Prof.drEsadJakupovi

POSLOVNAIFINANSIJSKAMATEMATIKA

Banja Luka, 2008.

2

Prof. dr Esad Jakupovi

POSLOVNAIFINANSIJSKAMATEMATIKA

Recenzija: Prof. dr ZORAN Avramovi

Prof. dr DUAN Starev

Izdava: Panevropski univerzitet "APEIRON"

Banja Luka 1. izdanje, godina 2008.

Odgovorno lice izdavaa, DARKO Uremovi

Urednik:

JOVO Vojnovi, prof.

Lektor/korektor: SLAVICA Luki, prof.

DTP i likovno/grafika obrada:

DUAN Stranati

tampa: "ART-PRINT", Banja Luka,

d.o.o., grafika - dizajn - marketing Banja Luka

Odgovorno lice tamparije: VLADIMIRA Stijak- Ilisi

Tira 500 primjeraka

EDICIJA: Ekonomska biblioteka

knj. 49

ISBN 978-99938-29-88-1

3

PREDGOVOR Knjiga Poslovna i finansijska matematika sadri gradivo predvieno nastavnim planom i programom ovog predmeta. Cilj ovog predmeta je da se studentima obezbijede neophodna znanja iz Finansijske matematike koja e ih osposobiti da se aktivno ukljue u izuavanje brojnih kvantitativnih metoda u ekonomiji. Relativna graa obrauje se na vrlo praktian nain. Ova knjiga ima i odgovarajue zadatke za vjebanje sa rjeenjima, da bi studentima omoguili utvrivanje prouene grae iz teorije. Hvala recenzentima i izdavau na podrci i objavljivanju ovog rukopisa.

Autor

Banjaluka, 2008.

4

5

Sadraj

1.Matematikasrazmjernost(razmjereiproporcije) ........................................................... 7 1.1. Razmjere ....................................................................................................................7 1.2.Proporcije(srazmjere) .....................................................................................................11 1.3.Proporcionalnostpromenljivihveliina ...........................................................................17 1.4.Pravilotrojnoiveriniraun,kaotehnikeprimjeneproporcionalnostiijednakosti .......19

2.Procentniipromilniraun.............................................................................................. 22

2.Procentniipromilniraun.............................................................................................. 23

3.Interesni(kamatni)raunproblemikamaenjaidiskontovanjajednokratnih,sporadinihplaanja............................................................................................................................. 27

3.1.Pojaminteresaikapitalisanja.........................................................................................27 3.2.Prostinteres ....................................................................................................................29 3.3.Sloeninteres ..................................................................................................................33

3.3.1.Problemkamaenjajednokratnih,sporadinih(pojedinanih)plaanja ................33 3.2.Problemdiskontovanjajednokratnih,sporadinihplaanja...........................................46

3.3.3.Problemizraunavanjainteresa(kamate) ..............................................................46 3.4.Problemizraunavanjakamatnestope...........................................................................48

3.3.5.Problemizraunavanjabrojaperiodakamaenja,odnosnoodreivanjavremenskogintervalakamaenja .....................................................................................49

4.Eskontovanjemjenica .................................................................................................... 52

4.Eskontovanjemjenica .................................................................................................... 53

5.Kamaenjeidiskontovanjeviekratnihperiodinihplaanja........................................... 57

6.Amortizacijazajmova..................................................................................................... 61 6.1.Anuitetijednaki ...............................................................................................................61

IIKontroleplanaamortizacije ............................................................................................ 68

IIIVezeizmeuveliinauplanuamortizacije ..................................................................... 69 6.2.Anuitetirazliiti ...............................................................................................................76

6.2.1.Otplatejednake.......................................................................................................76 6.2.2.Anuitetisemijenjajupoaritmetikojprogresiji ......................................................77

6

6.2.3.Anuitetisemijenjajupogeometrijskojprogresiji ...................................................78 6.2.4.Anuitetiheterogenorazliitiiliproizvoljnoodreeni .............................................80 6.3.Konverzijazajmova.....................................................................................................81

Zadatcizavebanje............................................................................................................ 83

MATEMATIKAZAEKONOMISTE(Pregledvanijihformula).............................................. 120 1.FINANSIJSKAMATEMATIKA.............................................................................................120 Eskontovanjemjenica ..........................................................................................................123 Periodinaplaanja(ulozi,rente).........................................................................................123 Amortizacijazajmova...........................................................................................................124

LITERATURA .................................................................................................................... 128

7

1. Matematika srazmjernost (razmjere i proporcije) 1.1. Razmjere Uporeivanje veliina je esto osnovna i nuna prijetpostavka uspjene mrimjene metoda kvantitativne analize. Uporeivati se mogu: neimenovani brojevi, istoimene veliine, raznoimene veliine i uopte osobine koje se mogu izraziti brojem. Imenovane veliine se uporeuju tako to se stave u odnos neimenovani brojevi (brojni izrazi) koji prijedstavljaju koliine uporeivanih veliina.

a) Odnos neimenovanih veliina 1. 100 20 80 20 100 80 = = Ovaj odnos pokazuje da je broj 100 za 80 vei od broja 20, a da je 20 za 80 manji od broja 100. 2. 100 : 20 5 20 : 100 1/ 5= = Ovaj odnos pokazuje da je broj 100 pet puta vei od broja 20, odnosno da je broj 20 petina broja 100. b) Odnosi istoimenih veliina 1. 100 km - 20 km = 80 km Ovaj odnos pokazuje da je razdaljina od 100 km za 80 km vea od razdaljine koja iznosi 20 km. 2. 100 km : 20 km = 5 Ovaj odnos pokazuje da je razdaljina od 100 km 5 puta vea od razdaljine koja iznosi 20 km. U geometrijskoj razmjeri a:b=q, a i b su lanovi razmjere, q je oznaka za kolinik ili vrijednost razmjera. Ako je |q| > 1 onda je |a| |q| puta vea od |b|; Ako je |q| < 1 i q 0 onda je |a| 1/|q|-ti dio od |b|; Ako je q =1 onda je a=b.

6 : 2 3 2 : 6 1/ 3= =

Ovi odnosi pokazuju da je broj 6 tri puta vei od broja dva, a broj 2 je treina broja 6 (2 puta 1/(1/3) = 3-i dio broja 6 ). Poto su ekonomske veliine uglavnom pozitivne, moe se zakljuiti da geometrijski odnos (razmjera) dva pozitivna broja, izraen njihovim kolinikom q, pokazuje koliko puta je prvi vei od drugog je (q>l), odnosno koji dio drugog je prvi (q

8

Ako su lanovi geometrijske razmjere brojevi 1 2 3, , ,..., na a a a , onda se ona naziva produna razmjera. Poto u produnim razmjerama nije (zagradama) definisan redosled deljenja, to one nemaju jednoznano odreenu vrijednost, ve se vrijednost odreuje po parovima, za bilo koja dva lana. Tako se moe pisati:

2 1 1 3 2 2 1 1: , : ,..., : = = =n n na a q a a q a a q Ako je 1 2 1... = = = =nq q q q ,onda brojevi 1 2 3, , ,..., na a a a , ine geometrijski niz. Osobine geometrijske razmjere a:b=q: 1) (m a):b=m q;2) a:(n b)=1/n q , n 0;3) (m a):(n b)=m/n q , n 04) (k a):(k b)=q ,

ova osobina poznata je pod nazivom proirivanje razmjere ( 1)>k odnosno skraivanje razmjere ( 1 , k 0).< k Ova osobina se moe prijeneti i na produne razmjere, na sledei nain: Neka je data razmjera 1 2 1: : ... : :n na a a a za koju vai

2 1 1 3 2 2 1 1: , a : ,..., : . = = =n n na a q a q a a q Tvrdimo da je datoj razmjeri ekvivalentna razmjera:

1 2 1( ) : ( ) : ... : ( ) : ( ),n nka ka ka ka tj. tvrdimo da je odnos lanova ove razmjere isti kao odnos odgovarajuih lanova date razmjere. Dokaz:

2 1 1: , =ka ka q jer je 2 1 2 1 1/ : ;= =ka ka a a q 3 2 2: ,=ka ka q

... 1 1: . =n n nka ka q

Prijema tome, ako u datoj razmjeri svaki lan pomnoimo ili podelimo istim brojem, odnos bilo koja dva lana novodobijene razmjere e biti isti kao odnos odgovarajuih lanova date razmjere. 5) a : b = q b : a = 1/q, pri emu su q i 1/q meusobno reciproni brojevi. Sloena razmjera je rezultat umnoka odgovarajuih lanova vie prostih ili vie produnih razmjera. Neka su date proste razmjere:

1 1 1 2 2 2: , : ,..., : ,= = =n n na b q a b q a b q tada se od ovih razmjera dobije sledea "sloena" razmjera: 1 2 1 2 1 2( ... ) : ( ,... ) ... = n n na a a b b b q q q odnosno:

11 1 1

:= = =

= n n nj jj j j

a b q

9

Istinitost ove tvrdnje moemo prikazati na sledei nain: Date razmjere prikaemo ovako:

1 2 n1 2

1 2

a a , ,..., .= = = n

n

aq q q

b b b Ako ove jednaine pomnoimo meusobno tako to se posebno pomnoe lijeve a posebno desne strane, dobiemo:

1 21 2

1 2

... ... = n nn

a a aq q q

b b b

odnosno: 1 2 1 21 2

......

... =

nn

n

a a aq q q

b b b

odnosno: 1 2 1 2 1 2( ... ) : ( ... ) ... , = n n na a a b b b q q q to je trebalo i pokazati. Neka su sada date produne razmjere

1 1 1 2 2 2 n( : : ) , (a : : ),...,(a : : ),n na b c b c b c tada se od ovih razmjera dobije sledea "sloena" razmjera:

1 2 1 2 1 2( ... ) : ( ... ) : ( ... ), n n na a a b b b c c c odnosno

1 1 1: ;

= = = n n nj j jj j j

a b c

Za dokaz ove tvrdnje odredimo redosljed dijeljnja, a time i vrijednost svake razmjere. Dakle, neka je:

1 1 1 1 2 2 2 2( : ) : , (a : ) : ,...,( : ) : .= = =n n n na b c q b c q a b c q Ove razmjere se mogu pisati i ovako:

1 2

1 21 2

1 2

a

, ,...,= = =n

nn

n

a ab b b

q q qc c c

10

Meusobnim mnoenjem ovih jednaina dobija se:

1 2

1 21 2

1 2

......

...

=

n

nn

n

a a ab b b

q q qc c c

odnosno:

1 2

1 21 2

1 2

...

......

...

=

n

nn

n

a a ab b b

q q qc c c

Razmjera na lijevoj strani ove jednakosti bez odreivanja redosljeda djeljenja glasi:

1 2 1 2 1 2(( ... ) : ( ... )) : ( ... ), n n na a a b b b c c c to se eljelo pokazati. Slino se od produnih razmjera:

11 12 1

21 22 2

1 2

: : ... : ;: : ... : ;

...: : ... :

n

n

m m mn

a a aa a a

a a a

moe dobiti sloena razmjera:

1 21 1 1

: : ... := = = m m mi i jni i i

a a a

Treba primetiti da sloene razmjere nisu nova vrsta razmjera, jer su krajnji rezultati proste odnosno produne razmjere, a "sloenost" lei u injenici da su rezultati vie razmjera.

11

1.2.Proporcije(srazmjere) Proporcija je jednakost dvaju razmjera jednakih vrijednosti, tj. ( : : ) : : (1)= = =a x q b y q a x b y Proporcija (1) je jednakost prostih razmjera pa se zato naziva prosta proporcija, koja se moe prikazati i ovako a/x = b/y ~a/b = x/y~ay=bx (2) Ova transformacija ukazuje na egzistenciju znaajne osobine prostih proporcija, koja glasi: "Proizvod spoljanjih jednak je proizvodu unutranjih lanova". Ova injenica omoguuje da se proporcija (1) po potrebi prikae u sledeim oblicima:

: : , x:a=y:b;a:b=x:y , b:a=y:x;x:y=a:b , y:x=b:a;b:y=a:x , y:b=x:a.

=a x b y (3)

Osobina proporcija prikazana u (2) omoguuje da se jedan od lanova proporcije izrazi u funkciji ostalih,npr. /= y b x a . Koristei se osobinama razmjera i skupom moguih oblika proporcije (3) zakljuujemo da se proporcija ne mjenja (ne naruava kao jednakost) ako se jedan spoljanji i jedan unutranji lan ili svi lanovi pomnoe ili podjele istim brojem razliitim od nule. Proporcija se ne mijenja ni onda kad se svi njeni lanovi stepenuju ili korenuju istim brojem (eksponentom), tj.

: : / / / / : := = = =n n n n n n n na b x y a b x y a b x y a b x y odnosno:

: : : := = nn n na b x y a b x y Ako je data proporcija a : x = x: b onda se iz nje slijedi: x2 = a b, odnosno = x a b , to znai da je x geometrijska sreKMa brojeva a i b. Prosta proporcija nastaje kao jednakost dve proste razmjere, dok produna proporcija nastaje od tri i vie prostih razmjera jednakih vrijednosti. Neka su date sledee razmjere: a:x = q; b:y = q; c:z = q (4)

12

Iz ovih razmjera moemo dobiti redom: a=xq; b=yq; c=zq, a dalje dobijamo proporciju: a : b:c= =(xq): (yq): (zq) odnosno, poslije skraivanja razmjere na desnoj strani:

a: b : c = x: y : z (5)

Primjetimo da se prvi lanovi datih razmjera odnose meusobno kao i drugi lanovi meusobno. Iz proporcije (5) se, u svrhu rjeavanja praktinih problema, lako mogu formirati sledee proste proporcije: a:b = x:y; a:c = x:z; b:c = y:z. Na slian nain moemo formirati i proporcije sa 4 i vie lanova na jednoj strani. Neka su date razmjere:

: ; 1,2,...,= =j ja x q j n (6) Iz (6) slijedi:

2 1 2: : ... : ( ) : ( ) : ... : ( ),=j n na a a x q x q x q (7) odnosno:

1 2 1 2: : ... : : : ... :=n na a a x x x (8) Iz proporcije (8) se, po potrebi, mogu formirati sledee proste proporcije

: : ; , 1,2,..., .= =i j i ja a x x i j n Sloena proporcija je, poput sloene razmjere, rezultat mnoenja odgovarajuih lanova vie prostih ili vie produnih proporcija. Proporcije se mogu proiriti i skratiti prijema pravilima o proirivanju i skraivanju razmjera u njima. Meutim, poto nije teko dokazati da su proporcije:

1 2 1 2

1 1 2 2 1 1 2 2

: : ... : : : ... : , i: ;...; : : ... :

==

n n

n n n n

a a a x x xk a k a k a k x k x k x

meusobno ekvivalentne, to moemo zakljuiti da je proirivanje i skraivanje proporcije mogue izvriti i tako to se odgovarajui lanovi na lijevoj i desnoj strani pomnoe odnosno podjele istim brojem. Npr. u proporciji: 6:16: 18 = 15:40:45. podelimo prve lanove razmjera sa 3, a druge sa 4, pa emo dobiti: 2:4:18 = 5:10:45

13

Naprijed smo rekli da se iz jedne produne lako formira vie prostih proporcija. Meutim, javlja se i potreba da se od vie prostih formira jedna produna proporcija. Ovaj postupak emo pokazati na konkretnom primjeru.

Date su proste proporcije: a:b = 1:3; b:c = 4:7; c:d = 9:14. Od datih proporcija formirati jednu produnu.

Rjeenje: (a:b) = 1:3 (1') (b:c) = 4:7 (2') (c:d) = 9:14 (3') Iz (1') slijedi: b = 3a (4') Zamjenom (4') u (2') dobije se: c = 21a/4 (5') Zamjenom (5') u (3') dobije se: d = 49a/6 (6') Sad se moe pisati: a:b:c:d = a:3a:21a/4:49a/6. Ako svaki lan razmjere na desnoj strani ove proporcije pomnoimo sa 12/a dobijemo traenu proporciju: a:b:c:d = 12:36:63:98 Problem se moe rijeiti na isti nain, s tim da se u startu uzme da je npr. a = x ili a = 1. Problem se moe rijeiti i ovako: Date proporcije transformiemo u oblik u kome e prvi lan svake razmjere nove proporcije biti jednak drugom prijedhodne, tj. bie: a:b = 1:3 b:c = 3:21/4 c:d = 21/4:49/6 Nije teko dokazati da sada vai: a:b:c:d = 1:3:21/4:49/6 Mnoenjem svakog lana razmjere na desnoj strani ove proporcije sa 12 dobije se: a:b:c:d = 12:36:63:98

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33

3

3

33 33

Primer

14

Na kraju pokaimo jo jedan mogui nain rjeavanja ovakvih problema, svoenjem razmjena jedne strane proporcije na istu vrijednost . Iz (1') slijedi: a:2 = b:3 (1'') Formiranjem sloene proporcije od (1') i (2') dobijamo: a:c = 4:2 ~ a:1 = c:21/4 (2'') Formiranjem sloene proporcije od (2'') i (3') dobijamo: a:d = 36:294 ~ a:1 = d:49/6 (3'') Na osnovu (1''), (2'') i (3'') zakljuujemo da vai: a:1 = b:3 = c:21/4 = d:49/6 , odnosno a:b:c:d = 1:3:21/4:49/6 odnosno a:b:c:d = 12:36:63:98 Za rjeavanje problema praktine prirode, posebno problema privredne prakse, od izuzetnog znaaja je vrsta transformacija prostih i produnih proporcija koja rezultira u tzv. izvedenim proporcijama. Neka je data proporcija: a:b = x:y ~ a/b = x/y. Ako se u ovoj jednakosti lijevoj i desnoj strani doda broj 1, dobije se:

/

1 1/

(1 / ) 1(1 / ) 1+ = +

k s

k s

p mO Bp m

Poto je a/b = x/y ~ b/a = y/x prikazanim postupkom se moe dobiti: (b+a):(x+y) = a:x (**) Uporeivanjem proporcija (*) i (**) zakljuujemo da, ako je data prosta proporcija: a:b = x:y, onda vai i sledee:

:( ) : ( )

:+ + = a x

a b x yb y

15

Neka je sada data produna proporcija: a:b:c = x:y:z Iz ove proporcije se dobiju proporcije

: : ( ) : ( ) : ,: : : :

= + + == =

a b x y a b x y a xa c x z c z a x

Uporeivanjem ove dvije poslednje proporcije zakljuujemo da vai: (a+b):(x+y) = c:z, odnosno: (a+b):c = (x+z):z. Dalje slijedi: (a+b+c):(x+y+z) = c:z, A poto je c:z = b:y = a:x to e vaiti:

( ):

( ) : ::

+ + + + =

a xa b c x y z b y

c z

Slinim postupkom moemo doi do sledeeg zakljuka: Ako je data produna proporcija:

1 2 1 2: : ... : : : ... : ,=n na a a x x x onda se transformacijom ove proporcije mogu dobiti tzv. izvedene proporcije oblika:

1 1: : ; 1,2,...,

= == = n nj j j j

j ja x a x j n

Iz naprijed prikazanog postupka formiranja izvedenih, proporcija moemo formulisati pravilo za njihovo formiranje bez postupka izvoenja. Ovo pravilo glasi: Zbir lanova lijeve strane date proste ili produne proporcije prijema zbiru lanova desne strane odnosi se kao odgovarajui lanovi lijeve i desne strane meusobno. Primjetimo da se izvedene proporcije javljaju u vidu jedne ili vie prostih proporcija, tj. onoliko prostih proporcija koliko lanova ima jedna strana proporcije. Izvedene proporcije su posebno pogodne za rjeavanje problema podjele cjeline na djelove i uspostavljanja odnosa djela i cjeline.

16

Neka je data cjelina C koju treba podjeliti na dijelove 1 2, ,..., na a a u razmjeri vai

1 2: : ... : ,nx x x neka vai proporcija:

1 2 1 2: : ... : : : ... .=n na a a x x x Ovoj proporciji odgovaraju izvedene proporcije oblika:

1 1: : ; 1,2,...,

= == = n nj j j j

j ja x a x j n

Poto je prijema prijetpostavci 1

,=

=n jja C to e biti:

1: : ,

==n j j j

jC x a x

odnosno

1

; 1,2,...,

=

= = =

jj jn

jj

xa C k C j n

x

0 1<

17

1.3.Proporcionalnostpromenljivihveliina Kae se da su dve veliine proporcionalne ako poveanje jedne ima za poslijedicu poveanje ili smanjenje druge u istom odnosu (istim intenzitetom). Ako poveanje jedne ima za poslijedicu poveanje druge veliine, onda je rje o direktnoj srazmjeri (upravo proporcionalnom odnesu) posmatranih veliina Posmatrajmo npr. odnos proizvodnje i produktivnosti rada: Neka je x oznaka za produktivnost za 1 sat (promenljiva veliina), zatim neka je k oznaka za broj sati rada (konstantna veliina) i neka je y oznaka za ukupno proizvedenu koliinu za vreme od k sati, uz produktivnost x (promjenljiva veliina). Odnos proizvedene kokliine i produktivnosti se moe prikazati ovako: y = kx~y/x = k~y:k = x:1 Ako je npr. k=5, onda: za x=2 bude y=10; za x=3 bude y=15; za x=4 bude y=20; itd. Primjetimo da je odnos proizvedene koliine u vremenu k i produktivnosti za 1 sat konstanta i iznosi k (10/2=15/3=20/4=5). Dakle, vea produktivnost ima za posljedicu veu proizvodnju u posmatranom konstantnom vremenskom intervalu. Slian je odnos prijeenog puta od y km u vremenu od k sati brzinom od x km/h, tj. y:kx~y/x=k. Dakle, sto je vea brzina x, to se za isto vrjeme k moe prijei put vee duzine y. Slian je i odnos vrjednosti kupljene robe (u KM.) i kupljene koliine robe (u kg ) , uz konstantnu cijenu od k KM/kg, jer vai: y = kx-y/k = k. Inae, jednaina y=kx se obino naziva funkcija direktne proporcionalnosti (specijalni sluaj linearne funkcije). Ako poveanje jedne ima za poslijedicu smanjenje druge veliine, onda je rje o indirektnoj srazmjeri (obrnuto proporcionalnom odnosu) posmatranih veliina. Posmatrajmo npr. odnos vremena y (promjenljiva veliina) potrebnog da se proizvede konstantna koliina robe od k jedinica uz produktivnost od x jedinica proizvoda za jeKMicu vremena. Ovaj odnos moemo prikazati ovako: y = k/x~yx = k~y:k=1 :x Ovo je sluaj tzv. funkcije indirektne proporcionalnosti (taka 3.5.6.) Ako je npr. k=120 (kom.), onda:

18

za x = 2 (kom./sat) dobijemo y = 60 (sati); za x = 3 (komVsat) dobijemo y = 40 (sati); za x = 8 (kom./sat) dobijemo y = 15 (sati); itd. Primjetimo da je proizvod produktivnosti rada i vremena rada konstantan i jednak ukupno proizvedenoj koliini robe, tj. 2 60 = 3 40 = 8 15 = 120. Dakle, veom produktivnou e se koliina robe k proizvesti za manje vremena. Slian je odnos vremena y potrebnog da bi se prijeao odreeni put k (konst.) brzinom x, jer to je vea brzina to e se put odreene (konstantne) duine k prijei za manje vremena. Slian je i odnos kupljene koliine robe "y" u okviru odreene ukupno plaene vrjednosti robe k (konst.) po cjeni x, jer to je vea cjena to e se za odreeni (konstantan) iznos novca dobiti manja koliina iste robe. Ako su x1,x2,... xn, veliine koje se mogu mjenjati nezavisno jedna od druge i ako veliina z zavisi od njih tako da je kolinik veliine z i proizvoda veliine xi,xz,...,xn, konstantan i iznosi k, onda se kae da je z direktno srazmjerna (upravo proporcionalna) za x1,x2,...,xn, tj. vai:

1 21 2

, ,...,...

= = nnz k z k x x x

x x x

Ako je z indirektno srazmjeran veliinama 1 2, ,..., ny y y , onda vai:

1 21 2

, ,...,...

= = m nkz y y y k z

y y y

Ako je z upravo proporcionalna veliina sa 1 2, ,..., nx x x , a obrnuto proporcionalna sa veliinama,

1 2, ,..., my y y , onda se taj odnos moe prikazati ovako:

1 2 1 2

1 2 1 2

... ...

... ... = =

m n

n m

y y y x x xk z k

x x x y y y

19

1.4.Pravilotrojnoiveriniraun,kaotehnikeprimjeneproporcionalnostiijednakosti Ako smo suoeni sa problemima za ije rjeavanje je potrebno i mogue postaviti jednu ili vie proporcija onda se postavka problema moe emarizovati u svrhu lakeg i jednostavnijeg rada. Pravilo trojno i verini raun su odavno poznate tehnike takve vrste. Iako relativno stare tehnika smatramo da ih, zbog mogue upotrebljivosti, ne treba zanemariti. Pravilo trojno (ili trojno pravilo) ima takav naziv zbog injenice da u proporciji moemo izraunati vrjednost jedne nepoznate, ako su prijeostale tri poznate. Ako se uporeuju dve veliine, tj. ako je za rjeavanje problema potrebno postaviti jednu prostu proporciju, onda je rije o prostom trojnom pravilu, a ako se uporeuje vie veliina sa vie proporcija onda je rije o sloenom trojnom pravilu.

1.Ako smo za 15 kg robe platili 3000 KM koliko kg moemo dobiti za 13200 KM ? Rjeenje:

kg 13200 KM

15 kg 3000 KM

x x:15=13200:3000 x=15(13200/3000=13200/200=66

Odgovor: Za 13200 KM se moe dobiti 66 kg iste robe Strelice su istog smjera , jer je rije o direktnoj proporcionalnosti.Naime, bez obzira na konkretne veliine, rezonujemo ovako:vie kg treba vie platiti. Moe se postaviti i ova proporcija: x: 13.200 = 15 : 3.000 => x = 66 Ova proporcija se moe napisati i ovako: 3.000 : 15 = 13.200 : x, pri emu je 3.000 : 15 = 200 cjena po kg, a toliko mora biti i desna strana, tj. mora biti 13.200 :x = 200. 2.Kojom brzinom se neki put moe prijei za 3 sata ako se isti put prijee za 2 sata brzinom od 60 km/sat? Rjeenje:

km/h 3 h 60 km/h 2 h

x x: 60 = 2 : 3 => x = (60 2)/3 = 40 Odgovor: Pomenuti put se za 3 sata moe prijei brzinom od 40 km/sat. Strelice su suprotnog smjera, jer je rije o indirektnoj proporcionalnosti. Naime, bez obzira na konkretne veliine, rezonujemo ovako: vem brzinom se isti put moe prijei za manje vremena. S obzirom na prirodu problema moe se postaviti i ovakva proporcija:

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33

3

3

33 33

Primer

20

x: 1/3 = 60 :1/2 ~ 3x = 60 2 ~ x = 40 3. Ako 10 radnika za 210 dana radei po 8 sati dnevno zaradi 8 mil. KM, izraunati koliko KM e zaraditi 15 radnika za 200 dana radei po 7 sati dnevno. Rjeenje:

10 r 210 d. 8 s 8 mil. KM

15 r 200 d. 7 s mil. KM

x

x:8=(7:8)(200:210)(15:10) 8 7 200 15 108 210 10 = = x

4. Ako 10 radnika za 210 dana radei po 8 sati dnevno zarade 8 mil. KM. , izraunati koliko radnika trba da radi 200 dana po 7 sati dnevno da bi ukupno zaradili 10 mil. KM. Rjeenje:

10 r 210 d. 8 s 8 mil. KM

x r 200 d. 7 s 10 mil. KM x:10=(210:200)(8:7)(10:8)

10 210 8 10 15200 7 8 = = x

Strelice su postavljene prijema sljedecem rezonovanju: 1) to vie radnika radi neki posao manje je dana potrebno uz nepromjenjenost ostalih faktora 2) to vie radnika radi neki posao manje je sati dnevno potrebno da rade 3) to vie radnika radi vie e ukupno zaraditi uz ostale date uslove Verini raun je ematski oblik prikazivanja i rjeavanja nepoznate u linearnoj jednaini koja je rezultanta (proizvod) vie uslovno vezanih jednakosti.Koristi se u sluajevima direktne srazmjernosti , a uz potovanje sledeih pravila: 1) Prvi red verinog rauna poinje pitanjem (nepoznatom); 2) Svaki novi red poinje istoimenom veliinom kojom je prijethodni zavren; 3) Verini raun se zakljuuje istoimenom veliinom kojom je zapoet. 4) Rezultat (vrijednost nepoznate) se izraunava kao kolinik proizvoda svih neimenovanih brojeva na desnoj strani i proizvoda poznatih neimenovanih brojeva na levoj strani. Ako raspolaemo sa dve jednakosti (dva para podataka) onda koristimo tzv. prost verini raun, a ako raspolaemo sa tri i vie parova podataka, onda koristimo tzv. sloeni verini raun.

Ako nabavljamo robu A po cijeni od 80 c. za 1 alb (1 amerika libra = 453,6 grama). Prodajui Evre (EUR) po kursu 1 USD (ameriki dolar) = 1,1 EUR izraunati koliko KM e nas kotati 50 kg robe A Primjer ako smo Evre kupovali po kursu 1 EUR = 60 KM.

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33

3

3

33 33

Primer

21

x KM 50 kg 1kg 1000 g 453,6 g 1 alb . 1 alb 80 c (centi) 100 c 1 USD 1 USD 1,1 EUR 1 EUR 60 KM

xKM 50 kg 0,4536 0,8 USD 1 1,1 EUR 100 60 KM

50 1000 1 80 1,1 60 5820,11

1 453,6 1 100 1 1 = = x

Jasno je da se prije izraunavanja konane vrjednosti za x mogu izvriti skraivanja i da se jedinice ne moraju pisati.

22

23

2. Procentni i promilni raun Srazmjerni raun pomou koga direktan odnos dve veliine (tekue i bazne, dijela i cjeline) izraavamo tako to jednu od veliina (baznu, odnosno celinu) uzimamo kao 100 odnosno 1,000 jedinica nazivamo procentni odnosno promilni raun. Poimo do sledeih dogovora: 1%=1/100=0,01; 6%=61/100=6/100=0,06;

01% 1/1000 0,001= = ; 06% 6 1/1000 6 /1000 0,006= = = .

Prijema ovim dogovorima odnos broja 180 i 9000 mozemo prikazati ovako:

0 0

2 :100 0,02 : 1 2%:100%180 : 9000

20 :1000 0,002 :1 20% ;1000%= == = =

Uoptimo ovaj primjer i napiimo sledeu proporciju: (1) P:G = p:1-G:P = 1:p-P = pG G je oznaka za baznu veliinu, celinu ili tzv. istu glavnicu; P je oznaka za tekuu veliinu, dio ili tzv. procentni (promilni) prinos; p je oznaka za tzv. procentnu (promilnu) stopu, i prijedstavlja tekuu veliinu na 1 jeKMicu bazne veliine (glavnice), p se po elji i potrebi moe prikazati u obliku s/100 ili s/1.000, pa tada s prijedstavlja prinos (tekuu veliinu) na 100 odnosno 1000 jedinica glavnice (bazne veliine). Iz ove injenice i dolazi naziv "procentni" odnosno "promilni" raun. Proporcija (1) slui za tzv. procentni (promilni), raun od sto, (hiljadu) jer prijetpostavlja rad sa tzv.istom glavnicom. Meutim, u praksi se javljaju i sluajevi kada je data ili se prijetpostavlja; glavnicazajedno sa prinosom ili glavnica po odbitku prinosa. Za takve sluajeve jednostavno formiramo izvedene proporcije (polazei od (1)) poznate pod nazivom proporcije za procentni (promilni) raun vie i nie sto (hiljadu).

: 1

( ) : (1 ) (2):

= G

G P pP p

Iz (2) se po potrebi mogu dobiti:

( )1=

p G PPp

(3)

1=

G PGp

(4)

G P je oznaka za uveanu odnosno umanjenu glavnicu.

24

Dakle, radi se o. relativno jednostavnim obrascima, ija upotreba ne prijedstavlja vee probleme. Ono to se u praktinoj primjeni javlja kao problem je kojim raunom u konkretnom sluaju treba raditi, tj. koju od proporcija koristiti. U tu svrhu dajemo sledea dva uputstva: 1) Ona vrijednost na koju se odnosi procentni prinos, odnosno ona vrijednost koja slui kao baza uporeivanja (bazna veliina) uzima se kao ista glavnica. 2) Ako je u nekom problemu poznata ili se smatra poznatom (datom), ista glavnica, radi se raunom od sto (hiljadu); ako je poznata umanjena glavnica, radi se raunom nie sto (hiljadu); ako je poznata uveana glavnica, radi se raunom vie sto (hiljadu).

Napomena: Ako je npr. 100 KM. ista glavnica , onda je 80 KM. 20% manja glavnica od 100 KM. , a 120 KM. je 20% vea glavnica od 100 KM.

100 KM. je glavnica (vea vrijednost) od 80 KM. ,ali 100 KM. nije uveana glavnica u odnosu na 80 KM. , ve je 80 KM. umanjena glavnica u odnosu na istu od 100 KM. 100 KM. je manja glavnica (manja vrijednost) od 120 KM. ali 100 KM. nije umanjena glavnica u odnosu na 120 KM., ve je 120 KM. uveana glavnica u odnosu na istu na 100 KM. Na kraju naredimo dva karakteristina i za ekonomiste znaajna sluaja upotrebe i razlikovanja procentnog rauna od sto, nie sto i vie sto. To su sluajevi izraunavanja mare i rabata. Mara je pozitivna razlika u cijeni koja se rauna na nabavnu cijenu kao istu glavnicu. Mara, se dodaje nabavnoj cijeni pa se dobije prodajna cena kao uveana glavnica (NC+.M = PC) NC je oznaka za nabavnu cijenu M je oznaka za maru PC je oznaka za prodajnu cijenu Rabat je pozitivna razlika u cijeni koja se rauna na prodajnu vrijednost kao istu glavnicu. Rabat se oduzima od prodajne cijene pa se dobije nabavna cena kao umanjena glavnica. (PC - R = NC) R je oznaka za rabat

Nabavljene su etiri koliine robe i prodate: prva sa 2% zarade, druga sa 6% gubitka, trea sa 9% zarade, a etvrta po nabavnoj vrijednosti. PojeKMane zarade i gubici se raunaju od: a) nabavnih; b) prodajnih vrijednosti. Prodajom robe ostvarena je ukupna zarada od 189.847,5 KM. Izraunati sve nabavne i prodajne vrijednosti i ukupnu zaradu u %, ako se zna da je druga nabavna vrijednost za 15.000 manja od prve, da je trea za 15% vea od druge, a etvrta za 15.000 KM. manja od tree.

Rjeenje: a) Neka je x oznaka za prvu nabavnu vrijednost. Tada moemo postaviti sledeu jednainu: 0,02 X- 0,06 (X- 15.000) + 0,09 1,15 (x- 15.000) = 189.847,5

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

25

Rijeenje ove jednaine je: x = 3.000.000. Trazene rezultate mozemo tabelarno prikazati (Tab. 10-1):

NV(G) Z(P) PV(GP) 3.000.000 60.000,0 3.060.000,0 2.986.000 -179.100,0 2.805.900,0 3.432.750 308.947,5 3.741.697,5 3.417.750 - 3.417.750,0 12.835.500 189.847,5 13.025.347,5

Ukupna zarada (Z) u odnosu na ukupnu nabavnu vrijednost (NV) iznosi:

0189.847,5 0.01479 1,479% 14,575%

12.853.500= = =

a u odnosu na ukupnu prodajnu vrijednost (PV)

iznosi: 0189.847,5 0.014575 1.4575% 14.575%

13.025.347,5= = =

Napomena: 0,014575 je decimalni zapis procentne stope p=1,4575% odnosno promilne stope p=14,575 0%

b) Neka je x oznaka za prvu nabavnu vrijednost. Sada moemo postaviti sledeu jednacinu: 0.02 0.06 0.09( 15000) 1.15( 15000) 189 847,50.98 1.06 0.91

+ =x x x Rijeenje ove jednaine je: x = 2.459.413. Traene rezultate prikazujemo sledeom tabelom (Tab. 10-2):

NV(GP) Z(P) PV(G) 2.459.413,0 50.192,1 2.509.605,1 2.444.413,0 -138.363,0 2.306.050,0 2.811.074,9 278.018,4 3.089.093,3 2.796.074,9 - 2.796.074,9 10.510.975,8 189.847,5 10.700.823,3

26

Ukupna zarada u odnosu na ukupnu nabavnu vrijednost iznosi:

189.847,5 0,018062 1,8062% 18,062%,10.510.975,8

= = = a u odnosu na ukupnu prodajnu vrijednost iznosi:

189.847,5 0,01774 1,774% 17,74%

10.7000823,3= = =

27

3. Interesni (kamatni) raun - problemi kamaenja i diskontovanja jednokratnih, sporadinih plaanja

3.1.Pojaminteresaikapitalisanja Interesni ili kamatni raun je srazmjerno taan zasnovan na procentnom raunu, a od njega se razlikuje po tome to ukljuuje i vrijeme kao faktor. Interesni raun se koristi u poslovima regulisanja kreditnih odnosa koji nastaju izmeu dunika i povjerioca. Interes ili kamata je naknada koju dunik plaa povjeriocu za korienje pozajmljenog novca na odreeno vrijeme. Interes se moe obraunavati dekurzivno i anticipativno. Dekurzivno obraunavanje interesa se obavlja krajem perioda, za protekli period (unazad), na raniju (diskontovanu) vrijednost, kao istu glavnicu, pa je stoga kasnija (ukamaena) vrijednost uveana glavnica. Odnos ranije i kasnije vrijednosti pri dekurzivnom obraunavanju interesa moemo, u svrhu boljeg razumevanja, ematski prikazati na tzv. vremenskoj liniji kojom prijedstavljamo samo jedan obraunski period (SI. 101).

G je oznaka za istu glavnicu; I je oznaka za interes ili kamatu; G + I je oznaka za uveenu glavnicu ( glavnicu uveenu za interes). Anticipativno obraunavanje interesa se obavlja poetkom perioda, za period unaprijed, na kasniju vrijednost kao istu glavnicu, pa je stoga ranija vrijednost umanjena glavnica (Sl. 10-2).

28

Kada je rije o duniko-povjerilakim odnosima izmeu privrednih i drugih-subjekata treba rei da se kamata obraunava u odreenim vremenskim intervalima (npr. godinje) ili po isteku perioda kamaenja koji je ugovoren. Kamata se, zavisno od propisa ili dogovora, po obraunu ili isplauje posebno u dogovorenom roku ili se pripisuje glavnici radi daljeg kamaenja. Tako se u sluaju tednih uloga graana uz kamatu po vienju kamata obraunava jednom godinje (na kraju godine), dok su u sluaju oroene tednje primjenjuju razliiti uslovi od banke do banke. Postupak obrauna kamate i njenog pripisivanja glavnici naziva se kapitalisanje. Pojam kapitalisanja se u praksi komplikuje zbog razliitih varijanti zadatih (propisanih, ugovorenih ili dogovorenih) kamatnih stopa o emu e u nastavku biti rijei detaljnije. Obraun kamata, bez obzira da li se vri dekurzivno ili anticipativno, mora biti zasnovan na sledeim principima: 1) Princip zajednikog roka, to znai da novani iznosi, ili druge veliine koje se koriste umesto njih, radi uporedivosti moraju biti svedeni (kamaenjem ili diskontovanjem) na isti rok. 2) Princip ekvivalencije odnosno jednakosti uplata i isplata svedenih na isti rok. Oblast matematike koja za prijedmet izuavanja ima interesni raun i modalitete njegove primjene nazivamo finansijska matematika. Primjetimo da zadatak finansijske matematike nije odreivanje uslova uspostavljanja dunikopoverilakih odnosa, ve korektno matemanko rjeavanje problema nastalih u dogovoreno (ugovoreno) ili zakonski uspostavljenim duniko-poverilakim odnosima.

29

3.2.Prostinteres Interes koji se svakog perioda rauna na istu glavnicu je konstantna veliina i naziva se prost interes. Ovaj interes moemo, koristei proporciju za procentni raun od sto, za svaki period pojedinano izraunati ovako:

1 2, ,...,= = = gI G p l G p l G p a svih g perioda ovako:

1: 1: ( )

== = = g j

jI l G p g G I p g

p je oznaka za interesnu stopu i prijedstavlja interes na 1 jeKMicu ( 1 KM. npr.) glavnica za i period (najee za i godinu). g je oznaka za vrijeme kamaenja izraeno u godinama, Tako npr. ako je potrebno izraunati kamatu za 3 godine onda je g=3; ako treba obraunati kamatu za 5 meseci onda je g=5/12, a ako npr. treba obraunati kamatu za 78 dana, onda je g=78/365 odnosno g=78/366 (za prijestupne godine). Proporcija (1) slui za tzv. interesni raun od sto i prijetpostavlja dekurzivno obraunavanje interesa. Za anticipativno obraunavanje interesa je potrebno formirati proporcije (izvedene iz (1)) za raun vie i nie sto, koje glase:

: 1( ) : (1 ) (2)

: = G

G I p gI pg

Iz (2) slijedi:

( ) (2a)

1=

G I pgIpg

odnosno:

(2b)1

= G IG

pg

Potujui proporcije (1) i (2) i definicije dekurzivnog i anticipativnog obraunavanja interesa uspostavimo sledee odnose izmeu kasnije (ukamaene) vrijednosti Kg i ranije (diskontovane) vrijednosti K: a) Ako je obraunavanje interesa dekurzivno, prijema definiciji vai:

, ,= = +gK G K G I

30

pa e biti: ,= + = gK K I I K p g

odnosno:

(1 ) (3)= + = + gK K K p g Kg K p g b) Ako je obraunavanje interesa anticipativno, onda vai:

,= =gK G I K G pa e biti:

,1

= + = gp gK K I I Kp g

Odnosno:

1(1 )1

= + = gp gK K K K p gp g

Prost interes i interes uopte se u praksi uglavnom obraunava dekurzivno pa e se u daljem tekstu pri obraunu interesa podrazumevati dekurzivni nain, a ako bude potrebno za anticipativnim, onda e se to naglasiti.

Obraunati 8% interesa na iznos od 9.000 KM. za vrijeme od: a) 3 god. b) 5 mjeseci c) 73 dana.

Rjeenje: a) g = 3, I = 9.000 0,08 3 = 3.160 KM; Kg = 11.160 KM. b) g = 5/12, I = 9.000 0,08 (5/12) = 300 KM; Kg = 9.300 KM. c) g = 73/365, I = 9.000 0,08 (73/365) = 144 KM; Kg = 9.144 KM. Ako se ovih 73 dana nalaze u prijestupnoj god., onda e biti: I = 9.000 0,08 (73/365) = 143,61 KM. Ako se od 73 dana npr. 23 dana nalaze u prijestupnoj god., onda e biti: I = 9.000 0,08 (50/365 + 23/366) = 143,88 KM. Ovo je ilustrativni primjer, a u praksi se prost interes prijeteno koristi za vremenski period krai od jedne godine i izraen u danima. Pri obraunu kamate na vie glavnica uz potrebu jedinstvene kamatne stope, za razliiti broj dana, mogu se postii odreene utede u raunanju ako se koriste tzv. kamatni brojevi.

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

31

Opti zadatak: Obraunati kamatu sa kamatnom stopom p na glavnice 1 2, ,..., nG G G koje su date na kamaenje 1 2, ,..., nd d d dana respektivno. Rjeenje:

1 1 2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

... ,( / 365 / 365 ... / 365)/ 365( ... )

= + + + = + + + = + + +

n n

n n

n n

I G p g G p g G p gI p G d G d G dI p G d G d G d

1 1/ 365 ( / 365) (5)

= == = n nj j j

j jI p G d p kbr

kbr je uobiajena oznaka za umnoak glavnice i broja dana, pod nazivom kamatni broj.

Obraunati 8% kamate na dan 31.12.1996 god. , na sledee glavnice: 10.000 KM. Va 20.05.1996. 10.000 KM. Va 18.08.1996. 5.000 KM. Va 01.11.1996. ( V je skraenica za rije valuta, koja u ovom sluaju pokazuje dan kada je glavnica data na kamenje).

Rjeenje: Dio posla moemo obaviti tabelarno (Tab. 10-3)

I = (0,08/366) 6.150.000 = (0,08/366) 6.150 1.000 = 1.347,95 Broj dana raunamo tako to se ili prvi ili poslednji dan ne uzima u obzir. Do sada smo prijetpostavljali da je data godinja kamatna stopa. Datu stopu nazivamo nominalna stopa. Uzmimo da nominalna stopa ne mora biti godinja i oznaimo je sa PN, onda vai:

(6)= NI G np n je oznaka za broj perioda koji odgovaraju kamatnoj stopi PN .

Izraunati prost interes na iznos od 20.000 KM, za 5 mjeseci, ako je data mjesena stopa od 8%.

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

32

Rjeenje: I = 2.000 0,08 5 = 8.000 KM. Moe i ovako: p = 12 0,08 = 0,96 p je godinja stopa koja odgovara datoj mjesenoj stopi, za vrijeme g = 5/12, pa e prijema (1) biti: I = 20.000 0,096 (5/12) = 8.000 KM.

33

3.3.Sloeninteres

3.3.1. Problem kamaenja jednokratnih, sporadinih (pojedinanih) plaanja Interes koji se svakog perioda rauna na uloenu sumu (glavnicu) i na dospeli interes iz ranijih perioda naziva se interes na interes ili sloen interes. Polazei od ranije usvojenih oznaka, za dekurzivno obraunavanje sloenog interesa vai: K1 = K + I1 = K + K p 1 = K (1+p) je ukamaena vrijednost K novanih jedinica (npr. KM) na kraju prve godine, dok je U, interes u prvoj godini. K2 = K1 + l2 = K1 + K1 p 1 = K1 (1+p) = K(1+p)2 je ukamaena vrijednost K KM na kraju druge godine, dok je I2 interes u drugoj godini. Dalje e po analogiji biti:

33 (1 ) itd.= +K K p

Zakljuujemo da vai:

(1 ) ,= + ggK k p g N 1 + p je ukamaena vrijednost jednog KM za jednu godinu uz kamatnu stopu p. Dalje zakljuujemo da K1,K2,...,Kn prijedstavljaju lanove geometrijskog niza sa kolinikom 1+p. Za anticipativno obraunavanje interesa vai:

11 1

22 1 2 1

(1 )1

(1 )1

(1 ) , 100% (8)

= + = + = = + = + =

=

34

tablice izraunatih vrijednosti za ove izraze za odreene vrijednosti pig. Prijema ovim tablicama je g gp p, ( i = = g gg p g pK K K K oznaavaju broj tablice u kojoj se nalazi eljeni broj).

Prikazani postupak konstrukcije formule (7) podrazumeva broj godina izraen celim brojem 1 godinje kapitalisanje. Meutim, kamata se u praksi retko obraunava za cijeli broj godina, ve najee za vremenski period koji je kombinacija odreenog broja godina i odreenog broja dana. Nadalje, sloenost odnosa u savremenom poslovanju i sloboda ugovaranja uslov kamaenja iskomplikovali su pojam kapitalisanja, nominalne stope i godine kao osnovnog perioda za obraun kamate. U praksi se namee potrebna reavanja problema eeg kapitalisanja od godinjeg i obrauna kamate za vremenski period koji je manji od perioda u kome se obavlja jedno kapitalisanje. Ako je p oznaka za nominalnu (daru, uglavnom godinju) kamatnu stopu i ako je m oznaka za broj kapitalisanja u jednoj godini, onda se postupkom koji vai za formiranje formule (1) dolazi do jednaine (formule):

(1 / ) , (9)= + mggK K p m mg N Izraz p/m se naziva relativna kamatna stopa. 1+p/m je ukamaena vrijednost jednog KM za 1 period kapitalisanja, uz stopu p/m. Odgovarajua formula za anticipativno obraunavanje interesa je:

(1 / ) , / 100% (10)=

35

1) Pozajmljen je iznos od 1.000 KM. na 5 godina, uz 18% kamate godinje i kapitalisanje: a) godinje, b) polugodinje (semestralno), c) tromjeseno (kvartalnc), d) meseno. e) e)dnevno. Koliko dunik treba da vrati poveriocu?

Rijeenje: K = 5.000; g = 5; p=18% = 0,18. a) m=1,

1 5 51000 (1 0.18 /1) 1000 1.18 2287,76 KM;= + = =gK b) m=2

2 5 101000 (1 0.18 / 2) 1000 1.09 2367,36 KM;= + = =gK c) m=4

4 5 201000 (1 0.18 / 4) 1000 1,045 2411,71 KM;= + = =gK d) m=12

12 5 601000 (1 0,18 /12) 1000 1,015 2443,22 KM;= + = =gK e) m=365

365 51000 (1 0,18 / 365) 2459,06 KM.= + =gK Ovo je ilustrativni primjer, a u praksi je period kamaenja odreen datumima. Da je to uinjeno u ovom primjeru onda bi jedna ili dve godine bile prijestupne, pa-bi rezultati bili neto drugaiji. Uoimo da sa eim kapitalisanjem zbog upotrebe relativne kamatne stope, ukamaena vrjednost, za isto vrjeme, biva sve vea, zatim da je to poveanje sve manje i da nije teko prijetpostaviti da ukamaena vrjednost ima graninu vrjednost za sluaj da broj kapitalisanja u jednoj godini tei u beskonano. Rije je tada o tzv. kontinuelnom kapitalisanju, pri kojem vremenski interval izmeu dva kapitalisanja tei nuli, za razliku od kapitalisanja kao to su ona u 1. primjeru pod a) do e) koje tretiramo kao diskontinuelna. Da sa eim kapitalisanjem raste ukamaena vrijednost moemo pokazati i ovako:

2 2

3 2 3 2

4 2 3 4 3

(1 / 2) 1 / 4 1 ;(1 / 3) 1 / 3 / 27 (1 / 2) ;(1 / 4) 1 3 / 8 /16 / 256 (1 / 3) ;itd.

+ = + + > ++ = + + + > ++ = + + + + > +

p p p pp p p p pp p p p p p

Tanost pomenute zakonitosti potvruje i tzv. Bernulijeva nejednakost

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

36

(1 ) 1 za n > 1 i x > -1,+ > + nx n x pri emu je x = p/m , n=m , a nx = p U sluaju da je obraunavanje interesa anticipativno ukamaena vrjednost za (1) primjer bi bila: a) 2.697,31; b) 2.567,95; c) 2.511,50; d) 2.460,15. Dakle , ukamaena vrjednost je , pri istoj uestalosti kapitalisanja , vea kad je obraunavanje interesa anticipativno , to moemo pokazati da vai uopte , na sledei nain: ako je p(a)=p , onda je:

/( ) ( ) 1 (1 / )1 /

= + + mg

mgg g

p mK a K d K K p mp m

.

Poto je / / ,1 /

>p m p mp m

to e biti:

( ) ( ) 0 ( ) ( ) > >g g g gK a K d K a K d (Suprotno bi bilo za diskontovane vrjednosti), zatim da u sluaju anticipativnog obraunavanja interesa sa eim kapitalisanjem, zbog upotrebe relativne stope, ukamaena vrjednost biva sve manja, da je razlika izmeu odgovarajuih ukamaenih vrjednosti, dobijenih anticipativnim i dekurzivnim obraunavanjem interesa, sve manja (tei nuli) i da nije teko prijetpsotaviti da ukamaene vrjednosti u ta dva sluaja imaju isti limes kada . m Dalje zakljuujemo da, ako je kapitalisanje kontinuelno, onda broj kapitalisanja tei u beskonano u bilo kom konano datom vremenskom intervalu, a ne samo u jednoj godini (ovo ima veze sa injenicom da podjeljeno sa konanim brojem daje za rezultat ). Neka je pN oznaka za datu, nominalnu kamatnu stopu (ona moe biti i godinja p) i neka je n oznaka za odgovarajui broj perioda na koje se odnosi Np , tada e biti:

( )N

/

/

lim (1 p / )

lim (1 / )

= = =

NN

N

N

mng m

npm pg Nm p

npg

K K m

K K p m

K K e

Specijalno za =Np p , bie n=g i: Kontinuelno kapitalisanje moe i ima smisla da se primjeni u analizi kretanja mnogih prirodnih i drutvenih procesa, a moda bi ga trebalo i imalo smisla primjeniti i u sluaju obrauna kamata. Koristei podatke iz 1. primjera za sluaj kontinuelnog kapitalisanja dobije se:

5 0,181000 2459,60 KM,= =gK e dok bi se (radi poreenja) za sluaj obrauna prostog interesa dobilo: 1000 (1 0,18 5) 1900 KM.= + =gK

Radi cjelovite slike o razlikama koje nastaju u veliini ukamaene vrjednosti, obzirom na razliit nain kapitalisanja i upotrebu relativne kamatne stope, dajemo grafiki prikaz kretanja ukamaenih vrjednosti za 1. primjer (sl. 10-3), uz napomenu da bi slino vailo i za bilo koji drugi primjer.

37

Kaimo jo i to da kamatna stopa za periode kapitalisanja, krae od jedne godine ne mora nastati deljenjem godinje stope sa m; ona jednostavno moe kao takva biti zadata, tj. data kao polugodinja tromesena, mesena ili dnevna. U takvom sluaju se (9) moe prikazati u obliku:

(1 )= + ng NK K p (9a)

1)Iznos od 2.000 KM dat je na kamaenje na 67 dana uz 1% kamate dnevno. Koliko iznosi ukamaena vrijednost?

Rjeenje: Kg = 2.000 1,0167 = 3.895,49 3) Djete je roeno sa 3,9 kg. Ako se prijetpostavi da e u prvih pola godine dobijati u masi prosjeno 15% mjeseno, u drugih pola godine 5% mjeseno, u drugoj godini 2% mjeseno, a u naredne tri godine 1% mjeseno, izraunati kolliko bi mogla da bude masa djeteta na 5. roendan. Rijeenje: Problem je takve prirode da mu odgovara upotreba kontinuelnog kapitalisanja. pa e biti:

6 0,15 6 0,05 12 0,02 36 0,012000 23,59 kg + + + = =gK e _____________________________________________________________________

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

38

Primjetimo da se po principu formiranja relativne kamatne stope moe od relativne stope p/m dobiti odgovarjua godinja stopa p mnoenjem sa m. Tako bi npr. dnevnoj stopi od l% odgovarala godinja stopa od 365% ili 366%. Pokazali smo da upotreba relativne kamatne stope za isti vremenski period daje vei efekat (kamata) od kamate koja bi se dobila godinjim kapitalisanjem. Da bi ova dva efekta bila ista trebalo bi ili poveati kamatnu stopu kojom se kamata obraunava godinje ili smanjiti kamatnu stopu kojom se kamata obraunava ee od godinjeg obrauna. Godinju stopu p kojom se jednim obraunom kamate postie isti efekat kao sa m obrauna kamate sa relativnom stopom p/m nazivamo efektivna kamatna stopa, a dobijamo je iz jednaine: 1 (1 / ) (1 / ) 1 (13)+ = + = + m mE Ep p m p p m a za sluaj kontinuelnog kapitalisanja vai: 1 1 + = = p pE Ep e p e (13a) _____________________________________________________________________

U sluaju kamatne stope p= 18% iz 1. primjera bie: a) m = 1, p = 18%; pE = 0,18 = 18% b) m = 2, Ep =(1 + 0.18/2)2- 1 = 0,1881 = 18,81%, ovo znai da bi godinja stopa trebalo da bude 18,81%da bi se godinjem obraunom kamate dobile ukamaena vrjednost od 2.367,36 KM. tj. iznos koji se dobija polugodinjim obraunom kamate uz 9% za 5 godina. Provjera: Kg = 10.000 51,1881 = 2367,36 = 1.000 101,09 c) m=4, Ep = (1 +0,18/4)4 -1 =19,25186% d) m = 12, Ep = (1 +0,18/12)12 -1 =19,561817% e) m = 365, pE = (1 + 0.18/365)365 - 1 = 19,7164243% f) 0,18E, p 1 19,7217363% = =m e

Kamatnu stopu pc kojom se sa m obrauna kamate u jednoj godini postie isti efekat (ista ukamaena vrjednost) kao sa jednim obraunom kamate sa godinjom stopom p, nazivamo konformna kamatna stopa, a dobijamo je iz jednaine:

1/(1 ) 1 (1 ) 1+ = + = + m mc cp p p p (1) a za sluaj kontinuelnog kapitalisanja vai:

1 ln(1 )= + = +cp ce p p p (14a) pri emu, u ovom obrascu pc znai godinju stopu kojom bi se kontinuelnim kapitalisanjem za isto vreme ostvario isti efekat koji bi se postigao godinjim kapitalisanjem sa stopom p.

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

39

U sluaju koji prijedstavlja 1. primjer bie: a) m=1 , p = 0,18=18% ; pc = 1,181/1-1 =0,18 = 18% b) m = 2, cp = 1,181/2 - 1 = 8,6278% < p/2 = 9% je stopa kojom za 5 godina polugodinjim obraunom kamate 1.000 KM. poraste na 2287,76 KM tj. na iznos koji bi se dobio godinjim obraunom kamate sa 18% godinje. c) m = 4 , cp = 1,181/4 - 1 = 4,2246636% < p/4 = 4,5% d) m = 12 , cp = 1.181/12 -1 =1,388843% < p/12 = 1,5% e) m = 365 , pc = 1,181/365 -1 = 0,0453567% < p/365 f) m , cp = In 1,18 = 16,5514438% < p = 18% Ova poslednja stopa pokazuje koliko bi trebalo da bude godinja stopa da bi se kamata obraunavala kontinuelno, krajnji efekat eleo isti kao jednim obraunom kamate godinje uz p=18%. U vezi sa konformnom kmatnom stopom u praksi nastaje i ova situacija: U datom periodu (konanom) kapitalisanja (koje ne mora biti godinje) sa relativnom stopom p/m, iz odreenih razloga, eli se vie puta (npr. s puta) obraunati kamata, ali tako da se u tom periodu ostvari isti efekat koji bi se postigao jednim obraunom kamate sa stopom p/m. Ovo se ne moe ostvariti stopom p/m podjeljenom sa s, ve sa odgovarajuom konformnom kamatnom stopom cp , koja se dobije iz jednaine:

1/(1 ) 1 / (1 / ) 1+ = + = + s sc cp p m p p m (15) a za sluaj kontinuelnog kapitalisanja vai:

1 / ln(1 / )= + = +cp ce p m p p m (15a) pri emu u ovom obrascu, pc znai kamatnu stopu kojom se uz kontinuelno kapitalisanje postigne isti efekat kao jednim obraunom kamate sa relativnom stopom p/m u datom konanom periodukapitalisanja.

Uzmimo da j- u 1. primjeru dato polugodinje kapitalisanje, ali e eli: a) meseni, b) kontinuelni obraun kamate. Tada e biti: a) p = 18%; m=2; s=6;

cp - (1+0,18/2)l/6 -1=1,4466592% je mjesena stopa kojom se sa 6 obrauna kamate postigne isti efekat kao jednim obraunom kamate sa relativnom stopom p/2 = 9%. Primjetimo da je ova mjesena stopa vea od mjesene stope 1,388843% kojom smo uspostavljali vezu izmeu godinjeg i mjesenog obrauna kamate, tj. primjetimo da je

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

40

1,4466592% blia relativnoj 1,5% jer je i mjeseni obraun kamate "blii" polugodinjem nego godinjem obraunu kamate.. b) p = 18%; m = 2; s , pc = In (1+0,18/2) = 8,6177696% je polugodinja stopa kojom se uz kontinuelno kapitalisanje ostvari isti efekat kao jednim obraunom kamate sa godinjom stopomp/2=9%.

_____________________________________________________________________ Nadalje jednakost: (1 + pc)ms = 1 + p => pc = (1 + p)1/ms - 1 nam daje kamatnu stopu pc kojom se sa s obrauna kamate u datom periodu kapitalisanja, u kome je prijedvien obraun kamate sa relativnom stopom p/m, odnosno sa ms obrauna kamate u jednoj godini, ostvari isti efekat kao jednim obraunom kamate sa godinjom stopom p. Primjetimo da se od (16), za 8=1, dobije (14)

Za primjer uzimamo: p=18% , m=2, s= 6 pa e biti; 1/(2 6) 1/12(1 0,18) 1 1,18 1 1,388843%= + = =cp

U sluaju kontinuelnog kapitalisanja ova vrsta problema se svodi na (14a). Primjenu konformne stope moemo uoptiti ovako: Ako sa s obraunavanja kamate elimo postii isti efekat kao jednim obraunom kamate sa nominalnom stopom Np onda to moemo ostvariti sa stopom p0 dobijenom iz jednaine: (1+pc)s=1+pN=>Po=(1+PN)1/S-1 (17) dok za sluaj konidnuelnog kapitalisanja vai:

1 (1 ) (17a)= + = +cp N c Ne p p In p pri emu je, u ovom sluaju, pc stopa kojom se uz kontinuelno kapitalisanje postie isti efekat koji se postie jednim obraunom kamate sa stopom Np Za pN = p i s = m (17) i (17a) postaju (14) i (14a). Za pN = p/m (17) i (17a) postaju (15) i (15a). Ako sa pc = (1+p/m)l/s-1 elimo izvriti jedan obraun kamate, za period koji prijedstavlja sm-ti dio godine, tj. za g=1/ms, onda e biti: Kg = K(1 +pc)1 = K(1 +(1 +p/m)1/s -1=K(1+p/m)1/s

pri emu je 1/s = mg = m (1/ms), gQ+ mg Q+

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

41

Ako sa pc elimo izvriti dva obrauna kamate, za period g=2/ms, onda e biti: Kg = K(1+ cp )2 = K(1+(1+p/m)1/s-1)2 = K

2 /(1 / )+ sp m pri emu je 2/s = mg = m (2/ms). Uopte, ako sa pc elimo izvriti k obrauna kamate, za period g=k/ms, onda e biti: Kg = K(1+pc)k = K(1+(1+p/m)1/s-1)k = K /(1 / )+ k sp m pri emu je k/s = mg = m (k/ms). Ako uzmemo da je k=smg, onda dobijemo: Kg = K(1+Pc)smg = K(1+(1+p/m)1/s-1)smg = K (1 / )+ mp m Prijema tome dobijena je formula istovjetna sa (9) uz proirenje mg Q+, a ne samo mg N kao u (9), tj. vai: Kg = K(1+p/m)mg ; mg Q+ (9) Slino bi se upotrebom pc= (1+p)1/ms- 1 od (7) dobilo: Kg = K(1+p)9 ; g Q+ (7) a upotrebom pc = (1+PN)1/S -1 od (9a) dobilo:

Kg = K(1+pN)n ; n Q+ (9a)

Na ovaj nain su rjeeni i problemi obrauna kamate za vremenski period krai od jednog punog perioda datog kapitalisanja, tj. manji od m-tog dijela godine, izuzev za odreen broj 1. ..a, zbog toga to ni dve uzastoprije godine, ni dva uzastopna polugodita, ni dva uzastopna tromeseja, pa ni dva uzastopna mjeseca ne moraju sadrati isti broj dana. Ovaj problem moemo rjeiti na sledei nain: 1) Ako je izmeu dunika i povjerioca dogovorena, ugovorena ili zakonski propisana upotreba konformne kamatne stope, onda e biti:

1 1 2 2/ /(1 / ) + += + d s mg d sgK K p m . (18) pri emu je 0 < 1d < 1s ; 0 < d2 < 2s ; zatim

42

1d je oznaka za broj dana, koji prijethodi prvom cijelom periodu datog kapitalisanja, za koji treba obraunati kamatu; 1s je oznaka za ukupan broj dana u periodu kapitalisanja kome pripada 1d . d2 je oznaka za broj dana, koji slijedi poslije poslednjeg cjelog perioda datog kapitalisanja, za koji treba obraunati kamatu; s2 je oznaka za ukupan broj dana u periodu kapitalisanja kome pripada d2. 2) Ako je dogovorena, ugovorena ili propisana upotreba prostog interesa za vremenske periode koji su krai odpunog perioda datog.kapitalisanja, onda vai:

1 2

1 2

(1 ) (1 / ) (1 )= + + + mgg d dK K p p m pdg dg (19) pri emu je 0 < d,< dg ; 0 s d2 < dg2 dg1 je oznaka za broj dana u godini kojoj pripada d dg2 je broj dana u godini kojoj pripada d2, ( dg1 i dg2 mogu biti 365 ili 366). 3) Ako je dogovoreno, ugovoreno ili propisano kontinuelno kapitalisanje, onda vai:

1 2 2 2( / / )+ += p d dg g d dggK K e (20) Primjetimo da za 1d = d2 = 0, obrasci (18) i (19) postaju (9'), a (20) postaje (12a). _____________________________________________________________________

4) 16.2.2000. godine dato je na kamaenje 8.000 KM uz 16% kamate godinje. Sa kojim iznosom e se raspolagati na dan 17:9.2003. godine ako je kapitalisanje: a)godinje b)polugodinje c)tromjeseno d)mjeseno e)dnevno i f)kontinuelno, i ako se 1)upotrbljava konformna kamatna stopa, 2)upotrbljava kombinacija prostog i sloenog interesa

Rjeenje: a)1) Kg = 8.000 319 / 366 260 / 3651,6 + = 13.617,64 KM. 2) Kg = 8.000 (1+0,16 (319/366))- 1,162(1+0,16(260/365)) = 13.663,98 KM. b)1) Kg= 8.000 135 / 366 6 79 / 3651,06 + + = 13.882,34 KM. 2) Kg = 8.000(1+0,16 (135/366)) 1,086 (1+0,16 (79/365)) = 13.90978 KM. c)1) Kg = 8.000 44 / 91 13 79 / 921,04 + + = 14.040,60 KM. 2) Kg = 8.000 (1+0,16 (44/336)) 1,0413 (1+0,16 (79/365)) = 14.046,98 KM.

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

43

d)1) Kg = 8.000 (1+0,16/12)13/29+42+17/30 = 14.142,50 KM. 2) Kg = 8.000 (1+0,16 13/366)) (1+0.16/12)42 (1+0,16 (17/365)) = 14.137,52 KM. e) Kg = 8.000 (1+0.16/366)319 (1+0.16/365)990 = 14.192,90 KM. f) Kg = 8.000 0,16 (319 / 366 2 260 / 365) 14.194,69 + + =e KM..

5 Prijeduzee A je 16.2.2000. godine dalo kratkoronu pozajmicu (kredit) prijeduzeu B u iznosu od 9.000.000 KM. Koji iznos je trebalo prijeduzee B da vrati 17.7.2000. godine, ako je kamatna stopa bila u februaru 19% mesecno, u martu i aprilu 20% mesecno, u maju 22% mesecno, a u junu i julu 37% mesecno? Problem resiti upotrebom: a) konformne kamatne stope, b) kontinuelnog kapitalisanja. Rijeenje: a) 13 / 29 2 1 18 / 319 1,19 1,2 1,22 1,37 28,115 mil. KM+= =gK b) 0,19 13 / 29 0,2 0,22 1 0,37(1 18 / 310)9 32,695 mil. KM + + + += =gK e

_____________________________________________________________________ Iz naprijed izloenog dajemo rezime za praktinu upotrebu konformne kamatne stope u karakteristinim situacijama koje susreemo u praksi. A) Data je godinja stopa p, uz m=1, a eli se: a) meseni obraun kamate i odgovarajua mesena stopa; b) dnevni obraun kamate i odgovarajua dnevna stopa. a) Kg = K(1+pcM)M = K(1+p)M/12 (21) PCM(1+P)1/12-1 (22) M je oznaka za broj meseci za koje treba obraunati kamatu ____________________________________________________________________

6. Za K = 1.000; p = 18%; M = 5 (mjeseci) bie: Kg=1.000 5 /121,18 1.071,40 = PCM = 1,181/2 -1=1,388843%

____________________________________________________________________ b) Kg = K(1 +pcd)d = K(1 +p)d/dg (23) Pcd = 1/(1 ) 1+ dgp (24)

7. Za K = 1.000; p = 18%; d = 67 ( od 15.02.2004 do 22.04.2004), bie: Kg = 1.000 1,1867/363 = 1030,76 pcd = 1,1867/363 -1 = 0,0452328%

B) Data je mesena stopa PM, a eli se: a) meseni obraun kamate; b) dnevni obraun kamate i odgovarajua dnevna stopa; c) odgovarajua godinja stopa. a) Kg = K(1+pM)M (25) ______________________________________________________________

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

44

8. Za K = 1.000; pM = 8% ; M = 5, bie: Kg = 1.000 1,085 = 1.469,33

b) Kg = K(1 +pcd)d = K(1 +pM)d/dM (26) Pcd = (1+pM)1/dM -1 (27) dM je oznaka za ukupan broj dana u posmatranom mesecu. _____________________________________________________________________

9. Za K= 1.000; pM = 8%; d=19 (od 3.5.2004. do 22.5.2004) bie: Pcd = 1,081/31 -1 = 0,2485648% Kg = 1.000 1,0819/31=1.048,30 10. Ako je u 9. primjeru d=67 (od 15.2.2004. do 22.4.2004.), onda e biti: Kg = 1.000 1,0814/29+1+2M0 = 1185,96 pcdII = 1,081/29 - 1 = 0,26573% je dnevna konformna stopa u februaru; pcdIII = 1,081/31 - 1= 0,2485698% je dnevna konformna stopa u martu; pcdIV = 1,081/3 -1 = 0,2568661 % je dnevna konformna stopa u aprilu; pcd= (1,08M/29+U22/30)1/67 -1 = 0,2548806% je prosena dnevna stopa u posmatranih 67 dana. 11. Ako je u 10. primjeru pMII = 8%, pMIII = 9%, a pMIV = 10%, onda e biti: Kg=1.000 1.0814/29 1,09 1,122/30 = 1213,16 pcdII = 1,081/29 - 1 = 0,2657354%; pcdIII = 1,091/31 - 1=0,278379%; pcdIV = 1,11/3 - 1 = 0,3182058%; pcd=(1,0814/29 1,09 1,122/30)1/67 - 1 = 0,2888124%

c) P = (1+PM)12-1 (28) _______________________________________________________________

12. Ako je pM = 124% = 1,24; onda je p = (1+1,24)12 -1 = 1.959.691,767% (!!!) odgovarajua godinja stopa.

______________________________________________________________________ C) Data je dnevna stopa pd, a eli se: a) dnevni obraun kamate; b) odgovarajua mesena stopa; c) odgovarajua godinja stopa. a) Kg = K(1+Pd)d (29)

13. Ako je K = 1.000; pd = 1 %; d = 67 (od 15.2.2004. do 22.4.2004) onda e biti: Kg = 1.000 1,0167 = 1.947,74. Meutim, ako je u istom periodu dnevna stopa u februaru bila 1%, u martu 2%, u aprilu 3%, onda vai: Kg = 1.000 1,0114 1,0231 1,0322 = 4.069,34 dok je:

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

45

Pd = (1,0114 1,0231 1,0322 )1/67 -1 = 2,1168397% prosena dnevna stopa u posmatranih 67 dana, a Pd = (1.0129 1,0231 1,0330 )1/9 -1 = 2,0078981% prosena dnevna stopa u tromeseju kojeg ine februar, mart i april 2004. godine.

14. Ako je pd = 1%, onda je: pM = 1,0131 -1 = 36,1327404% odgovarajua mjesena stopa za mjesece koji imaju 31 dan; pM = 1,0130 -1 = 34,784915% je odgovarajua mjesena stopa za mjesece koji imaju 30 dana; pM = 1,0128 -1 = 32,1290967% je odgovarajua mjesena stopa za februar u godini koja nije prijestupna (tzv. prostoj godini); pM = 1,0129 -1 = 33,4503877% je odgovarajua mjesena stopa za februar u prijestupnoj godini.

_____________________________________________________________________ c) p = (1 + pd )dg 1 (31) _____________________________________________________________________

15. Ako je pd = 1%, onda je: p = 1,01365 1 = 3678,343433% odgovarajua godinja stopa za godinu koja nije prijestupna, dok je: p = 1,01366 -1 = 3716,126868% odgovarajua godinja stopa za prijestupnu godinu.

_____________________________________________________________________

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

46

3.2.Problemdiskontovanjajednokratnih,sporadinihplaanja Transformacijom (7), (9), (9a), (12), (12a), (18), (19) i (20) dobiju se odgovarajui obrasci (formule) za izraunavanje diskontovane vrijednosti K:

g

g

(1 ) (32)

K=K (1 / ) (33)

K=K (1 )

= +++

gg

mg

nN

K K p

p m

p

g

g

(34)

K=K (35)

K=K

Nn p

g p

e

e1 1 2 2

1 1 2 2

( / / )g

-1 m g 1g 1 g1 2 2

( / / )g

(36)

K=K (1 / ) (37)

K=K (1+p (d /d )) (1+p/m) (1 ( / )) (38)

K=K

+ +

+ +

+ +

d s mg d s

g

p d s g d s

p m

p d d

e (39)

Na isti nain se, po potrebi, mogu transformisati i jednaine (21), (23), (25), (26) i (29). Rad sa konkretnim primjerima je vrlo slian onom koji smo imali za izraunavanje Kg, pa je obrada primjera ovoga puta nepotrebna.

3.3.3. Problem izraunavanja interesa (kamate) Interes je razlika izmeu ukamaene i diskontovane vrijednosti, tj. l = Kg-K Ako je poznata samo jedna od vrijednosti K i Kg onda se druga izraunava prijema ve objanjenim, prikazanim obrascima, a moe se ispostaviti i direktna funkcionalna veza izmeu interesa s jedne i ukamaene odnosno diskontovane vrijednosti s druge strane, tj. I = f(K) odnosno I=f(Kg) Za sluaj Kg=K(1+p)9bie: I = K(1+p)g - K - I = K ((1+p)g -1) - K = I/((1+p)-g -1) ( 41)

47

Na slian nain se dobiju obrasci i za druge situacije:

((1 / ) 1) (42)((1 ) 1) (43)

(

= + = + =

mg

nN

n

I K p mI K p

I K e 1) (44)( 1) (45)

=

Np

g pI K eI 1 1 2 2

1 1 2 2

( / / )

1 1 2 2

( / / )

((1 / ) 1) (46)(1 ( / )) (1 / ) (1 ( / )) 1) (47)

( 1)

+ +

+ +

= + = + + + =

d s mg d s

m gg g

p d s g d s

K p mI K p d d p m p d d

I K e (48)

Na isti nain se dobiju obrasci i za ostale situacije ((21), (23), (25), (26) i (29)). Bez potekoa se dobije i I = f(Kg). Npr. za Kg = K(1+p/m)mg bie:

1(1 / ) (1 (1 / ) ) 1 (1 / )

= = + = + = +

mg mgg g g g g m gI K K K K p m K p m K p m

(49)

Na isti nain se mogu dobiti obrasci i za ostale sluajeve, samo je pitanje praktine koristi od takvih obrazaca.

48

3.4.Problemizraunavanjakamatnestope Transformacijom jednaine (7) dobijamo: (1+p)q-Kg/K-p = K(Kg/K)1/g -1 (50) Slino iz (9), (9a), (12), (12a), (18) i (20) dobijemo

1/

1/N

N

/ ( / ) 1 (51)

p ( / ) 1 (52)p (1/ ) ( / )

= = =

mgg

ng

g

p m K K

K K

n In K K

1 1 1

g

1/( / / )g

(53)

p=(1/g) In(K / ) (54)

p/m=(K / ) 1 + +

d s mg d sK

K

g

1 1 2 2

(55)

In(K / )p= (56)

/ /+ +g gK

d d g d d

Meutim, iz (19) p nije mogue eksplicitno izraziti. Do reenja je mogue doi samo metodama priblinog raunanja (npr. iterativnim metodom), ali je pitanje praktine koristi od toga, jer se problem takve vrste u praksi ne pojavljuje.

16. 16.02.2000. je dato na kamaenje 8.000 KM. Uz koju godinju stopu e ovaj iznos porasti za 5.617,64 KM. za vreme do 17.9.2000. ako je kapitalisanje: a) godinje uz upotrebu konformne stope, b) kontinuelno?

Rijeenje:

1 1 2 2

1/(319 / 366 2 260 / 365)

8.000; 13.617,64; 1; 2; 366; 319; 365; 260

) (13.617,64 / 8.000) 1 0,16 16%(13.617,64 / 8.000)) 0,14842 14,842%

319 / 366 2 260 / 365

+ += = = = = = = == = == = =+ +

gK K m g s d s d

a pInb p

17. Uz koju mesenu stopu e se bilo koji iznos koji iznos dat na kamaenje 15.2.2004. utrostruiti za 67 dana, tj. do 22.4.2004. ako se podrazumeva: a)upotreba konformne kamatne stope, b)kontinuelno kapitalisanje?

11

1 1 1

11

2

22 22

22

2

2 23

3

33 3

3

33 33

Primer

49

Rjeenje:

14 / 29 1 22 / 30

1/(14 / 29 1 22 / 30)

(14 / 2 1 22 / 30)

3

) (1 ) 3

3 1 64,17177%

) 33 49,5743%

14 / 29 1 22 / 30

+ +

+ +

+ +

= + =

= = = = =+ +

m

g

M

Mp

d

K K

a K p K

p

b K e KInp

18. Uz koju dnevnu stopu e se realizovatiuslovi iz 17. primjera? Rjeenje:

67

1/ 67

67

) (1 ) 3

3 1 1.653237%

) 3( 3) / 67 1.639719%

+ = = = = = +

d

d

dp

d

a K p K

p

b K e Kp In

3.3.5. Problem izraunavanja broja perioda kamaenja, odnosno odreivanja vremenskog intervala kamaenja Ovaj problem se svodi na odreivanje vremenskog perioda (intervala) koji protekne od dana ulaganja (pozajmljivanja) do dana podizanja (vraanja) tj. vremenskog perioda u kojem je neki iznos bio pod kamaenjem. Iz (7), (9), (9a), (1,2) i (12a) se eksplicitno moe izraziti broj perioda koji prijedstavlja vreme kamaenja. Iz (7) slijedi: (1 ) / ,

(1 ) ( / ),( / )(1 )

+ = + == +

gg

g

g

p K K

g In p In K K

In K Kg

In p

(57)

Slinim postupkom se dalje dobije:

g

( / ) (58)

(1 / )( / )

n= (59)(1 )

In(K / )n=

= +

+

g

g

N

N

In K Kmg

In p mIn K KIn p

Kp

(60)

In( / )g= (61)g

K Kp

50

Za ostale situacije (18), (19) i (20) nije mogue dati eksplicitni oblik, ali emo pokazati mogunost rjeevanja konkretnih problema i za takve sluajeve. _____________________________________________________________________ 19. Za koje vrijeme e iznos od 8.000 KM. uloen 16.2.2000. porasti, uz 16% kamate godinje, na: a) 13.617,64 KM uz godinje kapitalisanje i upotrebu konformne kamatne stope za nepotpune periode; b) 13.663,98 KM uz godinje kapitalisanje i upotrebu prostog interesa za nepotpune periode; c) 14.194,69 KM uz kontinuelno kapitalisanje? Rjeenje: a) K = 8.000, Kg = 13.617,64, p = 0,16 8.000 KM ukamaeno do kraja 2000. godine tj. do prvog obrauna kamate, iznosi: 8.000 1,16319/366 = 9.104,80 KM. Dalje se pitamo, koliko godina treba kamatiti 9.104,80 KM da bi se raspolagalo sa 13.617,64 KM, tj.

(13.617,64 / 9.104,80)9.104,80 1,16 13.617,64; 2.7123287661,16

= = =g IngIn

Znai, traeni dan kraja vremena kamaenja se nalazi u 2003. godini, a broj dana kamaenja u 2003. godini dobija se ovako: 0,712328766 365 = 260 dana Prijema tome sa 13.617,64 KM e se pri uslovima pod a) raspolagati 17.9.2003 godine. Ovo se moe uraditi i krae, ovako: 8000 1,16 13617,64

ln(13617,64 / 8000) 3,583913465ln1,16

3,583913465 319 / 366 2,7123287660,712328766 365 260

== =

= =

g

g

b)Postupa se isto kao pod a) 8000 (1 0,16 (319 / 366)) 9115,63 din.

ln(13663,98/911,63)g= 2,72721024.ln1,16

+ ==

Dalje se, s obzirom na kombinaciju prostog interesa, radi ovako:

29115,63 1,16 12265,99 = KM. je ukamaena vrijednost na dan 31.12.2002. godine, pa e biti: 212265,99 (1 0,16 ( / 365)) 13663,98 + =d

51

213663,98 3651 260 dana12265,99 0,16 = = d

Znai poslednji dan kamaenja je 17.9.2003. U ovom sluaju nije moguc krai postupak. 21. Dana 22.04.2000. dunik je vratio 64,975% vie nego to je pozajmio. U periodu dogovaranja kamata se raunala 0,75% dnevno. Kada je pozajmljen novac? Rijeenje:

0,64975 1,64975

1,0075 1,64975 K,ln1,64975d= 67ln1,0075

= + = =

=

g

d

K K K K

K

Prema tome, novac je pozajmljen 15.02.2000. godine.

52

53

4. Eskontovanje mjenica Mjenica je hartija od vrijednosti sa zakonski odreenom formom, a slui u poslovima regulisanja dunikopovjerilakih odnosa, kao sredstvo obezbjeenja kredita, kao sredstvo obezbeenja plaanja i kao sredstvo (instrument) plaanja. Ako mjenica sadri nalog (naredbu) izdavaoca (trasant) izdat (upuen) drugom licu (trasat), kod koga izdavalac ima (ili treba da ima) pokrie ili mogunost zaduenja, da u odreeno vreme isplati treem licu (remitent) sumu novca upisanu na mjenici, onda je rije o tzv. trasiranoj ili vuenoj mjenici. Ako mjenica sadri nalog (naredbu) izdavaoca (trasant) izdat (upuen) drugom licu (trasant), kod koga izdavalac ima (ili treba da ima) pokrie ili mogunost zaduenja , da u odreeno vrijeme isplati treem licu (remitent) sumu novca upisanu na mjenici , onda je rije o tzv.trasiranoj ili vuenoj mjenici. Kae se: 1) dunik (trasant) tarsira (izdaje i potpisuje) mjenicu koju prijedaje povjeriocu (remitentu) kao garanciju da e dug biti isplaen na dan dospjea mjenice; 2)povjerilac (prodava robe) vue na svoga dunika (kupca) mjenicu koju ovaj akceptira (potpisuje). _____________________________________________________________________ Fabrika bicikla Partizan Subotica prodala je odreenu koliinu bicikla prijeduzeu Metal Banja Luka i za prodatu robu dostavlja fakturu Metal prijema dogovoru sa FB Partizan ne plaa isporuenu robu odmah,ve 7.9.1987.izdajemjenicu na iznos od 23.169.888 KM.sa rokom dospjea 2.12.98.Ovom mjenicom Metal daje nalog Privrednoj banci , Sarajevo-Osnovna banka Banja Luka da 2.12.87. isplati FB Partizan sumu oznaenu na mjenici. U ovom primjeru vai slijedee: Metal" - Banja Luka je trasant; FB "Partizan", Subotica je remitent; Privredna banka Sarajevo - Osnovna banka Banja Luka je trasat, a ako potpisom mjenice jami (garantuje) plaanje, onda je i avalista (mjenino jemstvo = aval). _____________________________________________________________________ Ako mjenica sadri bezuslovno obeanje (obavezu) da e biti isplaena suma novca upisana na mjenici, onda je rije o tzv. sopstvenoj mjenici, u kojoj su trasant i trasat isto lice. Ako mjenica sadri samo potpis trasanta, a remitent je ovlaten da ispuni mjenicu, shodno ugovoru o mjeninom poslu, tj. poslu zbog koga se mjenica i izdaje, onda je rije o tzv. blanko mjenici. U naoj praksi, kada su u upotrebi, uglavnom se koriste trasirane mjenice, pa e dalje biti rei samo o njima. Iznos na koji glasi mjenica se naziva nominalna vrijednost ili mjenini iznos. Smatra se prirodnim da prodava robe zahtjeva od kupca da mjenicu potpie na takav iznos koji e obuhvatiti vrijednost robe po fakturi uveanu za kamatu za vrjeme od izdanja mjenice do dana dospjea mjenice, tj. do konane isplate duga (podrazumjevajui da je mjenica izdata na dan kada je dug trebalo platiti po fakturi). Kamata koja se obraunava u poslovanju s mjenicama naziva se eskont. Prijema tome prirodno je nominalnu vrijednost tretirati kao uveanu glavnicu, a vrijednost mjeninog posla kao istu glavnicu. Eskontovati mjenicu znai kupiti je, a diskontovati, prodati je prije njenog roka dospjea.

54

Kada imalac mjenice podnese mjenicu na eskontovanje da bi svoje potraivanje po mjeninom poslu ostvario prije roka dospjea mjenice kae se da je izvreno tzv. indosiranje mjenice, tj. da je izvreno prijenoenje prava po mjenici na neko drugo lice - indosatora. Imalac mjenice koji svoja prava prijenosi na indosatora naziva se indosant, pri emu je remitent prvi indosant. Indosiranje se vri uz izjavu indosanta, koja se najee daje na poleini mjenice a koja se naziva indosament ili indosman. Ako je izvedeno indosiranje, onda e kupac robe (dunik) svoj dug, po isteku roka dospjea mjenice, isplatiti indosatoru, umjesto prodavcu (povjeriocu, remitentu). Vrjednost koju banka (ili neki drugi kupac mjenice) isplauje za eskontovanu mjenicu nazivamo diskontovana vrijednost mjenice, koja je od nominalne vrijednosti manja za kamatu (eskont) raunatu za vrijeme koje protekne od dana eskontovanja do dana dospjea mjenice. Eskont je najvei ako je mjenica eskontovana na dan njenog izdavanja, a smanjuje se sa smanjenjem broja dana koji prijeostaju do dana dospjea mjenice. Reeskontovati mjenicu, znai eskontovati ve eskontovanu mjenicu. Obino poslovne banke eskontuju mjenice svojih komitenata, a nacionalne banke reeskontuju mjenice poslovnih banaka. Prijema zakonu o mjenici dunik treba da isplati mjenini iznos najkasnije dva dana po dospjeu mjenice ili da drugaije regulie svoju obavezu. Jedan od naina regulisanja mjenine obaveze je prolongacija duga izdavanjem nove mjenice. Ukoliko dug nije regulisan u pomenutom roku, vri se protest mjenice kod nadlenog suda. Pored eskonta u poslovanju sa mjenicama mogu se obraunavati provizija i trokovi. Usvojimo da se provizija rauna procentnirn (promilnirn) raunom od nominalne vrijednosti mjenice kao iste glavnice, a trokovi u fiksnom novanom iznosu. Visoka inflacija je uvjerila ljude koji se u praksi bave mjenicama da je potrebno nominalnu vrijednost mjenice tretirati kao uveanu glavnicu pri izraunavanju eskonta, tako da je i Sporazumom banaka o politici kamatnih stopa prijedvien sloeni kamatni raun "vie sto" kod obrauna eskonta prilikom eskontovanja mjenica. . Usvojimo sledee oznake: NV je oznaka za nominalnu vrijednost mjenice (mjenini iznos); VMP je oznaka za vrijednost mjeninog posla (fakturna vrijednost robe ili usluge); DV je oznaka za diskontovanu vrijednost mjenice; E je oznaka za ukupnu kamatu sadranu u nominalnoj vrijednosti mjenice; E je oznaka za iznos eskonta koji banka (ili neki drugi kupac mjenice) odbija od nominalne vrijednosti mjenice pri eskontovanju mjenice; E -E je oznaka za dio eskonta koji ostaje imaocu mjenice; d je oznaka za broj dana koji protekne od dana izdavanja do dana dospjea mjenice;

d je oznaka za broj dana koji protekne od dana eskontovanja do dana dospjea mjenice;

55

d -d je oznaka za broj dana koji protekne od dana izdavanja do dana eskontovanja mjenice;

p je oznaka za eskontnu stopu (godinju).

Ako je d =d , onda je

E =E i VMP=DV.

Koristei obrasce iz sloenog kamatnog rauna dobijemo sledee formule za obraun eskonta pri eskontovanju mjenica i utvrivanje veza izmeu nominalne vrijednosti mjenice, vrijednosti mjeninog posla i diskontovane vrijednosti mjenice:

/(1 ) (1)= + d dgNV VMP p /(1 ) (1a)

= + d dgMP NV p =DV( ) /(1 ) (2) = + d d dgDV VMP p

( ) /(1 ) (2a)= + d d dgMP DV p

Djeljenjem (1) sa (2) dobije se:

/ d/dg/ (1 ) NV=DV(1+p) (3)= + d dgNV DV p /(1 ) (3a)= + d dgDV NV p

(4) = E NV VMP

Zamjenom (1) u (4) dobije se:

/(1 ) 1 (4a) = + d dgE VMP p

Zamjenom (1a) u (4) dobije se:

/1 (1 ) (4b) = + d dgE VMP p

(5)= E NV DV Zamjenom (3) u (5) se dobije:

( )/(1 ) 1 (5a)= + d dgE DV p Zamjenom (3a) u (5) se dobije:

( )/1 (1 ) (5b)= + d dgE NV p (6)

= E E DV VMP ( ) /(1 ) 1 (6a) = + d d dgE E VMP p

( ) /1 (1 ) (6b) = + d d dgE E DV p

56

57

5. Kamaenje i diskontovanje viekratnih periodinih plaanja Pod periodinim plaanjem podrazumjevamo plaanja (uplate i isplate) izvrena u jednakim vremenskim razmacima, u jednakim iznosima ili iznosima meu kojima postoji jedinstvena matematika veza (funkcionalna zavisnost) koje omoguuju njihovo kamaenje i diskontovanje jednom jeKMstvenom formulom, a ne samo pojedinano kao kod sporadinih jednokratnih plaanja koja se javljaju u nepravilno razliitim iznosima ili u razliitim vremenskim razmacima. Kao periodina plaanja se najee javljaju ulozi, rente i anuiteti, a meu njima najvie anuiteti, pa emo zbog toga njima posvetiti posebno poglavlje. Kada je rje o veliini, najee susreemo periodino jednaka plaanja, a rjee takva, koja rastu ili opadaju prijema nekoj od matematikih zakonitosti poput aritmetikih i geometrijskih progresija. Periodika plaanja ne mora da se poklapa sa periodikom kapitalisanja. U praksi susreemo i takva, a naroito plaanja koja se vre ee od kapitalisanja. Zavisno od praktine potrebe periodina plaanja se kamate ili diskontuju u svrhu iznalaenja zbira njihovih ukamaenih ili diskontovanih vrjednosti. Problematika periodinih plaanja je tema za itavu knjigu, ali s obzirom na znaaj u praksi ovom prilikom prikazujemo (pored posebne teme o anuitetima) samo formiranje sume ukamaenih i sume diskontovanih vrjednosti periodino jednakih plaanja, pri emu se periodika plaanja poklapa sa periodikom kapitalisanja ili su plaanja ea od kapitalisanja, podrazumjevajui primjenu konformne kamatne stope. Usvojimo sledee oznake: P je oznaka za periodina plaanja, koja izmeu ostalog mogu biti: ulozi U, rente R i anuiteti A. Ulozi su plaanja koja periodino deponujemo u svrhu raspolaganja odreenog iznosa novca po isteku nekog vremenskog perioda. Rente su plaanja koja ulaga jednokratnog iznosa (mie) prima po osnovu uloenog iznosa. Anuiceti su plaanja koja zajamoprimalac periodino plaa u svrhu otplate duga. s je oznaka za broj periodinih plaanja u jednom periodu kapitalisanja i poklapa se sa brojem obrauna kamate koja se eli izvriti sa konformnom kamatnom stopom u jednom periodu datog kapitalisanja. Sg je oznaka za sumu ukamaenih vrijednosti periodinih plaanja P (najee uloga U) formirana perod poslije pasljednjeg plaanja. S0 je oznaka za sumu diskontovanih vrijednosti periodinih plaanja (najee rente R) formiranu jedan period prije prvog plaanja.

58

Prikazaemo na vremenskoj liniji odnos smg plaanja u g godini i stanja gS odnosno 0S (Sl. 10-4).

Na osnovu prijetpostavki i usvojenih oznaka dobijamo (poevi od poslednjeg plaanja)

1/ /(1 / ) (1 / )= + + +s smg sgS P p m P p m Sabirci u izrazu na desnoj strani ove jednakosti prijedstavljaju lanove geometrijskog niza,u kome je prvi lan 1/(1 / )+ sP p m ,a kolinik 1/(1 / )+ sp m . Izraunati gS znai nai zbir prvih smg lanova pomenutog niza , pa e dalje biti:

( )1/1/1/

(1 / ) 1(1 / )

(1 / ) 1

+ = + + smgs

sg s

p mS P p m

p m

odnosno:

1/

(1 / ) 11 (1 / )+ = +

mg

g s

p mS Pp m

(1)

Rijee u upotrebi suma ukamaenih vrijednosti periodinih plaanja koja se formira na dan posljednjeg plaanja tj.

1/1/

(1 / ) 1(1 / )(1 / ) 1

+ = + = + mg

sg g s

p mS S p m Pp m

(2)

pa slian nain dobijamo:

1/ 2 / /0 (1 / ) (1 / ) ... (1 / )

= + + + + + +s s smg sS P p m P p m P p m ( )1/1/

0 1/

(1 / ) 1(1 / )

(1 / ) 1

+ = + +

smgss

s

p mS P p m

p m

0 1/

1 (1 / )(1 / ) 1

+= + mg

s

p mS Pp m

(3)

Rijee je u upotrebi suma diskontovanih vrijednosti periodinih plaanja koja se formira na dan prvog plaanja , tj.

1/0 0 1/

1 (1 / )(1 / )1 (1 / )

+= + = +

mgs

s

p mS S p m Pp m

(4)

59

Za sluaj kontinuelnog kapitalisanja vai: 1

/1

= N

N

np

g p s

eS Pe

(5)

pri emu je s oznaka za broj periodinih plaanja u jednom periodu za koji vai nominalna (data) stopa Np .

0 /

11

= N

N

np

p s

eS Pe

(6)

za =Np p i n=g bie:

/

11

= pg

g p s

eS Pe