FACULTAD DE INGENIERÍAESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA DE SISTEMASCURSO: MATEMATICA IICICLO: 2015-2

PRACTICA DIRIGIDA N° 5LA INTEGRAL DEFINIDA

1.- Introducción2.- Integral definida. Definiciones y propiedades.3.- Teorema fundamental del cálculo integral.4.- Regla de Barrow. 5.- Aplicaciones de la integral definida. Cálculo de áreas planas.

1. Introducción.

En este tema nos vamos a preguntar sobre cómo podemos calcular áreas encerradas por una curva entre dos valores determinados.

Hay casos en los que su cálculo es fácil como por ejemplo el caso de la función f(x)= x + 1 entre los valores x=0 y x=3

Bastaría descomponer la región en un rectángulo y un triángulo y sumar sus áreas correspondientes para obtener el resultado final:

Área encerrada = 7,5 u2

Sin embargo, en otros casos no es posible realizar el cálculo de un forma tan simple puesto que la función que delimita la región correspondiente es curva. Observemos si no el caso de la función f(x)=x3-3x+3 en el intervalo x=0 y x=2.

Tendremos que introducir entonces nuevos conceptos para solucionar dicho problema: el de integral definida.El concepto de integral definida surge como respuesta al problema del cálculo del área de una determinada región del plano. Su origen se remonta al saber griego, concretamente a Eudoxio, que da nombre al denominado “método de exhausción”, posteriormente difundido por Aristóteles. (básicamente consiste en dividir la región en rectángulos y calcular la suma de todas las áreas)

1

El método de exahusción será el principio que dará pie a la actual formulación de integral definida y que veremos de forma breve a continuación.

2.- Integral definida. Definiciones y propiedades.

Definición: Dada una función no negativa f(x), y un intervalo [a, b] en el cual la función esté definida, llamaremos integral definida de f(x) en [a, b] al área encerrado por la curva f entre a y b, y el eje OX.

Lo denotaremos ,

Definición: Dado un intervalo [a, b], llamaremos partición de ese intervalo a un conjunto cualquiera de puntos de [a, b], P = {x0, x1, x2, ……. , xn} tales que:

a = x0 < x1 < x2 < x3 <……..< xn = b.

Definición: Llamaremos diámetro al mayor de los números x1 – x0, x2 – x1, ………., xn – xn-1.

Consideramos entonces una función f(x) definida en un intervalo [a, b], y tracemos rectángulos de base los anteriores divisiones hechas en ese intervalo y de altura el menor y el mayor de los valores de la función, respectivamente, en dichas divisiones. Obtendremos una aproximación con rectángulos por defecto y otra aproximación de rectángulos por exceso.

2

Aproximación con rectángulos por exceso Aproximación de rectángulos por defectoComo puede verse, el área encerrada por la curva se encuentra entre una y otra aproximación, a las que llamamos sumas inferior ( S inf ) y superior de Riemann ( S sup) respectivamente, asociadas a la partición P.

Sinf < Área de f(x) < Ssup

Cuando vamos tomando particiones con un diámetro cada vez menor, entonces esas aproximaciones son cada vez más próximas entre sí y, por tanto, al verdadero valor del área, de forma que cuando el diámetro de la partición tiende a 0 las aproximaciones tienden a dicho área.

Cuando n tiende a infinito, es decir, cuando aumenta el número de subintervalos, entonces:

A esto se le conoce como integral de Riemann y viene a decir que el área encerrada por una función equivale a una suma infinita de rectángulos, bien superiores o bien inferiores, ya que en el fondo, suman lo mismo.

Propiedades de la integral definida.

Dada una función integrable f en [a, b], entonces:

o Si f 0 en [a, b] entonces 0. (es decir, si la función es positiva, el valor de la integral

también lo será. Por tanto, cuando la función sea negativa, la integral será también negativa)

o =0.

o Si a < c < b, entonces: = +

o =

o + =

o =

3.- Teorema fundamental del cálculo integral.3

Antes de demostrar el teorema fundamental, debemos dar una serie de definiciones y demostrar otro teorema previo.

Teorema del valor medio del cálculo integral:

Si f es continua en [a, b], entonces existe c [a, b] tal que: = f(c)·(b – a)

Demostración:

Si f(x) es continua entonces alcanza un valor máximo M y uno mínimo m en [a,b] luego el área de la función estará comprendida entre la del rectángulo pequeño, de altura m y área m·(b-a), y el área del rectángulo grande, de altura M y área M(b-a), es decir:

m(b-a) M(b-a) ,

que dividiendo entre (b-a) nos queda:

m M

Como la función f(x) es continua, toma todos los valores comprendidos entre el máximo y el mínimo, ya que se debe cumplir el teorema de Darboux es decir, k [m,M], c [a, b] tal que f(c)=k

Concretamente si k= (que es un valor comprendido entre m y M) entonces,

c [a, b] tal que f(c)= o equivalentemente, c [a, b] tal

que

Definición: Dada la función f, definida en [a, b], llamamos función área asociada a f(x) a la función

F(x) = , x [a, b]. Dicha función determina el área encerrado por la función f(x) entre

a y x.

Ejemplo:4

M

m

a b

f(x)

¿Cuál es F(x), la función área asociada a f(x)=x+1 en el intervalo ?

Teniendo en cuenta que dicha función F(x) representa el área encerrada por la función f(x)=x+1 entre a y x, dibujemos la gráfica y calculemos dicha área:

Podemos comprobar que el área encerrada entre a y x por la función f(x)= x+1 es:

Área del rectángulo = x

Área triángulo =

Área encerrada por f(x)=x+1 entre a y x

Por tanto, hemos llegado a la conclusión que si nos dan la función f(x)=x+1 su función área

asociada es

¿Será casualidad que si derivamos F(x) obtengamos f(x)? es decir, ¿será casualidad que F(x) sea una primitiva de f(x)?

Pues no es casualidad, como lo demuestra el siguiente teorema:

Teorema fundamental del cálculo integral.

Si f(x) es una función continua en [a, b], entonces su función asociada F(x) = , con x [a,

b], es derivable y se verifica que F’(x) = f(x).

(es decir, la función asociada de f(x) es una primitiva suya) Demostración:

Por definición, tenemos que:

F’(x) =

Además, por las propiedades 4 y 3 de las integrales definidas:

F(x+h) – F(x) = - =

Y por el teorema del valor medio del cálculo integral, c [x, x+h] tal que:

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0 x

x+1

f(x)=x+1

1 x+1

x

= f(c)·(x + h – x) = f(c)·h

Teniendo en cuenta todo lo anterior:

F’(x) =

* Como c [x, x+h], cuando h 0 entonces ‘c’ tiene que tender necesariamente a x.

Hemos probado entonces que F(x), tal y como la hemos definido, es una primitiva de f(x).

4.- Regla de Barrow.

Regla de Barrow: Si f(x) es una función continua en [a, b] y G(x) es una primitiva suya, entonces:

= G(b) – G(a)

Demostración:

Hemos visto que F(x) = es una primitiva de f(x), luego F(x) y G(x) se diferencian en

una constante, por ser G(x) también una primitiva:

F(x) = G(x) + k, x [a, b]

Tomando x = a y x = b respectivamente tenemos

Pero como F(a) = = 0, y F(b) = entonces la expresión anterior queda:

y despejando adecuadamente en la primera ecuación: G(a) + k = 0 k = - G(a) y sustituyendo en la segunda, concluimos que:

= G(b) – G(a)

En resumen, para aplicar la Regla de Barrow procederemos de la siguiente forma:

- Primero calculamos G(x), una primitiva de f(x), es decir, =G(x)- Después calculamos G(b) y G(a)- Restamos G(b)-G(a)

- El resultado será la integral definida =G(b)-G(a)

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Nota: Para abreviar, en lugar de detallar todos los pasos en la Regla de Barrow, se escribe:

Ejemplo 1

Calcular la integral

Solución:

Según la regla de Barrow, la solución será: siendo G(x) una primitiva de f(x)=x· e−x

1º Vamos a calcular primero una primitiva. (Aquí es donde está el problema de las integrales definidas, en saber hallar primitivas) Esta integral hay que resolverla por partes.

u = x du = dxdv = e−x dx v = −e−x

Por tanto ya tenemos una primitiva

2º Calculemos G(1) y G(0)

G(1)= -1· e−1- e−1 = -2 e−1 =

G(0)= 0 - e−0 = -1

3º Tenemos ya el resultado porque:

Nota: Para agilizar el proceso a la hora de aplicar la Regla de Barrow, escribiremos:

Ejemplo 2

Calcular la integral

Solución:

7

=

=Por tanto,

Ejemplo 3

Ejemplo 4

8

5.- Aplicaciones de la integral definida. Cálculo de áreas planas.

La integral definida, y más concretamente la regla de Barrow, se convierte en una herramienta fundamental para el cálculo de áreas. Para ello solo hace falta saber calcular una primitiva y hacer una pequeña sustitución.

Así pues, en este apartado de aplicación de la integral definida al cálculo de áreas, nos vamos a plantear los siguientes casos:

- Que el área a calcular sea positivo (por encima del eje X)- Que el área a calcular sea negativo (por debajo del eje X)- Que haya una parte positiva y otra negativa- Que el área a calcular este limitada por el eje Y en lugar de por el eje X- Área encerrada entre dos curvas.

Cálculo de un área plana positiva.

En este caso, el área coincide con la integral definida, es decir,

Veámoslo con un ejemplo:

Ejemplo 1:

Calcula el área del recinto limitado por la parábola y=x2 y las rectas y=0, x=2, x=6.

Solución:

Si representamos la función y los límites de integración correspondientes, tendremos:

Por tanto, el área del recinto correspondiente viene

dado por:

Para hallar dicha integral definida, aplicamos la Regla

de Barrow.

1º. Calculamos primero G(x), una primitiva de f(x)=x2 de donde obtenemos

2º. Hallamos G(6) y G(2)

3º. Restamos G(6) y G(2)

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Por tanto,

Nota: en los ejercicios siguientes agilizaremos el cálculo al aplicar la Regla de Barrow de la siguiente forma

Cálculo de un área plana negativa.

En este caso, el área coincide con el valor absoluto la integral definida. es decir,

Ejemplo 2:

Calcula el área del recinto limitado por la parábola y=x3 -3x-3 y las rectas y=0, x= -1, x=1.

En este caso, como podemos observar después de realizar la gráfica, el área está en la parte negativa, con lo que la integral será también negativa. Por eso, para calcular el verdadero valor del área haremos:

Área =

Primero hallaremos la integral y después consideraremos el valor absoluto.

Por tanto Área =

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Cálculo del área con parte positiva y negativa

En caso de que la curva tenga parte positiva y parte negativa, debemos descomponer la región en cada una de ellas, considerando, en el caso de la parte negativa, su valor absoluto.

Si I1 es la parte positiva e I2 la negativa, entonces:

Área total = o también:

Veamos todo esto mejor con otro ejemplo.

Ejemplo 3:

Calcula el área limitada por la curva y = x3 – 6x2 + 8x y el eje x

Solución:

Primero representamos la curva de forma aproximada y para ello calculamos los puntos de corte de la curva con el eje x :

x x x3 26 8 0

Los puntos de corte obtenidos son 0, 2 y 4 , por tanto el área pedida se halla resolviendo las integrales:

I1= =

I2= =

Área total = = 4 + = 8 u2 Cálculo del área limitada por el eje Y en lugar de por el eje X.

Hay algunos ejercicios en los que el área que se pide calcular no está limitada por el eje X sino por el eje Y. En dicho caso hay que introducir algunos cambios.

Primeramente, debemos despejar la función y=f(x) y ponerla como x=g(y), es decir, que la variable no sea x sino y. Además, los límites de integración estarán referidos al eje Y y no al X.

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a b c

I1

I2

Así, si nos dan f(x) y nos piden el área encerrada entre f(x),el eje Y y los valores y1 e y2, calcularemos la siguienteintegral:

donde g(y) resulta de despejar x en la expresión y=f(x)

Ejemplo 4:

Calcula el área del recinto limitado por la función , las rectas, y=1, y=3 y el eje Y.

Solución:

Aunque nos den la función , debemos considerarla función:

(es decir, hemos despejado x)

El área que buscamos será:

, en este caso

y procedemos a calcular la integral por la Regla de Barrow.

Cálculo del área encerrada entre dos curvas

Supongamos que nos dan dos funciones f(x) y g(x) que encierran un determinado área, donde f(x) limita por arriba y g(x) lo hace por abajo, y sean a y b los puntos donde se cortan ambas funciones. Tendremos entonces una gráfica parecida a la siguiente:

Nos preguntamos ¿cómo podemos calcular el área encerrada por ambas?

Para contestar esta pregunta basta echar un vistazo a las gráficas siguientes y encontraremos la explicación.

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y1

y2 f(x)

3

1

xy

a b

f(x)

g(x)

Observemos que el área encerrada entre ambas (rojo) resulta de restar al área encerrada por f(x) (azul) el área encerrada por g(x) (verde) . Luego podemos concluir que, dadas dos funciones f(x) y g(x), donde f(x) limita por arriba y g(x) lo hace por abajo:

o también (para ahorrar en los cálculos y realizar una sola integral en lugar de dos)

Por tanto, los pasos a seguir para resolver este caso son:

- Representar las gráficas y determinar la función que limita por arriba y la que limita por abajo.- Hallar los puntos de corte de ambas, que serán los límites de integración, a y b.- Hallar f(x)-g(x)- Calcular la integral

Veámoslo con el siguiente ejemplo:

Ejemplo 5:

Halla el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y=x2 , la recta de ecuación y=x+2 y el eje OX.

Solución

Primero representamos las funciones y vemos que la recta y=x+2 está por encima de la parábola y=x2

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a b

f(x)

g(x)

a b

f(x)

a b

g(x)

Después se calculan los límites de integración. Éstos son los puntos de corte de la parábola y la recta. Para ello, igualemos ambas y resolvamos:

x x x x2 22 2 0

Por otra parte, la función a integrar será f(x)-g(x), siendo f(x) la recta (limita superiormente) y g(x) la parábola (limita inferiormente). Por tanto, tendremos:

f(x)-g(x)= (Diferencia de las dos funciones)

Por último, solo nos queda calcular la integral siguiente:

MISCELANIA DE EJERCICIOS RESUELTOS

1.-Calcula el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y = 9 –x2 y el eje de abscisas.

SoluciónDeterminamos los puntos de corte de la curva con el eje x:

9-x2=0 x=3; x=-3

Area=ú36ú u2 =36 u2

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2.-Calcula el área del recinto limitado por la parábola y=4x-x2 y el eje de abscisas enel intervalo [0,6]

Solución:

Comprobamos si hay puntos de corte dentro del intervalo [0,6].4x-x2=0x(4-x)=0x=0; x=4

Como hay un punto de corte dentro del intervalo [0,6] que es x = 4, las integrales a plantear son:

;

Area=

3.- Halla el área comprendida entre las parábolas y = 8 – x2 ; y = x2

Solución:Buscamos los puntos de corte de las dos curvas:

Los límites de integración son -2 y 2

La función a integrar es la diferencia de las dos funciones.

, por tanto,

4.-Halla el área comprendida entre las curvas y=6x-x2 ; y=x2-2x

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Solución:

Función a integrar:

Area=

5.-Area del recinto limitado por la parábola y=3x-x2 y la recta y=x-3

Solución:Límites de integración:

Resolviendo la ecuación se obtiene x=3; x=-1

Función a integrar:

Area=

6.-Calcula el área del recinto limitado por la parábola de ecuación y=2(1-x2 ) y la recta de ecuación y=0

Solución:

Como la curva es simétrica respecto al eje de

ordenadas, podemos integrar entre 0 y

y multiplicar el resultado por 2.

16

Límites de integración:

Función a integrar:

=

7.-Calcula el área del recinto limitado por la curva de ecuación y la recta y=x.

Solución:

Límites de integración:

Función a integrar:

= ; Area=

8.-Halla el área del recinto limitado por las gráficas de las funciones y=Lx, y=1 y los ejes de coordenadas.

Solución:

17

Observando el dibujo, el área pedida será la diferencia entre las integrales

y

(por partes)

Area= u2

9.- Halla el área del recinto limitado por la parábola , la recta de ecuación y el

eje OX

Solución:

Punto de corte de la parábola y el eje OX:

Punto de corte de la recta y el eje =OX:

Punto de corte de la parábola y la recta:

La solución x = -2 está fuera del eje OX, por tanto, sólo hemos de considerar el valor x =1

Observando el dibujo, hemos de resolver las integrales siguientes:

;

6.- LONGITUD DE ARCO

La longitud de una curva plana se puede aproximar al sumar pequeños segmentos de recta que se ajusten a la curva, esta aproximación será más ajustada entre más segmentos sean y a la vez sean lo más pequeño posible.

18

Definición:

Si la primera derivada de una función es continua en [a,b] se dice que es suave y su gráfica es una curva suave.

Cuando la curva es suave, la longitud de cada pequeño segmentos de recta se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras y (dL)2=(dx)2+(dy)2, de tal forma que sumando todos los diferenciales resulta:

Definición:

Si f es suave en [a,b], la longitud de la curva de f(x) desde a hasta b es:

La longitud del arco, de la curva f(x), comprendido entre las abscisas

x = a y x = b viene dado por la integral definida:

Ejemplo

Hallar la longitud del arco de curva   en el intervalo [0, 1].

19

Ejemplo 2:

 

Ejemplo 3

20

Ejemplo 4

 

Ejemplo 5

 

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EJERCICIOS PROPUESTOS

I.- INTEGRAL DEFINIDA

Calcule las siguientes integrales definidas.

1) 10)

2) 11)

3) 12)

4) 13)

5) 14)

6) 15)

7) 16)

8) 17)

9) 18)

II.- ÁREA DE UNA REGIÓN R

Esquematice la región encerrada por las curvas dadas. Decida si integra con respecto a x ó a y. Dibuje un rectángulo típico para establecer el diferencial de área. A continuación halle el área de la región.

1)

2) 2x2 + y2 = 12, y = x, x = 0 (En el primer cuadrante)

3) y2 + 8x = 16 , y2 - 24x = 524) y = arc tg x , y = 0 , x = 1

5) y = ln x , y = 0, x = e2

22

6)

7)

8) y = arc cos x , y = p , x = 0

9) x2 + y2 = 8, y2 = 2x (Dos soluciones)10)

11)

12)

13)

14)

15) y el eje x.

16) y el eje x.

17)

18) 19) Calcule el área de la región sombreada:

20) Calcule el área de la región acotada por las gráficas de y ; 21) Suponga que R es la región limitada por la gráfica de y la recta tangente a esta curva en el punto . Halle el área de R.22) Suponga que C es la curva con ecuación . Sea R la región limitada por C y por las rectas tangentes a C en los puntos con abscisa 5. Halle el área de R.

23) Suponga que C es la curva con ecuación y que es la recta tangente a C en el punto de ordenada 1. Si R es la región limitada por C, y el eje X: Halle el área de R.

III.- LONGITUD DE ARCO

1) Halle la longitud de la curva entre y .

2) Calcule la longitud del arco de parábola , desde el vértice a un extremo del lado recto.

3) Halle la longitud de la curva , entre y , siendo .

4) Encuentre la longitud de la catenaria , desde el vértice (0; a) hasta el punto (b; h).

5) Obtenga la longitud del arco de la curva desde hasta .

23

6) Halle la longitud de la curva , desde hasta .

7) Encuentre la longitud del arco de la curva , desde hasta .

8) Calcule la longitud del arco de la rama derecha de la tractriz , desde

hasta , siendo .************

24

25

26