phần một tóm tắt lý thuyết 1. t nguyên hàm của (tức là
TRANSCRIPT
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
1
Phần một tóm tắt lý thuyết
I. Tích phân :
1. Định nghĩa : Cho ( )f x là một hàm số, ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x (Tức là
( ) ( )F x f x = . Ví dụ : ( ) ( ) ( )2
2
2ln 4 ,
4
xF x x F x f x
x= − = =
−) và , ,a b C là hằng số. Khi đó :
a) Tích phân bất định : ( ) ( )f x dx F x C= + .
Ví dụ : ( )2 1 11 arcsin s in 2arcsin
2 4x dx x x C− = + + .
b) Tích phân xác định : ( ) ( ) ( ) ( ) , ;
b b
aa
f x dx F b F a x a bF x= = − .
Ví dụ : ( )2
2
3
2
3 5 1 1 3 51 3 ln 2 3 ln
8 2 2 2 2x dx
− = − − + + +
.
2. Tính chất :
a) ( )( ) ( )f x dx f x= (Đạo hàm của tích phân thì được hàm dưới dấu tích phân).
Thật vậy : ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0f x dx F x C F x C f x f x = + = + = + = .
Ví dụ : 1 1
ln lndx
x x
=
.
b) ( )( ) ( )d f x dx f x dx= (Vi phân của tích phân thì được hàm dưới dấu tích phân nhân cho
vi phân của biến lấy tích phân).
Thật vậy : ( )( ) ( )( ) ( )d f x dx f x dx dx f x dx
= = .
Ví dụ : ( )cos cosx xd e xdx e xdx= .
c) ( ) ( )dF x F x C= + (Tích phân của vi phân thì được hàm của vi phân !!!).
Thật vậy : ( ) ( ) ( ) ( )dF x F x dx f x dx F x C= = = + .
Ví dụ : ( )tan tand x x C= + .
3. Công thức : ( )u u x=
1) 1
, 11
uu u dx C
+
= + −+
9) tan ln cosu udx u C = − +
2) 2
udx u C
u
= + 10) cot ln sinu udx u C = +
3) u uu e dx e C = + 11) 2
2ln
udx u u b C
u b
= + +
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
2
Ví dụ :
1) ( )3
2 22sin2 . cos 1 cos 1
3x x dx x C+ = − + + . 9)
sinln cos
cos
x xx
x
e edx e C
e= − + .
2) 2
2
sin 22 sin 1
sin 1
xdx x C
x= − +
− . 10)
22
2
cos 1ln sin
sin 2
x xdx x C
x= + .
3) 2 2sin sinsin2 . x xx e dx e C= + . 11) 2
2
cosln sin sin 1
sin 1
xdx x x C
x= + + +
+ .
4) 2 2
2sin 1 cos 1
1
xx dx x C
x+ = − + +
+ . 12)
2
2arcsin
24
x x
x
e edx C
e
= +
− .
5) 2 2 21
cos sin2
x x xxe e dx e C= + . 13) 2
cos 1 sinarctan
4 sin 2 2
x xdx C
x
= +
+ .
6) ( )1 ln
ln tansin ln 2
xdx C
x x= + . 14)
2
sin 1 cos 2ln
cos 4 4 cos 2
x xdx C
x x
−= − +
− + .
7) ( )
1 ln2ln tan
2 4ln cos ln
xdx C
x x x
= + +
. 15) ( )
32 2
2
11 ln 1
2 21
x xx x x
x
e edx e e e C
e= − + + − +
− .
8) ( )2
sin .cos 1ln cos 1
cos 1 2
x x xx
x
e e edx e C
e= − + +
+ . 16) ( )2 2 211 1 ln 1
2 2
xx x x x xe
e e dx e e e C− = − − + + − + .
4. Phương pháp giải :
a) Đổi biến : ( ) ( )( ) ( )f x dx f x t x t dt= . ( ) ( )( ) ( )b
a
f x dx f x t x t dt
= .
b) Từng phần : udv vu vdu= − . b b
b
a
a a
udv vu vdu= − .
Vấn đề đặt ra ở đây là khi nào thì ta dùng dổi biến và khi nào thì ta dùng từng phần khi
nhìn vào đề bài mà người ta ra??.
Ta dùng đổi biến khi ta thấy các hàm dưới dấu tích phân có liên quan với nhau. Tức là
khi thấy hàm này là kết quả của đạo hàm của hàm kia và ngược lại thì ta đặt t bằng hàm mà
4) sin cosu udx u C = − + 12) 2 2
arcsin , 0u u
dx C aaa u
= +
−
5) cos sinu udx u C = + 13) 2 2
1arctan , 0
u udx C a
u a a a
= +
+
6) ln tansin 2
u udx C
u
= +
14)
2 2
1ln
2
u u adx C
u a a u a
−= +
− +
7) ln tancos 2 4
u udx C
u
= + +
15) ( )
22 2
2
11 ln 1
2 21
u u udx u u u C
u
= − + + − +
−
8) lnu
dx u Cu
= + 16) ( )2 2 21
1 1 ln 12 2
uu u dx u u u C − = − − + − +
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
3
đạo hàm của nó bằng hàm kia. Ngược lại thì ta sử dụng từng phần hoặc một vài phương pháp
khác để đưa về đổi biến hoặc từng phần.
Ví dụ :
+ ln x
dxx .
Ta thấy nếu lấy đạo hàm của hàm ln x thì ta được 1
x. Như vậy đây là bài toán áp dụng
phương pháp đổi biến.
Đặt 1
lnt x dt dxx
= = .
Khi đó 2 2ln ln
2 2
x t xdx tdt C C
x= = + = + .
?) Nếu đề bài là 2
ln xdx
x thì các anh (chị) làm như thế nào! Từng phần hay đổi biến!
Đáp số : 2
ln ln 1x xdx C
x x x= − − + .
?) Cho 2
sin
cos
xI dx
x= . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) ln cosI x C= + . b) tanI x C= + . c) 1
cosI C
x= − + . d)
1
cosI C
x= + .
+ 2
3
2 2
1 tan tantan 1 tan tan ln cos
cos cos 2
x xxdx xdx dx xdx x C
x x
= − = − = + +
.
?) Cho 2
sin
cos 1
xI dx
x=
+ . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 2cos 1I C= + + . b) 2ln cos cos 1I x x C= + + + . c) 2ln cos cos 1I x x C= − + + + .
d) ( )21ln cos 1
2I x C= + + .
+ lnx xdx .
Ta thấy nếu lấy đạo hàm của hàm ln x thì ta được 1
xx nên đây là bài tập sử dụng
phương pháp từng phần.
Ta đặt 2
1
ln
2
du dxu x x
dv xdx xv
==
= =
.
Khi đó 2 2 2 21
ln ln ln2 2 2 4
x x x xx xdx x dx x C
x= − = − + .
?) Cho 2
s in2
cos 1
xI dx
x=
− . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
4
a) 2cos 1
2
xI C
−= − + . b)
2cos 1
2
xI C
−= + . c) 2cos 1I x C= − − + . d) 22 cos 1I x C= − − + .
+ 3
2 1
xdx
x − .
Cách 1 : Dùng phương pháp đổi biến. 3
2
2 21 1
x xx
x x=
− −. Như thế nếu ta đặt 2 2 2
21 ; 1
1
xt x dt dx x t
x= − = = +
−.
Khi đó ( )( )
32
3 32 2
2
11 1
3 31
xx tdx t dt t C x C
x
−= + = + + = + − +
− .
Cách 2 : Dùng phương pháp từng phần.
Đặt
2
2
2
2
11
u xdu xdx
xdv dx v x
x
==
= = −
−
.
Khi đó ( )3
32 2 2 2 2 2
2
21 2 1 1 1
31
xdx x x x x dx x x x C
x= − − − = − − − +
− .
Cách 3 : Dùng phương pháp thêm bớt.
( )23 32
2 2 2 2 2
11
1 1 1 1 1
x xx x x x x xdx dx dx dx x x dx dx
x x x x x
−− += = + = − +
− − − − − .
Vậy ( )
32
32
2
11
31
xxdx x C
x
−= + − +
− .
?) Nếu đề bài cho là 3 2
1
1dx
x x− thì các anh (chị) làm như thế nào!
Đáp số : 2 2
23 2 2
1 1 1 1 1 1ln
4 21 1 1
x xdx C
xx x x
− − −= − +
− − + hoặc
( )
( )23 2
cos arcsin1 1 sin 1ln tan
2 2 2 sin arcsin1
xarc xdx C
xx x= − +
− .
?) Cho 2
1
lnI dx
x x= . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) ln lnI x C= + . b) 1
ln ln2
I x C= + . c) 1
2lnI C
x= + . d)
1
lnI C
x= − + .
+ 2
1
1dx
x − .
Cách 1 :
Đặt ( )2 2
2 2 2
1 1 11 1 1
1 1 1
xt x x dt dx x x dx dx dt
tx x x
= + − = + = − + =
− − − .
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
5
Khi đó ( )2
2
1 1ln ln 1
1dx dt t C x x C
tx= = + = + − +
− .
Cách 2 :
Đặt 2
1 sin
cos cos
tx dx dt
t t= = .
Khi đó 2 22 2
2
1 1 sin 1 sin 1
cos cos cos11 tan1
cos
t tdx dt dt dt
t t tx t
t
= = =−
− .
Đặt 2
2 2
2 1tan arctan 2arctan ;cos
2 2 1 1
t t kk k t k dt dk t
k k
−= = = = =
+ +.
2 2 2 2
2
1 1 2 2 2 1 1 1ln
1cos 1 1 1 1 1 1
1
kdt dk dk dk C
kt k k k k k k
k
− + = = = = − = +
− + − − + − −
+
.
Vậy 2
1arccos
tan 12
1ln
11 arccos
tan 12
x
dx Cx
x
+ = + −
−
hoặc 2
1arccos
1ln tan
2 41
xdx Cx
= + + −
.
Vì
sin2 1
sintan 1 cos sin cos1 2 42 2 2 2ln ln ln ln
costan 1 sin sin cos cos
2 2 2 2 2 41
cos2
x
xx x x x
dx C C C Cx x x x xx
x
+
++ + = + = + = + = +
− − + −
.
?) Nếu đề bài cho là 2
1
1dx
x + thì các anh (chị) sẽ đổi biến như thế nào ở cách 2!
Đáp số : 2
1 arctanln tan
2 41
xdx C
x
= + +
+ .
?) Cho 2 1
x
x
eI dx
e=
− . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 2 1xI e C= − + . b) 2arctan 1xI e C= − + . c) ( )2ln 1x xI e e C= + − + . d) 2 1
2
xeI C
−= + .
?) Cho 2
1
1xdx
e − . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 2 1xI e C= − + . b) 2arctan 1xI e C= − + . c) ( )2ln 1x xI e e C= + − + . d) 2 1
2
xeI C
−= + .
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
6
+ 2 1x dx− .
Cách 1 :
Đặt 2
211
xdu dxu x
xdv dx
v x
= = −
− = =
.
2 22 2 2 2 2
2 2 2
1 1 11 1 1 1 1
1 1 1
x xx dx x x dx x x dx x x x dx dx
x x x
− +− = − − = − − = − − − −
− − −
Khi đó ( )2 2 211 1 ln 1
2 2
xx dx x x x C− = − − + − + .
Cách 2 :
Đặt 2
1 sin
cos cos
tx dx dt
t t= = .
Khi đó 2 2
2 2
2 2 2 3 3
1 sin sin sin 1 cos1 1. tan .
cos cos cos cos cos
t t t tx dx dt t dt dt dt
t t t t t
−− = − = = = .
( )24 2
cos 1 cosln tan
cos cos 2 41 sin
t t tdt dt dt
t t t
− = − +
− .
Đặt sin cosk t dk tdt= = .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2 222 2 2 2 2
cos 1 1 1 1 1ln
1 2 11 sin 1 1 1 1
t k k k k kdt dk dk dk dk dk
k kt k k k k
− + += = = + = +
− −− − − − − .
Đặt
( )2
2 2
1 1
1 2 1
u k du dk
kdv dk v
k k
= =
= = − −
.
( )
2
2 2 2 22
1 1 1 1 1 1ln
2 1 2 1 2 1 4 11
k k k kdk dk C
k k k kk
+= − = − +
− − − −− .
Vậy 2
2
1 11 sin arccos sin arccos 1arccos1 1
1 ln tan ln1 12 4 2 4
1 sin arccos sin arccos 1
x xxx dx C
x x
+ − = − + + + + − −
.
?) Nếu đề bài cho là 2 1x xe e dx− thì các anh (chị) làm như thế nào!
Đáp số : ( ) ( )5 3
2 2 21 1 1
5 3
x x x xe e dx e e C− = − + − + .
?) Cho ( )
221
x
x
eI dx
e=
− . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 2
1
1 xI C
e= − +
−. b)
2
3 1 1ln .
4 1 2 1
x x
x x
e eI C
e e
−= + +
+ −. c)
2
1 1.
2 1 xI C
e= − +
−. d) ( )21
ln 12
xI e C= − + .
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
7
+ 2
2 1
xdx
x − .
Cách 1 :
Đặt 2
2 11
u xdu dx
xdv dx v x
x
==
= = −
−
.
( )2
2 2 2 2 2
2
11 1 1 1 ln 1
2 21
x xdx x x x dx x x x x x C
x= − − − = − − − + + − +
− .
Khi đó ( )2
2 2
2
11 ln 1
2 21
x xdx x x x C
x= − + + − +
− .
Cách 2 :
( )2
2 2 2
2 2
1 1 1 11 1 ln 1
2 21 1
x xdx x dx dx x x x C
x x
− += − + = − + + − +
− − .
Cách 3 :
Đặt 2
1 sin
cos cos
tx dx dt
t t= = .
Khi đó :
( ) ( )
2 2 22
2 22 32 2 2
2
1
sin 1 cos cos cos .sin cos .sincos
cos cos11 1 sin 1 sin1cos
x t t t t t t ttdx dt dt dt dtt tx t t
t
− += = = =
− − −− .
( ) ( )
2 2
2 22 2 2
cos cos .sin 1 sin 1 cos .sinln
1 sin 2 sin 11 sin 1 sin
t t t t t tdt dt dt
t tt t
++ = +
− −− − .
Đặt
( )2
2 2
sin cos
cos sin 1 1
1 sin 2 1 sin
u t du tdt
t tdv dt v
t t
= =
= = − −
.
( )
2
2 2 2 22
cos .sin 1 sin 1 cos 1 sin 1 sin 1ln
2 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 4 sin 11 sin
t t t t t tdt dt C
t t t tt
+= − = + +
− − − −− .
Vậy 2
22
1 1sin arccos sin arccos 1
1 3ln
1 12 41 1 sin arccos sin arccos 1
x x xdx C
xx x
−
= + + − − +
.
?) Nếu đề bài cho là 3
21
x
x
edx
e+ thì các anh (chị) làm như thế nào!
Đáp số : ( )3
2 2
2
11 ln 1
2 21
x xx x x
x
e edx e e e C
e= + + + + +
+ .
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
8
?) Cho tan
cos 1
xI dx
x=
− . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) arctan cos 1I x C= − + . b) arctan cos 1
2
xI C
−= + . c) 2arctan cos 1I x C= − − + .
d) arctan cos 1I x C= − − + .
+ 2
1
1x x − .
Cách 1 :
Đặt 2 2 2
21 ; 1
1
xt x dt dx x t
x= − = = +
−.
2
22 2 2
1 1arctan arctan 1
11 1
xdx dx dt t C x C
tx x x x= = = + = − +
+− − .
Cách 2 : 2 2 2 2
2
2 2 2
1 1 1 11
1 1 1
x x x x xdx dx dx dx dx x
x xx x x x x
− − − −= − = − + = − + −
− − − .
Đặt 2
1 sin
cos cos
tx dx dt
t t= = .
Khi đó :
2 2 2 22
2 2 2 2
11
1 sin tan sin 1 cos 1cossin
1 cos cos cos cos cos
cos
x t t t ttdx dt tdt dt dt dt dt
x t t t t t
t
−− −
= = = = = − .
2 1 1 1tan tan arccos arccos
xdx t t C C
x x x
− = − + = − +
.
Vậy 2
2
1 1 11 tan arccos arccos
1dx x C
x xx x
= − − + +
− .
Hoặc đặt 2 2 2
21 , 1
1
xt x dt dx xdx tdt x t
x= − = = = +
−.
Khi đó : 2 2 2 2
2 2
2 2 2
1 1 1 1arctan 1 arctan 1
1 1
x x x t tdx dx dt dt t t C x x C
x x t t
− − + −= = = = − + = − − − +
+ + .
Vậy 2
2
1arctan 1
1dx x C
x x= − +
− .
?) Nếu đề bài cho là 2
1
1dx
x x + thì các anh (chị) làm như thế nào!
Đáp số : Cách 1 : 2
2 2
1 1 1 1ln
21 1 1
xdx C
x x x
+ −= +
+ + + . Cách 2 :
2
1ln tan
21
xdx C
x x= +
+ .
Hướng dẫn thêm 1
sindx
x .
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
9
Đặt 2 2
2 2tan 2arctan ,sin
2 1 1
x tt x t dx dt x
t t= = = =
+ +.
Khi đó 2
2
1 1 2 1ln ln tan
2sin 1 2
1
xdx dt dt t C C
tx t t
t
= = = + = ++
+
.
?) Cho 2
sin
3 sin
xI dx
x=
− . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) ( )1
arctan cos2
I x C= + . b) 1 cos
arctan2 2
xI C
= − +
. c)
1 cos 2ln
2 cos 2
xI C
x
−= +
+.
d) 1 cos 2
ln4 cos 2
xI C
x
−= − +
+.
?) Cho 2
sin
3 sin
xI dx
x=
+ . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) ( )1
arctan cos2
I x C= + . b) 1 cos
arctan2 2
xI C
= − +
. c)
1 cos 2ln
2 cos 2
xI C
x
−= − +
+.
d) 1 cos 2
ln4 cos 2
xI C
x
−= +
+.
+ 2 2
1
1dx
x x − .
Đặt 2
1 sin
cos cos
tx dx dt
t t= = .
Khi đó :
22 2 2
2 2
1 1 sin sin 1cos sin sin arccos
cos1 11 tan1
cos cos
t tdx dt dt tdt t C C
t xx x t
t t
= = = = + = +
−−
.
?) Nếu đề bài cho là 2 2
1
1dx
x x + thì các anh (chị) làm như thế nào!
Đáp số : ( )22 2
1 cos 1
sin sin arctan1
tdx dt C
t xx x= = − +
+ .
?) Cho sin
2sin
cos
1
x
x
e xI dx
e=
− . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) ( )2sinarctan 1 xI e C= − + . b) ( )sin 2sinln 1x xI e e C= + − + . c) ( )sinarcsin xI e C= + .
d) ( )2sinarcsin xI e C= + .
?) Cho sin
2sin
cos
1
x
x
e xI dx
e=
− . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) ( )2sinarctan 1xI e C= − + . b) ( )sin 2sinln 1x xI e e C= + − + . c) ( )sinarcsin xI e C= + .
d) ( )2sinarcsin xI e C= + .
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
10
+ 3 2
1
1dx
x x − .
Đặt 2 2 2
21 ; 1
1
xt x dt dx x t
x= − = = +
−.
Khi đó ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 223 2 4 2 2 2 2
1 1 1 1
11 1 1 1 1
x t t tdx dx dt dt dt dt
tx x x x t t t
+ −= = = = −
+− − + + + .
Đặt
( )2
2 2
1 1
1 2 1
u t du dt
tdv dt v
t t
= =
= = − + +
.
Khi đó ( )
2
2 2 2 22
1 1 1 1 1arctan
2 1 2 1 2 1 21
t t tdt dt t C
t t tt= − + = − + +
+ + ++ .
Vậy 2
2
2 23 2
1 1 1 1 1 1arctan arctan 1
2 1 2 2 21
t xdx t C x C
t xx x
−= + + = + − +
+− .
?) Nếu đề bài cho là 3 2
1
1dx
x x + hoặc
2
3
1xdx
x
− hoặc
2
3
1xdx
x
+ thì các anh (chị) làm
như thế nào!
Đáp số : 2 2
23 2 2
1 1 1 1 1 1ln
4 21 1 1
x xdx C
xx x x
+ − += + +
+ + + .
2 22
3 2
1 1 1 1arctan 1
2 2
x xdx x C
x x
− −= − + − + .
2 2 2
3 2 2
1 1 1 1 1 1ln
2 4 1 1
x x xdx C
x x x
+ + + −= − + +
+ + .
?) Cho ( )
cos
1 sin sin
xI dx
x x=
− . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) ( )arctan 1 sinI x C= − + . b) 2arcsin 1 sinI x C= − − + . c) ( )ln sin 1 sinI x x C= + − + .
d) ln 1 sinI x C= − + .
?) Cho ( )
cos
sin 1 sin
xI dx
x x=
− . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) ( )2arctan sin 1I x C= − + . b) 2arcsin sin 1I x C= − + . c) ( )ln sin sin 1I x x C= + − + .
d) ln sin 1I x C= − + .
+ 2
2
1xdx
x
− .
Cách 1 : Đặt
2
2
2
11
11
xdu dxu x
x
dv dxvx
x
= = − −
= = −
.
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
11
Khi đó ( )2 2 2
2
2 2
1 1 1 1ln 1
1
x x xdx dx x x C
x x xx
− − −= − + = − + + − +
− .
Cách 2 : Đặt 2
1 sin
cos cos
tx dx dt
t t= = .
Khi đó 2 2 22
2 2
2
11
1 sin sin 1 coscosln tan sin
1 cos cos cos 2 4
cos
x t t t ttdx dt dt dt t C
x t t t
t
−
− − = = = = + − +
.
Vậy 2
2
1arccos
1 1ln tan sin arccos
2 4
x xdx Cx x
−
= + − +
.
?) Nếu đề bài cho là 2
2
1xdx
x
+ thì các anh (chị) đổi biến như thế nào!
Đáp số : ( )
2
2
1 1 arctanln tan
sin arctan 2 4
x xdx C
x x
+ = − + + +
.
?) Cho 21
x
x
eI dx
e=
− . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) ( )2ln 1x xI e e C= + − + . b) 211
2
xI e C= − + . c) ( )arcsin xI e C= + . d) ( )1
arcsin2
xI e C= + .
?) Cho 2
1
x
x
eI dx
e=
− . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 2 1 xI e C= − + . b) ( )3
1 12
x x xI e e e C= − − − + . c) ( )3
2 1 3 1x x xI e e e C= − − − − + .
d) 4
2 1 13
x x xI e e e C= − − − − + .
+ 1
1
xdx
x
−
+ .
Đặt ( )
22
22 2
1 1 1 4
1 1 1 1
x x t tt t x dx dt
x x t t
− − += = = − =
+ + − −.
Khi đó ( )
2
22
1 4
1 1
x tdx dt
x t
−=
+ − .
Đặt
( )2
2 2
2 2
2 1
1 1
u t du dt
tdv dt v
t t
= =
= = − − −
.
Khi đó ( )
2
2 2 2 22
4 2 2 2 1ln
1 1 1 11
t t t tdt dt C
t t t tt
−= − + = − + +
− − − +− .
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
12
Vậy ( )1 1 1 1
1 ln1 1 1 1
x x x xdx x C
x x x x
− − − − += + + +
+ + − + + .
?) Nếu đề bài cho là 2
2
1 1
1
xdx
x x
−
+ hoặc 2
3 2
1 1
1
xdx
x x
−
+ thì các anh (chị) làm như thế nào!
Đáp số : 2 2 2 2
2 22 2
1 1 1 1 1 1ln arctan
1 2 11 1
x x x xdx C
x x xx x
− − − + −= − − +
+ +− + + .
2 2 2 2
3 2 2 2 2
1 1 1 1 1. arctan
1 1 2 1
x x x xdx C
x x x x x
− − + −= − + +
+ + + .
?) Cho 1
1 xI dx
e=
+ . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 1 1
ln1 1
x
x
eI C
e
+ −= +
+ +. b) arctan 1 xI e C= + + . c) ( )ln 1x xI e e C= + + + .
d) 1 1 1
ln2 1 1
x
x
eI C
e
+ −= +
+ +.
?) Cho 1
4 xI dx
e=
− . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 1 4 2
ln2 4 2
x
x
eI C
e
− −= − +
− +. b) arctan 4 xI e C= − + . c) ( )ln 4x xI e e C= + − + .
d) 1 4 2
ln4 4 2
x
x
eI C
e
− −= +
− +.
?) Cho 1
1xI dx
e=
− . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 1 1
2ln1 1
x
x
eI C
e
− −= +
− +. b) 2arctan 1xI e C= − + . c) ( )ln 1x xI e e C= + − + .
d) 1 1
ln1 1
x
x
eI C
e
− −= +
− +.
+ 2
2
1.
1
xxdx
x
−
+ .
Đặt ( )
2 2 22 2
22 2 2 2
1 1 1 42
1 1 1 1
x x t tt t x xdx dt
x x t t
− − += = = − =
+ + − −.
Khi đó ( )
2 2
22 2
1 2.
1 1
x txdx dt
x t
−=
+ − .
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
13
Đặt
( )2
2 2
2 1
1 1
u t du dt
tdv dt v
t t
= =
= = − − −
.
Vậy 2 2 2 2
2 2 2 2 2
1 1 2 1 1 1. . ln
1 1 1 2 1 1
x x x xxdx C
x x x x x
− − − − += + +
+ + + − + + .
?) Nếu đề bài cho là 2
3
2
1.
1
xx dx
x
+
− thì các anh (chị) làm như thế nào!
Đáp số : ( )2 2 2 2 2
3 2 2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1. 1 ln
1 4 1 2 1 4 1 1
x x x x xx dx x x C
x x x x x
+ + + + − −= + − − +
− − − + + − .
?) Nếu đề bài cho là 1
1
x
x
edx
e
+
− thì các anh (chị) làm như thế nào!
Đáp số 1 1 1 1
2arctan ln1 1 1 1
x x x x
x x x x
e e e edx C
e e e e
− − − − += − − +
+ + − + + .
?) Cho 2 1
x
x
eI dx
e=
− . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 1 1
ln2 1
x
x
eI C
e
−= +
+. b) ( )2ln 1xI e C= − + . c)
2
1
1xI C
e= − +
−. d)
1 1ln
2 1
x
x
eI C
e
+= +
−.
?) Cho 2 1
x
x
eI dx
e=
− . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 2arctan 1xI e C= − + . b) ( )2ln 1x xI e e C= + − + . c) 2 1xI e C= − + . d) ( )21ln 1
2
xI e C= − + .
+ 2
s in4
cos 1
xdx
x + .
Đặt 2
2
cos 22sin 2
s in22 cos 1
cos 1
u xdu xdx
xdv dx v x
x
== −
= = − +
+
.
Khi đó : 2 2
2 2
sin4 cos 2 .s in22 4cos 2 . cos 1 8 sin2 . cos 1
cos 1 cos 1
x x xdx dx x x x x dx
x x= = − + − +
+ + .
Vậy ( )3
2 2
2
s in4 164cos 2 . cos 1 cos 1
3cos 1
xdx x x x C
x= − + + + +
+ .
?) Nếu đề bài cho là 2
s in4
sin 1
xdx
x + hoặc
s in4
cos 2 1
xdx
x − thì các anh (chị) làm như thế nào!
Đáp số :
( )32
2
sin4 4 24cos 2 . sin 1 3 cos 2
3sin 1
xdx x x x C
x= + + − +
+ .
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
14
( )3s in4 4
2cos 2 . cos 2 1 cos 2 13cos 2 1
xdx x x x C
x= − − + − +
− .
?) Cho ( )
22
sin
cos 1
xI dx
x=
+ . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) ( )2
1
2 cos 1I C
x= − +
+. b) ( ) 2
1 1 cosarctan cos
2 2 cos 1
xI x C
x= − − +
+. c) ( )arctan cosI x C= − + .
d) ( )2ln cos 1I x C= − + + .
?) Cho ( )
22
sin 2
cos 1
xI dx
x=
+ . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) ( )2
1
2 cos 1I C
x= − +
+. b)
2
1
cos 1I C
x= +
+. c) ( )tan cosI arc x C= − + .
d) ( )2ln cos 1I x C= − + + .
?) Cho 2
sin
cos 1
xI dx
x=
+ . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) ( )2
1
2 cos 1I C
x= − +
+. b) ( )
1arctan cos
2I x C= − + . c) ( )arctan cosI x C= − + .
d) ( )2ln cos 1I x C= − + + .
?) Cho ( )2tan
x
x
eI dx
e= . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) ( )cot x xI e e C= − − + . b) ( )cot x xI e e C= + + . c) 1
tan xI C
e= − + . d) ( )
( )1
tantan
x
xI e C
e= + + .
?) Cho 2sin
x
x
eI dx
e= . Hỏi kết quả nào đây đúng!
a) ( )cot x xI e e C= − − + . b) ( )cot x xI e e C= + + . c) 1
tan xI C
e= − + . d) ( )
( )1
tantan
x
xI e C
e= + + .
?) Cho 2tanx xI e e dx= . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) ( )cot x xI e e C= − + + . b) ( )tan x xI e e C= − + . c) 1
tan xI C
e= − + . d) ( )
( )1
tantan
x
xI e C
e= + + .
?) Nếu đề bài cho là 2cos 1.sinx xdx+ thì các anh (chị) làm như thế nào!
Đáp số 2 2 21 1cos 1.sin cos 1.cos ln cos cos 1
2 2x xdx x x x x C+ = − + − + + + .
?) Nếu đề bài cho là ( )
22
cos
2 cos
xdx
x− thì các anh (chị) làm như thế nào!
Đáp số ( )
( )2 22
cos 1 1 sinarctan sin
2 2 sin 12 cos
x xdx x C
xx= + +
+− .
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
15
+ ( )
1 2
22
0 1
xdx
x + .
Đặt
( )2
2 2
1 1
1 2 1
u x du dx
xdv dx v
x x
= =
= = − + +
.
Khi đó ( )
1 11 12
2 2 220 00 0
1 1 1 1 1 1arctan
2 1 2 1 4 2 4 81
x xdx dx x
x xx
= − + = − + = − +
+ ++ .
?) Nếu đề bài cho là ( )
3 2
22
2 1
xdx
x − hoặc
( )
1 3
22
0 1
xdx
x + thì các anh (chị) làm như thế nào!
Đáp số : ( )
3 2
22
2
7 1ln 2
48 41
xdx
x= −
− .
( )
1 3
22
0
1 1ln 2
4 21
xdx
x= − +
+ .
?) Cho
2
2
1
ln
e
e
I dxx x
= . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 1
2I = . b)
1
2I = − . c) 2 . d) 2I = − .
+
1ln3
2
0
arctan x
x
edx
e .
Đặt 2
arctan1
11
xx
x
xx
eu e du dx
e
dv dxve
e
= = +
= = −
.
Khi đó
1 1 11ln3 ln3ln322 2 22
2 2
0 0 00
arctan arctan 11
1 4 13 3
x x x
x x x x
e e edx dx dx
e e e e
= − + = − + + −
+ + .
Với ( )
11ln3
ln322 1 2ln3 22
2 000
1 1 11 ln 1 ln 3
1 2 2 2
xx
x
edx x e
e
− = − + = +
+ .
Vậy
1ln3
2
0
arctan 1 1ln 3 ln 2
4 2 23 3
x
x
edx
e
= − + + + .
?) Nếu đề bài cho là
1ln3
2
2
0
arctan x
x
edx
e thì các anh (chị) làm như thế nào!
Đáp số
1ln3
2
2
0
arctan 7 3 11
18 8 3
x
x
edx
e
= − + + − .
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
16
?) Cho ( )2
1
1
1 ln
e
I dxx x
=+
. Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 4
I
= . b) 4
I
= − . c) 3
I
= . d) 6
I
= .
?) Cho 2
1
1
1 ln
e
I dxx x
=+
. Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 1 ln 2I = + . b) ( )ln 1 2I = + . c) 1
ln 22
I = . d) ( )ln 1 2I = − + .
+ ( )
22
1
1
1 ln
e
dxx x+ .
Cách 1 : Đặt 1
ln , 1 0, 1t x dt dx x t x e tx
= = = = = = .
Khi đó :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1 12 2 2 21
2 2 2 2 22 02 2 2 2 21 0 0 0 0 0
1 1 1 1arctan
11 ln 1 1 1 1
et t t t
dx dt dt dt dt t dttx x t t t t
+ −= = = − = −
++ + + + + .
Đặt
( )2 2
1 1
1 2 1
u t du dt
tdv dt v
t t
= =
= = − + +
.
( )
1 11 12
2 2 220 00 0
1 1 1 1 1 1arctan
2 1 2 1 4 2 4 81
t tdt dt t
t tt
= − + = − + = − +
+ ++ .
Vậy ( )
22
1
1 1
4 81 ln
e
dxx x
= +
+ .
Cách 2 :
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 222 2 21 1 1 1
1 1 ln ln 1 ln
1 ln1 ln 1 ln 1 ln
e e e ex x x
dx dx dx dxx xx x x x x x
+ −= = −
++ + + .
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 212 2 21 1 1
1 ln lnarctan ln
41 ln 1 ln 1 ln
e e ee x x
dx x dx dxx x x x x x
= − = −
+ + + .
Đặt
( )2
2
2
1ln
ln1 1
1 ln2 1 ln
u x du dxxx
dv dxvx x
x
= = =
= −+ +
.
Khi đó ( ) ( )2 2 22
1 11 1
1 1 ln 1 1 1 1 1arctan ln
4 2 1 ln 2 4 4 2 8 41 ln1 ln
e ee ex
dx dx xx x xx x
= + − = + − = +
+ ++ .
?) Nếu đề bài cho là 2
21
1
1 lndx
x x− thì các anh (chị) làm như thế nào!
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
17
Đáp số ( )2
21
1arcsin ln 2
1 lndx
x x=
− .
?) Cho ( )
2
2
ln
1 ln
e
e
xI dt
x x=
+ . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 1 2
ln2 5
I = . b) 1 5
ln2 2
I = . c) 2
ln5
I = . d) 5
ln2
I = .
?) Cho ( )
22
1
ln
1 ln
ex
I dxx x
=+
Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 1
4I = . b)
1
4I = − . c) 4I = . d) 4I = − .
+ ( )
3
2
arctan ln
ln
e
e
xdx
x x .
Đặt ( ) ( )2
2
1arctan ln
1 ln1
1ln
ln
du dxu xx x
dv dxvx x
x
== +
=
= −
.
Khi đó
( ) ( )
( )
33 3 3
2 22
arctan ln arctan ln 1 1 1 ln
ln ln 4 ln 1 ln1 ln ln 3 3
ee e e
e e ee
x x xdx dx dx
x x x x x xx x x
= − + = − + + −
++ .
( )( ) ( )
33
2
2
arctan ln 1 1ln ln ln 1 ln ln 3 ln 2
ln 4 2 4 23 3 3 3
ee
e e
xdx x x
x x
= − + + − + = − + + −
.
?) Nếu đề bài cho là 3
3
1
arctan xdx
x thì các anh (chị) làm như thế nào!
Đáp số 3
3
1
arctan 1 1
36 22 3
xdx
x
= − + .
?) Cho 3
1
arctanI xdx= . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 3 1
ln 23 4 2
I
= − − . b) 3 1
ln 23 4 2
I
= + − . c) 3 1
ln 23 4 2
I
= + + . d) 3 1
ln 23 4 2
I
= − + .
+ ( )
1ln 2
2
ln 2
arcsin x
x
edx
e
−
−
.
Đặt ( )
2arcsin
11
1
x
x
x
xx
edu dxu e
e
dv dxve
e
== −
= = −
.
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
18
Khi đó ( ) ( )
11 1 1ln 2ln 2 ln 2 ln 222 2 2
2 2ln 2 ln 2 ln 2
ln 2
arcsin arcsin 1 1
121 1
x x
x x x x
e edx dx dx
e e e e
−− − −
− − −−
= − + = − +− −
.
Đặt 2
2 2 2
22
3 1 21 , 1 , ln 2 , ln 2
1 2 2 21
xx x
x
e tt e dt dx dx dt e t x t x t
te= − = − = − = − = − = = − =
−−.
Khi đó
1 2 3 3ln 22 2 2 2
2 22 2ln 2 3 2
22 2
1 1 1 1 1 1 3 2 1 2 2. ln ln ln1 1 2 1 2 23 2 2 21 x
t tdx dt dt
t t t te
−
−
− − −= − = − = − = − +
− − + + +− .
Vậy ( )
1ln 2
2
ln 2
arcsin 1 3 2 1 2 2ln ln
12 2 23 2 2 2
x
x
edx
e
−
−
− −= − − +
+ + .
?) Nếu đề bài cho là
2
2
2
1
2
arcsin xdx
x thì các anh (chị) làm như thế nào!
Đáp số
2
2
2
1
2
arcsin 1 3 2 1 2 2ln ln
3 2 22 2 3 2 2 2
xdx
x
− −= − + − +
+ + .
?) Cho 2
1
1 lne
xI dx
x
−= . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 4
I
= − . b) 2
I
= . c) 2
I
= − . d) 4
I
= .
+
2
2
3
1
2
arcsin xdx
x .
Đặt 2
3
2
1arcsin
11
1
2
du dxu xx
dv dxvx
x
== −
= = −
.
Khi đó
2 2 22
2 2 22
3 2 2 2 2 211 1 1
22 2 2
arcsin arcsin 1 1 1 1
2 2 4 3 21 1
x xdx dx dx
x x x x x x
= − + = − + +
− − .
Đặt 1 2
sin cos , ,2 6 2 4
x t dx tdt x t x t
= = = = = = .
Khi đó
2
2 4 44
22 2 2 21
62 6 6
1 1 1 1 1 1 1 1 3cos cot
2 2 2 sin 2 2 21 sin . 1 sindx tdt dt t
tx x t t
= = = − = − +− −
.
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
19
Vậy
2
2
3
1
2
arcsin 3 1
12 2
xdx
x
−= + .
?) Nếu đề bài cho là 2
1
1 lne
xdx
x
+ thì các anh (chị) làm như thế nào!
Đáp số : ( )2
1
1 ln 2 1ln 1 2
2 2
ex
dxx
+= + + .
?) Cho 2
1
1 lne
xI dx
x
−= . Hỏi kết quả nào sau đây đúng!
a) 4
I
= − . b) 2
I
= . c) 4
I
= . d) 2
I
= − .
+ ( )2
1
arcsin ln
ln
e
e
xdx
x x .
Đặt ( )
2
2
1arcsin ln
1 ln1
1ln
ln
du dxu xx x
dvvx x
x
== −
= = −
.
Khi đó ( ) ( )2 2 2
11 1 1
5arcsin ln arcsin ln 1 16 6
1 1ln ln ln 1 ln ln 1 ln2 2
ee e e
ee e e
x xdx dx dx
x x x x x x x x x
= − + = − + +− −−
.
Đặt 1 1 1 1
ln , ,2 2
t x dt dx x t x e tx e
= = = = − = = .
Khi đó
1 1 1 1
2 2 22 2 2 2
22 2 2 21 1 1 1 1
2 2 2 2
1 1 1 1
ln 1 ln 1 1 1
e
e
t t t t tdx dx dt dt dt
tx x x t t t t t− − − −
− + −= = = +
− − − − .
Đặt 2
2
1 3 1 31 , ,
2 2 2 21
tk t dk dt kdk tdt t k t k
t= − = − − = = = = − =
−.
Khi đó
312222
2 121 3 2
2
11 0
1ln . 1 ln
e
e
kdx dk t
kx x x −
= − − − =−−
.
Hoặc đặt 1 1 5
sin cos , ,2 6 2 6
t k dt kdk t k t k
= = = = = − = .
Khi đó
1
6 62 6
2 2 51 5 5
62 6 6
1 1 1 5cos ln tan ln tan ln tan
sin 2 12 121 sin 1 sin
kdt kdk dk
kt t k k
−
= = = = −
− − .
Chuyên đề tích phân – Phương trình vi phân Biên soạn Phạm Thế Hiền
20
Vậy ( )2
1
arcsin ln2
ln
e
e
xdx
x x= − .
?) Nếu đề bài cho là ( )( )2
1
cos arcsin ln
1 ln
e xdx
x− thì các anh (chị) làm như thế nào!
Đáp số : ( )( )2
1
cos arcsin ln1
1 ln
e xdx e
x= −
− .
5. Các loại tích phân :
a) Tích phân suy rộng :
b) Tích phân bội :
c) Tích phân đường :
d) Tích phân mặt :
II. Phương trình vi phân :
1. Tách biến :
2. Tuyến tính cấp 1 :
3. Tuyến tính cấp 2 :