pat1 group 1 20 - wordpress.com€¦ · pat1 มีนาคม 2555...

PAT1 มีนาคม 2555 เฉลยและเรียบเรียง โดย บุญชวย ภัทรเลิศศิริ สงสัยถาม ใน group ได หรือ 0813065635 หนา 1 / 20

Boonchuay Pataralertsiri (เครือขายผูปกครอง รร ศึกษานาร,ี แสงอรุณ ,ทวธีาภิเศก) http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath

A B B∩ = A B B′ ′ ′∪ = ( ) ( ) 10n A B n B′ ′ ′∪ = = ( ) 12 10 2n B = − =

เน่ืองจาก B C∩ =∅/ จํานวนสมาชิก C ท่ีอยูใน B ดวยมี 4 1 3− = วิธ ี

เพราะวา ( ) 4n A B′∩ = จึงเลือกไดวาให 4 ตัวน้ีอยูใน C หรือไม ไดท้ังหมด 42 วิธี ∴ C มีท้ังหมด

43(2 ) 48= เซต ตอบขอ 2

ใชรูปแบบการสมมุล

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

~ ~ ~ ~ ~~ ~

~ ~~ ~

~ ~ ~...

p q p p p q pT q p

q pr s r s r s s

r Fr

then q p r q p r

∧ ∨ ≡ ∨ ∧ ∨≡ ∧ ∨≡ ∨

∨ ∧ ∨ ≡ ∨ ∧≡ ∨≡

∨ ⇒ ≡ ∧ ⇒

ตอบขอ 3

อีกวิธีหน่ึงจากโจทยจะได ( ) [( ) ( ) ( ) (( ) )p q p r s r s p q p r p q p r p q r∧ ∨ ⇒ ∨ ∧ ∨ ≡ ∧ ∨ ∨ ≡ ∨ ∧ ∨ ≡ ∧ ∨ ทําใหเปนรูปแบบพื้นฐาน 1. p r∧ 2. q r∧ 3. p q r∧ ∧ 4. q rs∧ ตอบ ขอ 3

เรียงตามคาแบงได 3 ยานดังน้ี

13

x < − : 3( 1) 2 2(3 1)x x x− − − > − + ได 5x > − ดังน้ันรวม 153

x− < < − เอาเฉพาะจํานวนเต็มได 4, 3, 2, 1x = − − − −

http://www.facebook.com/bpataralertsiri

http://www.facebook.com/groups/HighSchoolMath



1 1:3

x− ≤ < 3( 1) 2 2(3 1)x x x− − − > + ได 1

11x< ท่ีตรงเงื่อนไขคือ 0x =

1: 3( 1) 2 2(3 1)x x x x≥ − − > − ได 1 x− > ไ มตรงเง่ือนไข ใชไมได รวมได { }4, 3, 2, 1,0A = − − − − B จากอสมการ 2( 2)( 1) 0x x x+ + < จะได ( 2, 1) ( 1,0)x B= = − − ∪ −

1. ( ) 5 0 5n A B− = − = ถูก 2. BA A∪ ≠ ผิด 2. 3. ( ) ( ) 5n A B n A∩ = = ผิด 4. ( ) ( )A B B A A B B− ∪ − = ∪ ≠ ผิด ตอบขอ 1.

1. ก.ถูก และ ข.ถูก 2. ก. ถูก แต ข.ผิด 3. ก.ผิด แต ข.ถูก 4. ก.ผิด และ ข.ผิด

จัดรูปแบบ ได 1 ( )

| | 1xy f xx+

= =+

เมื่อ 0x ≥ 1 11

xyx+

= =+

เมื่อ 0x < 11

xyx+

=− +

lim 1x

y→−∞

= −

y มีความตอเน่ืองท่ีจุด 0x = และจุดอ่ืนๆ ∴ rD R= ขอ ก ผิด 1r− ไมเปน ฟงกชัน เพราะ มีคา1 ซํ้ากัน ∴ ขอ ข ผิด ตอบขอ 4.

เพื่อความเขาใจดูรูปประกอบ รูปขวาเปน 1r−

-

สําหรับคามุมที่นอยกวา 45 ° คา cotθ จะมากกวา 1 คา 1 cos sinθ θ> > และคา 1> ยกกําลังมากกวาจะมีคามากกวา ถาคา 1< ยกกําลังมาก

วาจะมีคานอยกวา ดังนั้น ตอบขอ 2.





2c a= − 2 2 4 4c a a= − +

จากสามเหล่ียม ABC จะได 2 2 2 2 2 22 5 2 (5) 60 25 5c a b abcosC a a cos a a= + − = + − = + − เทียบ 2 สมการจะได 25 4 21a = − = ดังน้ัน 2 19c a= − = และ 21 5 19 45a b c+ + = + + = ตอบ ขอ 4

ระยะระหวาง จุดโฟกัส 2 12c= = ได 6c = ระยะตั้งฉากจากแกน10 52

= = จากคุณสมบัตขิองวงรี

ระยะรวมของเสนที่ลากจากจุดโฟกัสทัง้สองไปยังจุดบนวงรี 2 22 (2 ) 5 5a c= + + = 2 2(12 5+ +5 13 5 18= + = ได 9a =

2 2 81 36 45a c− = − = สมการวงร ี 2 2 2 2 2 2

2 2 22 2 2 21 1 5 9 9 5 405

9 45 9 9 5x y x y x y x ya b

+ = → + = = + ×= =+→×

ตอบขอ 1

จัดรูปสมการวงกลมเปน

2 2( 6 9) ( 4 4) 4 9 4x x y y− + + + + = − + + หรือ 2 2 2( 3) ( 2) 3x y− + + =

แสดงวามีจุดศูนยกลางท่ี (3, 2)− และมรีัศมี 3 หนวย น่ันคือ พาราโบลา มีจุด โฟกัส F ท่ี (3, 2)− น่ันคือวงกลมสัมผัสแกน Y พอดี น่ันคือ จุดยอด

(0, 2)V = − จากจุดยอด V และ ระยะโฟกัส p=3 สมการพาราโบลาเปนแบบแนวนอน : 24 ( 0) 12 ( 2)p x x y− = = +

จุด , (3, 2 2 ),( 2 2 ) (3, 8),(3,4)A B p p= − − − + = − พื้นท่ีสามเหล่ียมหนาจ่ัว (3)(4 ) 18

2pVAB = = ตารางหนวย ตอบขอ 3 .





25 23 3 53 35 5

x x x− + − − >

จะได 25 23 3 5x x x− + < − − ยายขางจะได

25 22 8 (5 2)( 4) 0x x x x− + = − − <

น่ันคือ 2 ,45

A =

ขอ1 (5 1)x − ไมอยูในเซต ขอ 2 ok. ขอ3 $(x-5) ไมอยูในเซต ขอ 4 ออกนอกเซต ตอบขอ 2

ก. log log log log log loglog log log log log log

x x x x x xa b c c a b

− = −

เอา log log log

log loga b c

x x× ตลอดได

2log log log log 2log log logc b b a b a c b ac− = − → = + → = ขอ ก ถูก

ข. log log log log2

log( ) log( ) log( ) log( )a a a a

c b c b c b c b+ =

+ − + −

เอา log( ) log( )

logc b c b

a+ −

× ได 2 2 2 2 2log( ) log( ) log( ) 2logc b c b c b a a b c− + + = − = → + = ขอ ข.ถูก

ตอบขอ 1

A: จะได 1 5x x+ + = 2 2 21 ( 5) 10 25 11 24( 8)( 3) 0x x x x x x x x+ = − = − + → − + − − = ได 3,8x = แทนคาในสมการเดิม เปนจรงิเฉพาะ 8x = น่ันคือ B = {8 } B:

1.58

3 1.53 4.5 1.5 3

8 8 2 2 2

38 8 8(3 ) (9 ) (27 ) 3 ( )

(27 )(27 )(27 )log log 27 log 27 3 log 2 log 8

log x log x log x log x

x x x x xx

+ + = + →

= = = = =

เอาlog ออกจะได 127 .5 8x = แลวได

31

38 2.527 3

x = = น่ันคือ 49

x = หรือ B =49

AUB = 48,9

ผลคูณของสมาชิก 329

= ตอบขอ 3





เวกเตอร AB

= ผลตางของพกิัด B A− ดังน้ัน [2 ( 1)] [5 (1)] 3 4AB i j i j= − − + − = +

เวกเตอร AD

อยูในแนวเสนตรง AB สมมุติใหมีทิศทางเดียวกันกับแตมขีนาดตางกันเปน k เทาของ AB

จึงให

(3 4 )AD k i j= +

เวกเตอร CD

เทากับพกิัด [( 1 3 ),(1 4 )] (2, 3) ( 3 3 ) ,(4 4 )CD D C k k k i k j= − = − + + − − = − + +

เน่ืองจาก AD

ต้ังฉากกับ CD

จึงได 2 20 3 ( 3 3 ) 4 (4 4 ) ( 9 9 ) (16 16 )AD CD k k k k k k k k= = − + + + = − + + +

225 7k k= +

ดังน้ัน 725

k = − และได7(3 4 ) (3 4 )25

AD k i j i j= + = − +

ตอบขอ 3

2

2

1 1 1 1 01 1

1 1 1 0 1

1 1 0 1 12 2 2 2

1 0 1 1 1

x x xy x x xyA I xy

y y y y xy xyx x x

AB C A B AC IB By y y

+ − + = = = = → + = − − − + +

− − − = → = → = = = = − − − − −

2 11 1 1| | 2 4(1 ) 4(1) 4 | |1 | | 4

xB xy B

y B−−

= = + = = → = =− −

ตอบขอ 1.

ก. กรณี v u= − จะได

2 2 2 2| | | ( | | 2 || 4 | |u v u u u u− = − − = = แต 2 2 2 2 22u v u u u+ = + − = ดังน้ัน ก.ผิด





ข. ตามปทากอรัส ข. ถูก ตอบขอ 3

ก. จัดรูปเปน อนุกรมเรขาคณิต ซึง่มีสูตร 1

1 1in

aar

∞

=

=−∑ และในกรณี 1a r= จะไดดังน้ี

1 1 1( )( ) ( ) ( )

n nn n

nn n n

a b a ba b a b a b

∞ ∞ ∞

= = =

+= +

+ + +∑ ∑ ∑1 1

a ba b a b

a ba b a b

+ += +− −

+ +

$ $2 2a b a b

b a ab+

= + = ขอ ก. ถูก

ข.

12

12

1 1

1 1 1 1

1 2 3

1 2 3

[2 ( 1) ][2 ( 1) ]2

(2 ( 1) ]... [2 ( 1) ]2

[2 ( 1) ] [2

...

( 1) ] 2( ) ( ) 2

n

m

n a n dn a n d n

m a m d m a m d m

m a n d n

a a a a

a m d m n a m n d

a

a

a a a

d

+ −+ −

=+ − + −

+ − = + −

+ + + +

→ − = − →

=+ +

=

=+ +

1 1 1

1 1

( 1) ( 1)2 2 1( 1) ( 1)2 2 1

m

n

a a m d a m a ma a n d a n a n

+ − + − −= = =

+ − + − − ขอ ข. ถกู

ดังน้ันถูกท้ังขอ ก และ ข ตอบขอ 1

2'( )f x x x c= + + '(2) 2 4 2f c= = + + 4c = −

3 2

( ) 43 2x xf x x D= + − +

1 1(1) 3 4(1)3 2

f D= = + − + 576

376

D = − =

ความชันท่ีจุด (1,3) 2'(1) (1) 1 4 2f = + − = − =ความชันของเสนสัมผัส ดังน้ันความชันของเสนต้ังฉาก =12

สมการเสนสัมผัส 2xy E= + ท่ีจุด (1,3) ได

132

E= + 52

E = ตอบขอ 2





2 2

2 22 2 2

( 1) ( 1)2 2( ) ( 1) '( ) ( 1)( 1) 1

a x ax x a x axg x x f x xx x

+ − + − −= + = + =

+ +

ถา ฟงกช่ัน ( )h x มีความตอเน่ืองท่ี 2x = จะได (2) (2)f g= ดังน้ัน 2

2 2(2) 1 2(2) (2)2 1 (2) 1

a a a+ − −=

+ + 54 4 4 3

5a a a− − − −

= =

ได 1a = − ดังน้ัน 2

21 2( 2) ( 2) 4 3 2 7 12 ( 2) (2) 2 ( 2) (2) 2 3

( 2) 1 5 5 5h h g f − − − + − − + ×− − = − − = − = + =

− + ตอบขอ 4

( ) 2 [ ( ) 1] 2[ ( ) 1] ( ( ) 1) 2[ ( ) 1] ( )

( ) [ ( ) 1] ( ) [ ( ) 1] 2[ ( ) 1] ( ) (1) 2[ (1) 1] (1) 1 2[ (1) 1](1)

dh x x h f x f x f x f x f xdx

g x h f x g x h f x f x f x g f f f

′ ′ ′= → − = − − = −

′ ′ ′ ′ ′= − → = − = − → = − → = −

3(1)

2f→ = ตอบขอ 2





จุดตัด B&C ใชไมได เพราะ y>2 ดังน้ัน จากจุด A เปนจุดท่ี P มีคาสูงสุด ตอบ 3

คะแนนเฉล่ียระหวางนายสายชล และนส ฟา 20 30 25

2+

= =

สวนเบ่ียงเบนมาตรฐานระหวางนายสายชล และนส ฟา 2 2(20 25) (30 25) 5

2− + −

=

เน่ืองจาก คะแนนเฉลียและสวนเบียงเบนมาตรฐาน คดิเฉพาะ 2 คนท่ีเพ่ิมเขามา เทากับ ของเดมิ การเพ่ิมจํานวนนักเรียนเปน 32 คน จีงไม

ทําใหสวนเบ่ียงเบนมาตรฐานใหมเปล่ียนไป ตอบขอ 2 หรือคิดจากสูตร 32 30

2 2 2 22 2 2 2 2 2

1 1( ) ( 25) (20 25) (30 25)

30 (20 25) (30 25) 30(5 ) (5) (5) 530 2 30 2 30 2 30 2

i iold

total

x x xss

− − + − + −+ − + − + +

= = = = =+ + + +

∑ ∑ตอบขอ 2

( )

2 6 (1) 2 8 (2) 1 (3) 0 (4)4 10 10 42(1) (2) 3 4 , ,3 3 3 3

7 4 4 7(1) (3) , ,3 3 3 37 10 7 10(2) (3) , ,3 3 3 3

0 2 ..(5) 2 6 2, 2 2,2,

10 4 8 23 2 , : 10 123 3 3 3

4 7,3

x y x y x y x

y y x A

y x B

x y C

y x y y x D

P x y A P

B

+ ≤ + ≤ − + ≤ ≥

− → ≤ → ≤ ≤ + → ≤ ≤ − → ≤ ≤

≤ ≤ → + ≤ → = = →

= + → = + = 14 2 7 10 20 2: 4 7 , : 7 13

3 3 3 3 3 3 3(2,2) : 3(2) 2(2) 10

P C P

D P

= + = = + =

= + =





ลําดับเลขคณิต ( , , )a b c ถา 1d = จะได (1,2,3) ถึง (5,6,7) รวม 5 ขุด ลําดับเลขคณิต ( , , )a b c ถา 2d = จะได (1,3,5) ถึง (3,5,7) รวม 3 ขุด ลําดับเลขคณิต ( , , )a b c ถา 3d = จะได (1,4,7) รวม 1 ขุด จึงมีจํานวนชุดท่ีเปนไปไดท้ังหมด 5 3 1 9= + + = ชุด

แตการเลือก สมาชิก 3 จาก 7 ทําได 7! 7 6 5 35

3!4! 2 3× ×

= =×

วิธี

ดังน้ันความนาจะเปนท่ีจะเลือก สมาชิกของ A 3ตัวท่ีเรียงตามลําดับเลขคณิต935

= ตอบขอ 4.

ตอบ ขอ 4 กําหนดให $a$ เปนอายุเฉล่ียเบื้องตนท่ีกึ่งกลางช้ัน $31-35$ มีคา$=33$ และคํานวณอายุเฉล่ีย จากสูตร

[9( 2) 8( 1) 0 13(1) 6(2) 7(3)] 1 133 5 33 [ 18 8 0 13 12 21] 33 [20] 3550 10 10

X a ID − + − + + + += + = + = + − − + + + + = + =

ตอบขอ 1

จัดเรียงขอมูล กลุมท่ี 1: 3,5,6,6,6,7,7,8,9,10 จัดเรียงขอมูล กลุมท่ี 2: 1,5,6,6,7,7,8,9,12,15 กลุมท่ี 1:





13 5 6 3 7 2 8 9 10 67 6.7

10 10X + + × + × + + +

= = =

2 2 2 2 2 2 2 22 2

1 1

2

3 5 3 6 2 7 8 9 10 6.710

9 25 108 98 64 81 100 4856.7 44.89 3.61 1.910 10

ixS X

N+ + × + × + + +

= − = −

+ + + + + += − = − = =

∑

กลุมท่ี 2:

2

2 2 2 2 2 2 2 2 22 2

2 2

1 5 6(2) 7(2) 8 9 12 15 76 7.610 10

1 5 6 (2) 7 (2) 8 9 12 15 7.610

i

X

xS X

N

+ + + + + + += = =

+ + + + + + += − = −∑

เปรียบเทียบความแตกตางของความสามารถระหวางกลุมไดจาก 1 2

1 2

1.9 3.630.283 0.4786.7 7.6

S SX X

= = = = กลุม 2 แตกตางกันมากวา ดังน้ัน ขอ ก. ผิด

ช. สัมประสิทธิสวนเบีย่งเบนควอไทม 3 1

3 1

Q QQ Q

=−+

ตําแหนงของขอมูล1

1 (1 10) 2.754

Q = + = 33 (1 10) 8.254

Q = + =

ดังน้ันกลุม 1: 1 5 0.75 5.75Q = + = 3 8 (.25)(1) 8.25Q = + = และ 3 1

3

8.25 5.75 2.50 58.25 5.75 14.00 28

Q QQ Q

−+

−= = =

+

ดังน้ันกลุม 2: 1 5 0.75 5.75Q = + = 3 9 (.25)(3) 9.75Q = + = และ 3 1

3

9.75 5.75 49.75 5.75 14

Q QQ Q

−= =

+−+

ขอ ข ผิด

ดังน้ันผิดท้ัง ก.และ ข. ตอบขอ 4

1. ( ) , ( ) ( )

cb c b bca b c a a c b a a∗ ∗ = ∗ ∗ = = ผิด 2. ( ) ) ( ) , ( )b c bc bca b c a a a bc a∗ ∗ = = ∗ = ถูก

3. ( ) , ( ) ) ( )cb b c bca b c a a b c a a∗ ∗ = ∗ ∗ = = ผิด

4. ( ) ( ) , ( ) ( )c c ca b c a b a c b c a b+ ∗ = + ∗ + ∗ = + ผิด ตอบขอ 2





2 31 1 1 ... .

2 2 22 2 27 4 3 7 48, 2 2 4, 2 3 2 3 2 6 5 24a b b c c + + ++ = + = + = = → = = + → = + + = +

ดังน้ัน 1 1 1b c ab c a

< < → > > ตอบขอ 4.

ให คนชอบอานอยางเดียว k คน คนชอบอานสองอยาง l คน คนชอบอานสามอยาง m คน จะได k + l + m = 100 --- (1) k + 2l + 3m = 75+70+80=225 --- (2) 3(1) - (2) 2k + l = 75 คา m นอยสุด เมื่อ l มากสุด จะได k = 0, l = 75 นําไปแทนคาใน (1) ได m = 25 ตอบ 25 คน

ถาจะหา m มากสุด จาก 2k + l = 75 คา m มากสุด เม่ือ k มากสุด จะได k = 37, l = 1 นําไปแทนคาใน (1) ได m = 62

ให

5 2 3 2 2 3 24 ( 1) ( 4) ( 2 1)( 4)ax bx x ax bx cx x x ax bx cx+ + = − + + + = − + + + + 5 4 3 2

4

3

2

( 2 ) ( 2 ) ( 2 4) ( 8) 41. : 2 02. : 2 03. : 2 4 04. : 8 8

ax b a x a b c x b c x c xx b ax a b cx b cx c b c b

= + − + − + + − + + − +

− =

− + =

− + =− = → = +





แทนคา c ลงในสมการ 3.ได 2( 8) 4 0 12b b b− + + = → = − และจาก สมการ 1. จะได 12 6

2 2ba −

= = = −

ดังน้ัน 6 ( 12) 6a b− = − − − = ตองเปน 1-(-5)=6 ตอบ 6

3 cos5 sin5 sin85 cos5 12sin 702 cos5 cos85

3sin(5 85 ) 3 12sin 70 sin10 3 6[cos(70 10 ) cos(70 10 )]12sin 702cos5 sin5 sin10 sin10

+= −

+ − − − − +

= − = =

3 6cos60 6cos80 3 6(0.5) 6sin10 6sin10 sin10

− + − += = =

ตอบ 6

A จากโจทย หาคา cos ของผลบวกของมุม ได 2 2 2 2( 3) 1 1 3 1 3 1 1 3 0x x x x x x x x = − − − → − − + − =

ได 0x = เปนคําตอบคาหน่ึง คา x ท่ีเหลือคิดจาก

( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )( )

2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 4 2 2 2 4

3 1 1 3 1

3(1 ) 2 3 1 1 3 1 3 1

4 6 2 3 1 1 3 1

3(1 2 ) 2 3 1 1 3 9(1 4 4 ) 4 3 1 1 3 12(1 4 3 )

x x

x x x x

x x x

x x x x x x x x x

− − − = →

− − − − + − =

− − − − =

− = − − → − + = × − − = − + →

2 4 2 4 2 1 13 12 12 4 16 12 4 1 0 ,2 2

x x x x x x− + = − + → − = → = −/ / แตใชไดเฉพาะ 12

x = จากการแทนคาขางลางน้ี

1 1 3 1 2 5: cos cos cos 12 2 2 4 3 6 3

x arc arc arc π π π = − − = − + − → = + ไมเทากันจึงใชไมได

1 1 3 1: cos cos cos 12 2 2 4 3 6 6

x arc arc arc π π π = = + − → = + ดังน้ัน

10,2

A =

สวน B: จากสมการ จะหาคา cos ของผลบวกของมมุ ได 2 2 2 2 21 1 (1 ) (1 ) 2 1 1 (1 )x x x x x x x x x= − − − − − → − = − − − 2 2 2 2 2

2 3 4 2 2 2 3 32 2)(2 ) )(2 )

1 1 (1 ) (1 ) 2 1 1 (1 )

4 4 (4 4 ) (( 2 )1 2(1

x x x x x x x x x

x x x x x xx x x x x x x x xx x

= − − − − − → − = − − − →

− + = − − = − → − + = − − +− →/ /

2 10 (2 5 2) (2 1)( 2) 0, , 22

x x x x x x x= − + = − − → = เน่ืองจากคา cos มีคาไมมากวา 110,2

B → =

ดังน้ัน A B− =10,2

-10,2

=∅ ( ) { }P A B→ − = ∅ จะได ( ) 1nP A B− = หรือ 0( ) 2 1nP A B− = = ตอบ 1





3 2A I= ดังน้ัน

3 3 3| | | | | 2 | 2 | | 8A A I I= = = = และได | | 2A =

3 3 3

2 2 2

t

g h iB a b c

d fC

e

− − − − − −

=

เอา 1C−

คูณตลอดได 1 11

3 3 3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

t t

g h i g h iB a b c C B a b c C

d e fCC

d e f

− −−

− − − − − − − − − → − − −

= =

1

3 3 3[( 3)( 1)(2)] 4 6 | | 4 6 2 4 48

2 2 2

t

g h i a b cB B a b c C d e f A

d e f g h i

−

− − −= = − − − = − − × = × × = × × = ตอบ 48

ถากราฟท้ังสองตัดกัน น่ันคือมีคา x และ y เทากันท่ีจุด 4 จุดน้ัน ซ่ึงคา x เหลาน้ีก็เปนรากของผลตางของฟงกชันท้ังสอง เน่ืองจาก ( )f x เปนฟงกชันของ x กําลัง 5 แตกําหนดเพียง 4 จุด จึงตองสมมุติรากเพิ่มขึ้น 1 ราก ใหเปน ท่ี x k= ดังน้ันจะได

5 4 3 2 ( 1)( 1)( 2)( ) 3 2x ax bx cx dx e x x x x x k x+ + + + + = + − − − + + 2( 1)( 2)( )x x x x k= − − − + 3 2x +

ดังน้ัน 2(3) 3(3 1)(3 2)(3 ) 3(3) 2 3(8)(1)(3 ) 11 83 24f k k k= − − − + + = − + = −

2( 2) ( 2)[( 2) ]( 2 2)( 2 ) 3( 2) 2 ( 2)(3)( 4)( 2 ) 4 48 24 4 52 24f k k k k− = − − − − − − + − + = − − − − − = − − − = − − (3) ( 2) 135f f− − = ตอบ 135

ให 1 2,Z a bi Z c di= + = + จะได

ดังน้ัน

2 2 2 2 2 2 21 2

2 2 2 2 2 2 21 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2

21 2 1 2

| | | ( ) ( ) | ( 2 ) ( 2 ) 3 ........(1)

| | | ( ) ( ) | ( 2 ) ( 2 ) 1 ........(2)

(1) (2) | | | | 2( ) 9 1 ( | | |( ) | 5

Z Z a c b d i a c ac b d bdZ Z a c b d i a c ac b d bd

Z Z Z Z a c b d a b c d Z Z

+ = + + + = + + + + + =

= − + − = + +− − −

+ −

+ =

+ = + += + = + ++ + =+ → =+

ตอบ 5





ให Z a bi= + ดังน้ัน 2 22 3( ) 9 2a b a bi i+ + + = − จะได 3 9b = ดังน้ัน 3b =

และ 2 2 2 2 2 2

2

9) 9 12 45 12 32 0 (5 8

2 3 2 9 3 2 2 9 3 2 4()( 4) 0 4 4 3

a b a a a a a a aa

aa a a a z a bi i

+ = + +

→ + − = → − + = ∴ = − = +

+ + = + + = − → + −

= −

→

+

= −

2(1 )( 4 3 ) (2)(25)| | 102 5

i iBi

+ − += = =

+ B มีสมาชิกตัวเดียว ดังน้ันผลบวกของสมาชิกของ B=10 ตอบ 10

ผลบวก 2 พจนแรก : 2

1 1 1 1120 ( 1)1

ra a r a r ar−

= + = + =−

4 พจนแรก: 4

1( 1)651

a rr

−=

−

เอาสมการท้ังสองหารกันได 265 1

20r= + ดังน้ัน

2 65 20 920 4

r −= = จะได

32

r = แทนคา r จะได 120 8

1.5 1a = =

+

ดังน้ัน ผลบวก 6 พจนแรก 6 6

11 1.5 18 166.251 1.5 1

rar− −

= = =− −

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 11 1 ... 1

1 2 2 3 ( 1)n n n

+ + + + + + + + + +

22 2

2 21 1 1 11

( 1) ( 1) ( 1)n n n n

n n n n n n + + + +

+ + = = + + +

21 1 1 3 1 1 11 1 1 ( )1(1 1) 2 1 2 1 2

n + += → = = + = + −

+ ×

22 2 1 7 1 1 12 1 1 ( )2(2 1) 6 2 3 2 3

n + += → = = + = + −

+ ×

.

.

. 2 1 1... 1 ( )( 1) ( 1)

n n nn nn n n n+ +

= → = = + −+ +

2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 11 1 ... 1

1 2 2 3 ( 1)n n n

∴ + + + + + + + + + +

1 1(1 )( 1)

nn n n

= + − +





21 11

( 1)n n n= + −

+

ถา 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 11 1 ... 1 1

1 2 2 3 ( 1)n

n n n

= ∞ → + + + + + + + + + = +

ตอบ 1

1 1

2 2

2 2

2 2 4 4 8 8 2 21 2 3

2 2 4 4 8

2 2

2

8 2 2

4 4 4 8 8 2 2

2

2

8 8 8 2 2

2 2

4

8

(5 5 )(5 5 )(5 5 )...(5 5 )

( )(5 5 )(5 5 )(5 5 )...(5 5 )

(5 5 )(5 5

5 5

)(

...

)

5 5 )...(5 5 )

(5 5 )(5 5 )...(5 5 )

(5 5

5 5

5 5

5 5

5

n n

n n

n n

n n

n n

na a a a

+ +

− − − −

− − − −

− − − −

− − −

−

−

−

−

−

= + + + +

−

−

− + + + +=

+ + +=

+ + +=

−

−

−=

=−

( )( )

( )( )

( )( )

( 1) ( 1) 1 ( 2)

1 1 1 ( 2

2(22 2 2 21

2 2 2 2 2

)

) (21 2 3

2

) )

)

2

2 22 2 2 2

2(2

12(2

1 2 3

1

1 2 3

)

2

1 )) )... 1 1

1 )

... 1

1 0.

5 (5

5(5 5 )( 55 5 5 5

..

5 (1 5 )(5 5 5 5 5

5 (lim

5

(l

5

im

5

nn n n n

n n n n n

n

n

n

n

nn

n

nn

n

aa a a a

aa a a a

aa a a a

+ + + +

+ + + +

−− −+

− − −

−

+−→∞

+

→

−

−−

∞

−

−

−− ++ +−

−

−

= = =

=

=

− −

+

−

+

( )2 2

25 0.04 24.95

05

6)

1

−

− =−

=−

ตอบ 24.96

ให g(x)= 3 2ax bx cx d+ + +

g(f(x)) = 3 2(2 3) (2 3) (2 3)a x b x c x d+ + + + + + = 3 28 44 80 48x x x+ + + เทียบสัมประสิทธิ์ ได a=1 b=2 c=2 d=-3 g(x)= 3 22 2 3x x x+ + − ดังน้ัน ( ( ))f g x = 3 22( 2 2 3) 3x x x+ + − + = 2 ( ) 3g x − น่ันคือ $f(x)=2x-3$ $f(

6

0( ( ))f g x dx∫ =

6 3 2

0(2 4 4 3)x x x dx+ + −∫ = 990 ตอบ 990





2( )( ) 2( )(1 ) 6 10 17fog x fog x x x+ − = − + ….. (1) 22( )( ) ( )(1 ) 6 2 13fog x fog x x x+ − = − + …... (2)

24( )( ) 2( )(1 ) 12 4 26fog x fog x x x+ − = − + ... (3) (2) 2×

ได

2

2 2

3( ( )) 6 6 9 (3) (1)( ) 2 2 3 2( 3) 3 2 ( ) 3

( ) 2 3 (383) 2(383) 3 763

fog x x xfog x x x x x g xf x x f

= + + −

= + + = + + − = −= − → = − =

จาก 21, , 2 1 2cosxcotx cosecx cos x sin x

sinx sinx= = = − จะไดวา

3 2 3 3

2 5( 1)( )1 2 2 (2 2 )cot x cosec x cos x sin x

cos x sin x sin x cos x− −

=+ −

พยายามกําจัดเทอมท่ีทําใหเกิด 00

โดย 2 22cos x cos x sin x= −

3 2 3 3

2 5 2 2( 1)( )1 2 2 (2)( )cot x cosec x cos x sin x

cos x sin x sin x cos x sin x− −

=+ − −

2 2

5( )( )

(2)( )( )cosx sinx cos x cosxsinx sin x

sin x cosx sinx cosx sinx− + +

=− +

2 2

5( )

(2)( )cos x cosxsinx sin x

sin x cosx sinx+ +

=+ 5

(1 )2 ( )

cosxsinxsin x cosx sinx

+=

+แทน 45ox = = 2.5 0.5

1 0.5 32(2 )2−

+= ตอบ 3





คิดแบงเปน 3 กรณ ีโดยมีวิธีลัดในการคิด เหมือนการแบงของท่ีเหมือนกัน โดยแตละช้ินแทนดวย O และไมกั้นแบง 2 อัน แตละอันแทนดวย | กรณ ี 0a = , ได 4a b c+ + = คิดเหมือนการ จัดเรยีง ไมกัน 2 อัน ซ่ึงกั้นแถวของ 4 ช้ิน เปน 3 สวน เชน 00|0|0 เปนการแบง a,b,c เปน 2,1,1 จะจัดเรียง ของ 2 ประเภทน้ีได

จํานวนวิธีในการแบงของระหวาง 4 ช้ิน ระหวาง b,c,d = 6! 15

2!4!= วิธี

กรณ ี 1a = , ได 2a b c+ + = แบงของ 2 ช้ินได=4! 6

2!2!= วิธี

กรณ ี 2a = , ได 0a b c+ + = แบงของ 0 ช้ินได= 1 วิธี รวมจํานวนสมาชิก ของ S ซ่ึงคือคูอันดับตางๆกันของ (a,b,c,d) = 15+6+1=22 ตอบ 22

เรียงตัวเลขยกเวน x ได 3,3,3,5,6,11 เน่ืองจากม ี3 ถึง 3 ตัว ดังน้ันไมวาคา x จะเปนเทาใดฐานนิยมก็จะมีคาเปน 3 ขอมูลชุดน้ีมี 7 ตัว มัธยฐานจะอยูตําแหนงท่ี 4

ถา 4x = 3 3 3 5 6 11 31 3 3 3 4 5 6 11 5

7 7 7x xx + + + + + + + + + + + + +

= = = = ok เรียงกันเปน 3,4,5 เปนลําดับเลชคณิต

ถา 316

7xx +

= = จะได 42 31 11x = − = ฐานนิยม.มัธยฐาน, เฉล่ีย=3,5,6 ไมเปนลําดับเลขคณิต

ถา 317

7xx +

= = จะได 49 31 18x = − = ฐานนิยม.มัธยฐาน, เฉล่ีย=3,5,7 เปนลําดับเลขคณิต ดังน้ัน S={4,18} 4+18=22 ตอบ

5

( ) 103

n S

=

= วิธีหยิบท่ีจะไมได ก หรือ ข เลย 3

13 =

วิธีหยิบท่ีจะได ก หรือ ข 10 1 9= − = ดังน้ันคําตอบคือ 9( )

10P E = ตอบ





44. คะแนนสูงสุดของเกรด C ตรงกับตะแนน ของนักเรียนท่ีไดคะแนนเปน Percentile 70 คิดเปนลําดับท่ี 0.70 30 21× =

ลําดับท่ี 1-17 มีชวงคะแนน 10-39 ลําดับท่ี 18-27 มีชวงคะแนน 40-49 ดังน้ันลําดับท่ี 21 คิดเปนคะแนน 21 1739.5 (49 39) 43.527 17

−= + × − =

−

45.จากโจทย 13

sx=

3xs→ = เกรดA มี 10%= 3 คน มีชวงคะแนน 50-59 ดังน้ัน เกรดฺ B จะมีคะแนนสูงสุด= 49.5 คิดเปนคา $Z=1.5$

ดังน้ัน จากสูตร 49.5 1.5 (3)(49.5 ) 1.5

3

x x x x xxs− −

= = → − = 3(49.5) 33

4.5x→ = = ตอบ

กรณีแรก นาย ก และ นส ข ไมไดอยูในแถวเดียวกัน

แถวนาย ก จะเลือกคนมาได 2 จาก 4 คน ได 42

4 3 62

×= =

วิธี

วิธี และจัดเรียงภายในแถว ได 3!= 6 วิธี รวม 6 6 36= × = วิธี อีกแถวจะจัดเรียงได 3!= 6 วิธี ดังน้ัน กรณแีรก จะได จํานวนวิธี จัดแถวท่ีมีนายก x จํานวนวิธีจัดแถวท่ีไมมีนาย ก x 2!(สลับแถว)= 36 6 2 432× × = วิธี กรณีที่สอง นาย ก. และ นส ข. อยูในแถวเดียวกัน แตไมติดกัน ตองเลือกคนอ่ืนมาอีก 1 คนจาก 4 คน ได 4 วิธี สลับหัวทายท่ีนาย ก และ นส ข.อยูได 2 วิธี รวม 4 2 8× = วิธ ีอีกแถวหน่ึง จัดเรียงได 3!=6 วิธี รวมจํานวนวิธีจัด 2 แถวน้ี และทําการสลับแถวดวย 8 6 2 96= × × = วิธี รวมท้ังสองกรณี จํานวนวิธใีนการจัดแถว= 432 96 528+ = วิธ ี ตอบ 528

ใชการลบกันระหวางคูสองคูเพ่ือใหเศษ r หักลางกันไป แลวเอาผลลบตัวนอยหารผลลบตัวมาก แลวใชเศษซึง่ลวนหารดวย d ลงตัวหารผลท่ี

สูงกวาในลําดับถัดไปจนไมเหลือเศษอีก ตัวหารสุดทายน้ีก็คือ d น่ันเอง





1417-1059=358, 2312-1417=895, 895/358=2 179/358, 358/179=2 ไมมีเศษ ฉน้ัน d=179

1059/179=5 164/179 ฉน้ัน เศษ r=164 d+r=179+164=343 ตอบ

แทนคาลงไปท้ังสองจุด

5 1= − − +a b ......(1)

5 2= − −c d .......(2)

3 7= − − +a b .......(3)

3 8= − −c d ........(4)

(3)-(1) 2 1 7− = − − −a a .......(5)

(4)-(2) 2 8 2− = − − −c c .......(6) เมื่อ 7a จะไดวาไมเหลือพจน a เมื่อ 1 7< <a จะไดวา 2 (1 ) (7 )− = − − − −a a

3=a เมื่อ 1> a จะไดวาไมเหลือพจน a เมื่อ 8c จะไดวาไมเหลือพจน a เมื่อ 2 8< <c จะไดวา 2 (8 ) (2 )− = − + −c c 2 12 6= → =c c เมื่อ 2 > c จะไดวาไมเหลือพจน c แทนคา a ใน (1) ได 7=b แทนคา a ใน (3) ได 7=b แทนคา c ใน (2) ได 1= −d แทนคา c ใน (4) ได 1= −d

3 7 6 1 15+ + + = + + − =a b c d วิธีท่ี 2 วิธีลัด เน่ืองจากสมการเสนตรงมีความชัน = ±1 ตามรูป ระยะระหวางจุดในแนวนอน = ระยะในแนวด่ิง

ระยะระหวางจุด , : 8 (1 ) 3 10B C a b a b− + = − → + = ระหวางจุด B,D: 8 3 5c d c d− = + → + = ฉะน้ัน ( ) ( ) 10 5 15a b c d+ + + = + = ตอบ 15

จากโจทยจะได 10 10(2 ) 21ab a b b b b= + = + = 10 10 2 12ba b a b b b= + = + =

และ (310)( ) 465( ) 310(21 ) 465(12 ) 6510 5580 930 2790ab ba b b b b b− = − = − = = ดังน้ัน 2790 3930

b = =

แลว 2 3 3(3) 9a b b b b+ = + = = = ตอบ 9





3 2 4a c− = หรือ

3 24a c− = ได 2, 2a c= = 1คู 22 7b d− = หรือ

22 7b d− = ได 3, 1b d= = 4, 3b d= = 5, 5b d= = 3คู 3 2 1e f− = − หรือ

3 21e f+ = ได 0, 1e f= = 2, 3e f= = 2คู ดังน้ันตามเงื่อนไขท้ังสาม จํานวนสมาชิก n(S)=(1)(3)(2)=6 ตอบ 6



pat1 group 1 20 - wordpress.com€¦ · pat1 มีนาคม 2555...

Documents