I N V A R I A N C E T H E O R Y , T H E H E A T E Q U A T I O N ,  
A N D T H E  
A T I Y A H - S I N G E R I N D E X T H E O R E M  
b y P e t e r B . G i l k e y  
E l e c t r o n i c r e p r i n t , c o p y r i g h t 1 9 9 6 , P e t e r B . G i l k e y  
B o o k o r i g i n a l l y p u b l i s h e d o n p a p e r b y P u b l i s h o r P e r i s h I n c . , U S A , 1 9 8 4  
L i b r a r y o f C o n g r e s s C a t a l o g C a r d N u m b e r 8 4 - 0 6 1 1 6 6  
 
I N T R O D U C T I O N  
T h i s b o o k t r e a t s t h e A t i y a h - S i n g e r i n d e x t h e o r e m u s i n g h e a t e q u a t i o n  
m e t h o d s . T h e h e a t e q u a t i o n g i v e s a l o c a l f o r m u l a f o r t h e i n d e x o f a n y  
e l l i p t i c c o m p l e x . W e u s e i n v a r i a n c e t h e o r y t o i d e n t i f y t h e i n t e g r a n d o f  
t h e i n d e x t h e o r e m f o r t h e f o u r c l a s s i c a l e l l i p t i c c o m p l e x e s w i t h t h e i n v a r i -  
a n t s o f t h e h e a t e q u a t i o n . S i n c e t h e t w i s t e d s i g n a t u r e c o m p l e x p r o v i d e s  
a s u c i e n t l y r i c h f a m i l y o f e x a m p l e s , t h i s a p p r o a c h y i e l d s a p r o o f o f t h e  
A t i y a h - S i n g e r t h e o r e m i n c o m p l e t e g e n e r a l i t y . W e a l s o u s e h e a t e q u a t i o n  
m e t h o d s t o d i s c u s s L e f s c h e t z x e d p o i n t f o r m u l a s , t h e G a u s s - B o n n e t t h e -  
o r e m f o r a m a n i f o l d w i t h s m o o t h b o u n d a r y , a n d t h e t w i s t e d e t a i n v a r i a n t .  
W e s h a l l n o t i n c l u d e a d i s c u s s i o n o f t h e s i g n a t u r e t h e o r e m f o r m a n i f o l d s  
w i t h b o u n d a r y .  
T h e r s t c h a p t e r r e v i e w s r e s u l t s f r o m a n a l y s i s . S e c t i o n s 1 . 1 t h r o u g h 1 . 7  
r e p r e s e n t s t a n d a r d e l l i p t i c m a t e r i a l . S e c t i o n s 1 . 8 t h r o u g h 1 . 1 0 c o n t a i n t h e  
m a t e r i a l n e c e s s a r y t o d i s c u s s L e f s c h e t z x e d p o i n t f o r m u l a s a n d o t h e r t o p -  
i c s .  
 
A  g e n u s . W e t h e n d i s c u s s t h e R i e m a n n - R o c h f o r m u l a f o r a n a l m o s t c o m p l e x  
m a n i f o l d i n s e c t i o n 3 . 5 u s i n g t h e S P I N  
c 
c o m p l e x . I n s e c t i o n s 3 . 6 { 3 . 7 w e  
 
v i  I n t r o d u c t i o n  
T h e n a l c h a p t e r i s d e v o t e d t o m o r e s p e c i a l i z e d t o p i c s . S e c t i o n s 4 . 1 { 4 . 2  
d e a l w i t h e l l i p t i c b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s a n d d e r i v e t h e G a u s s - B o n n e t  
t h e o r e m f o r m a n i f o l d s w i t h b o u n d a r y . I n s e c t i o n s 4 . 3 { 4 . 4 w e d i s c u s s t h e  
t w i s t e d e t a i n v a r i a n t o n a m a n i f o l d w i t h o u t b o u n d a r y a n d w e d e r i v e t h e  
A t i y a h - P a t o d i - S i n g e r t w i s t e d i n d e x f o r m u l a . S e c t i o n 4 . 5 g i v e s a b r i e f d i s -  
c u s s i o n o f L e f s c h e t z x e d p o i n t f o r m u l a s u s i n g h e a t e q u a t i o n m e t h o d s . I n  
s e c t i o n 4 . 6 w e u s e t h e e t a i n v a r i a n t t o c a l c u l a t e t h e   K   - t h e o r y o f s p h e r i c a l  
s p a c e f o r m s . I n s e c t i o n 4 . 7 , w e d i s c u s s S i n g e r ' s c o n j e c t u r e f o r t h e E u l e r  
f o r m a n d r e l a t e d q u e s t i o n s . I n s e c t i o n 4 . 8 , w e d i s c u s s t h e l o c a l f o r m u l a s  
f o r t h e i n v a r i a n t s o f t h e h e a t e q u a t i o n w h i c h h a v e b e e n d e r i v e d b y s e v e r a l  
a u t h o r s , a n d i n s e c t i o n 4 . 9 w e a p p l y t h e s e r e s u l t s t o q u e s t i o n s o f s p e c t r a l  
g e o m e t r y .  
T h e b i b l i o g r a p h y a t t h e e n d o f t h i s b o o k i s n o t i n t e n d e d t o b e e x h a u s t i v e  
b u t r a t h e r t o p r o v i d e t h e r e a d e r w i t h a l i s t o f a f e w o f t h e b a s i c p a p e r s  
w h i c h h a v e a p p e a r e d . W e r e f e r t h e r e a d e r t o t h e b i b l i o g r a p h y o f B e r g e r  
a n d B e r a r d f o r a m o r e c o m p l e t e l i s t o f w o r k s o n s p e c t r a l g e o m e t r y .  
T h i s b o o k i s o r g a n i z e d i n t o f o u r c h a p t e r s . E a c h c h a p t e r i s d i v i d e d i n t o  
a n u m b e r o f s e c t i o n s . E a c h L e m m a o r T h e o r e m i s i n d e x e d a c c o r d i n g t o  
t h i s s u b d i v i s i o n . T h u s , f o r e x a m p l e , L e m m a 1 . 2 . 3 i s t h e t h i r d L e m m a o f  
 
C O N T E N T S  
I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v  
C h a p t e r 1 . P s e u d o - D i e r e n t i a l O p e r a t o r s  
I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1  
1 . 1 . F o u r i e r T r a n s f o r m , S c h w a r t z C l a s s , a n d S o b o l e v S p a c e s . . . . . 2  
1 . 2 . P s e u d o - D i e r e n t i a l O p e r a t o r s o n   R 
m 
. . . . . . . . . . . . . . . 1 1  
1 . 3 . E l l i p t i c i t y a n d P s e u d o - D i e r e n t i a l O p e r a t o r s o n M a n i f o l d s . . . 2 3  
1 . 4 . F r e d h o l m O p e r a t o r s a n d t h e I n d e x o f a F r e d h o l m O p e r a t o r . . . 3 1  
1 . 5 E l l i p t i c C o m p l e x e s , T h e H o d g e D e c o m p o s i t i o n T h e o r e m ,  
a n d P o i n c a r e D u a l i t y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7  
1 . 6 . T h e H e a t E q u a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2  
1 . 7 . L o c a l F o r m u l a f o r t h e I n d e x o f a n E l l i p t i c O p e r a t o r . . . . . . . 5 0  
1 . 8 . L e f s c h e t z F i x e d P o i n t T h e o r e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2  
1 . 9 . E l l i p t i c B o u n d a r y V a l u e P r o b l e m s . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0  
1 . 1 0 . E t a a n d Z e t a F u n c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8  
C h a p t e r 2 . C h a r a c t e r i s t i c C l a s s e s  
I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7  
2 . 1 . C h a r a c t e r i s t i c C l a s s e s o f a C o m p l e x B u n d l e . . . . . . . . . . . . 8 9  
2 . 2 C h a r a c t e r i s t i c C l a s s e s o f a R e a l V e c t o r B u n d l e .  
P o n t r j a g i n a n d E u l e r C l a s s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 8  
2 . 3 . C h a r a c t e r i s t i c C l a s s e s o f C o m p l e x P r o j e c t i v e S p a c e . . . . . . 1 0 4  
2 . 4 . T h e G a u s s - B o n n e t T h e o r e m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7  
2 . 5 I n v a r i a n c e T h e o r y a n d t h e P o n t r j a g i n C l a s s e s  
o f t h e T a n g e n t B u n d l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3  
 
v i i i   C o n t e n t s  
C h a p t e r 3 . T h e I n d e x T h e o r e m  
I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 7  
3 . 1 . T h e H i r z e b r u c h S i g n a t u r e F o r m u l a . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 8  
3 . 2 . S p i n o r s a n d t h e i r R e p r e s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 9  
3 . 3 . S p i n S t r u c t u r e s o n V e c t o r B u n d l e s . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6 5  
3 . 4 . T h e S p i n C o m p l e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 6  
3 . 5 . T h e R i e m a n n - R o c h T h e o r e m f o r A l m o s t C o m p l e x M a n i f o l d s . 1 8 0  
3 . 6 . A R e v i e w o f K a e h l e r G e o m e t r y . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 3  
3 . 7 A n A x i o m a t i c C h a r a c t e r i z a t i o n o f t h e C h a r a c t e r i s t i c F o r m s  
f o r H o l o m o r p h i c M a n i f o l d s w i t h K a e h l e r M e t r i c s . . . . . . 2 0 4  
3 . 8 . T h e C h e r n I s o m o r p h i s m a n d B o t t P e r i o d i c i t y . . . . . . . . . . 2 1 5  
3 . 9 . T h e A t i y a h - S i n g e r I n d e x T h e o r e m . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 4  
C h a p t e r 4 . G e n e r a l i z e d I n d e x T h e o r e m s a n d S p e c i a l T o p i c s  
I n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 1  
4 . 1 . T h e d e R h a m C o m p l e x f o r M a n i f o l d s w i t h B o u n d a r y . . . . . 2 4 3  
4 . 2 . T h e G a u s s - B o n n e t T h e o r e m f o r M a n i f o l d s w i t h B o u n d a r y . . . 2 5 0  
4 . 3 . T h e R e g u l a r i t y a t   s  = 0 o f t h e E t a I n v a r i a n t . . . . . . . . . . 2 5 8  
4 . 4 . T h e E t a I n v a r i a n t w i t h C o e c i e n t s i n a L o c a l l y F l a t B u n d l e . 2 7 0  
4 . 5 . L e f s c h e t z F i x e d P o i n t F o r m u l a s . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8 4  
4 . 6 . T h e E t a I n v a r i a n t a n d t h e   K   - T h e o r y o f S p h e r i c a l S p a c e F o r m s 2 9 5  
4 . 7 . S i n g e r ' s C o n j e c t u r e f o r t h e E u l e r F o r m . . . . . . . . . . . . . 3 0 7  
4 . 8 . L o c a l F o r m u l a s f o r t h e I n v a r i a n t s o f t h e H e a t E q u a t i o n . . . . 3 1 4  
4 . 9 . S p e c t r a l G e o m e t r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 1  
B i b l i o g r a p h y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 9  
I n d e x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 7  
 
C H A P T E R 1  
P S E U D O - D I F F E R E N T I A L O P E R A T O R S  
I n t r o d u c t i o n  
 
1 . 1 . F o u r i e r T r a n s f o r m , S c h w a r t z C l a s s ,  
A n d S o b o l e v S p a c e s .  
T h e S o b o l e v s p a c e s a n d F o u r i e r t r a n s f o r m p r o v i d e t h e b a s i c t o o l s w e  
s h a l l n e e d i n o u r s t u d y o f e l l i p t i c p a r t i a l d i e r e n t i a l o p e r a t o r s . L e t   x  = 
(  x 
1 
;  . . .  ; x 
m 
m 
x    y  =  x 
1  =  2 
a s t h e E u c l i c e a n d o t p r o d u c t a n d l e n g t h . L e t     = (   
1 
j 
a r e n o n - n e g a t i v e i n t e g e r s . W e d e n e :  
j    j  =   
: 
F i n a l l y , w e d e n e :  
d 
x 
a s a c o n v e n i e n t n o t a t i o n f o r m u l t i p l e p a r t i a l d i e r e n t i a t i o n . T h e e x t r a  
 
x 
a r e p r e s e n t t o s i m p l i f y l a t e r f o r m u l a s . I f   f  (  x  ) i s 
a s m o o t h c o m p l e x v a l u e d f u n c t i o n , t h e n T a y l o r ' s t h e o r e m t a k e s t h e f o r m :  
f  (  x  ) = 
)  : 
T h e S c h w a r t z c l a s s   S   i s t h e s e t o f a l l s m o o t h c o m p l e x v a l u e d f u n c t i o n s  
f  o n  R 
m 
;  
j  x 
;  
: 
T h i s i s e q u i v a l e n t t o a s s u m i n g t h e r e e x i s t e s t i m a t e s o f t h e f o r m :  
j  D  
  n 
f o r a l l (  n ;   ) . T h e f u n c t i o n s i n   S   h a v e a l l t h e i r d e r i v a t i v e s d e c r e a s i n g f a s t e r  
a t  1    t h a n t h e i n v e r s e o f a n y p o l y n o m i a l .  
F o r t h e r e m a i n d e r o f C h a p t e r 1 , w e l e t   d x  ,  d y  ,  d   , e t c . , d e n o t e L e b e s g u e  
m e a s u r e o n   R 
m 
w i t h a n a d d i t i o n a l n o r m a l i z i n g f a c t o r o f ( 2    ) 
  m =  2 
. W i t h  
t h i s n o r m a l i z a t i o n , t h e i n t e g r a l o f t h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n b e c o m e s :  
Z  
e 
d x  = 1  : 
W e a b s o r b t h e n o r m a l i z i n g c o n s t a n t i n t o t h e m e a s u r e i n o r d e r t o s i m -  
p l i f y t h e f o r m u l a s o f t h e F o u r i e r t r a n s f o r m . I f   C 
1  
0 
(  R 
m 
) d e n o t e s t h e s e t o f  
s m o o t h f u n c t i o n s o f c o m p a c t s u p p o r t o n   R 
m 
, t h e n t h i s i s a s u b s e t o f   S   . 
S i n c e   C 
0 
(  R 
m 
) i s d e n s e i n   L 
2 
(  R 
m 
) ,  S   i s d e n s e i n   L 
2 
(  R 
m 
) . 
W e d e n e t h e c o n v o l u t i o n p r o d u c t o f t w o e l e m e n t s o f   S   b y : 
(  f     g  ) (  x  ) = 
Z  
f  (  y  )  g  (  x     y  )  d y : 
 
F o u r i e r T r a n s f o r m , S c h w a r t z C l a s s 3  
L e m m a 1 . 1 . 1 .   L e t  f  2 S   w i t h  
R 
f  (  x  )  d x  = 1  . D e n e   f 
u 
)  . 
T h e n f o r a n y   g  2 S   ,  f 
u 
   g  c o n v e r g e s u n i f o r m l y t o   g  a s  u  !    0  . 
P r o o f :   C h o o s e   C  s o 
R 
j  f  (  x  )  j  d x     C  a n d  j  g  (  x  )  j    C  . B e c a u s e t h e r s t  
d e r i v a t i v e s o f   g  a r e u n i f o r m l y b o u n d e d ,   g  i s u n i f o r m l y c o n t i n u o u s . L e t  
" >  0 a n d c h o o s e   >  0 s o  j  x     y  j      i m p l i e s   j  g  (  x  )     g  (  y  )  j    "  . B e c a u s e  
R 
f 
u 
(  x  )  d x  = 1 , w e c o m p u t e :  
j  f 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
g j  d y : 
W e d e c o m p o s e t h i s i n t e g r a l i n t o t w o p i e c e s . I f   j  y  j      w e b o u n d i t b y   C "  . 
T h e i n t e g r a l f o r   j  y  j      c a n b e b o u n d e d b y :  
2  C 
Z  
j  f  (  y  )  j  d y : 
T h i s c o n v e r g e s t o z e r o a s   u  !    0 s o w e c a n b o u n d t h i s b y   C "  i f  u < u  (  "  ) . 
T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f .  
A s i m i l a r c o n v o l u t i o n s m o o t h i n g c a n b e a p p l i e d t o a p p r o x i m a t e a n y e l e -  
m e n t o f  L 
p 
a r b i t r a r i l y w e l l i n t h e   L 
p 
n o r m b y a s m o o t h f u n c t i o n o f c o m p a c t  
s u p p o r t .  
 
f  (  x  )  d x  f o r  f  2 S   : 
F o r t h e m o m e n t     2   R 
m 
; w h e n w e c o n s i d e r o p e r a t o r s o n m a n i f o l d s , i t w i l l  
b e n a t u r a l t o r e g a r d     a s a n e l e m e n t o f t h e b e r o f t h e c o t a n g e n t s p a c e .  
B y i n t e g r a t i n g b y p a r t s a n d u s i n g L e b e s g u e d o m i n a t e d c o n v e r g e n c e , w e  
c o m p u t e :  
D  
 
 
f  g   : 
 
f 
2 S   s o F o u r i e r t r a n s f o r m d e n e s a m a p  
S ! S   . 
W e c o m p u t e t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f t h e G a u s s i a n d i s t r i b u t i o n . L e t  
f 
0 
0 
R 
f 
0 
 
d x : 
 
4 1 . 1 . F o u r i e r T r a n s f o r m , S c h w a r t z C l a s s  
W e m a k e a c h a n g e o f v a r i a b l e s t o r e p l a c e   x  +  i   b y  x  a n d t o s h i f t t h e  
c o n t o u r i n   C 
m 
b a c k t o t h e o r i g i n a l c o n t o u r   R 
m 
. T h i s s h o w s t h e i n t e g r a l i s  
1 a n d  
 
s o t h e f u n c t i o n   f 
0 
i s i t s o w n F o u r i e r t r a n s f o r m .  
I n f a c t , t h e F o u r i e r t r a n s f o r m i s b i j e c t i v e a n d t h e F o u r i e r i n v e r s i o n f o r -  
 
 
 
 
f  (    )  d   a s a l i n e a r m a p f r o m   S ! S   . W e 
m u s t s h o w t h a t   T  (  f  ) =  f  t o p r o v e t h e F o u r i e r i n v e r s i o n f o r m u l a .  
S u p p o s e r s t   f  ( 0 ) = 0 . W e e x p a n d :  
f  (  x  ) = 
X  
j 
x 
j 
Z  
1 
0 
@ f 
@ x 
j 
j 
a r e s m o o t h . L e t     2   C 
1  
0 
(  R 
m 
) b e i d e n t i c a l l y 1 n e a r   x  = 0 . 
T h e n w e d e c o m p o s e :  
f  (  x  ) =  f  (  x  ) + ( 1        )  f  (  x  ) = 
X  
j 
x 
j 
g 
j 
j 
h a s c o m p a c t s u p p o r t , i t i s i n   S   . S i n c e     i s i d e n t i c a l l y 1 n e a r  
x  = 0 ,  x 
2 
2 S   . T h u s w e c a n d e c o m p o s e   f  = 
P  
x 
j 
h 
j 
h 
j 
 
: 
S i n c e t h i s i s i n d i v e r g e n c e f o r m ,   T  (  f  ) ( 0 ) =  
R 
f  (    )  d   = 0 =  f  ( 0 ) .  
M o r e g e n e r a l l y , l e t   f 
2 S   b e a r b i t r a r y . W e d e c o m p o s e   f  =  f  ( 0 )  f 
0 
 
f 
0 
=  f 
0 
i s a n e v e n f u n c t i o n ,  
T  (  f 
0 
) =  f 
0 
s o t h a t   T  (  f  ) ( 0 ) =   f  ( 0 )  f 
0 
0 
0 
) ( 0 ) = 0 . T h i s s h o w s   T  (  f  ) ( 0 ) =   f  ( 0 ) i n g e n e r a l .  
W e u s e t h e l i n e a r s t r u c t u r e o n   R 
m 
t o c o m p l e t e t h e p r o o f o f t h e F o u r i e r  
i n v e r s i o n f o r m u l a . L e t   x 
0 
m 
b e x e d . W e l e t   g  (  x  ) =  f  (  x  +  x 
0 
Z  
e 
=  T  (  f  ) (  x 
)  : 
 
A n d S o b o l e v S p a c e s 5  
T h i s s h o w s t h e F o u r i e r t r a n s f o r m d e n e s a b i j e c t i v e m a p   S ! S   . I f w e  
;  
x 
f  j  t o d e n e a F r e c h e t s t r u c t u r e  
o n  S   , t h e n t h e F o u r i e r t r a n s f o r m i s a h o m e o m o r p h i s m o f t o p o l o g i c a l v e c t o r  
s p a c e s . I t i s n o t d i c u l t t o s h o w   C 
1  
0 
(  R 
m 
) i s a d e n s e s u b s e t o f   S   i n t h i s  
 
= 
= 
f  (  x     y  )  g  (  y  )  d x d y :  
T h e i n t e g r a l i s a b s o l u t e l y c o n v e r g e n t s o w e m a y i n t e r c h a n g e t h e o r d e r o f  
 
d  
 
d  
( 
 
f      g  ) u s i n g t h e F o u r i e r i n v e r s i o n f o r m u l a . W e n o w  
t a k e t h e F o u r i e r t r a n s f o r m a n d u s e t h e F o u r i e r i n v e r s i o n f o r m u l a t o s e e  
d  
d  
f      g  . 
T h e n a l p r o p e r t y w e s h a l l n e e d o f t h e F o u r i e r t r a n s f o r m i s r e l a t e d t o  
t h e  L 
2 
i n n e r p r o d u c t (  f ; g  ) = 
R 
( 
 
= (  f ;   g  (     x  ) )  : 
 
 
 g  (     x  ) ) = (  f ; g  ) s o t h e F o u r i e r t r a n s -  
f o r m i s a n i s o m e t r y w i t h r e s p e c t t o t h e   L 
2 
i n n e r p r o d u c t . S i n c e   S   i s d e n s e  
i n  L 
2 
, i t e x t e n d s t o a u n i t a r y m a p   L 
2 
(  R 
m 
)  !    L 
2 
(  R 
m 
) . W e s u m m a r i z e  
t h e s e p r o p e r t i e s o f t h e F o u r i e r t r a n s f o r m a s f o l l o w s :  
L e m m a 1 . 1 . 2 .   T h e F o u r i e r t r a n s f o r m i s a h o m e o m o r p h i s m   S ! S   s u c h  
t h a t :  
i  (  x    y  )   
f  (  y  )  d y d   ( F o u r i e r i n v e r s i o n f o r -  
m u l a ) ;  
 
 
 
(  f    g  )  ; 
( d ) T h e F o u r i e r t r a n s f o r m e x t e n d s t o a u n i t a r y m a p o f   L 
2 
(  R 
m 
)  !    L 
2 
(  R 
m 
 
f ;   g  )  . ( P l a n c h e r e l t h e o r e m ) .  
W e n o t e t h a t w i t h o u t t h e n o r m a l i z i n g c o n s t a n t o f ( 2    ) 
  m =  2 
i n t h e d e -  
 
6 1 . 1 . F o u r i e r T r a n s f o r m , S c h w a r t z C l a s s  
m o s t i n t e r e s t t o u s s i n c e i t w i l l e n a b l e u s t o i n t e r c h a n g e d i e r e n t i a t i o n a n d  
m u l t i p l i c a t i o n .  
W e d e n e t h e S o b o l e v s p a c e   H  
s 
(  R 
m 
) t o m e a s u r e   L 
2 
d e r i v a t i v e s . I f   s  i s 
a r e a l n u m b e r a n d   f  2 S   , w e d e n e :  
j  f  j 
2 
d : 
T h e S o b o l e v s p a c e   H  
s 
(  R 
m 
) i s t h e c o m p l e t i o n o f   S   w i t h r e s p e c t t o t h e n o r m  
j 
s 
. T h e P l a n c h e r e l t h e o r e m s h o w s   H  
0 
(  R 
m 
) i s i s o m o r p h i c t o   L 
2 
(  R 
m 
g e n e r a l l y ,   H  
s 
(  R 
m 
) i s i s o m o r p h i c t o   L 
2 
w i t h t h e m e a s u r e ( 1 +   j    j 
2 
d   . 
R e p l a c i n g ( 1 +   j    j 
2 
2  s 
i n t h e d e n i t i o n o f   j 
s 
g i v e s r i s e t o a n  
e q u i v a l e n t n o r m s i n c e t h e r e e x i s t p o s i t i v e c o n s t a n t s   c 
i 
c 
1 
: 
I n s o m e s e n s e , t h e s u b s c r i p t \  s  " c o u n t s t h e n u m b e r o f   L 
2 
d e r i v a t i v e s . I f  
s  =  n  i s a p o s i t i v e i n t e g e r , t h e r e e x i s t p o s i t i v e c o n s t a n t s   c 
1 
,  c 
2 
: 
T h i s i m p l i e s t h a t w e c o u l d d e n e  
j  f  j 
d x 
a s a n e q u i v a l e n t n o r m f o r   H  
n 
(  R 
m 
) . W i t h t h i s i n t e r p r e t a t i o n i n m i n d , i t i s  
 
2 
d e r i v a t i v e s a r e  
l o s t .  
 
x 
 
. 
P r o o f :   H e n c e f o r t h w e w i l l u s e   C  t o d e n o t e a g e n e r i c c o n s t a n t .   C  c a n 
d e p e n d u p o n c e r t a i n a u x i l i a r y p a r a m e t e r s w h i c h w i l l u s u a l l y b e s u p r e s s e d  
i n t h e i n t e r e s t s o f n o t a t i o n a l c l a r i t y . I n t h i s p r o o f , f o r e x a m p l e ,   C  d e p e n d s  
o n (  s ;   ) b u t n o t o f c o u r s e u p o n   f  . T h e e s t i m a t e :  
j   
s 
i m p l i e s t h a t :  
j  D  
2 
s 
f o r  f  2 S   . S i n c e   H  
s 
i s t h e c l o s u r e o f   S   i n t h e n o r m   j 
s 
, t h i s c o m p l e t e s t h e  
p r o o f .  
 
A n d S o b o l e v S p a c e s 7  
W e c a n a l s o u s e t h e s u p n o r m t o m e a s u r e d e r i v a t i v e s . I f   k  i s a n o n -  
n e g a t i v e i n t e g e r , w e d e n e :  
j  f  j 
f  j  f o r  f  2 S   : 
T h e c o m p l e t i o n o f   S   w i t h r e s p e c t t o t h i s n o r m i s a s u b s e t o f   C 
k 
(  R 
m 
) 
( t h e c o n t i n u o u s f u n c t i o n s o n   R 
m 
w i t h c o n t i n u o u s p a r t i a l d e r i v a t i v e s u p  
t o o r d e r   k  ) . T h e n e x t l e m m a r e l a t e s t h e t w o n o r m s   j 
s 
. I t w i l l  
p l a y a n i m p o r t a n t r o l e i n s h o w i n g t h e w e a k s o l u t i o n s w e w i l l c o n s t r u c t t o  
d i e r e n t i a l e q u a t i o n s a r e i n f a c t s m o o t h .  
L e m m a 1 . 1 . 4 .   L e t  k  b e a n o n - n e g a t i v e i n t e g e r a n d l e t   s > k  + 
m 
2 
k 
a n d t h e r e i s a n e s t i m a t e   j  f  j 
1   ; k 
L e m m a ) .  
P r o o f :   S u p p o s e r s t   k  = 0 a n d   f  2 S   . W e c o m p u t e  
f  (  x  ) = 
2 
  s =  2 
g   d : 
W e a p p l y t h e C a u c h y - S c h w a r z i n e q u a l i t y t o e s t i m a t e :  
j  f  (  x  )  j 
  s 
d : 
S i n c e 2  s > m   , ( 1 +   j    j 
2 
  s 
i s i n t e g r a b l e s o   j  f  (  x  )  j    C  j  f  j 
s 
. W e t a k e t h e s u p  
o v e r   x  2   R 
m 
t o c o n c l u d e   j  f  j 
1   ;  0 
s 
f o r  f  2 S   . E l e m e n t s o f   H  
s 
a r e 
t h e l i m i t s i n t h e   j 
s 
n o r m o f e l e m e n t s o f   S   . T h e u n i f o r m l i m i t o f c o n t i n u o u s  
f u n c t i o n s i s c o n t i n u o u s s o t h e e l e m e n t s o f   H  
s 
a r e c o n t i n u o u s a n d t h e s a m e  
n o r m e s t i m a t e e x t e n d s t o   H  
s 
. I f  k >  0 , w e u s e t h e e s t i m a t e :  
j  D  
s 
f o r  j    j    k  a n d  s     k > 
m  
2 
t o c o n c l u d e   j  f  j 
1   ; k 
s 
f o r  f  2 S   . A s i m i l a r a r g u m e n t s h o w s t h a t t h e  
e l e m e n t s o f   H  
s 
k 
a n d t h a t t h i s e s t i m a t e c o n t i n u e s t o h o l d .  
I f  s > t  , w e c a n e s t i m a t e ( 1 +   j    j 
2 
t 
. T h i s i m p l i e s t h a t  
j  f  j 
t 
s o t h e i d e n t i t y m a p o n   S   e x t e n d s t o d e n e a n i n j e c t i o n o f  
H  
s 
!    H  
t 
 
8 1 . 1 . F o u r i e r T r a n s f o r m , S c h w a r t z C l a s s  
L e m m a 1 . 1 . 5 .   L e t  f   f 
n 
g 2 S   b e a s e q u e n c e o f f u n c t i o n s w i t h s u p p o r t i n  
a x e d c o m p a c t s e t   K   . W e s u p p o s e t h e r e i s a c o n s t a n t   C  s o  j  f 
n 
j 
s 
   C  f o r 
a l l  n  . L e t   s > t  . T h e r e e x i s t s a s u b s e q u e n c e   f 
n 
k 
w h i c h c o n v e r g e s i n   H  
t 
. 
( R e l l i c h l e m m a ) .  
P r o o f :   C h o o s e   g  2   C 
0 
(  R 
m 
) w h i c h i s i d e n t i c a l l y 1 o n a n e i g h b o r h o o d o f  
K   . T h e n   g f 
n 
=  f 
n 
 
j 
j  @ 
j 
(    )  j  d : 
W e a p p l y t h e C a u c h y - S c h w a r z i n e q u a l i t y t o e s t i m a t e :  
j  @ 
j 
1  =  2 
   C    h  (    ) 
w h e r e   h  i s s o m e c o n t i n u o u s f u n c t i o n o f     . A s i m i l a r e s t i m a t e h o l d s f o r  
j 
f 
n 
 
f 
n 
g   f o r m a u n i f o r m l y b o u n d e d e q u i - c o n -  
t i n u o u s f a m i l y o n c o m p a c t     s u b s e t s . W e a p p l y t h e A r z e l a - A s c o l i t h e o r e m  
t o e x t r a c t a s u b s e q u e n c e w e a g a i n l a b e l b y   f 
n 
 
(    ) c o n v e r g e s  
u n i f o r m l y o n c o m p a c t s u b s e t s . W e c o m p l e t e t h e p r o o f b y v e r i f y i n g t h a t   f 
n 
c o n v e r g e s i n   H  
t 
f o r  s > t  . W e c o m p u t e :  
j  f 
t 
d : 
W e d e c o m p o s e t h i s i n t e g r a l i n t o t w o p a r t s ,   j    j    r  a n d  j    j    r  . O n  j    j    r 
w e e s t i m a t e ( 1 +   j    j 
2 
Z  
: 
I f  " >  0 i s g i v e n , w e c h o o s e   r  s o t h a t 2  C  ( 1 +  r 
2 
t    s 
< "  . T h e r e m a i n i n g  
 
f 
j 
c o n v e r g e u n i f o r m l y o n c o m p a c t  
s u b s e t s s o t h i s i n t e g r a l c a n b e b o u n d e d a b o v e b y   "  i f  j ; k > j  (  "  ) . T h i s  
c o m p l e t e s t h e p r o o f .  
T h e h y p o t h e s i s t h a t t h e s u p p o r t s a r e u n i f o r m l y b o u n d e d i s e s s e n t i a l . I t  
i s e a s y t o c o n s t r u c t a s e q u e n c e   f   f 
n 
n 
j 
s 
= 1 f o r a l l  n  a n d s u c h t h a t  
t h e s u p p o r t s a r e p a i r - w i s e d i s j o i n t . I n t h i s c a s e w e c a n n d   " >  0 s o t h a t  
j  f 
j 
   f 
k 
j 
t 
 
A n d S o b o l e v S p a c e s 9  
" 
(  x  ) =    (  " x  ) . W e s u p p o s e     ( 0 ) = 1 a n d x   f  2 S   . 
W e c o m p u t e :  
D  
x 
f  + t e r m s o f t h e f o r m   " 
j 
D  
x 
f : 
A s  "  !    0 , t h e s e o t h e r t e r m s g o t o z e r o i n   L 
2 
" 
!    1 p o i n t w i s e ,  
( 1      
)  D  
x 
f  g o e s t o z e r o i n   L 
2 
" 
n 
f o r a n y   n     0 
" 
s 
f o r a n y   s  . I f w e t a k e     2   C 
1  
0 
(  R 
m 
) , 
t h i s i m p l i e s   C 
1  
0 
(  R 
m 
) i s d e n s e i n   H  
s 
E a c h   H  
s 
s p a c e i s a H i l b e r t s p a c e s o i t i s i s o m o r p h i c t o i t s d u a l . B e -  
c a u s e t h e r e i s n o p r e f e r r e d n o r m f o r   H  
s 
, i t i s u s e f u l t o o b t a i n a n i n v a r i a n t  
 
: 
L e m m a 1 . 1 . 6 .   T h e  L 
2 
p a i r i n g w h i c h m a p s   S S !      C  e x t e n d s t o a m a p  
o f  H  
s 
   H  
  s 
!    C  w h i c h i s a p e r f e c t p a i r i n g a n d w h i c h i d e n t i e s   H  
  s 
( a )  j  (  f ; g  ) 
j j  f  j 
2 S   , 
( b )  g i v e n   f 
2 S   t h e r e e x i s t s   g 
2 S   s o  (  f ; g  ) =  j  f  j 
s 
  s 
a n d w e c a n d e n e  
j  f  j 
j  (  f ; g  )  j 
: 
P r o o f :   T h i s f o l l o w s f r o m t h e f a c t t h a t   H  
s 
2 
w i t h t h e w e i g h t f u n c t i o n  
( 1 +  j    j 
2 
w i t h t h e w e i g h t f u n c t i o n ( 1 +   j    j 
2 
(  f ; g  ) = ( 
d  
a n d a p p l y t h e C a u c h y - S c h w a r t z i n e q u a l i t y t o p r o v e ( a ) .  
T o p r o v e p a r t ( b ) , w e n o t e   j  f  j 
s 
j  (  f ; g  )  j 
  s 
. W e t a k e   g  t o b e  
d e n e d b y :  
 g  = 
2 S  
 
2 
s 
a n d t h a t   j  g  j 
2 
  s 
t o s e e t h a t  
e q u a l i t y c a n o c c u r i n ( a ) w h i c h p r o v e s ( b )  
I f  s > t > u   t h e n w e c a n e s t i m a t e :  
( 1 +  j    j  ) 
2  u 
 
1 0 1 . 1 . F o u r i e r T r a n s f o r m , S c h w a r t z C l a s s  
L e m m a 1 . 1 . 7 .   L e t  s > t > u   a n d l e t   " >  0  b e g i v e n . T h e n  
j  f  j 
: 
I f  V  i s a n i t e d i m e n s i o n a l v e c t o r s p a c e , l e t   C 
1  
(  V  ) b e t h e s p a c e o f  
s m o o t h c o m p l e x v a l u e d m a p s o f   R 
m 
!    V  . W e c h o o s e a x e d H e r m i t i a n  
i n n e r p r o d u c t o n   V  a n d d e n e   S   (  V  ) a n d   H  
s 
(  V  ) a s i n t h e s c a l a r c a s e . I f  
d i m (  V  ) =  k  a n d i f w e c h o o s e a x e d o r t h o n o r m a l b a s i s f o r   V  , t h e n   S   (  V  ) 
a n d  H  
s 
(  V  ) b e c o m e i s o m o r p h i c t o t h e d i r e c t s u m o f   k  c o p i e s o f   S   a n d o f  
H  
s 
. L e m m a s 1 . 1 . 1 t h r o u g h 1 . 1 . 7 e x t e n d i n t h e o b v i o u s f a s h i o n .  
W e c o n c l u d e t h i s s u b s e c t i o n w i t h a n e x t r e m e l y u s e f u l i f e l e m e n t a r y e s t i -  
m a t e :  
L e m m a 1 . 1 . 8 . ( P e e t r e ' s I n e q u a l i t y ) .   L e t  s  b e r e a l a n d   x ; y  2   R 
m 
s 
. 
P r o o f :   W e s u p p o s e r s t   s >  0 . W e r a i s e t h e t r i a n g l e i n e q u a l i t y :  
1 +  j  x  +  y  j  <  1 +  j  x  j  +  j  y  j    ( 1 +  j  y  j  ) ( 1 +   j  x  j  ) 
t o t h e   s 
t h 
p o w e r t o d e d u c e t h e d e s i r e d i n e q u a l i t y . W e n o w s u p p o s e   s <  0 . 
A s i m i l a r i n e q u a l i t y :  
( 1 +  j  y  j  ) 
  s 
  s 
y i e l d s i m m e d i a t e l y :  
( 1 +  j  x  +  y  j  ) 
s 
  s 
 
1 . 2 . P s e u d o - D i e r e n t i a l O p e r a t o r s o n R  
m 
. 
A l i n e a r p a r t i a l d i e r e n t i a l o p e r a t o r o f o r d e r   d  i s a p o l y n o m i a l e x p r e s s i o n  
P  =   p  (  x ; D   ) = 
 
(  x  ) a r e s m o o t h . T h e s y m b o l  
P  =   p  i s d e n e d b y :  
P  =   p  (  x ;   ) = 
 
 
) ; 
w e w i l l r e t u r n t o t h i s p o i n t a g a i n w h e n w e d i s c u s s t h e e e c t o f c o o r d i n a t e  
t r a n s f o r m a t i o n s . T h e l e a d i n g s y m b o l    
L 
 
 
a n d i s a h o m o g e n e o u s p o l y n o m i a l o f o r d e r   d  i n    . 
W e c a n u s e t h e F o u r i e r i n v e r s i o n f o r m u l a t o e x p r e s s :  
P f  (  x  ) = 
 p  (  x ;   )  f  (  y  )  d y d  
f o r  f  2 S   . W e n o t e t h a t s i n c e t h e s e c o n d i n t e g r a l d o e s n o t c o n v e r g e a b s o -  
l u t e l y , w e c a n n o t i n t e r c h a n g e t h e   d y  a n d  d   o r d e r s o f i n t e g r a t i o n . W e u s e  
t h i s f o r m a l i s m t o d e n e t h e a c t i o n o f p s e u d o - d i e r e n t i a l o p e r a t o r s ( D O ' s )  
f o r a w i d e r c l a s s o f s y m b o l s    p  (  x ;   ) t h a n p o l y n o m i a l s . W e m a k e t h e f o l l o w -  
i n g 
D e f i n i t i o n .    p  (  x ;   )  i s a s y m b o l o f o r d e r   d  a n d w e w r i t e    p  2   S 
d 
i f 
( a )   p  (  x ;   )  i s s m o o t h i n   (  x ;   )  2   R 
m 
   R 
m 
w i t h c o m p a c t   x  s u p p o r t ,  
;  
j  D  
: 
F o r s u c h a s y m b o l    p  , w e d e n e t h e a s s o c i a t e d o p e r a t o r   P  (  x ; D   ) b y :  
P  (  x ; D   ) (  f  ) (  x  ) = 
Z  
e 
 p  (  x ;   )  f  (  y  )  d y d  
a s a l i n e a r o p e r a t o r m a p p i n g   S ! S   . 
A d i e r e n t i a l o p e r a t o r h a s a s i t s o r d e r a p o s i t i v e i n t e g e r . T h e o r d e r o f  
a p s e u d o - d i e r e n t i a l o p e r a t o r i s n o t n e c e s s a r i l y a n i n t e g e r . F o r e x a m p l e , i f  
f  2   C 
2 
 
1 2 1 . 2 . P s e u d o - D i f f e r e n t i a l O p e r a t o r s  
T h i s w i l l b e a s y m b o l o f o r d e r   d  . I f   p  2   S 
d 
f o r a l l   d  , t h e n w e s a y t h a t  
 p  2   S 
1  
i s i n n i t e l y s m o o t h i n g . W e a d o p t t h e n o t a t i o n a l c o n v e n t i o n  
o f l e t t i n g    p  ,  q  ,  r  d e n o t e s y m b o l s a n d   P  ,  Q  ,  R  d e n o t e t h e c o r r e s p o n d i n g  
D O ' s .  
B e c a u s e w e s h a l l b e i n t e r e s t e d i n p r o b l e m s o n c o m p a c t m a n i f o l d s , w e  
h a v e a s s u m e d t h e s y m b o l s h a v e c o m p a c t   x  s u p p o r t t o a v o i d a n u m b e r o f  
t e c h n i c a l c o m p l i c a t i o n s . T h e r e a d e r s h o u l d n o t e t h a t t h e r e i s a w e l l d e n e d  
t h e o r y w h i c h d o e s n o t r e q u i r e c o m p a c t   x  s u p p o r t .  
W h e n w e d i s c u s s t h e h e a t e q u a t i o n , w e s h a l l h a v e t o c o n s i d e r a w i d e r  
c l a s s o f s y m b o l s w h i c h d e p e n d o n a c o m p l e x p a r a m e t e r . W e p o s t p o n e  
d i s c u s s i o n o f t h i s c l a s s u n t i l l a t e r t o a v o i d u n n e c e s s a r i l y c o m p l i c a t i n g t h e  
d i s c u s s i o n a t t h i s s t a g e . W e s h a l l p h r a s e t h e t h e o r e m s a n d p r o o f s o f t h i s  
s e c t i o n i n s u c h a m a n n e r t h a t t h e y w i l l g e n e r a l i z e e a s i l y t o t h e w i d e r c l a s s  
o f s y m b o l s .  
O u r r s t t a s k i s t o e x t e n d t h e a c t i o n o f   P  f r o m   S   t o  H  
s 
. 
L e m m a 1 . 2 . 1 .   L e t   p  2   S 
d 
s    d 
s 
f o r  f  2 S   .  P  e x t e n d s  
t o a c o n t i n u o u s m a p   P  :  H  
s 
!    H  
f o r a l l   s  . 
P r o o f :   W e c o m p u t e   P f  (  x  ) = 
R 
e 
 
f  (    )  d   s o t h a t t h e F o u r i e r  
t r a n s f o r m i s g i v e n b y :  
c  
f  (    )  d d x :  
T h i s i n t e g r a l i s a b s o l u t e l y c o n v e r g e n t s i n c e    p  h a s c o m p a c t   x  s u p p o r t s o w e  
m a y i n t e r c h a n g e t h e o r d e r o f i n t e g r a t i o n . I f w e d e n e  
q  (  ;   ) = 
Z  
e 
 p  (  x ;   )  d x 
a s t h e F o u r i e r t r a n s f o r m i n t h e   x  d i r e c t i o n , t h e n  
c  
f  (    )  d : 
B y L e m m a 1 . 1 . 6 ,  j  P f  j 
s    d 
j  g  j 
(  P f ; g  ) = 
  s 
 
O p e r a t o r s o n   R 
m 
1 3 
W e a p p l y t h e C a u c h y - S c h w a r z i n e q u a l i t y t o e s t i m a t e :  
j  (  P f ; g  )  j   
 
2 
: 
W e c o m p l e t e t h e p r o o f b y s h o w i n g  
Z  
Z  
j  K   (  ;   )  j  d      C 
s i n c e t h e n   j  (  P f ; g  )  j    C  j  f  j 
s 
. 
B y h y p o t h e s i s ,    p  h a s s u p p p o r t i n a c o m p a c t s e t   K   a n d w e h a v e e s t i m a t e s :  
j  D  
j   
v o l (  K   )  : 
T h e r e f o r e , f o r a n y i n t e g e r   k  ,  j  q  (  ;   )  j    C 
k 
j  K   (  ;   )  j    C 
v o l (  K   )  : 
W e a p p l y L e m m a 1 . 1 . 8 w i t h   x  +  y  =    a n d  y  =    t o e s t i m a t e :  
j  K   (  ;   )  j    C 
d    s  j   k 
v o l (  K   )  : 
I f w e c h o o s e   k > 
m 
2 
+  j  d     s  j  , t h e n t h i s w i l l b e i n t e g r a b l e a n d c o m p l e t e t h e  
p r o o f .  
O u r n e x t t a s k i s t o s h o w t h a t t h e c l a s s o f D O ' s f o r m s a n a l g e b r a u n d e r  
t h e o p e r a t i o n s o f c o m p o s i t i o n a n d t a k i n g a d j o i n t . B e f o r e d o i n g t h a t , w e  
s t u d y t h e s i t u a t i o n w i t h r e s p e c t t o d i e r e n t i a l o p e r a t o r s t o m o t i v a t e t h e  
f o r m u l a s w e s h a l l d e r i v e . L e t   P  = 
P  
P  
x 
b e t w o d i e r e n t i a l o p e r a t o r s . W e a s s u m e    p  a n d  q  h a v e c o m p a c t   x  s u p p o r t .  
I t i s i m m e d i a t e t h a t :  
P 
X  
x 
a r e a g a i n d i e r e n t i a l o p e r a t o r s i n o u r c l a s s . F u r t h e r m o r e , u s i n g L e i b n i t z ' s  
r u l e  
 
 
(   
  +   
) =   
 
 
(    +    ) ! 
  ! 
; 
 
1 4 1 . 2 . P s e u d o - D i f f e r e n t i a l O p e r a t o r s  
i t i s a n e a s y c o m b i n a t o r i a l e x e r c i s e t o c o m p u t e t h a t :  
  (  P 
X  
x 
q =   !  : 
T h e p e r h a p s s u r p r i s i n g f a c t i s t h a t t h e s e f o r m u l a s r e m a i n t r u e i n s o m e  
s e n s e f o r D O ' s , o n l y t h e s u m s w i l l b e c o m e i n n i t e r a t h e r t h a n n i t e .  
W e i n t r o d u c e a n e q u i v a l e n c e r e l a t i o n o n t h e c l a s s o f s y m b o l s b y d e n i n g  
 p     q  i f   p     q  2   S 
1  
. W e n o t e t h a t i f    p  2   S 
1  
s 
!    H  
t 
f o r a l l  
s  a n d  t  b y L e m m a 1 . 2 . 1 . C o n s e q u e n t l y b y L e m m a 1 . 1 . 4 ,   P  :  H  
s 
!    C 
1  
0 
f o r 
a l l  s  s o t h a t   P  i s i n n i t e l y s m o o t h i n g i n t h i s c a s e . T h u s w e m o d o u t b y  
i n n i t e l y s m o o t h i n g o p e r a t o r s .  
G i v e n s y m b o l s    p 
j 
j 
 p    
1  
X  
 p 
j 
i f f o r e v e r y   d  t h e r e i s a n i n t e g e r   k  (  d  ) s u c h t h a t   k     k  (  d  ) i m p l i e s t h a t  
 p    
P  
k 
d 
. W e e m p h a s i z e t h a t t h i s s u m d o e s n o t i n f a c t n e e d t o  
c o n v e r g e . T h e r e l a t i o n    p    
P  
 p 
j 
s i m p l y m e a n s t h a t t h e d i e r e n c e b e t w e e n  
P  a n d t h e p a r t i a l s u m s o f t h e   P 
j 
i s a s s m o o t h i n g a s w e l i k e . I t w i l l t u r n o u t  
t h a t t h i s i s t h e a p p r o p r i a t e s e n s e i n w h i c h w e w i l l g e n e r a l i z e t h e f o r m u l a s  
f o r    (  P 
 
) a n d     (  P Q  ) f r o m d i e r e n t i a l t o p s e u d o - d i e r e n t i a l o p e r a t o r s .  
U l t i m a t e l y , w e w i l l b e i n t e r e s t e d i n o p e r a t o r s w h i c h a r e d e n e d o n c o m -  
p a c t m a n i f o l d s . C o n s e q u e n t l y , i t p o s e s n o d i c u l t i e s t o r e s t r i c t t h e d o m a i n  
a n d t h e r a n g e o f o u r o p e r a t o r s . L e t   U  b e a o p e n s u b s e t o f   R 
m 
w i t h c o m -  
p a c t c l o s u r e . L e t    p  (  x ;   )  2   S 
d 
h a v e   x  s u p p o r t i n   U  . W e r e s t r i c t t h e d o m a i n  
o f t h e o p e r a t o r   P  t o  C 
1  
0 
1  
0 
(  U  ) d e n o t e  
t h e s p a c e o f a l l s u c h o p e r a t o r s . F o r   d     d 
0 
d 
(  U  ) 
t o b e t h e s e t o f a l l p s e u d o - d i e r e n t i a l o p e r a t o r s o n   U  a n d t h e s e t o f i n n i t e l y  
s m o o t h i n g p s e u d o - d i e r e n t i a l o p e r a t o r s o n   U  . 
M o r e g e n e r a l l y , l e t    p  (  x ;   ) b e a m a t r i x v a l u e d s y m b o l ; w e s u p p o s e t h e  
c o m p o n e n t s o f    p  a l l b e l o n g t o   S 
d 
. T h e c o r r e s p o n d i n g o p e r a t o r   P  i s g i v e n  
b y a m a t r i x o f p s e u d o - d i e r e n t i a l o p e r a t o r s .   P  i s a m a p f r o m v e c t o r v a l -  
u e d f u n c t i o n s w i t h c o m p a c t s u p p o r t i n   U  t o v e c t o r v a l u e d f u n c t i o n s w i t h  
c o m p a c t s u p p o r t i n   U  . W e s h a l l n o t i n t r o d u c e s e p a r a t e n o t a t i o n f o r t h e  
s h a p e o f    p  a n d s h a l l c o n t i n u e t o d e n o t e t h e c o l l e c t i o n o f a l l s u c h o p e r a t o r s  
b y  
d 
(  U  ) . I f    p  a n d  q  a r e m a t r i x v a l u e d a n d o f t h e p r o p e r s h a p e , w e d e n e  
 p    q  a n d a l s o t h e o p e r a t o r   P    Q  b y m a t r i x p r o d u c t a n d b y c o m p o s i t i o n . W e  
a l s o d e n e    p 
 
 
t o b e t h e m a t r i x a d j o i n t a n d t h e o p e r a t o r a d j o i n t s o  
t h a t (  P 
 
 
g  ) w h e r e   f  a n d  g  a r e v e c t o r v a l u e d a n d o f c o m p a c t  
s u p p o r t . B e f o r e s t u d y i n g t h e a l g e b r a s t r u c t u r e o n (  U  ) , w e m u s t e n l a r g e  
 
O p e r a t o r s o n   R 
m 
1 5 
L e m m a 1 . 2 . 2 .   L e t  r  (  x ; ; y   )  b e a m a t r i x v a l u e d s y m b o l w h i c h i s s m o o t h  
i n  (  x ; ; y   )  . W e s u p p o s e   r  h a s c o m p a c t   x  s u p p o r t i n s i d e   U  a n d t h a t t h e r e  
a r e e s t i m a t e s :  
j  D  
d   
f o r a l l m u l t i - i n d i c e s   (  ; ;   )  . I f  f  i s v e c t o r v a l u e d w i t h c o m p a c t s u p p o r t  
i n  U  , w e d e n e :  
R f  (  x  ) = 
r  (  x ; ; y   )  f  (  y  )  d y d :  
T h e n t h i s o p e r a t o r i s i n    
d 
(  U  )  a n d t h e s y m b o l i s g i v e n b y :  
R  (  x ;   )    
: 
P r o o f :   W e n o t e t h a t a n y s y m b o l i n   S 
d 
b e l o n g s t o t h i s c l a s s o f o p e r a t o r s  
i f w e d e n e   r  (  x ; ; y   ) =   p  (  x ;   ) . W e r e s t r i c t e d t o v e c t o r v a l u e d f u n c t i o n s  
w i t h c o m p a c t s u p p o r t i n   U  . B y m u l t i p l y i n g   r  b y a c u t - o f u n c t i o n i n   y 
w i t h c o m p a c t s u p p o r t w h i c h i s 1 o v e r   U  , w e m a y a s s u m e w i t h o u t l o s s o f  
g e n e r a l i t y t h e   y  s u p p o r t o f   r  i s c o m p a c t a s w e l l . D e n e :  
q  (  x ; ;   ) = 
r  (  x ; ; y   )  d y 
t o b e t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f   r  i n t h e   y  v a r i a b l e . U s i n g L e m m a 1 . 1 . 2 w e  
s e e 
 
f  . T h i s i m p l i e s t h a t :  
Z  
e 
Z  
f  (    )  d : 
T h e a r g u m e n t g i v e n i n t h e p r o o f o f L e m m a 1 . 2 . 1 g i v e s e s t i m a t e s o f t h e  
f o r m :  
k 
  k 
f o r a n y   k  . C o n s e q u e n t l y :  
j  q  (  x ; ;        ) 
: 
W e a p p l y L e m m a 1 . 1 . 8 t o e s t i m a t e :  
j  q  (  x ; ;        ) 
 
1 6 1 . 2 . P s e u d o - D i f f e r e n t i a l O p e r a t o r s  
s o t h i s i s a b s o l u t e l y i n t e g r a b l e . W e c h a n g e t h e o r d e r o f i n t e g r a t i o n a n d  
e x p r e s s :  
R f  (  x  ) = 
 p  (  x ;   ) = 
a n d c o m p u t e :  
R f  (  x  ) = 
f  (    )  d  
i s a p s e u d o - d i e r e n t i a l o p e r a t o r o n c e i t i s v e r i e d t h a t    p  (  x ;   ) i s a s y m b o l  
i n t h e c o r r e c t f o r m .  
W e c h a n g e v a r i a b l e s t o e x p r e s s :  
 p  (  x ;   ) = 
q  (  x ;   +  ;   )  d  
a n d e s t i m a t e :  
j  q  (  x ;   +  ;   )  j    C 
k 
: 
T h i s i s i n t e g r a b l e s o   j   p  (  x ;   )  j    C 
0 
k 
d 
 
 
 
q  (  x ;   +  ;   )  j  w h i c h a r i s e f r o m t h e g i v e n e s t i m a t e s f o r   r  s h o w t h a t    p  2   S 
d 
s o t h a t   R  i s a p s e u d o - d i e r e n t i a l o p e r a t o r .  
W e u s e T a y l o r ' s t h e o r e m o n t h e m i d d l e v a r i a b l e o f  q  (  x ;   +  ;   ) t o e x p a n d :  
q  (  x ;   +  ;   ) = 
+  q 
k 
(  x ; ;  )  : 
T h e r e m a i n d e r   q 
k 
d e c a y s t o a r b i t r a r i l y h i g h o r d e r i n (   ;   ) a n d a f t e r i n t e -  
g r a t i o n g i v e s r i s e t o a s y m b o l i n   S 
d    k 
w h i c h m a y t h e r e f o r e b e i g n o r e d . W e  
i n t e g r a t e t o c o n c l u d e  
 p  (  x ;   ) = 
= 
+ a r e m a i n d e r  
u s i n g L e m m a 1 . 1 . 2 . T h i s c o m p l e t e s t h e p r o o f o f t h e l e m m a .  
W e u s e t h i s t e c h n i c a l l e m m a t o s h o w t h a t t h e p s e u d o - d i e r e n t i a l o p e r a -  
 
O p e r a t o r s o n   R 
m 
1 7 
L e m m a 1 . 2 . 3 .   L e t  P  2    
d 
e 
( a ) I f   U 
0 
 
 
=   !  . 
( b ) A s s u m e t h a t   P  a n d  Q  h a v e t h e p r o p e r s h a p e s s o   P Q  a n d   p q  a r e d e n e d .  
T h e n   P Q  2    
d  +  e 
P  
x 
q =   !  . 
 
l i e s i n a l a r g e r s p a c e i s o n l y a s l i g h t b i t o f  
t e c h n i c a l b o t h e r ; t h i s f a c t p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n c o n s i d e r i n g b o u n d a r y  
v a l u e p r o b l e m s o f c o u r s e . L e t (  f ; g  ) =  f    g  b e t h e p o i n t w i s e H e r m i t i a n  
i n n e r p r o d u c t . F i x     2   C 
1  
0 
(  U 
0 
) t o b e i d e n t i c a l l y 1 o n   U  a n d c o m p u t e :  
(  P f ; g  ) = 
i  (  x    y  )   
= 
(  x ;   )    (  y  )  g  (  x  )  d y d d x  
 
(  x ;   ) b y f u n c -  
t i o n s w i t h c o m p a c t     s u p p o r t , w e c a n j u s t i f y t h e u s e o f F u b i n i ' s t h e o r e m  
t o r e p l a c e   d y d d x   b y  d x d d y   a n d e x p r e s s :  
(  P f ; g  ) = 
= (  f ; P 
g  ) 
w h e r e w e d e n e :  
P 
(  x ;   )    (  y  )  g  (  x  )  d x d :  
 
) 
a n d w e c o m p u t e :  
  (  P 
 
=   ! 
 
g  s i n c e i t w a s  
 
w a s a D O .  
W e u s e ( a ) t o p r o v e ( b ) . S i n c e :  
Q 
(  x ;   )  g  (  x  )  d x d  
t h e F o u r i e r i n v e r s i o n f o r m u l a i m p l i e s :  
d  
(  Q 
 
1 8 1 . 2 . P s e u d o - D i f f e r e n t i a l O p e r a t o r s  
 
 
d  
T h e r e f o r e :  
P Q g  (  x  ) = 
(  y ;   )  g  (  y  )  d y d  
w h i c h i s a n o p e r a t o r o f t h e f o r m d i s c u s s e d i n L e m m a 1 . 2 . 2 i f   r  (  x ; ; y   ) = 
 p  (  x ;   ) ~ q 
 
(  y ;   ) . T h i s p r o v e s   P Q  i s a p s e u d o - d i e r e n t i a l o p e r a t o r o f t h e  
  
 
(  y ;   ) )  =   ! e v a l u a t e d a t   x  =  y  . 
  
 
=   !    !  : 
 
=  Q  s o w e c o n c l u d e n a l l y  
  (  P Q  )    
q  (  x ;   )  =   ! 
w h i c h c o m p l e t e s t h e p r o o f .  
L e t  K   (  x ; y  ) b e a s m o o t h m a t r i x v a l u e d f u n c t i o n w i t h c o m p a c t   x  s u p p o r t  
i n  U  . I f  f  i s v e c t o r v a l u e d w i t h c o m p a c t s u p p o r t i n   U  , w e d e n e :  
P  (  K   ) (  f  ) (  x  ) = 
K   (  x ; y  )  f  (  y  )  d y : 
L e m m a 1 . 2 . 4 .   L e t  K   (  x ; y  )  b e s m o o t h w i t h c o m p a c t   x  s u p p o r t i n   U  , t h e n  
P  (  K   )  2    
1  
(  U  )  . 
P r o o f :   W e l e t     (    )  2   C 
1  
0 
(  R 
m 
r  (  x ; ; y   ) =  e 
i  (  y    x  )   
  (    )  K   (  x ; y  ) 
t h e n t h i s i s a s y m b o l i n   S 
1  
o f t h e s o r t d i s c u s s e d i n L e m m a 1 . 2 . 2 . I t  
d e n e s a n i n n i t e l y s m o o t h i n g o p e r a t o r . I t i s i m m e d i a t e t h a t :  
P  (  K   ) (  f  ) (  x  ) = 
r  (  x ; ; y   )  f  (  y  )  d y d :  
C o n v e r s e l y , i t c a n b e s h o w n t h a t a n y i n n i t e l y s m o o t h i n g m a p h a s a  
s m o o t h k e r n e l . I n g e n e r a l , o f c o u r s e , i t i s n o t p o s s i b l e t o r e p r e s e n t a n a r -  
b i t r a r y p s e u d o - d i e r e n t i a l o p e r a t o r b y a k e r n e l . I f   P  i s s m o o t h i n g e n o u g h ,  
 
O p e r a t o r s o n   R 
m 
1 9 
L e m m a 1 . 2 . 5 .   L e t  r  s a t i s f y t h e h y p o t h e s i s o f L e m m a 1 . 2 . 2 w h e r e   d < 
   m      k  . W e d e n e   K   (  x ; y  ) = 
R 
e 
i  (  x    y  )   
r  (  x ; ; y   )  d   . T h e n   K   i s  C 
k 
R 
K   (  x ; y  )  f  (  y  )  d y  . 
P r o o f :   I f w e c a n s h o w   K   i s w e l l d e n e d , t h e n t h e r e p r e s e n t a t i o n o f   R  i n 
t e r m s o f t h e k e r n e l   K   w i l l f o l l o w f r o m F u b i n i ' s t h e o r e m . W e e s t i m a t e :  
D  
 
: 
S i n c e w e c a n e s t i m a t e :  
j   
d  +    +   
t h i s w i l l b e i n t e g r a b l e f o r   j    j  +  j    j    k  . T h u s   K   i s  C 
k 
a n d t h e r e p r e s e n t a t i o n  
o f  R  f o l l o w s i m m e d i a t e l y .  
I n L e m m a 1 . 2 . 2 w e c o m p u t e d t h e s y m b o l o f t h e p s e u d o - d i e r e n t i a l o p -  
 
 
y 
r  w h e n   x  =  y  . T h i s i m p l i e s  
t h e s i n g u l a r ( i . e . , t h e n o n - s m o o t h i n g p a r t ) o f   R  i s c o n c e n t r a t e d n e a r t h e  
d i a g o n a l   x  =  y  . W e m a k e t h i s m o r e p r e c i s e :  
L e m m a 1 . 2 . 6 .   L e t  r  (  x ; ; y   )  s a t i s f y t h e h y p o t h e s i s o f L e m m a 1 . 2 . 2 . S u p -  
p o s e t h e   x  s u p p o r t o f   r  i s d i s j o i n t f r o m t h e   y  s u p p o r t o f   r  , t h e n   R  i s i n n i t e l y  
s m o o t h i n g a n d i s r e p r e s e n t e d b y a s m o o t h k e r n e l f u n c t i o n   K   (  x ; y  )  . 
P r o o f :   W e w o u l d l i k e t o d e n e   K   (  x ; y  ) = 
R 
e 
r  (  x ; ; y   )  d   . U n -  
f o r t u n a t e l y , t h i s i n t e g r a l n e e d n o t c o n v e r g e i n g e n e r a l . B y h y p o t h e s i s ,  
 
= 
 
i  (  x    y  )   
w e i n t e g r a t e b y p a r t s i n a f o r m a l s e n s e  
k  t i m e s t o e x p r e s s :  
R f  (  x  ) = 
r  (  x ; ; y   )  f  (  y  )  d y d :  
T h i s f o r m a l p r o c e s s m a y b e j u s t i e d b y r s t a p p r o x i m a t i n g   r  b y a f u n c t i o n  
w i t h c o m p a c t     s u p p o r t . W e n o w d e n e  
K   (  x ; y  ) = 
r  (  x ; ; y   )  d  
f o r a n y   k  s u c i e n t l y l a r g e . S i n c e  
k 
 
r  d e c a y s t o a r b i t r a r i l y h i g h o r d e r i n  
 
2 0 1 . 2 . P s e u d o - D i f f e r e n t i a l O p e r a t o r s  
K   (  x ; y  ) i s a r b i t r a r i l y s m o o t h i n (  x ; y  ) a n d h e n c e i s   C 
1  
. T h i s c o m p l e t e s  
t h e p r o o f .  
W e n o t e t h a t i n g e n e r a l   K   (  x ; y  ) w i l l b e c o m e s i n g u l a r a t   x  =  y  o w i n g t o  
t h e p r e s e n c e o f t h e t e r m s   j  x     y  j 
  2  k 
i f w e d o n o t a s s u m e t h e s u p p o r t o f   x 
i s d i s j o i n t f r o m t h e s u p p o r t o f   y  . 
A d i e r e n t i a l o p e r a t o r   P  i s l o c a l i n t h e s e n s e t h a t i f   f  = 0 o n s o m e o p e n  
s u b s e t o f   U  , t h e n   P f  = 0 o n t h a t s a m e s u b s e t s i n c e d i e r e n t i a t i o n i s a  
p u r e l y l o c a l p r o c e s s . D O ' s a r e n o t l o c a l i n g e n e r a l s i n c e t h e y a r e d e n e d  
b y t h e F o u r i e r t r a n s f o r m w h i c h s m e a r s o u t t h e s u p p o r t . N e v e r t h e l e s s , t h e y  
d o h a v e a s o m e w h a t w e a k e r p r o p e r t y , t h e y d o n o t s m e a r o u t t h e s i n g u l a r  
s u p p o r t o f a d i s t r i b u t i o n   f  . M o r e p r e c i s e l y , l e t   f  2   H  
s 
1  
0 
(  U  ) , 
w e d e n e t h e m a p   f  7!    f  . I f w e t a k e   r  (  x ; ; y   ) =    (  x  ) a n d a p p l y L e m m a  
1 . 2 . 2 , t h e n w e s e e t h a t t h i s i s a p s e u d o - d i e r e n t i a l o p e r a t o r o f o r d e r 0 .  
T h e r e f o r e   f  2   H  
s 
a s w e l l . T h i s g i v e s a s u i t a b l e n o t i o n o f r e s t r i c t i o n . W e  
s a y t h a t   f  i s s m o o t h o n a n o p e n s u b s e t   U 
0 
o f  U  i f a n d o n l y i f   f  2   C 
1  
f o r 
e v e r y s u c h     . A n o p e r a t o r   P  i s s a i d t o b e p s e u d o - l o c a l i f   f  i s s m o o t h o n  
U 
0 
i m p l i e s   P f  i s s m o o t h o n   U 
0 
. 
L e m m a 1 . 2 . 7 .   P s e u d o - d i e r e n t i a l o p e r a t o r s a r e p s e u d o - l o c a l .  
P r o o f :   L e t  P  2    
d 
(  U  ) a n d l e t   f  2   H  
s 
0 
a n d c h o o s e     2  
C 
1  
0 
(  U 
0 
) t o b e i d e n t i c a l l y 1 n e a r   x  . C h o o s e     2   C 
1  
0 
(  U 
0 
) w i t h s u p p o r t  
c o n t a i n e d i n t h e s e t w h e r e     i s i d e n t i c a l l y 1 . W e m u s t v e r i f y t h a t   P f  i s 
s m o o t h . W e c o m p u t e :  
P f  =  P f   +  P  ( 1       )  f : 
B y h y p o t h e s i s ,   f  i s s m o o t h s o   P f   i s s m o o t h . T h e o p e r a t o r   P  ( 1       ) 
i s r e p r e s e n t e d b y a k e r n e l o f t h e f o r m     (  x  )   p  (  x ;   ) ( 1       (  y  ) ) w h i c h h a s  
d i s j o i n t   x  a n d  y  s u p p o r t . L e m m a 1 . 2 . 6 i m p l i e s   P  ( 1       )  f  i s s m o o t h  
w h i c h c o m p l e t e s t h e p r o o f .  
I n L e m m a s 1 . 2 . 2 a n d 1 . 2 . 3 w e e x p r e s s e d t h e s y m b o l o f a n o p e r a t o r a s a  
i n n i t e a s y m p t o t i c s e r i e s . W e s h o w t h a t t h e a l g e b r a o f s y m b o l s i s c o m p l e t e  
i n a c e r t a i n s e n s e :  
L e m m a 1 . 2 . 8 .   L e t   p 
j 
j 
! 1    . T h e n t h e r e e x i s t s  
 p    
P  
j 
 p 
j 
w h i c h i s a s y m b o l i n o u r c l a s s .    p  i s a u n i q u e m o d u l o   S 
1  
. 
P r o o f :   W e m a y a s s u m e w i t h o u t l o s s o f g e n e r a l i t y t h a t   d 
1 
> d 
2 
>  !      
1    . W e w i l l c o n s t r u c t    p  2   S 
d 
1 
. T h e u n i q u e n e s s i s c l e a r s o w e m u s t  
p r o v e e x i s t e n c e . T h e    p 
j 
a l l h a v e s u p p o r t i n s i d e   U  ; w e w i l l c o n s t r u c t    p  w i t h  
s u p p o r t i n s i d e   U 
0 
0 
i s a n y o p e n s e t c o n t a i n i n g t h e c l o s u r e o f   U  . 
F i x a s m o o t h f u n c t i o n     s u c h t h a t :  
 
O p e r a t o r s o n   R 
m 
2 1 
W e u s e     t o c u t a w a y t h e s u p p o r t n e a r     = 0 . L e t   t 
j 
 p  (  x ;   ) = 
F o r a n y x e d     ,    (  t 
j 
  ) = 0 f o r a l l b u t a n i t e n u m b e r o f   j  s o t h i s s u m i s  
w e l l d e n e d a n d s m o o t h i n (  x ;   ) . F o r   j >  1 w e h a v e  
j   p 
: 
I f  j    j  i s l a r g e e n o u g h , ( 1 +   j    j  ) 
d 
j 
  d 
1 
i s a s s m a l l a s w e l i k e a n d t h e r e f o r e b y  
p a s s i n g t o a s u b s e q u e n c e o f t h e   t 
j 
w e c a n a s s u m e  
j    (  t 
f o r  j >  1 . 
T h i s i m p l i e s t h a t   j   p  (  x ;   )  j    (  C 
1 
d 
1 
. W e u s e a s i m i l a r a r -  
g u m e n t w i t h t h e d e r i v a t i v e s a n d u s e a d i a g o n a l i z a t i o n a r g u m e n t o n t h e  
r e s u l t i n g s u b s e q u e n c e s t o c o n c l u d e    p  2   S 
d 
. T h e s u p p o r t s o f a l l t h e    p 
j 
a r e 
c o n t a i n e d c o m p a c t l y i n   U  s o t h e s u p p o r t o f    p  i s c o n t a i n e d i n   U  w h i c h i s  
c o n t a i n e d i n   U 
0 
. 
W e n o w a p p l y e x a c t l y t h e s a m e a r g u m e n t t o    p 
d 
2 
+    t o a s s u m e t h a t  
 p 
d 
2 
d 
2 
. W e c o n t i n u e i n t h i s f a s h i o n a n d u s e a d i a g o n a l i z a t i o n  
a r g u m e n t o n t h e r e s u l t i n g s u b s e q u e n c e s t o c o n c l u d e i n t h e e n d t h a t  
1  
X  
j 
0 
j 
     (  t 
j 
  )   p 
j 
1  
, t h i s i m p l i e s    p    
P  
j 
0 
k 
a n d c o m p l e t e s  
t h e p r o o f .  
 
1  
(  U  ) d e n e s a c o n t i n u o u s o p e r a t o r f r o m   H  
s 
!    H  
t 
f o r a n y   s ; t  . L e t  
j  P  j 
s ; t 
d e n o t e t h e o p e r a t o r n o r m s o   j  P f  j 
t 
s 
f o r a n y   f  2 S   . I t w i l l  
b e c o n v e n i e n t t o b e a b l e t o e s t i m a t e   j  K   j 
1   ; k 
i n t e r m s o f t h e s e n o r m s :  
L e m m a 1 . 2 . 9 .   L e t  K   (  x ; y  )  b e a s m o o t h k e r n e l w i t h c o m p a c t   x ; y  s u p p o r t  
i n  U  . L e t   P  =  P  (  K   )  b e t h e o p e r a t o r d e n e d b y   K   . I f  k  i s a n o n - n e g a t i v e  
i n t e g e r , t h e n   j  K   j 
1   ; k 
  k ; k 
P r o o f :   B y a r g u i n g s e p a r a t e l y o n e a c h e n t r y i n t h e m a t r i x   K   , w e m a y  
r e d u c e o u r s e l v e s t o t h e s c a l a r c a s e . S u p p o s e r s t   k  = 0 . C h o o s e     2  
C 
1  
0 
(  R 
m 
) p o s i t i v e w i t h  
R 
  (  x  )  d x  = 1 . F i x p o i n t s (  x 
0 
; y 
0 
d e n e :  
) )  : 
 
2 2 1 . 2 . P s e u d o - D i f f e r e n t i a l O p e r a t o r s  
T h e n i f   n  i s l a r g e ,   f 
n 
n 
h a v e c o m p a c t s u p p o r t i n   U  . T h e n :  
K   (  x 
n 
n  ! 1  
) 
b y L e m m a 1 . 1 . 1 . W e e s t i m a t e  
j  (  f 
2 
0 
t o c o m p l e t e t h e p r o o f i n t h i s c a s e .  
I f  j    j    k  ,  j    j    k  t h e n :  
D  
n  ! 1  
= l i m  
)  : 
W e u s e L e m m a 1 . 1 . 6 t o e s t i m a t e t h i s b y  
j  D  
2 
0 
 
1 . 3 . E l l i p t i c i t y a n d P s e u d o - D i e r e n t i a l  
O p e r a t o r s o n M a n i f o l d s .  
T h e n o r m s w e h a v e g i v e n t o d e n e t h e s p a c e s   H  
s 
d e p e n d u p o n t h e F o u r i e r  
t r a n s f o r m . I n o r d e r t o g e t a m o r e i n v a r i a n t d e n i t i o n w h i c h c a n b e u s e d  
t o e x t e n d t h e s e n o t i o n s t o m a n i f o l d s , w e m u s t c o n s i d e r e l l i p t i c p s e u d o -  
d i e r e n t i a l o p e r a t o r s .  
L e t   p  2   S 
d 
(  U  ) b e a s q u a r e m a t r i x a n d l e t   U 
1 
b e a n o p e n s e t w i t h  
U 
1 
   U  . W e s a y t h a t    p  i s e l l i p t i c o n   U 
1 
i f t h e r e e x i s t s a n o p e n s u b s e t   U 
2 
1 
   U 
2 
   U 
2 
   U  a n d i f t h e r e e x i s t s   q  2   S 
  d 
s u c h t h a t    p q     I  2   S 
1  
1  
2 
. ( T o s a y t h a t   r  2   S 
1  
2 
s i m p l y m e a n s t h e  
e s t i m a t e s o f s e c t i o n 1 . 2 h o l d o v e r   U 
2 
. E q u i v a l e n t l y , w e a s s u m e   r  2   S 
1  
f o r e v e r y     2   C 
1  
0 
(  U 
2 
) ) . T h i s c o n s t a n t t e c h n i c a l f u s s o v e r d o m a i n s w i l l b e  
e l i m i n a t e d v e r y s h o r t l y w h e n w e p a s s t o c o n s i d e r i n g c o m p a c t m a n i f o l d s ;  
t h e r o l e o f   U 
2 
i s t o e n s u r e u n i f o r m e s t i m a t e s o v e r   U 
1 
. 
I t i s c l e a r t h a t    p  i s e l l i p t i c o v e r   U 
1 
i f a n d o n l y i f t h e r e e x i s t s c o n s t a n t s  
C 
0 
1 
s u c h t h a t    p  (  x ;   ) i s i n v e r t i b l e f o r   j   
j    C 
0 
  1 
(  x ;   ) w h e r e     (    ) i s a c u t - o f u n c t i o n i d e n t i c a l l y 0  
n e a r     = 0 a n d i d e n t i c a l l y 1 n e a r     =  1    . W e u s e d s i m i l a r c u t o f u n c t i o n s  
i n t h e p r o o f o f L e m m a 1 . 2 . 8 . F u r t h e r m o r e , i f    p 
0 
2   S 
d    1 
, t h e n    p  i s e l l i p t i c  
i f a n d o n l y i f    p  +   p 
0 
i s e l l i p t i c ; a d d i n g l o w e r o r d e r t e r m s d o e s n o t a l t e r  
t h e e l l i p t i c i t y . I f    p  i s a p o l y n o m i a l a n d   P  i s a d i e r e n t i a l o p e r a t o r , t h e n  
 p  i s e l l i p t i c i f a n d o n l y i f t h e l e a d i n g s y m b o l    
L 
(   p  ) = 
P  
  =  d 
 p 
i s 
i n v e r t i b l e f o r     6= 0 . 
T h e r e e x i s t e l l i p t i c o p e r a t o r s o f a l l o r d e r s . L e t     (  x  )  2   C 
1  
0 
a n d d e n e  
t h e s y m b o l    p  (  x ;   ) =    (  x  ) ( 1 +   j    j 
2 
d =  2 
I  , t h e n t h i s i s a n e l l i p t i c s y m b o l o f  
o r d e r   d  w h e n e v e r     (  x  )  6= 0 . 
L e m m a 1 . 3 . 1 .   L e t  P  2    
d 
(  U  )  b e e l l i p t i c o v e r   U 
1 
t h e n :  
( a ) T h e r e e x i s t s   Q  2    
  d 
(  U  )  s u c h t h a t   P Q     I     0  a n d  Q P     I     0 
o v e r   U 
1 
( i . e . ,     (  P Q     I  )  a n d    (  Q P     I  )  a r e i n n i t e l y s m o o t h i n g f o r a n y  
  2   C 
)  ) . 
( b )  P  i s h y p o - e l l i p t i c o v e r   U 
1 
s 
a n d i f   P f  i s s m o o t h o v e r   U 
1 
t h e n   f  i s s m o o t h o v e r   U 
1 
. 
( c ) T h e r e e x i s t s a c o n s t a n t   C  s u c h t h a t   j  f  j 
d 
C 
1  
0 
(  U 
1 
)  . ( G  a r d i n g ' s i n e q u a l i t y ) .  
P r o o f :   W e w i l l d e n e   Q  t o h a v e s y m b o l   q 
0 
+  q 
1 
j 
. 
W e t r y t o s o l v e t h e e q u a t i o n  
  (  P Q     I  )    
 
2 4 1 . 3 . E l l i p t i c i t y a n d P s e u d o - D i f f e r e n t i a l  
W h e n w e d e c o m p o s e t h i s s u m i n t o e l e m e n t s o f   S 
  k 
, w e c o n c l u d e w e m u s t  
s o l v e  
X  
0 i f  k  6= 0  : 
W e d e n e   q 
0 
=  q  a n d t h e n s o l v e t h e e q u a t i o n i n d u c t i v e l y t o d e n e :  
q 
k 
=     q   
X  
=   !  : 
T h i s d e n e s   Q  s o    (  P Q     I  )     0 o v e r   U 
2 
. S i m i l a r l y w e c o u l d s o l v e     (  Q 
1 
P    
2 
. W e n o w c o m p u t e     (  Q     Q 
1 
2 
s o t h a t i n f a c t   Q  a n d 
Q 
1 
a g r e e m o d u l o i n n i t e l y s m o o t h i n g o p e r a t o r s . T h i s p r o v e s ( a ) .  
L e t  f  2   H