perim y areas

12 PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

P A R A E M P E Z A R

Dibuja tres triángulos cuya base mida 6 centímetros y su altura 8 centímetros.

Dibuja tres paralelogramos cuya base mida 7 centímetros y cuya altura mida 5 centímetros.

Dibuja tres trapecios tales que sus bases miden 5 y 9 centímetros, respectivamente, y su altura 4 centí-metros.

Dibuja una circunferencia y un círculo cuyos radios midan 6 y 8 centímetros, respectivamente.

El motivo ‘pajarita‘ que la dinastía nazarí utilizó en sus mosaicos se obtiene a partir de un triánguloequilátero.

Razona si la pajarita final ocupa la misma superficie que el triángulo.

En la segunda figura, P es el punto medio del lado del triángulo equilátero y los arcos son iguales; por tanto, se conserva la su-perficie. Lo mismo ocurre en las figuras restantes. En consecuencia, la pajarita final de la dinastía nazarí tiene la misma super-ficie que el triángulo equilátero.

5

4

3

2

1

6 cm 6 cm 6 cm

8 c

m 8 cm 8 cm

7 cm 7 cm7 cm

5 cm 5 cm 5 cm

5 cm

4 cm

9 cm

5 cm

4 cm

9 cm

5 cm

4 cm

9 cm

6 cm 8 cm


P E R Í M E T R O Y S U P E R F I C I E

P A R A P R A C T I C A R

¿Cuánto mide el perímetro de las siguientes figuras?

a) b)

a) Perímetro � 7 � 8 � 6 � 21 cm b) Perímetro � 4 � 10 � 8 � 6 � 4 � 4 � 36 cm

Calcula el perímetro de estas figuras, sabiendo que el lado de cada cuadrado mide 1 metro.

a) b)

a) Perímetro � 3 � 1 � 2 � 1 � 1� 1� 1� 2 � 1 � 2 � 1 � 1� 1� 1 � 2 � 2 � 2 � 1 � 1 � 3 � 1 � 1 � 1 �� 1 �1 � 1 � 2 � 1 � 2 � 1 � 42 m

b) Perímetro � 6 � 2 � 1 � 2 � 1 � 2 � 2 � 5 � 2 � 1 � 1 � 1 � 1 � 1 � 1 � 3 � 3 � 1 � 2 � 1 � 1 � 1 � 1 �� 2 � 1 � 1 � 1 � 1 � 48 m

Ejercicio resuelto

Expresa en metros cuadrados las siguientes medidas de superficie.

a) 30 cm2 b) 0,05 km2

a) 30 cm2 � 0,003 m2 b) 0,05 km2 � 50 000 m2

Expresa en la unidad indicada en cada caso las siguientes medidas.

a) 12 cm2 en metros cuadrados.

b) 0,7 km2 en decámetros cuadrados.

c) 36 mm2 en decímetros cuadrados.

d) 9 hm2 en decímetros cuadrados.

e) 36 m2 en kilómetros cuadrados.

a) 12 cm2 � 0,0012 m2

b) 0,7 km2 � 7 000 dam2

c) 36 mm2 � 0,0036 dm2

d) 9 hm2 � 9 000 000 dm2

e) 36 m2 � 0,000036 km2

12.4

12.3

12.2

12.1

8 cm

7 cm

6 cm

8 cm

4 cm

4 c

m

4 cm

6 cm

10 cm


Ordena, de menor a mayor, estas medidas de superficie.

a) 36 m2 0,04 dam2 3 605 dm2

b) 7 m2 0,7 dam2 340 dm2

a) 36 m2 0,04 dam2 � 4 m2 3 605 dm2 � 36,05 m2

0,04 dam2 � 36 m2 � 3 605 dm2

b) 7 m2 0,7 dam2 � 70 m2 340 dm2 � 3,4 m2

340 dm2 � 7 m2 � 0,7 dam2

Las diagonales de un rombo miden 16 y 12 centímetros, respectivamente. ¿Cuánto mide su lado? ¿Y superímetro?

Calculamos el lado del rombo aplicando el teorema de Pitágoras:

l 2 � 82 � 62 � 100 → l � �100� � 10 cm

Perímetro del rombo: 4 � 10 � 40 cm

Calcula el perímetro de un trapecio isósceles cuyas bases miden 6 y 15 centímetros, respectivamente, ysu altura es igual a 8 centímetros.

Calculamos el lado no paralelo del trapecio, aplicando el teorema de Pitágoras:

l 2 � 82 � 4,52 � 84,25 → l � �84,25� � 9,18 cm

Perímetro del trapecio: 6 � 15 � 2 � 9,18 � 36,36 cm

Halla el perímetro y el área de estas figuras, si un cuadrado equivale a un centímetro cuadrado.

a) b)

a) Perímetro � 22 � 2 �2� � 24,82 cm b) Perímetro � 14 � 5 �2� � 21,07 cmÁrea � 16 cm2 Área � 13,5 cm2

12.8

12.7

12.6

12.5

8 cm

6 cm

l

6 cm

l

15 cm6 cm4,5 cm 4,5 cm

8 cm


P A R A A P L I C A R

El Ayuntamiento de una ciudad ha presentado este pla-no dentro de un proyecto para la construcción de un po-lideportivo. Calcula el perímetro y el área del recintodestinado a dichas instalaciones.

Perímetro del polideportivo:

10 � 2 � 1 � 3 � 1 � 2 � 12 � 6 � 2 � 1 � 40 m.

Área del polideportivo: 12 � 3 � 11 � 3 � 10 � 79 m2

Se va a reformar un salón de actos, cambiando el sue-lo y colocando rodapié nuevo. Se ha recibido un pre-supuesto con el precio de los materiales. El suelo cues-ta 35 euros el metro cuadrado, y el rodapié, 18 eurosel metro.

a) ¿Cuánto deberán pagar por los materiales?

b) Si además hay que pagar un 7 % de IVA, ¿cuál seráel importe total de la factura?

a) Perímetro del polideportivo: 8 � �2� � 2 � 3 � 2 � 2 �2� � 7 � 6 � 28 � 3 �2� � 32,24 m

Precio del rodapié: 32,24 � 18 � 580,32 €

Área del polideportivo: 8 � 4 � 7 � 2 � 6 � 11,5 � 63,5 m2

Precio del suelo: 63,5 � 35 � 2 222,5 €

Precio total: 580,32 � 2 222,5 � 2 802,82 €

b) 107 % de 2 802,82 € = 2 999,02 €

12.10

12.9

1 m2

1 m2


Á R E A D E P A R A L E L O G R A M O S


Ejercicio resuelto

Calcula el área de estas figuras construidas sobre una cuadrícula de lado 1 metro.

a) b)

Las dos figuras son paralelogramos.a) A � b � h → A � 5 � 3 � 15 m2 b) A � b � h → A � 2 � 4 � 8 m2

Halla el área de los siguientes paralelogramos construidos sobre un geoplano. ¿Existe alguna relaciónentre todas las áreas? Justifica la respuesta.

Suponemos que el lado de la cuadrícula mide 1 cm.

a) Todos los paralelogramos tienen 2 cm de base y 4 cm dealtura; por tanto, el área de todos ellos es:

A � 2 � 5 � 10 cm2

b) En efecto, todos los paralelogramos tienen la misma área,ya que todos tienen la misma base y la misma altura.

Determina el área de los siguientes paralelogramos, donde b es la base y h es la altura. Expresa el re-sultado en metros cuadrados.

a) b � 36 m h � 0,5 dm c) b � 0,23 dam h � 3,5 dm

b) b � 0,005 hm h � 39 dam d) b � 15 dm h � 0,007 hm

a) A � 36 m � 0,05 m � 1,8 m2 c) A � 2,3 m � 0,35 m � 0,805 m2

b) A � 0,5 m � 390 m � 195 m2 d) A � 1,5 m � 0,7 m � 1,05 m2

Calcula el perímetro de un rectángulo cuya base mide 9 metros, sabiendo que su área es igual a 108metros cuadrados.

108 m2 � 9 � h → h � �10

98mm2

� � 12 m

Perímetro del rectángulo � 2 � (9 � 12) � 2 � 21 � 42 m

El área de un cuadrado es 121 metros cuadrados. Calcula su perímetro.

l 2 � 121 → l � �121� � 11 m

Perímetro del cuadrado: 4 � 11 � 44 m

12.15

12.14

12.13

12.12

12.11


El cuadrado ABCD tiene 10 centímetros de lado. Se ha construido un nuevo cuadrado MNPQ, siendoM, N, P y Q los puntos medios de los lados del cuadrado inicial. Halla el perímetro y el área del cua-drado MNPQ.

El lado del cuadrado MNPQ lo obtenemos del siguiente modo:PN 2 � BP 2 � BN 2 � 52 � 52 � 50 → PN � �50� � 7,07 cmPerímetro del cuadrado MNPQ: 4 � 7,07 � 28,28 cmÁrea del cuadrado MNPQ: 7,072 � 50 cm2

12.16

D

P C

A M

B

QN



Un pintor cobra 12 euros por cada metro cuadrado que pinta.¿Cuánto costará pintar una pared que tiene 6 metros de largo y 2,5 metros de altura?

Superficie de la pared: 6 � 2,5 � 15 m2

Precio del pintor: 15 � 12 � 180 euros

Un arquitecto ha diseñado un teatro. La planta de su vestíbulo tiene forma de romboide y la medidade su base es el doble que la de su altura. El área del vestíbulo mide 2 592 metros cuadrados.

a) ¿Cuánto mide la altura del vestíbulo?b) ¿Y la base?

a) Altura del romboide: hLongitud de la base del romboide: 2hEcuación: h � 2h � 2 592

2h2 � 2 592

h � �1 296� � 36 m

La altura del romboide mide 36 metros

b) La base del romboide mide 72 metros

El lado de una alfombra cuadrada mide 0,5 metros. La medida del lado de otra alfombra es el tripleque la de la anterior.a) ¿Cuánto mide el área de la primera alfombra?b) El área de la segunda, ¿es el triple que el área de esta alfombra? Razona la respuesta.

a) Área de la primera alfombra: 0,52 � 0,25 m2

b) Lado de la segunda alfombra: 3 � 0,5 � 1,5 m

Área de la segunda alfombra: 1,52 � 2,25 m2

Como vemos, si el lado es triple, el área no es triple, sino 32 � 9 veces mayor.

Javier está pintando sobre una cartulina cuadrada de lado 0,60 metros. El motivo principal del cuadroestá situado en el cuadrado ABCD, obtenido al unir los puntos medios de las semidiagonales. Calculael perímetro y el área del cuadrado ABCD.

Calculamos la diagonal del cuadrado:

d 2 � 0,62 � 0,62 � 0,72 m2 → d � �0,72� � 0,85 m

Si llamamos O al punto medio de la semidiagonal:

AO � �14

� d � �0,

485� � 0,21 m

AB2 � 0,212 � 0,212 � 0,09 → AB � �0,09� � 0,3 m

Perímetro del cuadrado ABCD: 4 � 0,3 � 1,2 m

Área del cuadrado ABCD: 0,32 � 0,09 m2

12.20

12.19

12.18

12.17

h2 592 m2

2 h

A B

CD


La planta de la biblioteca pública es rectangular. La base mide el triple que la altura y su área es iguala 108 metros cuadrados. Calcula:

a) El perímetro de la biblioteca.

b) El área de otra parcela cuadrada que tenga el mismo períme-tro que la biblioteca.

Altura de la biblioteca: h

Base de la biblioteca: 3h

108 � h � 3h � 3h2 → h2 � �10

38

� � 36 m → h � 6 m

La altura de la planta de la biblioteca mide 6 metros, y la base, 18.

a) Perímetro de la biblioteca: 2 � (6 � 18) � 48 m

b) El lado de parcela medirá 48 � 4 � 12 m , por tanto, su área mediría:

APARCELA � 122 � 144 m2

Área de triángulos y de trapecios

Ejercicio resuelto

Halla el área de este rombo.

El área del rombo ABCD es el cuádruple del área del triángulo OCD.

ATRIÁNGULO � �12

� � 1,5 � 2,5 � �3,

275� cm2

AROMBO � 4 � ATRIÁNGULO = 4 � �3,

275� � 7,5 cm2

Observa que el área obtenida es la mitad del producto de las diagonales del rombo.

12.22

12.21

h108 m2

3 h

3 c

m

5 cmA

B

C

D

O



Ejercicio resuelto

Calcula el área de estas figuras.

a) b)

a) A � �12

� � b � h → �A � �12

� � 4 � 7 � 14 cm2 b) A � �B �

2b

� � h → A � �12

2� 7� � 5 � 47,5 cm2

Halla el área de estos triángulos sabiendo que el lado de cada cuadrado mide 1 metro.

a) b)

a) A � �12

� � 3 � 4 � 6 m2 b) A � �12

� � 3 � 5 � 7,5 m2

Determina el área de los siguientes triángulos.

a) b)

a) A � �12

� � 14 � 6 � 42 cm2 b) A � �12

� � 10 � 9 � 45 cm2

Calcula el área de estos triángulos construidos sobre un geoplano, si el lado de cada cuadrícula mide1 centímetro.

Todos los triángulos construidos sobre el geoplano tienen 4 cm de basey 4 cm de altura; por tanto, su área mide:

A � �12

� � 4 � 4 � 8 cm2

12.26

12.25

12.24

12.23

4 cm

7 cm

14 cm6 cm

10 cm

9 cm


¿Cuál es el área de los siguientes trapecios?

a) b)

a) A � �5 �

26

� � 4 � 22 cm2 b) A � �8 �

24

� � 3 � 18 cm2

En el cuadrado ABCD se han cortado las esquinas, como muestra la figura. Calcula el área total de lasesquinas recortadas.

Nombramos los puntos intermedios como M, N, P y Q.

AMAQ � �12

� � 3 � 2 � 3 cm2 AMBN � �12

� � 5 � 3 � 7,5 cm2

ANPC � �12

� � 5 � 4 � 10 cm2 APDQ � �12

� � 4 � 6 � 12 cm2

ATOTAL � 3 � 7,5 � 10 � 12 � 32,5 cm2

12.28

12.27

6 cm

4 cm

5 cm

8 cm

3 cm4 cm

D C8 cm

A BM

N

Q

P



Se ha cortado un tablero con forma de triángulo isósceles. Si la base mide 6 centímetros más que loslados iguales y el perímetro es igual a 33 centímetros, averigua la medida de cada uno de los lados.

Perímetro � 33 � l � l � l � 6 � 3l � 6

3l � 27

l � 9

Los lados iguales miden 9 cm, y el desigual, 15.

Un mural que ha confeccionado un grupo de jóvenes, con el fin de transmitir la importancia de reciclarlos residuos sólidos, tiene forma de trapecio. La base menor es el doble que la altura y la mitad quela base mayor. Calcula el área del mural si la suma de las bases y la altura es igual a 84 centímetros.

Altura: BBase menor: 2BBase mayor: 4B4B � 2B � B � 84 → 7B � 84 → B � 12 cmLa base mayor mide 48 cm; la base menor, 24, y la altura, 12

A � �48 �

224

� � 12 � �722� � 12 � 432 cm2

Se ha acotado un recinto para preservar las especies autóctonas de posibles depredadores. El recintotiene forma de trapecio rectángulo cuyas bases miden 12 y 18 kilómetros, respectivamente, y la altura, 9kilómetros.

a) ¿Cuál es el área del recinto?

b) Para su vallado se ha utilizado una malla metálica que cuesta 30 euros el metro. ¿Cuánto habrá cos-tado cercar el recinto teniendo en cuenta que no ha habido que pagar sueldos, ya que las tareashan sido realizadas por jóvenes voluntarios de la comarca?

a) A � �12 �

218

� � 9 � 135 km2

b) Calculamos la medida del lado oblicuo.

l 2 � 92 � 62 � 117

l � �117� � 10,82 km.

Perímetro del recinto � 12 � 18 � 9 � 10,82 � 49,82 km � 49 820 m.

Precio del vallado: 49 820 � 30 � 1 494 600 euros � 1 500 000 euros

12.31

12.30

12.29

l

l + 6

l

2 B

B

4 B

l

18 km

9 k

m

12 km

6 km


Área de polígonos

Problema resuelto

Halla el área del espejo.

El espejo es un hexágono regular.

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo MBO, obtenemos la apotemadel polígono.

222 � a2 � 112 → a2 � 484 � 121 � 363 → a � �363�Como la raíz cuadrada entera de 363 es 19 y el resto es 2, la apotema mide aproxima-damente 19 centímetros.

El área del hexágono es: A � �p

2� a� � �

(6 � 222) � 19� � 1 254 cm2

El área del espejo mide 1 254 centímetros cuadrados.

12.32



Ejercicio resuelto

Calcula el área de este polígono descomponiéndolo en triángulos y trapecios.

A1 � �12

� � 2 � 2 � 2 cm2 A2 � �3 �

22

� � 2 � 5 cm2

A3 � �12

� � 2 � 2 � 2 cm2 A4 � �2 �

21

� � 2 � 3 cm2

A � A1 � A2 � A3 �A4 � 2 � 5 � 2 � 3 � 12 cm2

Halla el área de estos polígonos.a) b)

a) Descomponemos el primer polígono del siguiente modo.

A1 � �3 �

21

� � 3 � 6 cm2 A2 � �3 �

22

� � 1 � 2,5 cm2

A3 � �12

� � 2 � 2 � 2 cm2 A4 � �4 �

22

� � 2 � 6 cm2

A5 � �12

� � 2 � 2 � 2 cm2 A6 � �3 �

22

� � 1 � 2,5 cm2

APOLÍGONO � A1 � A2 � A3 � A4 � A5 � A6 � 6 � 2,5 � 2 � 6 � 2 � 2,5 � 22 cm2

b) Descomponemos el segundo polígono del siguiente modo.

A1 � �4 �

22

� � 2 � 6 cm2 A2 � �12

� � 2 � 2 � 2 cm2

A3 � �12

� � 2 � 2 � 2 cm2 A4 � �4 �

22

� � 1 � 3 cm2

A5 � 1 � 4 � 4 cm2 A6 � �12

� � 2 � 4 � 4 cm2

APOLÍGONO � A1 � A2 � A3 � A4 � A5 � A6 � 6 � 2 � 2 � 3 � 4 � 4 � 21 cm2

¿Cuál es el área de un octógono regular cuyo lado mide 10 centímetros y su apotema es igual a 5,7centímetros?

A � �12

� � p � a � �12

� � 8 � 10 � 5,7 � 228 cm2

Determina el área de un hexágono regular cuyo lado mide 8 centímetros, si está inscrito en una cir-cunferencia. (Recuerda que el lado del hexágono regular es igual que el radio de la circunferencia cir-cunscrita.)

Calculamos la apotema del hexágono.

a2 � 82 � 42 � 48 → a � �48� � 6,93 cm

A � �12

� � p � a � �12

� � 6 � 8 � 6,93 � 166,32 cm2

12.36

12.35

12.34

12.33

1 cm2

A1 A2

A3A4

1 cm2

1 cm2cm2

1 cm2

A2A1A3

A4 A5

A6

1 cm2

A2

A1

A3

A4

A5

A6

a

4 cm

8 cm



A un cuadrado de 6 metros de lado se le cortan las esquinas, comoindica la figura. Calcula el área del octógono resultante.

El área de una esquina mide: ATRIÁNGULO � �12

� � 2 � 2 � 2 m2

El área del octógono: ACUADRADO � 4 � AESQUINAS � 62 � 4 � 2 � 36 � 8 � 28 m2

El arco persa, tan utilizado en decoración, se construye fácilmente con regla y compás a partir de 4triángulos equiláteros iguales.

Halla el área del arco persa.

El área del arco persa es igual al área del triángulo equilátero ABC de lado 6 centímetros.

Hallamos la altura del triángulo equilátero:

h2 � 62 � 32 � 36 � 9 � 27 → h � �27� � 5,2 cm

Por tanto, el área del triángulo ABC mide: ATRIÁNGULO � �12

� � 6 � 5,2 � 15,6 cm2

El área del arco persa mide 15,6 cm2

El área de una bandera triangular mide 192 centímetros cuadrados.a) Si la base de la bandera mide 16 centímetros, calcula la altura.b) Si se fabrica otra bandera triangular con doble área y doble base, ¿se dobla la altura?c) Si se dobla el área y se deja la misma base, ¿cómo varía la altura?

a) ABANDERA � �12

� � b � h → 192 � �12

� � 16 � h → h � 24 cm

La altura de la bandera mide 24 cm.

b) Calculamos la altura de la nueva bandera: 384 � �12

� � 32 � h2 → h2 � 24 cm

La altura de la nueva bandera permanece igual y, en consecuencia, no mide el doble que la anterior.

c) En este caso, la altura valdría el doble de la altura inicial.

12.39

12.38

12.37 A B

C

D

F E

H

G

A C6 cm

B

C

B

h 6 cm

3 cmA


Un terreno destinado a construir un centro médicotiene forma de polígono irregular, como muestra lafigura.

a) Halla el área del terreno.

b) Se quiere rodear con una valla de 3 metros de alto.

Calcula su área.

a) Descomponemos el polígono en figuras de área conocida:

A1 � �3 �

24

� � 1 � 3,5 m2 A2 � 5 � 4 � 20 m2 A3 � �3

2� 3� � 4,5 m2

A4 � 2 � 2 � 4 m2 A5 � 2 � 4 � 8 m2 A6 � �2 �

21

� � 3 � 4,5 m2

A7 � 2 � 1 � 2 m2 A8 � 3 � 7 � 21 m2 A9 � �5 �

24

� � 1 � 4,5 m2

A10 � �1 �

23

� � 3 � 6 m2 A11 � �1 �

23

� � 2 � 4 m2 A12 � 3 � 1 � 3 m2

ATERRENO � A1 � A2 � A3 � A4 � A5 � A6 � A7 � A8 � A9 � A10 � A11 � A12 �

� 3,5 � 20 � 4,5 � 4 � 8 � 4,5 � 2 � 21 � 4,5 � 6 � 4 � 3 � 85 m2

b) Perímetro:

�2� � 5 � 1 � 2 � 1 � 7 � 3 � 1 � �2� � �8� � 1 � 3 � �13� � 1 � �10� � 1 � 2 � 1 � 3 �2� � 1 � 3 �

� 33 � 5 �2�� 8� � �13� � �10� � 49,67 m

Área del muro � 49,67 � 3 � 149,01 m2

Dos jardineros van a intercambiar los terrenos que cuidan, ya que tienen la misma área. El de uno deellos tiene forma de hexágono regular de 30 metros de lado, y el del otro tiene forma de triánguloequilátero cuya altura mide 57,5 metros. ¿Cuánto mide el lado del terreno triangular?

Calculamos la apotema del hexágono regular:

a2 � 302 � 152 � 675 → a � �675� � 25,98 m

AHEXÁGONO � �12

� � � p � a � �12

� � 6 � 30 � 25,98 � 2 338 m2

Sea l el lado del triángulo equilátero, calculamos su altura.

h2 � l 2 � �l4

2

� � �34

� l 2 → h � �2l� � �3�


� � l � �2l� � �3� � �

l4

2

� � �3� � AHEXÁGONO � 2 338

l 2 � �4 �

�2

3�338� � 5 400 → l � �5 400� � 73,48 m

Lado del triángulo equilátero de igual área que el hexágono regular: 73,48 m.

12.41

12.40

1 m2

A2A1

A3 A4

A5

A6

1 m2

A7

A8

A9

A10 A11

A12

l2

a30 m

15 m

l57,5 m


La planta de un museo tiene forma de hexágono regular de 18 metros de lado.

a) Halla el lado de un cuadrado que tenga la misma área.

b) ¿Cuánto mide la diagonal del cuadrado?

Para hallar el área del hexágono calculamos previamente la apotema:

a2 � 182 � 92 � 243 → a � �243� � 15,588 m


� � p � a � �12

� � 6 � 18 � 15,588 � 841,752 m2

a) Sea l el lado del cuadrado de igual área que el hexágono, entonces:

l 2 � 841,752 → l � �841,75�2� � 29,01 m

El lado del cuadrado mide 29,01 m.

b) d 2 � 29,012 � 29,012 � 1 683,16 → d � �1 683,1�6� � 41,03 m

La diagonal del cuadrado mide 41,03 m

Longitudes en la circunferencia

Ejercicio resuelto

La longitud de una circunferencia mide 47,1 metros. Halla la medida del diámetro.

47,1 � 3,14 � d → d � �437,1,14

� � 15

El diámetro mide 15 metros.

12.43

12.42

a18 m

9 m

ld



Calcula la longitud de las circunferencias si las medidas de sus radios son las siguientes.

a) 3 m c) 1,5 dam

b) 6,7 dm d) 35,4 hm

a) L � 2 � � � 3 � 18,85 m2 c) L � 2 � � � 15 � 94,25 m2

b) L � 2 � � � 0,67 � 4,21 m2 d) L � 2 � � � 3 540 � 22 242,48 m2

Ejercicio resuelto

La longitud de una circunferencia mide 99,852 metros. Halla el radio de esta circunferencia.

L � 2 � � � r → 99,852 � 2 � 3,14 � r → r � �996,,82582

� � 15,9

El radio mide 15,9 metros.

La longitud de una circunferencia es igual a 47 213 centímetros. Halla la medida del diámetro.

L � 47 213 � � � d → d � �437,21143

� � 15 036 cm

Determina la longitud, en metros, de los arcos de sectores circulares de radio r y ángulo central n�.

a) r � 10 m n� � 15� b) r � 60 dm n� � 120�

a) LARCO � �2 � �

3�6100�

� 15�� 2,62 m b) LARCO � �

2 � � �36

600�� 120�

� � 125,6 dm = 12,56 m

Ejercicio resuelto

El ángulo central de un sector circular mide 55�. Si la longitud del arco de este sector es igual a 16,32metros, ¿cuánto mide el radio de la circunferencia?

LARCO � �2 � �

36�0r�

� n�� → 16,32 � �

2 � 3,13460

��r � 55��

r � �216

�,332,14

� 3�6505��

� � 17

El radio mide 17 metros.

En una circunferencia de radio 60 centímetros, la medida del arco de un sector circular es igual a 81,64centímetros. Calcula el valor del ángulo central.

LARCO � 81,64 � �2 � �

3�60

6�0 � n�� → n� � �

281

�,634,1

�4

3�6600�

� � 78�

La longitud de un sector circular cuyo ángulo central mide 110º es 67,161 centímetros.a) Halla el radio del sector.b) ¿Cuál es la longitud de otro sector circular cuyo ángulo central mide 75º?

a) LARCO � 67,161 � �2 � �

3�6

r0�

� 110�� b) LARCO � �

2 � �3�6305�

� 75��

r � �267

�,136,114

��316100��

� � 35 cm LARCO � 45,79 cm

12.50

12.49

12.48

12.47

12.46

12.45

12.44

55o

r •



Averigua el perímetro de las figuras coloreadas.

a) b)

a) p � �12

� � 2 � � � �52

� � �12

� � 2 � � � 1 � �12

� � 2 � � � �72

� � � � (2,5 � 1 � 3,5) � 7� � 21,98 cm

b) p � �12

� � 2 � � � 8 � �12

� � 2 � � � 4 � �12

� � 2 � � � 12 � � � (8 � 4 � 12) � 24� � 75,36 cm

Se han dibujado 4 circunferencias de radio 6 centímetros, tangentes entre sí.Determina la longitud de la línea de color rojo y de la línea de color verde.

Longitud de la línea roja: 12 � 2 � � � 6 � 2 � � � 6 � 24� � 12 � 87,36 cm

Longitud de la línea verde: 2 � � � 6 � 12� � 37,68 cm

Este símbolo representa a una determinada marca de ordenadores. Halla elperímetro de la zona coloreada.

p � �12

� � 2 � � � 2 � �12

� � 2 � � � 2 � �12

� � 2 � � � 3 + �12

� � 2 � � � 1

p � � � (2 � 2 � 3 � 1) � 8� � 25,12

Unos amigos han diseñado el logotipo para el periódico del centro escolar donde estudian. Calcula elperímetro, sabiendo que todos los arcos tienen el centro en cada vértice y pasan por el centro delcuadrado.

El radio de cada arco mide la mitad de la diagonal del cuadrado.

d 2 � 102 � 102 � 200 → d � �200� � 14,14 cm

r � �12

� � d � 7,07 cm

Toda la parte curva del logotipo mide la longitud de una circunferencia de 7,07 cmde radio.

L � 2 � � � 7,07 � 44,4 cm

Las esquinas son triángulos rectángulos isósceles de cateto:

x � 10 � 7,07 � 2,93

Entonces:

l 2 � 2,932 � 2,932 � 17,17 → l � �17,17� � 4,14 cm

Perímetro del logotipo: 44,4 � 4 � 4,14 � 60,96 cm

12.54

12.53

12.52

12.51

5 cm

2 cm

16 cm 8 cm

2 cm

4 cm

2 cm

10 cm

x r

d


Áreas en el círculo

Ejercicio resuelto

El área de un sector circular de 57º es igual a 17,9 metros cuadrados. Halla su radio.

17,9 � �3,14

3�6r0

2

�� 57�

� → r 2 � �137,,194

��35670��

� � 36 → r � �36� � 6

El radio mide 6 metros.

12.55



Halla el área de los círculos si las medidas de sus radios son las siguientes.

a) 4 cm c) 1,5 dm

b) 0,07 km d) 23,6 m

a) ACÍRCULO � � � 42 � 16� � 50,24 cm2 c) ACÍRCULO � � � 1,52 � 2,25� � 7,065 dm2

b) ACÍRCULO � � � 0,072 � 0,0049� � 0,0154 km2 d) ACÍRCULO � � � 23,62 � 556,96� � 1 748,85 cm2

Ejercicio resuelto

Averigua el radio de un círculo sabiendo que su área es igual a 803,94 centímetros cuadrados.

803,84 � 3,14 � r 2 → r 2 � �8033,1,844

� � 256 → r � �256� � 16

El radio del círculo mide 16 centímetros.

Determina el diámetro de un círculo sabiendo que su área es igual a 1 962,5 metros cuadrados.

1 962,5 � 3,14 � r 2 → r 2 � �1

39,6124,5

� � 625 → r � �625� � 25

Por tanto, el diámetro mide 50 m.

Calcula la longitud de una circunferencia, sabiendo que el área del círculo que encierra es igual a 50,24decímetros cuadrados.

ACÍRCULO � 50,24 � 3,14 � r 2 → r 2 � �530,,1244

� � 16 → r � �16� � 4

Longitud de la circunferencia: 2 � � � r � 2 � � � 4 � 8� � 25,12 dm

Halla el área, en centímetros, de los siguientes sectores circulares, siendo r el radio y n� la medida, engrados, del ángulo central.a) r � 5 m n� � 95º b) r � 3,7 dm n� � 35º c) r � 2,35 mm n� � 115º

a) ASECTOR � ��

356

2

0��

95�� 20,72 m2

b) ASECTOR � �� 3

3,670

2

�� 35�

� � 4,18 dm2

c) ASECTOR � �� 2,

33650

2

�� 115�� 5,54 mm2

El área de un sector circular de radio 5,2 centímetros es igual a 7,075 centímetros cuadrados. Calculala medida, en grados, del ángulo central.

7,075 � ��

356,20

2

�� n�

� → n� � �73,0,1745

��

53,6202�

� � 30 El ángulo central mide 30�.

El área de un sector circular cuyo ángulo central mide 75� es igual a 6 541,667 decímetros. Calcula lamedida del radio y expresa el resultado en centímetros.

ASECTOR � 6 541,667 � ��

3r6

2

0��75�

� → r 2 � �360�

3,�14

6 5�4715,667

� � 10 000 → r � �10 000� � 100 dm � 1 000 cm

El radio mide 1 000 cm.

12.62

12.61

12.60

12.59

12.58

12.57

12.56


Halla el área de la región coloreada.

Área del sector circular de ángulo 30º: A1 � ��

366

2

0��

30�� 9,42 cm2

Área del sector circular de ángulo 45º: A2 � ��

366

2

0��

45�� 14,13 cm2

Área del rectángulo: 17 � 6 � 102 cm2

Área de la región coloreada: 102 � A1 � A2 � 102 � 9,42 � 14,13 � 78,45 cm2

12.63

17 cm

6 cm45o

30o



Calcula el área de las siguientes figuras coloreadas, cuyas medidas están en centímetros.

a) b)

a) A1 � � � 12 � 3,14 cm2 b) El área de la figura coincide con la de un cuadradoA2 � � � 22 � 12,56 cm2 de 5 cm de lado.A3 � � � 32 � 28,26 cm2 A � 52 � 25 cm2

A � 28,26 � 3,14 � 12,56 � 12,56 cm2

El lado de una alfombra cuadrada mide 2 metros. En el centro tiene un motivo coloreado, como muestrala figura. Determina el área del motivo central.

AALFOMBRA � 22 � 4 m2

ACÍRCULO � � � 12 � 3,14 m2

ACENTRAL � AALFOMBRA � ACÍRCULO � 4 � 3,14 � 0,86 m2

Si el diámetro de cada una de estas monedas mide23,25 milímetros, calcula el área de la regióncoloreada.

AMONEDA � � � ��232,25��

2

� 424,34 mm2

ARECTÁNGULO � (3 � 23,25) � (2 � 23,25) � 3 243,38 mm2

Calculamos el área coloreada:

ARECTÁNGULO � 6 � AMONEDA � 3 243,38 � 2 546,04 � 697,34 mm2

En un jardín se van a plantar petunias en un sector circular con un radio de 4 metros.a) Halla el área del sector circular sabiendo que el ángulo central es de 180º.b) Si se debe plantar una petunia cada 40 centímetros cuadrados, ¿cuántas petunias se plantarán?

a) ASECTOR � �� 4

3

2

60��180�

� � 25,12 m2 � 251 200 cm2

b) Total de petunias que se plantarán: 251 200 � 40 � 6 280 petunias.

12.67

12.66

12.65

12.64

2 cm 4 cm 5 cm


M A T E M Á T I C A S C O T I D I A N A S


Calcula el área de la región coloreada.

El radio de cada círculo mide: r � �162� � 2 cm

El área de cada círculo mide:

ACÍRCULO � � � 22 � 4� � 4 � 3,14 � 12,56 cm2

El área de los 9 círculos es:

A9 CÍRCULOS � 9 � 12,56 � 113,04 cm2

Área de la región coloreada: 122 � 113,04 � 30,96 cm2

12.68

12 cm


A C T I V I D A D E S F I N A L E S

C Á L C U L O M E N T A L

Halla las longitudes de las circunferencias cuyos diámetros son los siguientes. Utiliza 3 como valor apro-ximado del número p.

a) 27 cm c) 81 cm

b) 76 mm d) 96 m

a) LCIRCUNFERENCIA � 2 � � � 27 � 2 � 3 � 27 � 162 cm c) LCIRCUNFERENCIA � 2 � � � 27 � 2 � 3 � 81 � 486 cmb) LCIRCUNFERENCIA � 2 � � � 27 � 2 � 3 � 76 � 456 mm d) LCIRCUNFERENCIA � 2 � � � 27 � 2 � 3 � 96 � 576 m

Si las bases y las alturas de distintos paralelogramos son las siguientes, ¿cuál es el área de cada unode ellos?

a) b � 18 cm h � 12 cm

b) b � 24 cm h � 13 cm

c) b � 35 cm h � 21 cm

d) b � 28 cm h � 24 cm

e) b � 37 cm h � 15 cm

a) APARALELOGRAMO � 18 � 12 � 216 cm2

b) APARALELOGRAMO � 24 � 13 � 312 cm2

c) APARALELOGRAMO � 35 � 21 � 735 cm2

d) APARALELOGRAMO � 28 � 24 � 672 cm2

e) APARALELOGRAMO � 37 � 15 � 555 cm2

Calcula, utilizando 3 como valor aproximado del número p, las áreas de los círculos cuyos radios sonlos siguientes.

a) 3 cm d) 8 m

b) 6 mm e) 10 cm

c) 5 dm f) 100 m

a) ACÍRCULO � � � 32 � 3 � 32 � 27 cm2 d) ACÍRCULO � � � 82 � 3 � 82 � 192 m2

b) ACÍRCULO � � � 62 � 3 � 62 � 108 mm2 e) ACÍRCULO � � � 102 � 3 � 102 � 300 cm2

c) ACÍRCULO � � � 52 � 3 � 52 � 75 dm2 f) ACÍRCULO � � � 1002 � 3 � 1002 � 30 000 m2

12.71

12.70

12.69


P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R

El área de un romboide es 70 metros cuadrados y su altura mide 14 metros. ¿Cuánto mide su base?

AROMBOIDE � b � h → 70 � b � 14 → b � �7104� � 5

La base del romboide mide 5 metros.

Las medidas de las bases de un trapecio isósceles son 16 y 12 metros, respectivamente, y su altura mide5 metros.

a) ¿Cuál es su perímetro?

b) Halla su área.

Hallamos el lado oblicuo: l 2 � 22 � 52 � 29 → l � �29� � 5,385 m

a) p � 2 � 5,385 � 12 � 16 � 38,77 m

b) ATRAPECIO � �16 �

212

� � 5 � 70 m2

Halla el área de un cuadrado sabiendo que la diagonal mide 5,7 decímetros.

Sea l el lado del cuadrado:

5,72 � l 2 � l 2 � 2 l 2 → l 2 � �5,

272

� � 16,245

Puesto que ACUADRADO � l 2, el área del cuadrado es de 16,245 dm2

Si un rectángulo mide 40 metros de base y 25 metros de altura tiene el mismo perímetro que un cua-drado. ¿Cuál de los dos tiene mayor área?

p � 2 � (40 � 25) � 130 m

Lado del cuadrado: l � �13

40

� � 32,5 m

Área del rectángulo: ARECTÁNGULO � 40 � 25 � 1 000 m2

Área del cuadrado: ACUADRADO � 32,52 � 1 056,25 m2

Tiene mayor área el cuadrado.

Calcula el lado de un hexágono sabiendo que su apotema mide 8,66 centímetros y su área mide 259,8centímetros cuadrados.


� � p � a → 259,8 � �12

� � p � 8,66 → p � �259

8,,866

� 2� � 60 cm

Lado del hexágono: �660� � 10 centímetros

En una circunferencia se ha dibujado un sector circular cuyo ángulo central mide 50º y su área es iguala 15,7 metros cuadrados.Halla el radio de la circunferencia.

ASECTOR � ��

3r6

2

0�� n�

�

15,7 � ��

3r6

2

0��50�

� → r 2 � �135,,174��35600�

� � 36 → r � �36� � 6

El radio de la circunferencia mide 6 metros.

12.77

12.76

12.75

12.74

12.73

12.72

l

2 m16 m

5 m

12 m

r

15,7 m2

50o


Determina el área de la superficie coloreada sabiendo que el radio del círculo mide 10 centímetros.

ACÍRCULO PEQUEÑO � � � 52 � 25� � 78,5 cm2

ASECTORES � �� 1

306

2

0��

120�� 104,67 cm2

ACOLOREADA � ACÍRCULO PEQUEÑO � ASECTORES � 183,17 cm2

Una alfombra tiene forma circular y su radio mide 75 centímetros.a) Halla el área de esta alfombra.b) Se le quiere poner un borde con flecos alrededor. Si el metro lineal cuesta 36 euros, ¿cuánto costará el

material para hacerlo?

a) AALFOMBRA � � � 752 � 5 625� � 17 662,5 cm2

b) PerímetroALFOMBRA � 2 � � � 75 � 2 � 3,14 � 75 � 471 cm = 4,71 m

Precio del material: 4,71 � 36 � 169,56 €

Se va a rehabilitar un local rectangular ampliando el largo y el ancho un 20 %.a) ¿En cuánto se incrementará el área?b) ¿En cuánto se incrementará el perímetro?

a) Largo del local: b Ancho del local: h

Largo del local incrementado un 20 %: 1,2b Ancho del local incrementado un 20 %: 1,2h

AANTIGUO � b � h ANUEVO � 1,2 � b � 1,2 � h � 1,44 � b � h � 1,44 � AANTIGUO

El área del nuevo local se incrementará un 44 %

b) PerímetroANTIGUO � 2 � (b � h) PerímetroNUEVO � 2 � (1,2 � b � 1,2 � h) � 1,2 � PerímetroANTIGUO

El perímetro del nuevo local se incrementará un 20 %

Un terreno tiene forma de triángulo equilátero, y otro, de cuadrado. Si el perímetro de ambos terrenoses igual a 36 kilómetros, ¿cuál de los dos tiene mayor área?

Lado del triángulo equilátero: �336� � 12 km

Altura del triángulo equilátero: h2 � 122 � 62 � 108 → h � �108� � 10,39 km


� � 12 � 10,39 � 62,34 km2

Lado del cuadrado: �346� � 9 km

ACUADRADO � 92 � 81 km2

Tiene mayor área el cuadrado que el triángulo equilátero.

12.81

12.80

12.79

12.78

60o

h 12 km

6 km


Se dispone de 24 metros de alambre para construir polígonos regulares, todoscon el mismo perímetro.

Halla el área del triángulo equilátero y del hexágono regular. ¿Qué se puede concluir?

Lado del triángulo equilátero: �234� � 8 m

Altura del triángulo equilátero: h2 � 82 � 42 � 48 → h � �48� � 6,93 m


� � 8 � 6,93 � 27,72 m2

Lado del hexágono regular: �264� � 4 m

Apotema del hexágono regular: a2 � 42 � 22 � 12 → a � �12� � 3,46 m


� � 6 � 4 � 3,46 � 41,52 m2

Se deduce que en todos los polígonos isoperimétricos, cuanto mayor es el número de lados, mayor es el área.

12.82

h

4 m

8 m

4 m

2 m

a


P A R A R E F O R Z A R

Expresa las siguientes medidas de superficie en metros cuadrados.

a) 0,23 km2 c) 46 cm2 e) 0,9 dam2

b) 725 mm2 d) 89 dm2 f) 0,003 hm2

a) 0,23 km2 � 23 000 000 m2 c) 46 cm2 � 0,0046 m2 e) 0,9 dam2 = 90 m2

b) 725 mm2 � 0,000725 m2 d) 89 dm2 � 0,89 m2 f) 0,003 hm2 = 30 m2

Calcula el perímetro y el área de esta figura.

PFIGURA � 36 � 8 �2� � 47,31 m

AFIGURA � 41 m2

Halla el área de las siguientes figuras.

a) c)

b) d)

a) ACUADRADO � 32 � 9 cm2 c) AROMBOIDE � 9 � 6 � 54 cm2

b) ARECTÁNGULO � 12 � 10 � 120 cm2 d) ATRAPECIO � �6 �

215

� � 4 � 42 cm2

Calcula el área de estas figuras.

a) b)

a) ATRIÁNGULO � �12

� � 7 � 9 � 31,5 cm2 b) AROMBO � �8 �

212� � 48 cm2

12.86

12.85

12.84

12.83

1 m✒

3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

12 cm

10 cm

6 cm

15 cm

7 cm

7 cm

9 c

m

10 cm12 cm


Halla la longitud de una circunferencia cuyo radio mide 3,5 metros.

LCIRCUNFERENCIA � 2 � � � 3,5 � 2 � 3,14 � 3,5 � 21,98 m

Averigua la longitud del arco de un sector circular cuyo ángulo central mide 80º sabiendo que el radiode la circunferencia mide 10 centímetros.

LARCO � �2 � �

3�6100�

� 80�� 13,96 cm

Halla el área de un círculo, sabiendo que su radio mide 12,7 metros.

ACÍRCULO � � � r 2 � 3,14 � 12,72 � 506,45 m2

Calcula el área de estos sectores circulares.

a) b)

a) ASECTOR CIRCULAR � ��

356

2

0��

45�� 9,8125 cm2 b) ASECTOR CIRCULAR � �

� � 63

2

60��210�

� � 65,94 cm2

12.90

12.89

12.88

12.87

45o

5 cm

6 cm

210o


P A R A A M P L I A R

Sobre los lados de un triángulo equilátero que miden 3, 4 y 5 centímetros, respectivamente, se hanconstruido semicírculos. Halla el área de los semicírculos y comprueba si estas cumplen el teorema dePitágoras.

A1 � �12

� � � � 1,52 � 3,53 cm2

A2 � �12

� � � � 22 � 6,28 cm2

A3 � �12

� � � � 2,52 � 9,81 cm2

Comprobamos que se cumple el teorema de Pitágoras:

3,53 � 6,28 � 9,81

Efectivamente A3 � A1 � A2

El diámetro de una circunferencia mide 8 centímetro y se divide en 4 partes iguales y se construyenlas 4 regiones que muestra la figura. Comprueba que todas las regiones tienen igual área.

Es evidente que A1 � A4 y que A2 � A3, por lo que basta con probar que A1 � A2

A1 � �12

� � � � 12 � �12

� � � � 42 � �12

� · � � 32 � �12

� � (1 � 16 � 9) � 4�

A2 � �12

� � � � 22 � �12

� � � � 12 � �12

� � � � 32 � �12

� � � � 22 � �12

� � (4 � 1 � 9 � 4) � 4�

Por tanto, todos los recintos tienen igual área.

El tangram es un antiguo juego chino que consta de 7 figuras que forman un cuadrado como este.

a) Si el lado del cuadrado es 12 centímetros, determina el lado de cada una de las figuras.

b) Si el área del cuadrado es 16 centímetros cuadrados, averigua el área de cada una de las figuras.

a) FB� � 122 � 122 � 288 → FB� � �288� � 16,97 cm

AH�� 12

� � FB� � 8,485 cm

HJ� � �14

� � FB� � 4,2425 cm

IJ� � BC� � CD�� FE� � ED� � 6 cm

b) Área del cuadrado � 42 � 16 cm2 → Lado del cuadrado � 4 cm

ATRIÁNGULO GRANDE � �12

� � 4 � 2 � 4 cm2

ATRAPECIO � �2 �

22

� � 1 � 2 cm2

ATRIÁNGULO PEQUEÑO � �12

� � 2 � 2 � 2 cm2

ATRIÁNGULO MEDIANO � �12

� � 2 � 1 � 1 cm2

ACUADRADO � ��2��2

� 4 cm2

12.93

12.92

12.91

2

B C D

B

I J

E

G

H

D

A1

A1

A2

A3

A4

A2

A3

3 4

5


Con las 7 piezas del tangram se han formado estas dos figuras, una con pie y otra sin pie. ¿Qué dife-rencia hay entre sus áreas?

Sus áreas miden lo mismo.

12.94


P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R

La nueva autopistaLa señora Elena Fontana posee una parcela B con forma rectangular de dimensiones 40 y 50 metrosrespectivamente.

Las autoridades competentes determinan que por sus inmediaciones se debe construir una nuevaautopista por lo que deberán expropiar 18 m de de los 50 de largo que tiene la mencionada parcela.

Con el dinero que recibirá en concepto de indemnización, la propietaria tiene suficiente para adquirircualquiera de las parcelas adyacentes A o C.

¿Cuál de ellas deberá comprar si quiere invertir el menor dinero posible pero teniendo al final comomínimo la misma superficie que tenía antes de la expropiación?

La superficie de las parcelas es:

A: 20 � 32 � 640 m2 B: 40 � 50 � 2 000 m2 C: 25 � 32 � 800 m2

La superficie expropiada es de A: 40 � 18 � 720 m2

Por tanto, deberá adquirir la parcela C ya que el terreno de la A no es suficiente para conservar la superficie inicial.

12.95

20 m 40 m 25 m

32 m

18 m

A

B

C

Autopista


LosasSe cuenta con dos tipos de losa de la misma forma pero de diferente color.

Las losas tiene color por las dos caras, y para pavi-mentar el suelo se disponen de la siguiente forma.

Calcula el número de losas de cada color que se precisan para pavimentar una superficie rectangularde 8 � 4 metros.

Área de una losa: 4 cm2

Área que hay que pavimentar: 32 m2 � 320 000 cm2

Se necesitan 320 000 � 4 � 80 000 losas.Como se utiliza igual número de losas de cada color, se necesitarán 40 000 losas de cada tipo.

12.96

1 cm


A U T O E V A L U A C I Ó N

Expresa estas medidas de superficie en metros cuadrados.a) 15 km2 d) 35 000 mm2

b) 35 dam2 e) 0,7 hm2

c) 1 575 cm2 f) 44 dm2

a) 15 km2 � 15 000 000 m2 d) 35 000 mm2 � 0,035 m2

b) 35 dam2 � 3 500 m2 e) 0,7 hm2 � 7 000 m2

c) 1 575 cm2 � 0,1575 m2 f) 44 dm2 � 0,44 m2

El lado de un cuadrado mide 3,5 metros. ¿Cuánto mide su área?

ACUADRADO � l 2 � 3,52 � 12,25 m2

El perímetro de un rectángulo mide 48 centímetros y un lado mide los tres quintos del otro.a) Calcula el área del rectángulob) Halla la medida de la diagonal del rectángulo

Base del rectángulo: b Altura del rectángulo: �35

� b

Puesto que pRECTÁNGULO � 2 � (b � h), tenemos: 48 � 2 � �b + �35

� b� → 24 � b � �35

� b → 24 � �85

� b b � 15

La base del rectángulo mide 15 cm, y la altura, 9.

a) ARECTÁNGULO � 15 � 9 � 135 cm2

b) d 2 � 152 � 92 � 306 → d � �306� � 17,49 cm

Dibuja un trapecio rectángulo cuyas bases midan 7 y 15 centímetros, respectivamente, y su altura seaigual a 6 centímetros.a) Halla su perímetro.b) Calcula su área.

a) Hallamos el lado oblicuo.l 2 � 62 � 82 � 100 → l � �100� � 10 cmpTRAPECIO � 7 � 6 � 15 � 10 � 38 cm

b) ATRAPECIO � �7 �

215

� � 6 � 66 cm2

Se ha construido un tablero con forma de rombo. Si sus diagonales miden 18 y 32 centímetros, res-pectivamente, ¿cuánto mide su superficie?

Hallamos el lado del rombo: l 2 � 162 � 92 � 337 → l � �337� � 18,36 cm

AROMBO � �18

2� 32� � 288 cm2

El lado de un hexágono regular mide 10 centímetros. Calcula su área sabiendo que está inscrito en unacircunferencia.

Apotema del hexágono regular: a2 � 102 � 52 � 75 → a � �75� � 8,66 cm

AHEXÁGONO REGULAR � �6 � 10

2� 8,66� � 259,8 cm2

12.A6

12.A5

12.A4

12.A3

12.A2

12.A1

l

15 cm

6 c

m

7 cm

8 cm


Si la longitud de una circunferencia mide 65,94 metros, ¿cuál es la medida del radio?

LCIRCUNFERENCIA � 2 � � � r

65,94 � 2 � 3,14 � r → r � �2

6�5,

39,414

� � 10,5

El radio de la circunferencia mide 10,5 metros.

Halla la longitud del arco de un sector circular cuyo ángulo central mide 78º si el radio de la circunfe-rencia mide 35,12 centímetros.

LARCO � �2 � � �

33650,1�2 � 78�

� � 47,79

La longitud del arco es de 47,79 centímetros.

El área de una rotonda circular es 706,5 metros cuadrados. Calcula el radio de la rotonda.

ACÍRCULO � � � r 2

706,5 � 3,14 � r 2 → r 2 � �730,61

,45

� � 225 → r � �225� � 15

El radio de la rotonda mide 15 metros.

12.A9

12.A8

12.A7


U N R I N C Ó N P A R A P E N S A R

Encuentra el camino que tiene que seguir Anissa para llenar el cántaro en el pozo y después llevar el aguahasta su poblado sin pasar por los lugares peligrosos.

Hacer notar que una vez que la niña llega a coger agua del pozo, deberá volver sobre sus pasos hasta una intersección para luego lle-gar al poblado.

perim y areas

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