permutacije i kombinacije

7/24/2019 Permutacije i Kombinacije

1/27

Permutacije i kombinacije skupova

Kombinatorika i diskretna matematika

24.10.2012.

Kombinatorika i diskretna matematika Permutacije i kombinacije skupova
http://find/


2/27

Permutacije

Permutacije

Neka je Sskup od n elemenata i r N. Tada je r-permutacijaskupa S uredena r-torka (x1, x2, . . . , xr) od koje su svekomponente x1, x2, . . . , xr medusobno razliciti elementi od S.Oznaka P(n, r).

Vrijedi:P(n, 0) = 1P(n, 1) =nP(n, r) = 0 zar >nZa r=n, n-permutaciju zovemo samo permutacija skupa S.

Primjedba

r-permutaciju skupa od n elemenata zovemo jos i varijacija r-tograzreda bez ponavljanja od n elemenata.

http://find/http://goback/


3/27

Permutacije

Primjer:

Nadite sve 1, 2 i 3 permutacije skupaS={1, 2, 3}.

1-permutacije: 1,2,3

2-permutacije: 12,13,21,31,23,32

3-permutacije: 123, 132, 213, 231, 312, 321

http://find/


4/27

Permutacije

Teorem 1.

Za n, r N, rn vrijedi

P(n, r) =n(n 1)(n 2) . . . (n r+ 1) = (n)r = n!

(n r)!

Specijalno, za r=n imamo P(n, n) =P(n) =n!.

Teorem 2.

Neka su n, r N, rn, a S n-skup, tj. |S|=n. Tada je

1 broj svih injekcija sa Nr ={1, 2, 3, . . . , r} u S jednak P(n, r).

2 broj svih bijekcija sa S u S jednak P(n).

Uocimo da je P(n) =nP(n 1).

http://find/


5/27

Permutacije

Primjer:

Koliko ima troznamenkastih brojeva koji sadrzerazlicite elemente iz skupa {2, 1, 3, 5}?

Trazimo 3-permutacije 4-clanog skupa: P(4, 3) = 4!(43)! = 4! = 24

Primjer:

Koliko ima peteroznamenkastih brojeva koji imaju iste

znamenke kao i broj:

a) 35169

b) 10563

a) Ukupan broj permutacija 5-clanog skupa: P(5) = 5!b) 5! 4!



6/27

Permutacije

Zadatak 1.

Na koliko nacina mozemo 6 djevojcica i 2 djecaka posloziti u red:

a) proizvoljno

b) tako da 2 djecaka budu jedan do drugoga

c) tako da 2 djecaka ne budu jedan do drugoga


P ij


7/27

Permutacije

Zadatak 2.

4 bracna para trebaju sjesti u jedan red od 8 stolica. Na kolikonacina svi oni mogu sjesti ako

a) nema nikakvih uvjeta

b) muskarci trebaju sjesti zajedno i zene trebaju sjesti zajedno

c) samo muskarci trebaju sjesti zajedno

d) bracni parovi trebaju sjediti jedan do drugoga?


P ij
http://find/


8/27

Permutacije

Zadatak 3.

Imamo 12 knjiga: 5 iz matematike, 4 iz geografije i 3 iz povijesti.Treba ih sloziti na policu. Na koliko nacina je to moguce napravitiako

a) knjige iz povijesti trebaju biti jedna do druge na pocetku police

b) knjige iz matematike trebaju biti jedna do druge i knjige izpovijesti takoder

c) na pocetku police trebaju biti naizmjenicno jedna knjiga iz

matematike i jedna iz geografije, pocevsi od knjige izmatematike?


P t ij
http://find/


9/27

Permutacije

Zadatak 4.

Koliko brojeva vecih od 1000 moze biti formirano od znamenaka3,4,6,8,9 tako da se niti jedna od tih znamenaka ne ponavlja ubroju?


P t ij
http://find/


10/27

Permutacije

Zadatak 5.

Na nekom skupu 5 ljudi A,B,C,D i E trebaju drzati govor. Na

koliko nacina se to moze ostvariti akoa) B mora govoriti nakon A

b) B mora govoriti neposredno nakon A

c) A ne smije govoriti prvi?


Ciklik t ij


11/27

Ciklicke permutacije

Zadatak 6.

Na koliko nacina mozemo smjestiti n ljudi za okrugli stol?


http://find/


12/27


Zadatak 7.

Na koliko nacina 5 ljudi moze sjesti za okrugli stol ako fiksiramodva covjeka i smjestimo ih jedan pored drugoga?


http://find/


13/27


Zadatak 8.

Koliko razlicitih ogrlica mozemo napraviti od 9 bisera razlicitihvelicina?


Kombinacije


14/27

Kombinacije

Definicija 1.Neka je Sskup od n elemenata i r N0. Tada je r-kombinacijaskupa S r-clani podskup od S. (Radi se o neuredenom podskupuod S.)Broj svih r-kombinacija skupa od n elemenata ozcavamo sa nr.

n

1

= n

n

0

=

n

n

= 1

0

r

= 0

nr

= 0, r >n


Kombinacije
http://find/


15/27

Kombinacije

Primjer:

Nadite sve 1-, 2- i 3- kombinacije skupaS={a, b, c, d, e}.

1-kombinacije: a,b,c,d,e

2-kombinacije: ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de

3-kombinacije: abc,abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde


Kombinacije
http://find/


16/27

Kombinacije

Teorem 1.

Za n N i r N0, rn, broj svih r-podskupova n-clanog skupa

jednak je n

r

=

n!

r!(n r)!.

Teorem 2.Ukupan broj podskupova n-clanog skupa je

n

0

+

n

1

+

n

2

+ . . .+

n

n 1

+

n

n

= 2n.

Teorem 3. n

r

=

n

n r


Kombinacije


17/27

Kombinacije

Primjer:

Od 15 kandidata za sahovsku olimpijadu savezni

kapetan mora odabrati petoricu. Na koliko nacina onto moze uciniti?

Trazimo broj peteroclanih podskupova skupa od 15 elemenata:

155

Primjer:

U ravnini je zadano n razlicitih tocaka od kojih

nikoje 3 ne leze na istom pravcu. (U opcem su

polozaju.) Nadite broj duzina i trokuta s vrhovima utim tockama.

Broj duzina s vrhovima u tim tockama jen

2

;

broj trokuta s vrhovima u tim tockama je n3.


Kombinacije


18/27

Kombinacije

Zadatak 9.

Zadan je konveksni 10-terokut takav da se nikoje 3 dijagonale nesijeku u jednoj tocki. Koliko je presjecnih tocaka dijagonala?


Kombinacije
http://find/


19/27

Kombinacije

Zadatak 10.

Iz tocke je povuceno n zraka. Koliko je kutova odredeno timzrakama?


Kombinacije


20/27

Kombinacije

Zadatak 11.

Imamo 6 bijelih i 4 crne kuglice. Na koliko nacina mozemoodabrati

a) 5 kuglica: 3 bijele i 2 crne

b) proizvoljno kuglica, ali jednako bijelih i crnih

c) 5 kuglica: barem 2 crne

d) 5 kuglica: jedna od njih, crna, vec unaprijed odabrana?


Kombinacije
http://find/


21/27

Kombinacije

Zadatak 12.

a) Koliko se razlicitih rijeci od 8 slova moze naciniti od 30 slova

abecede?b) Kao a) ali tako da svaka rijec mora sadrzavati 3 razlicita

samoglasnika i 5 razlicitih suglasnika.

c) Kao a) ali tako da svaka rijec sadrzi ili 3 ili 4 ili 5 (ne nuznorazlicitih) samoglasnika.


Kombinacije
http://find/


22/27

j

Zadatak 13.

U jednoj vreci je n, a u drugoj m predmeta. Iz prve biramo r, a izdruge spredmeta. Izvadene predmete nanizemo jedan do drugog.Koliko nizova mozemo dobiti?


Kombinacije


23/27

j

Zadatak 14.

Na svakom od bridova kvadrata nalazi se n razlicitih tocaka (ne

racunajuci vrhove).

a) Koliko ukupno pravaca odreduju sve te tocke?

b) Trokuta?


Kombinacije
http://find/


24/27

j

Domaca zadaca

Zadatak 15.

Na pravcu je zadano m tocaka, a na njemu paralelnom pravcu ntocaka. Koliko je najvise sjecista od 2 duzine odredene s timtockama ne racunajuci tocke na paralelama?


Kombinacije
http://find/


25/27

j

Zadatak 16.

Neka je A={a1, . . . , an} i B={b1, . . . , bm} tako da A B=.Koliko je permutacija skupa A Bkojima su na prvih pmjestaelementi iz A, a na posljednjih qmjesta elementi iz B?


Kombinacije
http://find/


26/27

j

Zadatak 17.

Cjelobrojna mreza u ravnini je unija pravaca paralelnih s osima

kroz sve cjelobrojne tocke. Najkraci put u mrezi od ishodistaO(0, 0) do T(p, q) je niz bridova koji pocinju s O i zavrsavaju s Ts pomacima tipa (1, 0) i (0, 1). Koliko ima takvih najkracih putevaod (0, 0) do (5, 5)? A koliko koji prolaze tockom (2, 2) isegmentom [(3, 4), (4, 4)]?


Kombinacije
http://find/


27/27

Zadatak 18.

Na koliko nacina je moguce 52 igrace karte (4 boje, 13 od svake)podijeliti cetvorici igraca tako da svaki dobije 4 karte iz jedne bojei po 3 karte iz svake od preostalih boja? (Poredak karata kodpojedinih igraca nije bitan.)

http://find/

permutacije i kombinacije

Documents