persamaan-diferensial-orde-11.ppsx

7/25/2019 persamaan-diferensial-orde-11.ppsx

1/22

Persamaan DiferensialOrde-1


2/22

Pengertian-Pengertian


3/22

Pengertian

Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai berikut:

1. Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan

persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak

termasuk pembahasan di sini, karena kita hanya meninjau

fungsi dengan satu peubah bebas.2. Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi

turunan fungsi yang ada dalam persamaan.

3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah

pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi.

Contoh:

adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.

Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat

satu atau lebih turunan fungsi.

xex

y

dx

yd

dx

yd=

++

+

12

5

2

22

3

3


4/22

Solusi

Suatu fungsi y = f(x) dikatakan merupakan solusi dari suatupersamaan diferensial jika persamaan tersebut tetap terpenuhi

dengan digantikannya y dan turunannya dalam persamaan tersebut

oleh f(x) dan turunannya.

adalah solusi dari persamaan

karena turunan adalah

dan jika ini kita masukkan dalam persamaan akan

kita peroleh

Contoh:

Persamaan terpenuhi.

Pada umumnya suatu persamaan orde n akan memiliki solusi yang

mengandung ntetapan sembarang.

0=+ xx keke

xkey = 0=+ y

dt

dy

xkey = xke

dt

dy =


5/22

Persamaan Diferensial Orde Satu

Dengan Peubah Yang

Dapat Dipisahkan


6/22

Pemisahan Peubah

Jika pemisahan peubah ini bisa dilakukan maka persamaan

diferensial dapat kita tuliskan dalam bentuk

Apabila kita lakukan integrasi, kita akan mendapatkan solusi

umum dengan satu tetapan sembarang K, yaituSuku-suku terbentuk dari peubah yang berbeda

0)()( =+ dxxgdyyf

=+ Kdxxgdyyf ))()(


7/22

Persamaan ini dapat kita tuliskan

yang kemudian dapat kita tuliskan sebagai

persamaan dengan peubah terpisah

sehingga atau

Contoh:

ntegrasi kedua ruas memberikan:

yxe

dx

dy =

0= dxedye xy

y

x

e

e

dx

dy=

Kee xy = Kee xy +=

Kdxedye xy =


8/22

Contoh:

Pemisahan peubah akan memberikan bentuk

atau

atau

ntegrasi kedua ruas:

xydx

dy 1=

0=x

dxydy

Kx

dxydy =

Kxy

=ln2

2

Kxy += 2ln

x

dxydy =


9/22

Persamaan Diferensial Homogen

Orde Satu


10/22

Persamaan Diferensial Homogen Orde Satu

!uatu persamaan disebut homogen jika ia dapat dituliskan

dalam bentuk

ni dapat dijadikan sebagai peubah

bebas baru

Pemisahan peubah:

yang akan memberikan

dan

atau:

=x

yF

dx

dy

x

yv

=vxy=

dx

dvxv

dx

dy+=)(vF

dx

dvxv =+

0)(=

+

vFv

dv

x

dx

vvFdx

dvx = )(

x

dx

vvF

dv =)(


11/22

Contoh:

"sahakan menjadi homogen

Peubah baru v = y/x

Peubah terpisah atau

02)( 22 =++ xydydxyx

02)1(2

22 =++ xydydx

x

yx

dyx

ydx

x

y2)1(

2

2

=+

)/()/(2

)/(1 2xyF

xy

xy

dx

dy=

+=

vxy=

dx

dvxv

dx

dy+= v

v

dx

dvxv

2

1 2+=+

v

v

v

vv

dx

dvx

2

31

2

122

+=+=

x

dx

v

vdv=

+ 231

20

31

2

2 =

+

+

v

vdv

x

dx

)(2

1

2

vFvv

dxdy =

+=


12/22

Kita harus mencari solusi

persamaan ini untuk mendapatkan

vsebagai fungsix.

#ita $oba hitung

!uku ke%dua ini berbentuk 1&' dan

kita tahu bah(a

)asil hitungan ini dapat digunakan untuk mengubah bentuk

persamaan menjadi

ntegrasi ke%dua ruas:

031

2

2 =

+

+

v

vdv

x

dx

dx

xd

x

)(ln1=

)6(

31

1)31(

)31(

)31ln()31ln(

2

2

2

22

v

vdv

vd

vd

vd

dv

vd

+=

+

+

+=

+

KKvx ==++ ln31)31ln(

31ln 2

0)31ln(

3

1 2=

++ dv

dv

vd

x

dx

KKvx ==++ ln)31ln(ln3 2

Kvx =+ )31( 23

( ) Kxyx =+23

)/(31 ( ) Kyxx =+ 22

3


13/22

Persamaan Diferensial Linier

Orde Satu


14/22

Dalam persamaan diferensial linier

semua suku berdera!at satu atau nol

Pdan Qmerupakan fungsix atau tetapan

Pembahasan akan dibatasi pada situasi dimana Padalah suatu tetapan.

)al ini kita lakukan karena pembahasan akan langsung dikaitkan dengan

pemanfaatan praktis dalam analisis rangkaian listrik.

Persamaan diferensial yang akan ditinjau dituliskan se$ara umum sebagai

*alam aplikasi pada analisis rangkaian listrik, f+t tidak terlalu

ber-ariasi. Mungkin ia bernilai , atau mempunyai bentuk sinyal

utamayang hanya ada tiga, yaitu anak tangga, eksponensial, dan

sinus. #emungkinan lain adalah bah(a ia merupakan bentuk

komposit yang merupakan gabungan dari bentuk utama.

/leh karena itu persamaan diferensial orde satuyang juga linier dapat kita tuliskan dalam bentuk

)(tfbydt

dya =+

QPydx

dy =+


15/22

Persamaan diferensial linier orde satu seperti ini biasa kita temui pada

peristi(a transien +atau peristi(a peralihan dalam rangkaian listrik.

0ara yang akan kita gunakan untuk men$ari solusi adalah $ara

pendugaan

Persamaan diferensial linier mempunyai solusi total yang merupakan

jumlah dari solusi khususdan solusi homogen. !olusi khusus adalah

fungsi yang dapat memenuhi persamaan yang diberikan, sedangkansolusi homogen adalah fungsi yang dapat memenuhi persamaan

homogen

Peubah y adalah keluaran rangkaian +atau biasa disebut tanggapan

rangkaian yang dapat berupa tegangan ataupun arus sedangkan nilai

a dan b ditentukan oleh nilai%nilai elemen yang membentuk rangkaian.

ungsi f+t adalah masukan pada rangkaian yang dapat berupategangan ataupun arus dan disebut fungsi pemaksa atau fungsi

penggerak.

0=+bydt

dya


16/22

)al ini dapat difahami karena jika f1+tmemenuhi persamaan yang

diberikan dan fungsi f2+tmemenuhi persamaan homogen, maka y +f

1f

2) akan juga memenuhi persamaan yang diberikan, sebab

Jadi y +f1f2 adalah solusi dari persamaan yang diberikan, dan

kita sebut solusi total. *engan kata lain solusi total adalahjumlah

dari solusi khusus dan solusi homogen.

( )

0

)(

11

22

11

2121

++=+++=

+++

=+

bfdt

df

abfdt

df

abfdt

df

a

ffbdt

ffdaby

dt

dya


17/22

Solusi Homogen

Persamaan homogen

Jikayaadalah solusinyamaka

ntegrasi kedua ruas memberikan

sehingga

nilah solusi homogen

0

=+by

dt

dya

0=+ dta

b

y

dy

a

a

Kta

bya =+ln Kt

a

bya +=ln

taba

Kta

b

a eKey)/(+ ==


18/22

4entuk f+t ini menentukan bagaimana bentuk yp.

Jika solusi khusus adalah yp, maka

*ugaan bentuk%bentuk solusi ypyang tergantung dari f+t ini

dapat diperoleh karena hanya dengan bentuk%bentuk seperti

itulah persamaan diferensial dapat dipenuhi

Jika dugaan solusi total adalah

Masih harus ditentukan melalui kondisi a(al.

)(tfbydt

dya

p

p =+

tKtKytAtftAtf

KeyAetf

KyAtf

ytf

scp

tp

t

p

p

+===

====

====

==

sincoscos)(atau,sin)(Jika

aleksponensial,eksponensi)(Jika

konstankonstan,)(Jika

00)(Jika

tabaptotal eKyy

)/(+=


19/22

*ari suatu analisis rangkaian diperoleh persamaan

0arilah solusi total jika kondisi a(al adalah ! 12 5.

Contoh:

Persamaan ini merupakan persamaan homogen, f(t .

!olusi khusus bernilai nol.

Penerapan kondisi a(al:

!olusi total:

01000 =+ vdt

dv

01000 =+ dtvdv

Ktv += 1000ln

ta

Kt eKev 10001000 + ==

aK=12

V12 1000tev =


20/22

Contoh: !uatu analisis rangkaian memberikan persamaan

*engan kondisi a(al !+ 5 , $arilah tanggapan lengkap.

!olusi homogen:

!olusi khusus: karena f+t 12

!olusi total +dugaan:


!olusi total:

1210 3 =+ vdt

dv

010 3 =+ aa v

dt

dv0103 =+ dt

v

dv

a

a

taa eKv 1000=

12=pv

tatotal eKv

100012 +=

aK+=120 12=aK

V1212 1000ttotal ev =


21/22

Contoh: Pada kondisi a(al ! 5, suatu analisis transien

menghasilkan persamaan

0arilah solusi total.

!olusi homogen:

!olusi khusus:

!olusi total +dugaan:


!olusi total :

tvdt

dv10cos1005 =+

05 =+ aa v

dt

dv05 =+ dt

v

dv

a

a

Ktva =+ 5ln t

aa eKv5=

tAtAvscp

10sin10cos +=

ttAtAtAtA scsc 10cos10010sin510cos510cos1010sin10 =+++

ttAtA cs 10cos10010cos510cos10 =+ 100510 =+ cs AA

010sin510sin10 =+ tAtA sc 0510 =+ sc AA

8=sA 4=cA

taeKttv

510sin810cos4 ++=

aK+= 40 4=aK

tettv 5410sin810cos4 +=


22/22

Course "are

Persamaan Diferensial

Orde-#

Sudaryatno Sudirham

persamaan-diferensial-orde-11.ppsx

Documents