pembuktian teorema lima lingkaran
TRANSCRIPT
Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari
Pembuktian
Teorema Lima
Lingkaran
Oleh
Rahma Siska Utari
0
Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari
1. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matematika merupakan studi tentang struktur, ruang dan perubahan. Ilmu
tentang ruang berawal dari geometri, yaitu bagian matematika yang berkenaan
dengan ukuran, bentuk dan posisi relative benda dengan beranekaragam ruang.
Geometri adalah satu dari ilmu pengetahuan tertua. Sebuah tubuh pengetahuan
praktis berkenaan dengan panjang, wilayah dan volume.
Di bidang geometri dikenal sebuah kaidah yaitu Five Circles Theorem
(Teorema Lima Lingkaran) yang dikemukakan oleh seorang matematikawan
Prancis bernama Auguste Miquel dan dipublikasikan pada Journal de
Mathematiques Pures et Appliquees (Liouville ‘s Journal) Tome Troisieme pada
tahun 1838.
Pada Teorema Lima Lingkaran tersebut dinyatakan bahwa suatu lingkaran
dapat dibentuk dari suatu segilima (pentagon) yang tidak beraturan. Tentu saja
teorema ini sangat menarik, selain itu teorema lima lingkaran ini juga dapat
memberikan suatu ilmu baru, khususnya bagi penulis untuk mengetahui
bagaimana cara menggambar lingkaran dari sebuah segilima tidak beraturan.
1.2 Rumusan Masalah
. Rumusan masalah dalam penelitian ini adalah “Bagaimana membuktikan
Teorema Lima Lingkaran dengan menggunakan konsep bangun datar yaitu
pentagon, pentagram, segiempat tali busur, lingkaran serta sifat – sifat dan
hubungan antar sudut dalam lingkaran ?”
1.3 Tujuan
Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah Untuk mengetahui
pembuktian Teorema Lima Lingkaran menggunakan konsep bangun datar yaitu
1
Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari
pentagon, pentagram, segiempat tali busur dan lingkaran serta sifat – sifat dan
hubungan antar sudut dalam lingkaran.
1.4 Manfaat
Adapun manfaat yang penulis harapkan dari makalah ini :
Teman teman mahasiswa, untuk menambah wawasan dan materi baru
tentang teorema lima lingkaran.
Siswa, sebagai materi pengayaan untuk sekolah menengah agar dapat
memperluas pengetahuan siswa mengenai bangun datar serta dapat
melatih siswa berpikir kreatif.
2. MATERI PENUNJANG
2.1 Definisi Pentagon
Dalam geometri, pentagon atau segi lima adalah semua segi banyak yang
bersisi lima.
2.2 Definisi Pentagram
Pentagram terkadang dikenal sebagai pentalpha atau pentangle atau
segilima bintang adalah bentuk dari sebuah bintang bersisi lima (pentagon) yang
digambar dari perpanjangan lima garis lurus masing – masing sisi pentagon.
2
A
B
C
DE
Gambar 1. Pentagon
Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari
2.3 Lingkaran
i. Definisi Lingkaran
Lingkaran adalah kurva tertutup sederhana yang merupakan tempat
kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu. Jarak
yang sama tersebut disebut jari-jari lingkaran dan titik tertentu disebut
pusat lingkaran.
ii. Bagian-bagian Lingkaran
iii. Lingkaran Luar Segitiga
Lingkaran luar suatu segitiga adalah suatu lingkaran yang melalui
semua titik sudut segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu
sisi-sisi segitiga.
Gambar di atas menunjukkan lingkaran luar ΔABC dengan pusat O.
OA = OB = OC adalah jari-jari lingkaran dan OP = OQ = OR adalah garis
sumbu sisi-sisi segitiga.
3
A
C
B
OO
P
QR
Gambar 3. Lingkaran Luar Segitiga
Keterangan gambar :
O = Pusat Lingkaran
OA = OB = OC = Jari – jari Lingkaran
BC = Diameter Lingkaran
AC = Tali Busur
OD = Apotema
Daerah ACE = tembereng
Daerah AOB = Juring
Gambar 2. Bagian – bagian Lingkaran
E
B
CA
D
A ...>.
Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari
2.4 Segiempat
i. Definisi Segiempat
Segiempat adalah bangun datar yang dibentuk dengan
menghubungkan empat buah titik yang tidak segaris. Ada enam macam
bangun datar segi empat, yaitu persegi panjang, belah ketupat, persegi,
layang-layang, jajargenjang, trapesium.
ii. Segiempat Siklis
Segi empat siklis (segi empat tali busur) adalah segi empat yang
terletak dalam lingkaran, dimana tiap sudutnya menyinggung lingkaran
sedemikian hingga jumlah dua buah sudut yang berhadapan pada segi
empat siklis (segi empat tali busur) adalah 180o. Sebaliknya, jika dua
buah sudut yang berhadapan pada suatu segiempat berjumlah 180o,
maka segiempat tersebut adalah segi empat tali busur.
< CDE = < ABC
< CDE + < ADC = 180o
< ADC + <ABC = 180o
Jadi , < CDE = < ABC
2.5 Pengertian Concyclic
Suatu himpunana titik S = {A1, A2, ...,An } adalah concyclic jika titik - titik
tersebut terletak pada keliling lingkaran.
Pada gambar di atas, titik A,B, C, D concyclic, karena titik – titik tersebut
terletak pada keliling lingkaran yang berpusat di O.
4
O
BC
D
Gambar 5. Titik - Titik Concyclic
Gambar 4.Sudut segiempat tali busur
Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari
Sebuah poligon (segi banyak) yang memiliki lingkaran-luar disebut
poligon siklik (kadang-kadang poligon concyclic). Untuk poligon siklik dengan
jumlah sisi ganjil, semua sudut sama jika dan hanya jika poligon tidak beraturan.
Sebuah poligon siklik dengan jumlah sisi n memiliki sudut sama jika dan hanya
jika sisi alternatif sama (yaitu, sisi 1, 3, 5, ... adalah sama, dan sisi 2, 4, 6, ...
adalah sama).
2.6 Sudut
i. Sudut keliling yang menghadap busur yang sama
Dari gambar diatas, diperoleh:
QOR merupakan sudut pusat lingkaran yang menghadap busur QR.
QTR merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap ke busur
QPR merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap ke busur
QSR merupakan sudut keliling lingkaran yang menghadap ke
Jadi, dapat disimpulkan bahwa semua sudut keliling yang menghadap
busur yang sama memiliki ukuran sudut/besar sudut yang sama.
5
Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari
ii.Sudut Pelengkap
Sudut pelengkap adalah pasangan sudut yang jika dijumlahkan hasilnya
180o. Jadi pasangan dari sudut xo adalah sudut (180 - x)o.
3. MATERI POKOK
Isi dari makalah ini untuk membuktikan Teorema Lima Lingkaran. Adapun
bunyi dari Teorema Lima Lingkaran adalah
Teorema Lima Lingkaran : Diberikan segilima ABCDE sebarang yang
perpanjangan sisi – sisinya berpotongan di titik F, G, H, I dan J, membentuk
pentagram. Dapat dibentuk lingkaran dari segitiga AFB, BGC, PJK, DIE, dan
EJA. Sehingga ada lima titik baru K, L, M, N, P yang dihasilkan dari perpotongan
dua lingkaran.
Akan dibuktikan bahwa titik K, L, M, N dan P concyclic.
Bukti :
6
Gambar 6. Teorema Lima Lingkaran
Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari
Langkah – Langkah Pembuktian :
No Gambar Penjelasan
1. Diberikan pentagon ABCDE
2. Perpanjangan sisi – sisi pentagon
akan berpotongan di titik F, G, H, I
dan J membentuk pentagram.
3. Akan terbentuk circumcircle atau
lingkaran luar dari sisi – sisi
pentagon.
7
Pentagon
Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari
4. Terdapat titik baru K, L, M, N, P
yang merupakan perpotongan dua
circumcircles.
Akan dibuktikan bahwa titik K, L, M,
N dan P concyclic.
5. Akan dibuktikan α = α1 = α2 = α3
DEIM adalah segiempat tali
busur. Berdasarkan sifat sudut
segiempat tali busur bahwa
sudut yang berhadapan
berjumlah 180o.
∠MIE = α
∠MIE + ∠EDM = 180o
∠EDM = 180o - ∠MIE
∠EDM = 180o – α ... (1) Perhatikan ∠MNE = ∠
MIE
Karena ∠MNE menghadap
busur yang sama dengan∠
MIE yaitu busur EM,
berdasarkan sifat sudut
keliling bahwa sudut keliling
yang menghadap busur yang
sama memiliki ukuran
sudut/besar sudut yang sama,
8
Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari
maka ∠MNE = ∠MIE
Sehingga α1= α ...(2)
Perhatikan ∠MDH dan ∠
EDM merupakan sudut
berpelurus.
∠MDH = α2
Dengan mensubstitusi
Persamaan 1, didapat
∠MDH + ∠EDM = 180o
∠MDH = 180o - ∠EDM
α2 = 180o – (180o – α)
α2 = α ... (3)
Karena ∠MCH menghadap
busur yang sama dengan∠
MDH yaitu busur MH.
Maka ∠MCH = ∠MDH
∠MCH= α3
α2 = α3 ... (4)
Berdasarkan persamaan 2, 3 dan 4
maka terbukti α = α1 = α2 = α3
9
Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari
6. Perhatikan ∠MCF dan ∠MCH
adalah sudut berpelurus
∠MCF + ∠MCH = 180o
∠MCF + α3 = 180o karena α = α3
∠MCF = 180o - α
Sehingga FCMI adalah segiempat
siklis atau segiempat tali busur,
dengan kata lain titik F, C, M, I
concyclic.
7. Akan dibuktikan β = β1 = β2
ABKF adalah segiempat tali
busur. Berdasarkan sifat sudut
segiempat tali busur bahwa
sudut yang berhadapan
berjumlah 180o.
diberikan ∠AFK = β
∠AFK + ∠KBA= 180o
∠KBA = 180o - ∠AFK
∠KBA = 180o – β ... (1) ∠KBA dan ∠GBK
merupakan sudut berpelurus.
∠GBK = β1
∠GBK + ∠KBA= 180o
∠GBK = 180o - ∠KBA
β1 = 180o – (180o – β)
β1 = β ... (2)
Karena ∠GBK menghadap
busur yang sama dengan∠
KCG yaitu busur KG
10
Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari
Maka ∠GBK = ∠KCG
∠KCG = β1
β1 = β2 ... (3)
Berdasarkan persamaan 2 dan 3 maka
terbukti β = β1 = β2 .
8. Perhatikan ∠GCK dan ∠IHK adalah
sudut berpelurus
∠GCK + ∠IHK = 180o
∠GCK+ β1 = 180o karena β = β1
∠MCF = 180o - β
Sehingga FKCI adalah segiempat
siklis atau segiempat tali busur,
dengan kata lain titik F, K, C, I
concyclic.
9. Akan dibuktikan bahwa α = α4
FKMI adalah segiempat tali busur,
karena segi empat FKMI yang
terletak dalam lingkaran, dimana tiap
sudutnya menyinggung lingkaran.
Berdasarkan sifat sudut
segiempat tali busur bahwa
sudut yang berhadapan
berjumlah 180o.
∠FIM = α
∠FIM + ∠MKF = 180o
∠MKF = 180o - ∠FIM
∠MKF = 180o – α ... (1)
Karena∠MKF dan α4
merupakan sudut berpelurus.
11
Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari
∠MKF + α4= 180o
180o – α = 180o - α4
α = α4
10. Akan dibuktikan θ = θ1 = θ2
AENP adalah segiempat tali
busur. Berdasarkan sifat sudut
segiempat tali busur bahwa
sudut yang berhadapan
berjumlah 180o.
diberikan ∠ENP = θ
∠ENP + ∠PAE = 180o
∠PAE = 180o - ∠ENP
∠PAE = 180o – θ ... (1) ∠PAE dan ∠FAP merupakan
sudut berpelurus.
∠FAP = θ1
∠PAE + ∠ FAP = 180o
∠FAP = 180o - ∠PAE
θ1 = 180o – (180o – θ)
θ1 = θ ... (2)
Karena ∠FAP menghadap
busur yang sama dengan∠
FKP = θ2
Maka ∠FAP = ∠FKP
∠FAP = θ1
θ1 = θ2 ... (3)
Berdasarkan persamaan 2 dan 3 maka
terbukti θ = θ1 = θ2 .
12
Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari
11. Perhatikan ∠PKM dan α4+ θ2 adalah sudut berpelurus
∠PKM = 180o – (α4+ θ2) dan
∠PKM=α1+ θBerdasarkan langkah (8) dan (9)
didapat bahwa α = α4 dan θ = θ2
Sehingga KMNP adalah segiempat
siklis atau segiempat tali busur,
dengan kata lain titik K, M, N, P
concyclic.
12. Titik K, M, N, P concyclic. Maka
titik L yang terletak pada lingkaran
yang sama juga concyclic.
Dengan demikian titik K, L, M, N
concyclic dan teorema lima lingkaran
terbukti.
4. PENUTUP
Dari pembahasan yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa
pembuktian Teorema Lima Lingkaran dapat dibuktikan dengan penggunaan
konsep pentagon, pentagram, lingkaran, segiempat tali busur, sifat sudut pada
lingkaran, aturan sudut dalam trigonometri, serta titik – titik concyclic. Sehingga
terbukti bahwa titik – titik K, L, M, N, P yang dihasilkan dari perpotongan dua
lingkar adalah concyclic. Selain itu dapat juga disimpulkan bahwa dari suatu
segilima sebarang dapat dibentuk suatu lingkaran.
DAFTAR PUSTAKA
13
Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari
Aisyah, Nyimas. 2009. Diktat Geometri. Indralaya : Universitas sriwijaya
Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan.
Negoro dan Harahap. 1998. Ekslopedia Matematika. Jakarta : Yudhistira.
Wikipedia. 2008. Geometri. http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri. Diakses
tanggal 8 Maret 2012.
Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Five_circles_theorem. Diakses tanggal 8
Maret 2012.
http://agutie.homestead.com/files/miquel_pentagram1.htm. Diakses tanggal 8
Maret 2012.
Wikipedia. http://id.wikipedia.org/wiki/Segi_lima. Diakses tanggal 9 Maret 2012.
Crayonpedia.http://www.crayonpedia.org/mw/
BSE:Garis_Singgung_Lingkaran_8.2_(BAB_7) Diakses tanggal 11 Maret
2012.
Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Pentagram. Diakses tanggal 29 Maret
2012.
Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Inscribed_angle_theorem#Theorem.
Diakses tanggal 28 April 2012.
Wikipedia.http://mathworld.wolfram.com/Concyclic.html. Diakses tanggal 28
April 2012.
Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Circumscribed_circle. Diakses tanggal 28
April 2012.
Wikipedia.http://en.wikipedia.org/wiki/Concyclic_points. Diakses tanggal 28
April 2012.
Wikipedia. http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_quadrilateral. Diakses tanggal 28
April 2012, 14 : 53 WIB.
14
Pembuktian Teorema Lima Lingkaran – Rahma Siska Utari
15