passer à la première page initiation au calcul des structures dans le domaine plastique elasto -...

Passer à la première page

Initiation au calcul des structures

dans le domaine plastique

Elasto - plasticitéen petite

transformation

Cours


Objectifs

• Introduction à la plasticité « classique »

• Aborder la résolution de problème non linéaire

• Utiliser un code de calcul en non linéaire


Plan

• Aspect physique - modèles analogiques

• Elasto-plasticité des barres (1D)

étude des treillis

• Elasto-plasticité des poutres (3D ==> 1D)

étude des portiques (rotule

plastique)

• Critères 3D & règles d ’écoulement plastique


Supports :

• Polycopié de cours• Sur le site intranet de l ’école

• Cours,• Exercices, projets• Doc d’utilisation et tutorials des logiciels

• ALGOR•CASTEM

Evaluation :

• 2 notes :• TD - TA sur 10• Projet sur 10


Aspects physiques

Déformations

Elastiques (instantanées - réversibles)

E

Visqueuses (fct du temps)

Plastiques (irréversibles - non linéaire)

S


les Essais

Ecrouissage A

B

t

imposé A

B

mesuré

Fluage - recouvrance

A

t

A

t

imposé

mesuré

A

t

B

Relaxation

mesuré

A

t

B

imposé


Modèles rhéologiques

Modèles « linéaires » ==> solides visco - élastiques

R essor t :E

E

A mor t isseur :

M od èle d e M ax we ll : 11

E

M od èle d e K elvin- V oigt : E

Le ressort ou de l ’amortisseur peuvent être non linéaire


Modèles non linéairesAnalogie mécanique Modèles de comportement Essai d’écrouissage

S Rigide Plastique Parf aitRPP

S

plastique

Élasto-Plast ique Parf aitEPP

S

p e

Rigide Plastique avec ÉcrouissageRPE

S

E 1

E 2

Élasto-Plast ique avec ÉcrouissageEPE

S E 2

E 1 E 2+

Modèles de base de la plasticité


Ecrouissage monotone

Essai de traction

o

Impossible à mesurer ==> Norme

e (A)p(A)

A

Cycles charges- décharges //

oSF F

o

observation

Domaine élastique


B

oA

C

O O'

Ce n ’est pas si simple !!

1er passage

2ème passage

Il faut connaître l ’historique du chargement

Caractère incrémental des lois de comportement en plasticité

On utilise un temps cinématique = temps réel/


Ecrouissage

Ecrouissage monotone

Ecrouissage ISOTROPE

Même augmentation en traction et compression

Wdef élastique

Ecrouissage CINEMATIQUE

Effet Baushingerdurcissement dans un sens

adoucissement dans l ’autre

o


Critère

0 : ; )(),( EE sf

E

ET

Modélisation

s(E)

Etat actuel (

Etat présumé

Etat réel

Loi d ’écoulement plastique

ep

1 E

e) )((

1E

HSp

)1( /E

EE T

TH

p


Evolution élasto-plastique des Treillis

Résolution Explicite• Analytique (RDM)• par la MEF

• Modèles EPP et EPE• Chargements cycliques

Résolution Numérique (MEF)• Algorithmes de résolution des Pb non linéaire

• Newton-Raphson et N-R modifié• Algorithme de projection sur le critère

• Calcul du résidus {Fint}-{Fext}


Application

h

Effort donné

x o

y o

Structure à étudier

o

O

Modèle EPP (pas d ’écrouissage)


oS

oS N1

N2

Domaine d ’élasticité

3

C

D

4

2 B

1

A

2N3N

1N

F

12

13

2 NFN

NN

SF o2

21 1

SN o2

12 2 NN 1 Phase élastique

En A :

SN o2

2 Phase élasto-plastique

En B ruine de la structure

SF o )21(2

On ne peut pas calculer directement les déformations plastiques de la barre 2

E5

5 Phase élasto-plastique en compression

En E ruine de la structure12 2 NN

3 Décharge élastique

En C (F = 0)

// à 1

Contraintes résiduelles :

SN

SN

o

o

)21(

21

1

2

1

1231

22

0

0pp

pp

p

Les déformations plastiques ne vérifient pas les conditions de compatibilité

4 En D (F = - oS)

Il y a plastification de la barre 2 en compression

6

C'

A'6 Phase élastique

7

7 Phase élasto-plastique

Le domaine d'élasticité n'est pas modifié au cours du chargement car le matériau est EPP


N1

N2

Ecrouissage ISOTROPE


N1

N2

Ecrouissage CINEMATIQUE


Résolution numériquePrincipe

Incrément de charge donné F

FKU 1 Calcul élastique ==>

Pour chaque élément ee uB e

Élastique ou non ? ALGORITHME DE PROJECTION ==>

jNiN ei j

j

ieint N

NF

==>

Assemblage et calcul du résidu {R} = {Fext}-{Fint}

Si R RKU 1Il faut itérer


Algorithme de résolution

FSolution cherchée

U

F

F = K(u) U

•Maillage éléments finis

•Définition de l ’historique du chargement (incréments F)

•Définition des lois de comportement o ,E ,ET

•Calcul de [K]

Pour chaque incrément {F}

Initialisation du résidu {R} <== {F}

Tant que || {R} || >

Calcul de {U} = [K]-1 {R}

Pour chaque élément

déformation ==> projection {Fint}e

fin pour

Nouveau résidu {R} = {R} - {Fint}

fin tant que

Impression des résultats de l ’incrément

fin pour

Convergence lente

{R} Convergence la plus rapide

Calcul de [K(u)]


PROJECTION sur le critère de plasticité

si +e > s(E) élément en cours de plastification

e

Es

dR

)(

1

eEtat réel

p e

Projection sur le critère

)1(E

ETp R

ep EE RR T )1(

Etat présumé

/)( ij uu

Ee

)1(E

ETp R

ep EE RR T )1(

Cas particulier = s(E) incrément plastique

1Rs(E)

E

ET

Etat actuel (si non +e < s(E) incrément élastique

0R


A vous de jouer ...


Plasticité des poutresRappels

x,f

x,

MT

fTvS

Equations « PFD » 3

Hypothèses de Bernoulli

0

v

vy

ux,

bo

)t,M(

2 x,xx vy

xxxx E 1 2

2 x,f vEIM

xx

y

xx+

x

y

SectionDiagramme

des contraintes

4

L.C. Elastique

Intégrée sur la section

4 équations pour 4 champs ==> résolution

En plasticité ce qui change c ’est la LC intégrée on pose xx,

f

v~M~


Section

Zoneélastique

Zonesplastiques

Diagramme des contraintes

xx

y

o

hc

c-

h-

- o

o~~ Pour

Objectif : obtenir la LC élasto-plastique )~(f~

ooohy

xx h

I~~I

y

Début de plastification des fibres pour

~

~

1~

0~

o~

)c(Z)h(Z

c

)c(I~o

)h(Z~o 1

LC élasto-plastique

~Ec o

MMEssai de flexion pure ==> Mf = cte


2h

b

R

b

2hR

e << R

hSS'

o

o

~ 2

6

1hb 3

4R

2 3

2hb 2 Re )

6 '(

SSh

o1~

2 3

1hb 3

3

4R 2 hb 2 4 Re )

4 '(

SSh

o~

~1 2 7,1

3

16

1,5 27,1

4

)(212

)(312

'

'

SS

SS

Facteur de forme plastique d ’une section I

)h(Zh~

~

o

1

Représente la réserve vis à vis de la plastification totale : 1 pas de réserve


Essai de flexion simpleF

~fM

x2

4F

Phase élastique oFF Phase élasto-plastique

1FFFo Fin de plastification

1FF

~

x2

o~~

x2

o~

a

~

x2

o~

a

1~

2

2

2

Négligeons T et utilisons la LC )~(f~ ==>

oo

~F

4

1

14~

F


Etude de ~ ~

x2

1FF

a

1FFFo

oFF

3

Comportement asymptotique ==> notion de rotule plastique

Modèle simplifié - rotule plastique ~

~

1~

0~

o~

Modèle simplifié

LC élasto-plastiqueApplication

Etude des portiquescharges limites


Effort donné F

x o

y o BCA

2/ 2/

F

A

ARAM BR

B

Phase élastique

0 2

0

AA

BA

RFM

FRR

FRR

WB

B 16

5 0

FM

FR

A

A

16

316

11

==>

~

x

M A

2/

M C

critère1~M f ==> Rotule plastique en A pour

1

1 3

16 ~F

Phase élasto-plastique

F

A

AR BR

AB

1~

2

2

1

1

F~R

F~R

B

A

==> 1

21 6 ~

F~MC

F2 charge de ruine

critère


A vous de jouer ...


Plasticité 3DCritère (fonction de charge)

0)E,(f État actuel est intérieur au domaine d ’élasticité

0)E,(f État actuel se situe sur la frontière du domaine (état plastique)

Un état extérieur au domaine d’élasticité est physiquement impossible à obtenirLe domaine d’élasticité représente l’ensemble des états admissibles.

1

2

Domaine initial

Domaine actuel

of

)(Ef

O

A

B

Modèle EPE

1

2Domaine initial

Domaine actuel

O

A

B

of )(Ef

Modèle EPP

Ecrouissage « E »

)E,(f Doit respecter les symétries matérielles


Critère de Von Mises (1910)

1 3

1 )(trd

DeP

P

P

P

Pour les métaux

Partie sphérique

==> utilisation du déviateur des

2 k:)(f ddo

Fonction de charge

==> essai de traction : ok 3

2

0 - ; s2

3 dd : {

VM Contrainte de Von Mises

222

2

1133221 VM

1

2

1,1,1

) (of

3


Critère de Tresca (1870)

0 - 1,3ji, ; s ji

Contraintes principales

jiij

T max T Contrainte de Tresca

2 31321 )(si max Critère dit de cisaillement maximal

0 - 2 s max

1

2

1,1,1

) (of

3

1 2

3Von Mises

Tresca

Tresca plus sévère de 13%


Loi d ’écoulement plastique

Principe de Hill pp d:*D* élastictéd' Domaine

pp d:dD Dissipation plastique dpd associée à==> De est convexe

dp est normal à la surface de charge

pd

Point singulier,la direction de la déformationplastique appartient à un cône

),( Ef

pd

)f(gradf

d )E,()E,(

p

n

i

iip )f(gradd1

Loi de normalité

2 k:)(f ddo Von Mises

dpd d)f(grad 2 ==> ==>


Principe de la résolution numérique

dFdUK )u( dUSoit la solution de

dUBDd e Pour chaque élément Aux points de Gauss

ed La sol. Supposée élastique

0)E,(f Si OK

Solution supposéeélastique

),( Ef

),( E

Solution numérique

n

B

schéma numérique

Solution supposéeélastique

),( Ef

ed

d),( E

Solution cherchée

Etat actuel, avantincrément de charge

Schéma idéal

Si non il faut projeter sur De

passer à la première page initiation au calcul des structures dans le domaine plastique elasto -...

Documents