Předpjatý beton Přednáška 3

Obsah

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Staticky určité konstrukce

Silové působení kabelu na beton

Ekvivalentní zatížení

1

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky určité konstrukce

Silové působení kabelu na beton

Osamělou silou v místech zakotvení

Silami v místech změny směru kabelu

Obecně - výslednice Rozklad na složky do

vodorovného a svislého směru

2

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky určité konstrukce

Silové působení kabelu na beton - Parabolický kabel

Přesné řešení - předpínací síla se mění po délce vlivem ztrát

předpětí třením

- radiální síly působí ve směru normály

H = P = konst

V = P∙tg α

α α

Rozklad sil pro přesné řešení Rozklad sil pro zjednodušené řešení H = P∙cos α

V = P∙sin α P

3

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky určité konstrukce

α

H = P∙cos α

V = P∙sin α P

Přímý kabel

prostý nosník - přesné řešení

Silové působení kabelu: Pouze koncové účinky:

Ohybový moment lze spočítat přímo:

𝑀𝑃 𝑥 = −𝑃 ∙ 𝑒(𝑥)

Ekvivalentní zatížení

statické schéma: idealizace nosníku pomocí těžišťové osy

tvoří pouze koncové účinky, výsledné síly musí být vztaženy k těžišti !!!

reakce ekvivalentního zatížení jsou nulové

4

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky určité konstrukce

Přímý kabel

prostý nosník - přesné řešení konzola - přesné řešení

Protože reakce ekvivalentního zatížení jsou nulové, průběh vnitřních sil nezávisí na

způsobu podepření (platí pouze u staticky určitých konstrukcí).

5

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky určité konstrukce

Přímý kabel

prostý nosník - přesné řešení prostý nosník – zjednodušené řešení

H = P = konst

V = P∙tg α

α α

H = P∙cos α

V = P∙sin α P

6

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky určité konstrukce

Lomený kabel

prostý nosník - přesné řešení prostý nosník – zjednodušené řešení

7

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky určité konstrukce

Parabolický kabel - geometrie

rovnice tečny paraboly, tj.

směrnice tečny = tg (γ):

rovnice paraboly:

𝑡𝑔 𝛾 𝑥 =𝑑𝑒(𝑥)

𝑑𝑥= −

8𝑓

𝐿2 𝑥 +4𝑓

𝐿+

𝑒𝑏 − 𝑒𝑎

𝐿

𝑒 𝑥 = −4𝑓

𝐿2 𝑥2 +4𝑓

𝐿𝑥 +

𝑒𝑏 − 𝑒𝑎

𝐿𝑥 + 𝑒𝑎

a odtud sklony tečen na

začátku a na konci

paraboly

𝑡𝑔 𝛼 = 𝑡𝑔 𝛾 𝑥 = 0 =4𝑓

𝐿+

𝑒𝑏 − 𝑒𝑎

𝐿

𝑡𝑔 𝛽 = 𝑡𝑔 𝛾 𝑥 = 𝐿 = −8𝑓

𝐿2 𝐿 +4𝑓

𝐿+

𝑒𝑏 − 𝑒𝑎

𝐿=

= −4𝑓

𝐿+

𝑒𝑏 − 𝑒𝑎

𝐿

Souřadný systém x,y , kde e(x) = y(x)

Parametry paraboly:

• délka L

• vzepětí f v L/2 (s příslušným

znaménkem)

• excentricitou na počátku paraboly

ea a na konci paraboly eb (s

příslušným znaménkem)

8

Předpoklad:

• H = P = konstantní (plochý kabel, vliv

změn předpětí po délce zanedbán)

• P je kladná

Silové působení:

koncové účinky (rozklad na svislou a

vodorovnou sílu):

radiální síly po délce kabelu představují

rovnoměrné spojité zatížení působící na

nosník v úseku paraboly:

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky určité konstrukce

Parabolický kabel – účinky předpětí

𝑝 =𝑑2𝑀𝑃 𝑥

𝑑𝑥2 = −𝑃𝑑2𝑒 𝑥

𝑑𝑥2 = −𝑃8𝑓

𝐿2

Ph = P = konst

Pv = P∙tg α

α

𝑀𝑃 𝑥 = −𝑃 ∙ 𝑒(𝑥)

Ohybový moment lze spočítat přímo,

protože platí:

reakce nulové !!!

9

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce – staticky určité konstrukce

Parabolický kabel – účinky předpětí

𝑝 =𝑑2𝑀𝑃 𝑥

𝑑𝑥2 = −𝑃𝑑2𝑒 𝑥

𝑑𝑥2 = −𝑃8𝑓

𝐿2

P = 1000 kN

10

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce

Nosníky s proměnným průřezem

11

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce

Ekvivalentní zatížení pro parabolický kabel

Staticky určitá konstrukce

Předpoklad:

H=P=konstantní

epA=epB (kladná dolů)

Momentový účinek

Excentricita z rovnice paraboly

odtud

)x(He)x(M pp

pAp exL

fx

L

f)x(e

44 2

2

22

2

2

28

L

fH

dx

)x(edH

dx

)x(Mdp

pp

12

Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce

Ekvivalentní zatížení pro

parabolický kabel

Zde záporná

Počátek

souřadného

systému

xL

eeex

L

fx

L

f)x(e

pApB

pAp

44 2

2

L

ee

L

fx

L

f

dx

)x(de)x(tg

pApBp

482

13