persamaan diferensial orde satu · 2019-02-13 · 2/13/2019 [mug1b3] kalkulus ii 2 persamaan...
TRANSCRIPT
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 2
Persamaan Diferensial
Definisi
• Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu ataulebih turunan dari fungsi yang tidak diketahui.
• Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah bebas maka disebutPersamaan Diferensial Biasa (PDB).
Contoh:
• Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan PersamaanDiferensial Parsial (PDP).
Contoh :
2 2' cos , " 9 , y'y"' 3y' 0xy x y y e−= + = − =
2 2
2 2 0u u
x y
+ =
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 3
Persamaan Diferensial [2]
• PDB dikatakan linier, apabila PD tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya yang bersifat linear (dalam pangkat satu).
• Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB
• Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikutan(x) y(n) + an-1(x) y(n-1) + … + a0(x) y = f(x)
dengan an(x) 0 dan an(x), an-1(x), … , a0(x) adalah koefisien PD.
• Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.
4
Contoh
dt
dN(1)
(2) y ’ + 2 cos 2x = 0
(3) y” + ex y’ + sin (xy) = ex sin x , orde 2, tidak linier, tidak homogen
x3 y”+ cos 2x (y’)3= x2 y2 , orde 2, tidak linier, homogen
= kN , N = N(t)
(4)
, orde 1 dengan N peubah tak bebas dan t peubah bebas, linier, homogen
, orde 1 dengan y peubah tak bebas dan x peubah bebas, linier, tidak homogen
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 5
Solusi
• Suatu persamaan diferensial dimana y sebagai peubah tak bebas yang bergantung pada peubah bebas x (fungsi y = f (x)) disebut solusi PDB jikafungsi y = f (x) disubtitusikan ke PDB diperolehpersamaan identitas.
• Solusi umum dan solusi khusus
Jika fungsi y = f (x) memuat konstanta C makasolusi disebut solusi umum, sebaliknya disebutsolusi khusus.
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 6
Contoh
(1) y = cos x + c → solusi umum
Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0Karena (cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0
(2) y = cos x + 6 → solusi khusus
Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0Karena(cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 7
PDB Orde 1
• PDB terpisah
• PDB dengan koefisien fungsi homogen
• PDB Linier
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 8
PDB terpisah
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : disebut PDB terpisah.
Penyelesaian : integralkan kedua ruas
Contoh : tentukan solusi umum PD (x ln x) y' = y
3' yy x e−= , y(2) = 0
1.
2.
2/13/20199
CONTOH1) Jawab:
(x ln x) y' = y
ydx
dyxx =ln
xx
dx
y
dy
ln=
=xx
dx
y
dy
ln
( )ln | | ln | ln | *y x c= +
*
| | | ln |cy e x=
Sehingga solusi umum adalah
*
ln ; ( )cy c x c e= =
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 10
Contoh
2. Jawab:
y' = x3 e-y
yexdx
dy −= 3
dxxe
dyy
3=−
= dxxdye y 3
cxe y += 4
4
1
+= cxy 4
4
1ln
+= c4)2(
4
1ln0
Jadi solusi khusus PD tersebut
adalah
−= 3
4
1ln 2xy
Diketahui y(2) = 0, sehingga
341 −=→+= cc
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 11
Latihan
2
2
1 y
x
dx
dy
−=
)1(2
243 2
−
++=
y
xx
dx
dy
)1('
3
2
xy
xy
+=
221' xyyxy +++=
1)0(,21
cos2
=+
= yy
xy
dx
dy
0)0(),1)(1(2' 2 =++= yyxy
)21)(21(' 32 xxyy +++=
1)0(,0)1( ==++ yyedx
dye xx
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
12
Fungsi homogen
• Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jikaA(kx,ky) = knA(x,y),
k konstan sembarang
• Contoh :
Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak !
1. A(x,y) = x + y
A(kx,ky) = kx + ky
= k (x + y) = k A(x,y)
Maka A(x,y) = x + y adalah fungsi homogen dengan derajat 1
2. A(x,y) = x2 + xy
A(kx,ky) = k2x2 + kx ky
= k2 (x2+xy) = k2 A(x,y)
Maka A(x,y) = x2 + xy adalah fungsi homogen dengan derajat 2
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 13
PD dengan koefisien fungsi homogen
• PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk
),(
),('
yxB
yxAy =
dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.
Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)
uxuy += ''
dx
dy
dx
du= x + u
dy = x du + u dx
dengan
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 14
ContohSelesaikan solusi persamaan diferensial berikut
'x y
yx
+=1)
Jawab:
Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx
x
yx
dx
dy +=
+=
x
y
dx
dy1 u
dx
dxudux+=
+1 ( )dxudxudux +=+ 1
dxdux = x
dxdu = =
x
dxdu lnu x c= +
lny
x cx= + lny x x c x= +
Jadi solusi umum dari PD di atas adalah lny x x c x= +
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 15
Contoh
2)
Jawab:
Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx
2
2 2
x
xyy
dx
dy +=
+
=
x
y
x
y
dx
dy2
2
uudx
dxudux22 +=
+ ( )dxuudxudux 22 +=+
( )dxuudux += 2
x
dx
uu
du=
+2 =+ x
dx
uu
du2
( 1)
du dx
u u x=
+ 1 1
1
dxdu
u u x
− =
+ ln ln 1 ln lnu u x c− + = +
0xy2ydx
dyx 22 =−− , y(1)=1
2/13/2019 16
2/13/201916
ln ln | |1
uc x
u=
+ ln ln | |1
yx c x
yx
=+
ln ln | |y
c xy x
=+
| |y
c xy x
=+
2( ); (k c)y k xy x= + =
2
1
kxy
kx=
−
Diketahui y(1) = 1, sehingga
11
k
k=
−
1
2k =
Jadi solusi khusus PD di atas adalahx
xy
−=
2
2
2(1 )y kx kx− =
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 17
Latihan
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini
xy
yx
dx
dy
2
3 22 +=
2
2 2
x
xyy
dx
dy +=
yx
yx
dx
dy
−
+=
3
2
22
x
yxyx
dx
dy ++=
yx
yx
dx
dy
+
+−=2
34
yx
xy
dx
dy
−
−=2
34
2y dx – x dy = 0
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 18
PDB Linier
PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk :
y’+ P(x) y = r(x)
disebut PDB linier.
Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integrasi
dxxP
e)(
( ) ( ) ( )
'( ) ( )
' ( ) ( )
( )
P x dx P x dx P x dx
P x dx P x dx
y e P x y e r x e
ye r x e
+ =
=
Kemudian, kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh:
Integralkan kedua ruas
( ) ( )( )
P x dx P x dxye r x e dx C = +
Solusi Umum PDB
( )
( )
( )P x dx
P x dx
r x e dx C
y
e
+ =
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 19
Contoh
1.) xy’ – 2y = x3 ex
Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini
Jawab:
xexyx
y 22' =− (bagi kedua ruas dengan x)
Sehingga diperoleh faktor integrasi:
2lnln2
22 −−
−
=== −
xeee xxdx
x
kalikan kedua ruas dengan x-2, yaitu:
xeyx
yx
=−32
2'
1
'
2
1 xy ex
=
2
1 xy e dxx
=
22 xcexy x +=
Jadi solusi umumnya adalah22 xcexy x +=
2
1 xy e cx
= +
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 20
Contoh
2. y’ + y = (x + 1)2, y(0) = 3
Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini
Jawab:
Faktor integrasi dari PD di atas adalah:
xdx
ee =1
kalikan kedua ruas dengan ex, yaitu:
( )21' +=+ xeyeye xxx
2( ) ' ( 1)x xe y e x= +
+= dxxeye xx 2)1( ( ) +−+= dxexexye xxx )1(212
( ) ( ) xcexxy −+++−+= 21212
( ) ceexexye xxxx +++−+= 2)1(212
sehinggaxcexy −++= 12
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 21
Contoh (no. 2 Lanjutan)
Diketahui y(0) = 3, sehingga
c+=13 2=c
Jadi solusi khusus PD di atas adalah2 1 2 xy x e−= + +
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 22
Latihan
Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini:
( )211
2'.4 +=
++ xx
yy
xxyy sectan'.3 =+
xeyy −=+2'.1
1')1(.2 2 −=++ xyyx
( ) -x6. xy'+ 1+x y=e , y(1)=0
22'.5 xyy =+
26
,2sincos2'sin.7 =
=+
yxxyyx
Trayektori ortogonal (TO)
• Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan (keluarga)
kurva yang orthogonal (tegak lurus) terhadap (keluarga) kurva lain
yang diketahui.
• Cara untuk mendapatkan TO dari suatu kurva G(x,y,c)=0 :
1. Tentukan sebuah PDB dengan menurunkan G(x,y,c)=0 atas x, dengan kurva yang
diketahui adalah solusi umumnya. PDB ini tidak lagi mengandung parameter c.
Sehingga PDB dari kurva yg diketahui adalah
2. Tentukan PDB dari trayektori orthogonal . . PDB ini adalah :
; dengan f yang sama dengan langkah ke-1.
3. Trayektori orthogonal ditentukan dengan menyelesaikan PDB dari Langkah ke-2.
1'
( , )y
f x y= −
' ( , ).y f x y=
)(~~ xyy =
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 24
Contoh
2cxy =Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva
Jawab:
Langkah-langkah menentukan TO :
1. Tuliskan2cxy = dalam bentuk
2x
yc =
Kemudian turunkan yaitu:2cxy =
2. TO akan memenuhi PD
cxy 2'=
=
22'
x
yxy
x
yy 2'=
1'
2 / 2
xy
y x y= − = −
2/13/2019 [MUG1B3] KALKULUS II 25
Contoh (lanjutan)3. TO dari adalah solusi dari PD berikut:
)(2
22
ellipscyx
=+
'2
xy
y= −
y
x
dx
dy
2−=
−= xdxydy2 cx
y +−=2
22
2cxy =
Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola2cxy =
adalah )(2
22
ellipscyx
=+
x
y