péndulo de kater - wikipedia, la enciclopedia libre

Figura 1: Péndulo de Kater Universidad

Politécnica de Madrid.

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El Péndulo de Kater es un péndulo reversible ideado por elcapitán de la armada británica Henry Kater en 1817 como ungravímetro destinado a medir la aceleración de la gravedad local.Su ventaja, con respecto a anteriores métodos gravimétricos detipo pendular se basa en que para la medida de la aceleración dela gravedad g, no es necesario determinar ni el centro degravedad ni el centro de oscilación del péndulo y, sin embargo,

permite obtener ya una adecuada precisión para la medida de g.1

En este artículo daremos unos resultados para la aceleración dela gravedad en Madrid con un Péndulo de Kater docente quepermite obtener hasta dos cifras significativas correctas.

Durante poco más de una centuria, hasta la década de 1930, elpéndulo de Kater, y sus sucesivas mejoras, constituyó el métodoestándar para la medida de la intensidad del campo gravitatorioen las prospecciones geodésicas. En la actualidad es utilizadopara demostraciones docentes de los principios del péndulo. Sumovimiento permite analizar la noción más básica de oscilacióntanto armónica como amortiguada o forzada.

El péndulo de Kater surgió por la necesidad de realizar medidasgravimétricas precisas que permitiesen un buen conocimientodel terreno (muy útil en cartografía, topografía y prospección

minera).2 Básicamente consistía en un péndulo físico ocompuesto. Constaba de dos cuchillas enfrentadas que servíancomo ejes alternativos de suspensión (O y O’) y dos masasdesplazables a lo largo de una varilla. La principal ventaja deeste péndulo, para medir la gravedad, comparada con la de unpéndulo físico de la época es que no era necesario conocerpreviamente a su medida el centro de masas del mismo. Bastabacon encontrar para qué disposición de las masas desplazables,los períodos de oscilación en ambas cuchillas (O y O’) seigualaban aproximadamente.

Hoy en día la medición de la gravedad sobre la superficie de latierra se realiza por medio de acelerómetros absolutos o de caídalibre de una masa testigo y relativos o de muelle metálico que

hacen oscilar una masa.3 4

1 Historia1.1 Origen del péndulo de Kater1.2 Investigaciones paralelas

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Péndulo de Kater original

(tomado de una publicación de

Kater de 1818).

2 Fundamento teórico2.1 Péndulo físico2.2 Péndulo reversible2.3 Péndulo de Kater

3 Véase también4 Referencias5 Enlaces externos6 Bibliografía

Kater fue un físico y militar inglés que había participado en el GranProyecto de Topografía Trigonométrica, que comenzó en 1802. Pero resaltópor sus numerosas investigaciones científicas llevadas a cabo para mejorarla precisión de los sistemas de medición, innovaciones en el terreno de laastronomía y como máximo exponente la invención del péndulo reversibleque lleva su nombre.

Origen del péndulo de Kater

El péndulo de Kater responde a un encargo de la Royal Society a Henry

Kater.5 El citado encargo consistió en determinar la longitud de un péndulode segundos (péndulo cuyo periodo es de dos segundos, un segundo paraoscilar en un sentido y otro segundo para la oscilación de retorno).

El péndulo original estaba formado por una barra metálica rígida provista

de dos cuchillas, con sus bordes enfrentados.6 Las cuchillas, apoyadas porsus bordes sobre un soporte rígido y robusto, sirven de ejes de suspensión.Consta también de dos discos metálicos que pueden desplazarse a lo largode la barra del péndulo. El disco de menor masa está situado en uno de los extremos de la barra, fuera de lazona de las cuchillas; el otro disco más pesado, está colocado entre ellas. De esta forma, se obtendrán dosperiodos de oscilación según la cuchilla que se utilice como eje de suspensión. Normalmente el disco demayor masa se mantiene fijo, mientras que el disco de menor masa se va desplazando hasta que los dosperiodos de coincidan (figura 1). Kater determinó la longitud de la varilla y las masas de los discos enfunción del valor de la aceleración de la gravedad que se conocía en Londres.

El péndulo puede usarse para determinar la aceleración de la gravedad con gran precisión en un puntoconcreto de la superficie terrestre conociendo la longitud de la varilla. Como la Tierra no es una esferaperfecta, no tiene una densidad homogénea y se encuentra en rotación, la aceleración de la gravedad varíade unos puntos a otros de la superficie terrestre.

A raíz de este experimento, Kater y otros investigadores calcularon la gravedad local en diferentes regionesdel mundo, como lo hicieron otros países, lo que les permitió comprender mejor la geometría y estructura dela Tierra. Los resultados obtenidos con el péndulo de Kater en la medida de la aceleración de la gravedadsirven, entre otras cosas, para estudiar las formaciones geológicas y facilitar la búsqueda de minerales.

Investigaciones paralelas

Kater fue uno de los científicos europeos que contribuyeron al desarrollo de la gravimetría. Otro investigadornotable en este campo fue Friedrich W. Bessel, matemático y astrónomo alemán, que simplificó el método deKater para la obtención de la aceleración de la gravedad. De acuerdo con el método de Bessel no era


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Péndulo de Kater

(esquema).

(1)

necesario que los períodos de oscilación T y T′ fueran iguales, sino tan solo quehubiese una pequeña diferencia entre ambos como demostró matemáticamente apartir de una de las expresiones del péndulo compuesto. En España, los primerostrabajos reconocidos por la Asociación Internacional de Geodesia fueron los

realizados por Joaquín María Barraquer y Rovira.7 Para ellos empleó un péndulo deRepsold que se construyó basándose en los cálculos de Bessel. Barraquer realizó lasprimeras medidas en los antiguos locales del Instituto Geográfico y Estadístico de lacalle Jorge Juan número 8 de Madrid durante el año 1877. A éstas siguieron lasrealizadas en la biblioteca del Observatorio Astronómico de Madrid en los años1882 y 1883, empleando para ello esta vez dos aparatos de péndulo de Besselfabricados por Repsold, uno grande y otro pequeño. La determinación de la longituddel péndulo matemático fue certificada por el BIPM (Bureau International des poidset mesures) de Sèvres, París. Así se obtuvo el primer valor absoluto de la gravedaden Madrid con un error de 1,6 miligales. Este valor fue de g= 9.800156 ± 0.000016

ms-2.

Péndulo físico

El péndulo físico es un sólido en rotación alrededor de un eje fijo horizontal, que oscila, por tanto, sobre unplano vertical. Cuando se separa un ángulo θ de la posición de equilibrio y se suelta, sobre el sólido actúa elmomento del peso mg, que tiene signo contrario al desplazamiento. La ecuación de la dinámica de rotaciónes la siguiente:

Donde I0 es el momento de inercia del cuerpo respecto del eje de rotación que pasa por O, α es laaceleración de la gravedad y h es la distancia desde el centro de masas c.d.m. al centro de oscilación O,como se puede apreciar en la Figura 2.

La ecuación (1) expresada en forma de ecuación diferencial es equivalente a la siguiente:

Si la amplitud del ángulo θ es pequeña, podemos aproximar el seno del ángulo al ángulo medido en radianes,i.e., sinθ≈θ. La ecuación diferencial se escribe entonces:


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(2)(3)

Figura 2: Péndulo físico

(4)

(5)

(6)

(7)

Figura 3.1: Curva de doble rama, T(h), con la longitud equivalente (λ, λ'). Se toma

como origen el centro de masas.

Que corresponde a la ecuación diferencial de un M.A.S. de frecuenciaangular ω y periodo T:

Por el Teorema de Steiner:

IC es el momento de inercia respecto a un eje que pasa por el c.d.m. yK es el radio de giro con respecto a un eje paralelo al de suspensiónque pase por el c.d.m. del péndulo.

Sustituyendo el valor de I0 en la ecuación [5] obtenemos el periodo para el péndulo físico:


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Figura 3.2: Curva de doble rama, T(h), con el radio de giro (K, K'). Se toma como

origen el centro de masas.

(8)

(9)

(10)

(11)

Cuando se representa T enfunción de h, obtenemosuna curva con dos ramassimétricas con respecto ala posición de centro demasas como podemosobservar en las Figuras 3.1y 3.2. En ellas se puedeapreciar además queexisten hasta cuatroposiciones del péndulo conigual periodo como sejustificará más adelante.Esta propiedad se usarápara determinar la llamadalongitud equivalente l delpéndulo.

El periodo alcanza un valorinfinito para h =0, es decir,cuando coincide el centrode masas con el centro deoscilación O. La curva presenta un mínimo para un cierto valor de h que se puede calcular derivando Trespecto de h e igualando a cero.

La posición del mínimo K, corresponde al radio de giro del péndulo. Como se puede ver en la figura 3.2 haydos mínimos uno en K y otro en K' correspondiendo a h>0 y h<0 respectivamente. En las dos gráficas de lafigura 3 se puede comprobar la propiedad del péndulo físico como péndulo reversible: dado un valor de T seobtienen dos valores con h>0 y otros dos con h<0, que hacen que el péndulo físico oscile con dicho periodo.Para ello basta con elevar al cuadrado y agrupar en un sólo miembro las ecuaciones anteriores obteniendouna ecuación de segundo grado con h como incógnita:

De las propiedades de las soluciones de la ecuación de segundo grado:


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(12)

(13)

(14)

(15)

Midiendo en la gráfica h y h’ para un valor dado de T, se obtiene el valor de la aceleración de gravedad g apartir de la ecuación [12]. También se puede obtener el momento de inercia del péndulo compuesto respecto a un eje que pasa por el centro de masas, una vez realizadas las medidas y calculado elcentro de masas ecuación [6].

Si se compara la expresión del periodo del péndulo físico, con la equivalente del péndulo simple:

se puede obtener un periodo equivalente de un péndulo simple de longitud λ:

A este resultado se le da el nombre de “longitud de péndulo simple equivalente”.

Péndulo reversible

Como se ha aclarado en el párrafo anterior, el fundamento del péndulo reversible es el del péndulo físico quese caracteriza por tener varias soluciones de la distancia h al centro de masas que presentan el mismoperiodo (figuras 3.1 y 3.2; ecuación 14). En la práctica significa, que se puede hacer oscilar al péndulo entorno a dos ejes paralelos situados a ambos lados respecto del centro de masas.

El centro de suspensión (O) es el punto de corte del eje de giro con el solido que oscila. Y el punto que sehalla a una distancia λ = (h +h’) se denomina centro de oscilación (O’). Si ahora hacemos pasar un eje derotación paralelo al original por O’; O pasara a ser el centro de oscilación. Como ambos puntos sonintercambiables reciben el nombre de puntos conjugados. Todo lo anterior se ve englobado por el Teoremade Huygens que enuncia: «La longitud reducida de un péndulo físico no varía cuando el centro de oscilaciónO’ pasa a ser centro de suspensión (O), pues ambos puntos permutan entre sí sus papeles. El período delpéndulo será el mismo en ambos casos».

Péndulo de Kater

Es un tipo concreto de péndulo físico o compuesto cuyo aspecto clásico es el que muestra la figura 1 y elvídeo 1. En la figura 4 puede verse un dibujo esquemático del péndulo de Kater utilizado en la medidaexperimental de la aceleración de la gravedad de esta aplicación. Básicamente, el péndulo de Kater constade: una barra rígida a la que se le unen dos cuchillas (O y O’) y dos masas (m y m’). Una de las cuchillas seapoya sobre un soporte que hace de centro de suspensión, mientras que la otra se deja libre haciendo elpapel de centro de oscilación.


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Figura 4: Péndulo de Kater(16)

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Desplazando la pesa exterior (A) se puede llegar a unadisposición de los elementos en la que se obtieneigualdad de periodos. En esta situación donde se igualanlos periodos, O y O’ son puntos conjugados. FriedrichBessel demostró que, para la determinación exacta delvalor de g no es necesario el lento proceso que conducea la igualación de los periodos de oscilación, T y T′, demanera muy precisa. Es suficiente que seanaproximadamente iguales, i.e., que la diferencia T-T′ seamuy pequeña. El procedimiento se conoce como"Método de Bessel para la medida de la aceleración dela gravedad g".

En efecto, a partir de una de las expresiones del periododel péndulo compuesto, ecuación [7],

y recordando que K el radio de giro con respecto a un eje paralelo al de suspensión que pase por el centro degravedad G del péndulo y h la distancia OG, podemos obtener:

de modo que, restando miembro a miembro, tenemos:

de donde

Entonces, si el centro de gravedad (G) del péndulo se encuentra más cerca de una cuchilla que de la otra, ladiferencia (h-h′) no es pequeña y, puesto que T es aproximadamente igual a T′, el segundo término de laexpresión anterior será despreciable en comparación con el primero, por lo que el valor de g puede obtenersemediante la fórmula:


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PénduloPéndulo balísticoPéndulo cicloidalPéndulo compuestoPéndulo cónicoPéndulo de FoucaultPéndulo de Foucault (lista)Péndulo de NewtonPéndulo de PohlPéndulo de torsiónPéndulo esféricoPéndulo físicoPéndulo simplePéndulo simple equivalenteReloj de pénduloTeorema de HuygensOscilador armónicoDoble pénduloMetrónomo

↑ http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/rossi/M%20Rossi%2011.pdf. Artículo de investigación sobre elfundamento y la medición con el Péndulo de Kater de M. Rossi y L. Zaninetti, Central European Journal ofPhysics, vol. 3(4), p.636–659, (2005). Como objetivo principal calcula la aceleración de la gravedad en Turín(Italia) con una precisión de 10-4 m/s2

1.

↑ http://www.geovirtual.cl/EXPLORAC/TEXT/06001grav.html#1. Introducción2.↑ Instituto Geográfico Nacional. «Gravimetría (http://www.fomento.es/mfom/lang_castellano/direcciones_generales/instituto_geografico/geodesia/gravimetria/faqs.htm)».

3.

↑ http://www.geovirtual.cl/EXPLORAC/TEXT/06004grav.htm4.↑ (en inglés) http://sydney.edu.au/museums/events_exhibitions/macleay_past/kater.shtml Vida de Henry Kater,construcción del péndulo, y otros péndulos basados en este.

5.

↑ Kater, Henry (1818). «An account of experiments for determining the length of the pendulum vibratingseconds in the latitude of London (http://books.google.com/?id=uaQOAAAAIAAJ&pg=PA83&lpg=PA83&dq=%22Henry+Kater%22+kater+pendulum)». Phil. Trans. R. Soc. (London) 104 (33): pp. 103.http://books.google.com/?id=uaQOAAAAIAAJ&pg=PA83&lpg=PA83&dq=%22Henry+Kater%22+kater+pendulum.

6.

↑ http://www.fomento.es/NR/rdonlyres/bc5c9110-747a-435e-8045-3197e1bfd10d/25350/enrique2005.pdfDocumento del Instituto de Fomento Español en el cual con motivo del aniversario se hace un trabajo muyespecifico sobre toda la historia del cálculo de la gravedad, en cuanto a su fundamento teorico, como a suhistoria en España.

7.

http://www.df.unipi.it/~giudici/kater.pdf Artículo sobre fundamentos del péndulo clásico de Kater conmedidas de g realizadas en Nashville por la universidad de Vanderbilt, en los años 1983 y 1990.

1.

http://personalpages.to.infn.it/~zaninett/projects/pendolo.pdf Artículo de investigación de M. Rossiand L. Zaninetti, Central European Journal of Physics, vol. 3(4),pp.636–659, (2005). Sobre la relación

2.


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cúbica entre periodo y la posición de las masas en el péndulo de Kater.http://digital.csic.es/bitstream/10261/24374/1/N181_1991.pdf Trabajo de investigación realizado porla Universidad Complutense de Madrid( Mäkinen y Vieira) sobre la medida y cálculo de g. (1991).

3.

http://www.svenhoek.com/Katers_Pendulum_7SJ1.html Teoría del péndulo de Kater, así como de loserrores tanto de cálculo como de fabricación.

4.

http://www-app.etsit.upm.es/departamentos/fis/asignaturas/Guiones/manual%20final-2010.pdf PedroSánchez Sánchez, Vicente Alcober Bosch, Coral Duro Carralero, Pilar Mareca López y Ángel SanzSáenz. Manual del laboratorio de Física General 1. Plan 2010. Madrid: Departamento de FísicaAplicada a las Tecnologías de la Información, 2011. Escuela Técnica Superior de Ingenieros deTelecomunicación (UPM).

5.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ajuste_de_curvas Teoría sobre el ajuste de curvas.6.

Feynman, Leighton and Sands. Lectures on physics. Ed. Addison-Wesley.; http://en.wikipedia.org/wiki/The_Feynman_Lectures_on_PhysicsMarion, Jerry B. (1996). Dinámica clásica de las partículas y sistemas. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN

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