán QHTT


http://find/


65/69

f = 6x 1 + 8x 2 + 9x 3 + 5x 4 + 6x 5 → min2x 1 + x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 6x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 10

x j 0, j = 1, 5

Đáp s: x ∗ = (0, 2, 0, 0, 2), f min = 28.




http://find/


66/69

f = 6x 1 + 8x 2 + 9x 3 + 5x 4 + 6x 5 → min2x 1 + x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 2x 5 = 6x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 + 3x 5 = 10

x j 0, j = 1, 5

Đáp s: x ∗ = (0, 2, 0, 0, 2), f min = 28.

Gii. Bài toán đã cho chưa có dng chun tc là chưa có PACB ban đu,ta lp bài toán m rng P M như sau:

f = 6x 1 + 8x 2 + 9x 3 + 5x 4 + 6x 5 + Mx 6 + Mx 7 → min2x 1 + x 2 + 3x 3 + 4x 4 + 2x 5 + x 6 = 6

x 1 + 2x 2 + x 3 + 2x 4 + 3x 5 + x 7 = 10x j 0, j = 1, 5

Trong đó x 6, x 7 là các bin gi. M > 0 rt ln.



x B c B PA 6 8 9 5 6 M Mx M 6 2 1 3 4 2 1 0

http://find/


67/69

x 6 M 6 2 1 3 4 2 1 0x 7 M 10 1 2 1 2 3 0 1

f 16M 3M-6 3M-8 4M-9 6M-5 5M-6 0 0

λ1 = min{6

2, 101

} = 3, λ2 = min{6

1, 102

} = 5, λ3 = min{6

3, 101

} = 2,

λ4 = min{6

4, 102

} = 3

2, λ5 = min{

6

2, 103

} = 3.

max{3 ∗ (3M − 6), 5 ∗ (3M − 8), 2 ∗ (4M − 9), 32

∗ (6M − 5), 103

∗ (5M − 6)}

Vì M là s rt ln nên ta chn phn t ct 5 và hàng 1 làm phn t xoay. →x B c B PA 6 8 9 5 6 M Mx 5 6 3 1 1/2 3/2 2 1 1/2 0

x 7 M 1 -2 1/2 -7/2 -4 0 -3/2 1f M + 18 -2M M/2-5 -7M/2 -4M+7 0 -5M/2+3 0

Vì M nên ch có M /2 − 5 > 0 nên phn t xoay ct 2,λ2 = min{

3

1/2 , 1

1/2} = 2 và hàng 2



http://find/


68/69

→

x B c B PA 6 8 9 5 6 M Mx 5 6 2 3 0 5 6 1 2 -1x 2 8 2 -4 1 -7 -8 0 -3 2f 28 -20 0 -35 -33 0 -M-12 -M+10

Vy x ∗ = (0, 2, 0, 0, 2), f min = 28.


Trưng hp bài toán chưa có dng chu n Bài tp

http://find/


69/69

Ví d. Gii bài toán QHTTf = 6x 1 + 4x 2 + 6x 3 + 8x 4 + 5x 5 + 4x 6 → min(max)

2x 1 + x 2 + 3x 3 + x 4 + x 5 + 3x 6 = 60x 1 + 2x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 2x 5 + x 6 = 802x 1 + 3x 2 + x 3 + 2x 4 + x 5 + 2x 6 = 50

x j 0, j = 1, 6

Đáp s: x ∗ = (0, 5, 10, 0, 25, 0), f min = 205,x ∗ = (0, 0, 10, 10, 20, 0), f max = 240.

http://find/

phương pháp đơn hình

Documents