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PARTE I

FUNDAMENTOS DE LA MODELACIÓN DE LOS SISTEMAS CONTINUOS.

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1. MÉTODO SISTEMÁTICO PARA LA FORMULACIÓN DE LOS MODELOS

La técnica general que se utiliza para realizar la predicción es la modelación, la

cual consiste en construir modelos con los cuales se predice el comportamiento

del sistema que interesa [66].

1.1 Los Modelos

Un modelo de un sistema es un sustituto de cuyo comportamiento es posible

derivar el correspondiente al sistema original. Los modelos matemáticos, en la

actualidad, son los utilizados con mayor frecuencia y también los más versátiles.

En las aplicaciones específicas están constituidos por programas de cómputo cuya

aplicación y adaptación a cambios de las propiedades de los sistemas es

relativamente fácil. También, sus bases y las metodologías que utilizan son de

gran generalidad, por lo que es posible construirlos para situaciones y sistemas

muy diversos.

Los modelos matemáticos son entes en los que se integran los conocimientos

científicos y tecnológicos y con ellos se construyen programas de cómputo que se

implementan con medios computacionales. Hoy en día, la simulación numérica

permite estudiar sistemas complejos y fenómenos naturales que sería muy

costoso, peligroso o incluso imposible estudiar por experimentación directa. En

esta perspectiva la significación de los modelos matemáticos en Ciencias e

Ingeniería es clara, porque la modelación matemática constituye el método más

efectivo de predecir el comportamiento de los diversos sistemas de interés. En

nuestro país, ellos son usados ampliamente en la industria petrolera, en las

ciencias y la ingeniería del agua, en la industria automotriz y en muchas otras.

En este curso, estudiaremos las bases de la modelación matemática y

computacional de los sistemas físicos macroscópicos utilizando su formulación

axiomática [1-17]. Una gran parte de los sistemas de la ingeniería y tecnología son

de esta clase. La física macroscópica incluye, por ejemplo, las estructuras de la

Ingeniería Civil, los suelos, los problemas de la Hidrología, tanto superficial como

subterránea, la mecánica de los yacimientos petroleros, la propagación de las

3

ondas sísmicas (cuyo estudio es básico, entre otros temas, en Sismología e

Ingeniería Sísmica, así como en la exploración del petróleo y otros recursos

naturales), la dinámica de los océanos y de la atmósfera, etc.

1.2 Física Microscópica y Física Macroscópica

La materia, cuando se le observa en el ámbito ultramicroscópico, está formada por

moléculas y átomos. Estos a su vez, por partículas aún más pequeñas como los

protones, neutrones y electrones. La predicción del comportamiento de estas

partículas es el objeto de estudio de la mecánica cuántica y la física nuclear. Sin

embargo, cuando deseamos predecir el comportamiento de sistemas tan grandes

como la atmósfera o un yacimiento petrolero, los cuales están formados por un

número extraordinariamente grande de moléculas y átomos, su estudio resulta

inaccesible con esos métodos y en cambio el enfoque macroscópico es apropiado.

Por eso en lo que sigue distinguiremos dos enfoques para el estudio de la materia

y su movimiento. El primero -el de las moléculas, los átomos y las partículas

elementales- es el enfoque microscópico y el segundo es el enfoque

macroscópico. Al estudio de la materia con el enfoque macroscópico, se le llama

Física Macroscópica y sus bases teóricas las proporciona la Mecánica de los

Medios Continuos [1-17].

Cuando se estudia la materia con este último enfoque, se considera que los

cuerpos llenan el espacio que ocupan, es decir que no tienen huecos, que es la

forma en que los vemos sin el auxilio de un microscopio. Por ejemplo, el agua

llena todo el espacio del recipiente donde está contenida; nuestro escritorio de

trabajo es un continuo de materia perfectamente delimitado. Este enfoque

macroscópico está presente en la física clásica. La ciencia ha avanzado y ahora

sabemos que la materia está llena de huecos, que nuestros sentidos no perciben y

que la energía también está cuantizada. A pesar de que estos dos enfoques para

el análisis de los sistemas físicos, el microscópico y el macroscópico, parecen a

primera vista conceptualmente contradictorios, ambos son no tan sólo compatibles

sino además complementarios, y es posible establecer la relación entre ellos

utilizando a la Mecánica Estadística. La Teoría de los Sistemas Macroscópicos es

4

aplicable no solamente a sistemas físicos, sino también a sistemas químicos y a

algunos sistemas formados por seres vivos. Así, utilizándola en algunos casos es

posible predecir el movimiento y evolución de poblaciones formadas por seres

vivos microscópicos. Para ello, se ignora a los individuos microscópicos y se les

considera distribuidos en todo el espacio de estudio.

Muchos sistemas de la Ciencia, la Ingeniería y las Ciencias Aplicadas se estudian

con la Mecánica de los Medios Continuos. Entre los sistemas que requieren de la

aplicación de la Teoría del Continuo para realizar la predicción de su

comportamiento, están las estructuras, los suelos, las cimentaciones, y la corteza

y el interior profundo de la Tierra; el flujo sanguíneo, el sistema mecánico de los

huesos, los depósitos de recursos naturales como el petróleo o el agua

subterránea, la atmósfera y el estado del tiempo. Intentar, por ejemplo, predecir el

estado del tiempo simulando cada una de las partículas de la atmósfera es una

tarea monumental completamente imposible de realizar, por ahora y en el futuro

previsible, a pesar de los grandes recursos computacionales a nuestro alcance.

Por otra parte, el avance en el ámbito mundial de la Modelación Matemática y

Computacional ha permitido tratar con estos métodos una diversidad cada vez

más amplia de sistemas, incluyendo muchos biológicos. Presentar esta gran

diversidad en forma unificada permite un gran ahorro de esfuerzo en el proceso de

enseñanza-aprendizaje y, debido a que la formulación unificada contiene muchas

situaciones no previstas, proporciona un valiosísimo instrumento para la

investigación. Muchos de los desarrollos originales de la formulación axiomática

son casi inaccesibles para la comunidad no matemática, pero se han realizado

diversos esfuerzos para poner dicha formulación en términos de más fácil

comprensión. En particular, la presentación contenida en la referencia [8] destaca

por su sencillez y la que se da a continuación es muy similar a ella, excepto por el

hecho de que utilizaremos las ‘propiedades intensivas’ por unidad de volumen, en

lugar de por unidad de masa. Como se verá, esto proporciona ventajas

significativas en el desarrollo y las aplicaciones de la teoría.

1.3.- Cinemática de los sistemas continuos

5

En la Teoría de los Sistemas Continuos, ‘los cuerpos llenan todo el espacio que

ocupan’; y en cada punto del espacio físico hay una y solamente una partícula. Un

cuerpo es un conjunto de partículas, que denotaremos por B , el cual en cualquier

instante dado ocupa un dominio -en el sentido matemático, [18]-, del espacio

físico; es decir, del espacio Euclidiano tridimensional. Denotaremos por ( )B t al

dominio ocupado por el cuerpo B , en el tiempo t . En general, t puede ser

cualquier número real; es decir t− ∞ < < ∞ , pero en cada caso de estudio hay un

intervalo finito de tiempo en el cual se centra el interés. Dado un cuerpo B , todo

subdominio BB ⊂~ , constituye a su vez otro cuerpo; en tal caso, se dice que

BB ⊂~ es un subcuerpo de B . De acuerdo con lo mencionado antes, una hipótesis

básica de la teoría de los sistemas continuos es que en cualquier tiempo,

( , )t∈ −∞ ∞ , y en cada punto, )(tBx∈ , de la región ocupada por el cuerpo, hay una

y sólo una partícula del cuerpo B . Como nuestro estudio incluye no solamente la

estática (es decir, los cuerpos en reposo), sino también la dinámica (es decir, los

cuerpos en movimiento), un primer problema de la cinemática de los sistemas

continuos consiste en establecer un procedimiento para identificar a las partículas

cuando están en movimiento.

Sea X una partícula y ( ),p X t el vector de posición en el espacio físico de dicha

partícula en el tiempo t . Una forma, aunque no la única, de identificar a la

partícula, X , es asociándole la posición que ocupa en un instante determinado.

Tomaremos en particular el tiempo 0t = . En tal caso

( ),0p X X≡ (1.1)

A las coordenadas del vector ( )1 2 3, ,X X X X≡ , se les llama las coordenadas

materiales de la partícula. En este caso, las coordenadas materiales de una

partícula son las coordenadas del punto del espacio físico que ocupaba la

partícula en el tiempo inicial, 0t = . Desde luego, el tiempo inicial puede ser

cualquier otro, si así se desea. Sea B el dominio ocupado por un cuerpo en el

tiempo inicial, entonces X ∈B si y solamente si la partícula X pertenece al

cuerpo. Es decir, el dominio B caracteriza al cuerpo. Sin embargo, debido al

6

movimiento, la región ocupada por el mismo, ( )B t , cambia con el tiempo (ver

Figura 1). Formalmente, para cualquier ( , )t∈ −∞ ∞ , ( )B t se define por

( ) 3( ) ,B t x R X x p X t≡ ∈ ∃ ∈ ∋ =B (1.2)

El vector de posición, ( , )X tp , es función del vector (tridimensional) X y del

tiempo t . Si fijamos t , ( , )X tp define una transformación del espacio Euclideano

3R en sí mismo y la ecuación (1.2) es equivalente a ( ) (B, )B t tp= . Una notación

utilizada para representar esta familia de mapeos es ( , )tp i . De acuerdo a la

hipótesis de

B B(t)

t

x

Coordenadas materiales

tiempo incial

X

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B B(t)

t

x

tiempo incial

X

( ),p X t

( )1,p x t

−

8

los sistemas continuos: En cualquier tiempo ( , )t∈ −∞ ∞ y en cada punto )(tBx∈

de la región ocupada por el cuerpo hay una, y solo una, partícula del cuerpo B

para cada t fijo. Es decir, ( , )tp i es un mapeo biunívoco, por lo que existe el

mapeo inverso ( )1, tp−i . Ver Figura 2.

Si se fija la partícula, X , en la función ( , )X tp y se varía el tiempo t , se obtiene su

trayectoria. Esto permite obtener la velocidad de cualquier partícula, la cual es un

concepto central en la descripción del movimiento. Ella se define como la derivada

con respecto al tiempo de la posición cuando la partícula se mantiene fija. Es

decir, es la derivada parcial con respecto al tiempo de la función de posición,

( , )X tp . Por lo mismo, la velocidad como función de las coordenadas materiales

de las partículas, está dada por

( , ) ( , );p

V X t X tt

∂≡

∂ (1.3)

1.4.- Propiedades intensivas y sus representaciones

En lo que sigue estudiaremos funciones definidas, para cada tiempo, en cada una

de las partículas de un sistema continuo. Hay dos formas de representar a tales

funciones. En una de ellas, llamada representación Lagrangeana, se da el valor de

la funcion en la partícula X y en el tiempo t ; se usará la notación ),( tXφ para

esta representación. Esa misma función puede también representarse por medio

de la función ( ),x tψ , donde ( ),x tψ da el valor de la propiedad intensiva en la

partícula que ocupa la posición x en el tiempo t . A esta ultima forma se le llama

representación Eulereana. A cualquier función de esta clase, cuando la

representación Eulereana es integrable para todo tiempo, se le llamará ‘propiedad

intensiva’.

Las propiedades intensivas pueden ser funciones escalares o funciones

vectoriales. Por ejemplo, la velocidad definida por la Ec.(1.3) es una función

vectorial que depende de la partícula X y del tiempo t ; por lo mismo, ahí la

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función ( , )V X t proporciona la represnteación Lagrangeana de la velocidad, la cual

toma valores vectoriales. Note que una propiedad intensiva vectorial es

equivalente tres escalares, correspondientes a cada una de sus tres componentes.

Los nombres de estas representaciones son en honor a los matemáticos Leonard

Euler (1707-1783) y Joseph Louis Lagrange (1736-1813), respectivamente.

Frecuentemente, el punto de vista Lagrangeano es ampliamente utilizado en el

estudio de los sólidos, mientras que el Eulereano se usa más en el estudio de los

fluidos.

Una condición necesaria y suficiente para que las funciones ( , )X tφ y ( ( , ), )p X t tψ

representen a la misma propiedad intensiva es que ellas satisfagan la siguiente

ecuación:

( , ) ( ( , ), );X t p X t tφ ψ≡ (1.4)

Note que en general dos funciones ( , )X tφ y ( , )x tψ que satisfacen la Ec.(1.4) no

son idénticas. Sus argumentos X y x son vectores tridimensionales (es decir,

puntos de 3R ), pero si tomamos x X= generalmente

( ) ( ), ,X t X tφ ψ≠ (1.5)

Por otra parte, Ec.(1.4) implica

1

( , ) ( ( , ), );x t p x t tψ φ−

≡ (1.6)

Es fácil ver que las Ecs.(1.4) y (1.6) son equivalentes. Envista de las Ecs. (1.4) y

(1.6), la representación Lagrangeana de la velocidad, dada por la Ec.(1.3),

satisface

( ), ( , ) ( ( , ), )pX t V X t p X t t

t

∂= ≡

∂v (1.7)

Además,

1

( , ) ( ( , ), );x t V p x t t−

≡v (1.8)

donde la notación ( , )x tv se adopta para la representación Eulereana de la

elocidad.

10

La derivada parcial con respecto al tiempo de la representación Lagrangeana

( , )X tφ , de una propiedad intensiva, de acuerdo a la definición de la derivada

parcial de una función, es la tasa de cambio con respecto al tiempo que ocurre en

una partícula fija. Es decir, si nos montamos en una partícula y medimos a la

propiedad intensiva y luego los valores así obtenidos los derivamos con respecto

al tiempo, el resultado final es ( , ) /X t tφ∂ ∂ . En cambio, si ( , )x tψ es la

representación Eulereana de esa misma propiedad, entonces ( , ) /x t tψ∂ ∂ es

simplemente tasa de cambio con respecto al tiempo que ocurre en un punto fijo en

el espacio. Tiene interés evaluar la tasa de cambio con respecto al tiempo que

ocurre en una partícula fija, cuando se usa la representación Eulereana. Derivando

con respecto al tiempo a la identidad de la Ec.(1.4) y aplicando la regla de la

cadena, se obtiene

( )3

1

( , )( ( , ), ) ( ( , ), ) ,i

i i

pX tp X t t p X t t X t

t t x t

φ ψ ψ

=

∂∂ ∂ ∂= +

∂ ∂ ∂ ∂∑ (1.9)

o, más brevemente

( , )

/X t

tt

φψ ψ

∂= ∂ ∂ + ⋅∇

∂v (1.10)

Se acostumbra definir el símbolo /D Dtψ por

/ /D Dt tψ ψ ψ= ∂ ∂ + ⋅∇v (1.11)

Utilizando esta notación, se puede escribir

( )( ) ( ) ( )( , )/ ( , ), / ( , ),

X tD Dt p X t t t p X t t

t

φψ ψ ψ

∂= ≡ ∂ ∂ + ⋅∇

∂v (1.12)

Por ejemplo, la aceleración de una partícula (a ) se define como la derivada de la

velocidad cuando se mantiene a la partícula fija. Así, la representación Eulereana

de la aceleración se obtiene aplicando la Ec. (1.12) a la representación Eulereana

de velocidad:

( ) ( )( ), / ,a x t t x t= ∂ ∂ + ⋅∇v v v (1.13)

Una expresión tal vez más transparente se obtiene aplicando la Ec.(1.12) a cada

una de las componentes de la velocidad. Así:

( ) ( )( ), / , ; 1,...,3i i ia x t t x t i= ∂ ∂ + ⋅∇ =v v v (1.14)

Desde luego, la aceleración, en representación Lagrangeana es simplemente

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( ) ( )2

2, ,V X t p X t

t t

∂ ∂≡

∂ ∂ (1.15)

1.5.- Propiedades Extensivas

En la sección anterior se consideraron funciones definidas en las partículas de un

cuerpo; más precisamente, funciones que hacen corresponder a cada partícula y

cada tiempo un número real, o un vector del espacio Euclideano

tridimensional, 3 R . En ésta, en cambio, empezaremos por considerar funciones

que a cada cuerpo, B , de un sistema continuo, y a cada tiempo , t , le asocia un

número real o un vector de 3 R . A una función de este tipo, ( ),E tB , se le llama

‘propiedad extensiva’ cuando está dada por una integral:

( )( )

, ( , ) ;B t

E t x t d xψ≡ ∫B (1.16)

Observe que en tal caso el integrando es una función ( , )x tψ necesariamente

integrable, y por lo mismo es la representación Eulereana de una propiedad

intensiva. Además, la Ec.(1.16) establece una correspondencia biunívoca entre las

propiedades extensivas y las intensivas, porque dada la representación Eulereana,

( , )x tψ , de cualquier propiedad intensiva su integral sobre el dominio ocupado por

cualquier cuerpo define una propiedad extensiva e inversamente, dada una

propiedad extensiva el integrando, cuando se le expresa en la forma de la

Ec.(1.16), define una propiedad intensiva. Finalmente, nótese que la forma de

escribir la Ec.(1.16) es muy explícita, pues ahí se ha escrito ( ),E tB para enfatizar

que el valor de la propiedad extensiva corresponde al cuerpo B . Sin embargo en

lo que sucesivo, siempre que sea posible sin caer en ambigüedad, se simplificará

la notación omitiendo el símbolo B ; es decir, se escribirá ( )E t en vez de ( ),E tB .

Hay diferentes formas de definir a las propiedades intensivas. Como aquí lo

hemos hecho es por unidad de volumen. Sin embargo, es frecuente que se les

defina por unidad de masa [8]. Es fácil ver que la propiedad intensiva por unidad

de volumen es igual a la propiedad intensiva por unidad de masa multiplicada por

la densidad de masa (es decir, masa por unidad de volumen), por lo que utilizando

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la densidad de masa, con sencillez se pasa de un concepto al otro. Sin embargo,

una ventaja de utilizar a las propiedades intensivas por unidad de volumen, en

lugar de las propiedades intensivas por unidad de masa, es que la definición del

volumen del espacio físico es independiente del sistema continuo considerado, en

cambio el concepto de masa es relativo al sistema continuo en estudio.

Concomitantemente, la correspondencia entre las propiedades extensivas y las

intensivas por unidad de volumen es más directa que la correspondencia entre las

propiedades extensivas y las intensivas por unidad de masa; en efecto, cuando se

usa la propiedad intensiva por unidad de volumen, dada una propiedad extensiva

para identificar la propiedad intensiva correspondiente, basta con expresar a la

primera como una integral de volumen, pues el integrando de ella es la propiedad

intensiva correspondiente. Por otra parte, del cálculo se sabe que

( )

0 0

( , )( )

( , ) lim lim ;B t

Vol Vol

t dE t

x tVol Vol

ψ ξ ξ

ψ→ →

≡ =

∫ (1.17)

La Ec.(1.17) proporciona un procedimiento efectivo para determinar las

propiedades extensivas experimentalmente: se mide la propiedad extensiva en un

volumen del sistema continuo de que se trate, se le divide entre el volumen y el

cociente que se obtiene es una buena aproximación de la propiedad intensiva, si

el volumen es suficientemente pequeño.

El uso que haremos del concepto de propiedad extensiva es, desde luego,

lógicamente consistente. En particular, “cualquier propiedad que satisface las

condiciones de la definición de propiedad extensiva establecidas antes es, por ese

hecho, una propiedad extensiva”. Sin embargo, no todas las propiedades

extensivas que se nos pueden ocurrir de esta manera son de interés en la

mecánica de los medios continuos. A pesar de esto, el concepto de propiedad

extensiva es fundamental en la teoría de los sistemas continuos, pues el modelo

básico de todos ellos se formula en términos de ecuaciones de balance de

propiedades extensivas.

1.6. Balance de Propiedades Extensivas e Intensivas

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Los modelos matemáticos de los sistemas continuos están constituidos por los

balances de algunas familias propiedades extensivas. Por ejemplo, los modelos de

transporte de solutos (los contaminantes transportados por corrientes superficiales

o subterráneas, son un caso particular de estos procesos de transporte) se

construyen haciendo el balance de la masa de soluto que hay en cualquier

dominio del espacio físico. Aquí, el término balance se usa, esencialmente, en un

sentido contable. En la contabilidad que se realiza para fines financieros o fiscales,

la diferencia de las entradas menos las salidas nos da el aumento, o cambio, de

capital. En forma similar, en la mecánica de los medios continuos se realiza, en

cada cuerpo del sistema continuo, un balance de las propiedades extensivas en

que se basa el modelo.

1.6.1 Ecuación de balance global

Para realizar tales balances es necesario, en primer lugar, identificar las causas

por las que las propiedades extensivas pueden cambiar. Tomemos como ejemplo

de una propiedad extensiva a las existencias de maíz que hay en el país. La

primera pregunta es: qué causas pueden motivar la variación, o cambio, de esas

existencias. Un análisis sencillo nos muestra que dicha variación puede ser debida

a que se produzca o se consuma. También a que se importe o se exporte por los

límites del país (fronteras o litorales). Y con esto se agotan las causas posibles; es

decir, esta lista es exhaustiva. Producción y consumo son términos similares que

fácilmente se engloban en uno sólo de esos conceptos, pues la diferencia entre

ellos es que sus efectos tienen signos opuestos. Así, si convenimos en que la

producción puede ser negativa, entonces el consumo es simplemente una

producción negativa. Una vez adoptada esta convención, ya no es necesario

ocuparnos separadamente del consumo. En forma similar, la exportación es una

importación negativa. Entonces, el incremento en las existencias, E∆ , en un

período, t∆ , queda dado por la ecuación

E P I∆ = + (1.18)

Donde a la producción y a la importación, ambas con signo, se les ha

representado por P e I , respectivamente.

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Similarmente, en la mecánica de los medios continuos, la lista exhaustiva de las

causas por las que una propiedad extensiva de cualquier cuerpo puede cambiar,

contiene solamente dos motivos:

i. Por producción en el interior del cuerpo; y

ii. Por importación (es decir, transporte) a través de la frontera.

Esto conduce a la siguiente ecuación de ‘balance global’, de gran generalidad,

para las propiedades extensivas:

( ) ( ) ( )

( ) ( , ) ( , ) ( , )B t B t t

dEt g x t d x q x t d x g x t d x

dtΣ

∂ Σ

= + +∫ ∫ ∫ (1.19)

Donde ( , )g x t es la generación en el interior del cuerpo, con signo, de la propiedad

extensiva correspondiente, por unidad de volumen, por unidad de tiempo.

Además, en la Ec.(1.19) se ha tomado en cuenta la posibilidad de que haya

producción concentrada en la superficie ( )tΣ , la cual está dada en esa ecuación

por la última integral, donde ( , )g x tΣ es la producción por unidad de área. Por otra

parte, ( ),q x t es lo que se importa, o transporta, hacia e interior del cuerpo a través

de la frontera del cuerpo ( )B t∂ ; en otras palabras, es el flujo de la propiedad

extensiva a través de la frontera del cuerpo, por unidad de área, por unidad de

tiempo. Puede demostrarse [5], con base en hipótesis válidas en condiciones muy

generales, que para cada tiempo, t , existe un campo vectorial ( ),x tτ tal que

( ) ( ) ( ), , ,q x t x t n x tτ≡ ⋅ (1.20)

donde ( ),n x t es normal exterior a ( )B t∂ . En vista de esta relación, la ecuación de

balance se puede escribir como

( )( )

( ) ( )( ) ( )

( ) , , , ( , )B t B t t

dEt g x t d x x t n x t d x g x t d x

dtτ Σ

∂ Σ

= + ⋅ +∫ ∫ ∫ (1.21)

A las funciones ( ) ,g x t y ( ) ,g x tΣ se les denomina ‘generación’ (frecuentemente

generación interna), y el campo vectorial ( ) ,x tτ es el ‘campo de flujo’ [8]. A la

Ec.(1.21) se le refiere como la “Ecuación General de Balance Global” y es la

ecuación básica de los balances de los sistemas continuos.

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En la mayor parte de los tratados sobre mecánica de medios continuos, la función

( , )g x tΣ no se considera y la ecuación que se obtiene corresponde a la Ec.(1.21)

con 0gΣ = ; es decir,

( )( )

( ) ( )( )

( ) , , ,B t B t

dEt g x t d x x t n x t d x

dtτ

∂

= + ⋅∫ ∫ (1.22)

Aquí, ese término se ha incluido porque hay casos de interés cuyo tratamiento

requiere de la incorporación de fuentes concentradas en la superficie Σ . Un

ejemplo de esta situación se presenta la modelación de “yacimientos con punto de

burbuja variable”, de la Ingeniería Petrolera [19-24]. Sin embargo, para simplificar

un poco y también porque la condición 0gΣ ≠ se da solo en casos muy especiales,

en lo que sigue solamente se considerara la Ec.(1.22).

1.6.2 Condiciones de Balance Local

Como ya se dijo, los modelos de los sistemas continuos están constituidos por las

ecuaciones de balance correspondientes a una colección de propiedades

extensivas. Así, a cada sistema continuo le corresponde una familia de

propiedades extensivas, tal que, el modelo matemático del sistema está

constituido por las condiciones de balance de cada una de las propiedades

extensivas de dicha familia. Sin embargo, las propiedades extensivas mismas no

se utilizan directamente en la formulación del modelo, en su lugar se usan las

propiedades intensivas asociadas a cada una de ellas. Esto es posible porque las

Ecuaciones de Balance Global son equivalentes a las llamadas Condiciones de

Balance Local, las cuales se expresan en términos de las propiedades intensivas

correspondientes. Las Condiciones de Balance Local son de dos clases: “las

Ecuaciones Diferenciales de Balance Local” y “las Condiciones de Salto”. Las

primeras son ecuaciones diferenciales parciales, que se deben satisfacer en cada

punto del espacio ocupado por el sistema continuo, y las segundas son

ecuaciones algebraicas que las discontinuidades deben satisfacer donde ocurren;

es decir, en cada punto de Σ . Cabe mencionar que las Ecuaciones Diferenciales

de Balance Local son de uso mucho más amplio que las Condiciones de Salto,

pues estas últimas solamente se aplican cuando y donde hay discontinuidades,

mientras que las primeras en todo punto del espacio ocupado por el sistema

16

continuo. Y, hay que decirlo, solamente en problemas de carácter especial es

necesario introducir modelos en que las propiedades intensivas son discontinuas.

Los llamados ‘choques’, ampliamente conocidos en el flujo supersónico de fluidos

compresibles –no-viscosos-, son cambios muy rápidos tanto en la presión como

en otras propiedades del fluido [25], los cuales en los modelos en que se

desprecia la viscosidad, se simulan como discontinuidades de dichas propiedades

del fluido [25].

Una vez establecidas las ecuaciones diferenciales y de salto del balance local, e

incorporada la información científica y tecnológica necesaria para completar el

modelo (la cual por cierto se introduce a través de las llamadas “ecuaciones

constitutivas”), el problema matemático de desarrollar el modelo y derivar sus

predicciones se transforma en uno correspondiente a la Teoría de la Ecuaciones

Diferenciales, generalmente parciales, y sus Métodos Numéricos.

1.6.3 Las Ecuaciones de Balance Local. En lo que sigue se supone que las

propiedades intensivas pueden tener discontinuidades, de salto exclusivamente, a

través de la superficie ( )tΣ . Se entiende por ‘discontinuidad de salto’, una en que

el límite por ambos lados de ( )tΣ existe, pero son diferentes.

Se utilizará en lo que sigue un resultado matemático que se da a continuación.

Teorema 6.1.- Para cada t –se supondrá 0t ≥ -, sea ( ) 3B t R⊂ el dominio ocupado

por un cuerpo, como se le definió en este Capítulo. Suponga que la ‘propiedad

intensiva’, ( ),x tψ es 1C , excepto a través de la superficie ( )tΣ . Además, sean las

funciones son ( ),x tv y ( ) ,x tΣv , esta última definida para ( )x t∈Σ solamente, las

velocidades de las partículas y la de ( )tΣ , respectivamente. Entonces

( )

( )( )

( )B t B t

ddx dx ndx

dt t

ψψ ψ ψΣ

Σ

∂ ≡ + ∇ ⋅ + − ⋅ ∂

∫ ∫ ∫v v v (1.23)

Demostración. Su demostración se da en el Apéndice.

17

Teorema 6.2.- Considere un sistema continuo,. Entonces, la “Ecuación de Balance

Global”, (1.21), se satisface para todo cuerpo del sistema continuo, si y solamente

si, se cumplen las condiciones siguientes simultáneamente:

i. La ecuación diferencial

( ) gt

ψψ τ

∂+ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ +

∂v (1.24)

vale en todo punto 3x R∈ , excepto en Σ , de la región ocupada por el sistema.

ii. La ecuación

( ) 0nψ τΣ− − ⋅ = v v (1.25)

vale en todo punto, x∈Σ .

Demostración. En vista del Teorema de Gauss Generalizado (Apéndice I de este

Capitulo), la Ec. (1.22) puede escribirse como

( ) ( ) ( )

( )( )

( ) , , ,B t t

dEt g x t x t dx n x t dx

dtτ τ

Σ

= + ∇ + ⋅∫ ∫i (1.26)

Combinando esta ecuación con la Ec. (1.23), resulta que la Ecuación de Balance

Global es equivalente a

( ) ( ) ( )( )

( )( )

, , 0B t t

g x t x t dx ndxt

ψψ τ ψ τΣ

Σ

∂ + ∇ ⋅ − − ∇ + − − ⋅ =

∂ ∫ ∫ i v v v (1.27)

A su vez, esta ecuación se satisface para todo dominio del espacio físico ( )B t , si

y solamente si, el primer integrando que ocurre en ella se anula idénticamente en

todo punto del espacio ocupado por el sistema continuo, y el segundo integrando

se anula en todo punto de Σ . Con lo cual queda establecida la equivalencia de las

Ecuaciones de Balance con el sistema de ecuaciones (1.24) y (1.25). A las

ecuaciones (1.24) y (1.25), se les llama “Ecuación Diferencial de Balance

Local” y “Condición de Salto”, respectivamente.

Desde luego, el caso más general que se estudiará se refiere a situaciones

dinámicas; es decir, aquéllas en que las propiedades intensivas cambian con el

tiempo. Sin embargo, los estados estacionarios de los sistemas continuos son de

sumo interés. Por estado estacionario se entiende uno en que las propiedades

intensivas son independientes del tiempo. En este caso, / 0tψ∂ ∂ ≡ . Por lo mismo,

para los estados estacionarios, la Ecuación de Balance Local se reduce a

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( ) gψ τ∇⋅ = ∇⋅ +v (1.28)

que vale en todo punto del sistema continuo, y mientras que la Condición de Salto

está dada por la misma Ec.(1.25). Sin embargo, en muchos estados estacionarios

las superficies de discontinuidad ( )tΣ se mantienen fijas (no se mueven y 0Σ ≡v ),

por lo que la condición de salto se reduce a

[ ] ( )0,n en tψ τ− ⋅ = Σv (1.29)

1.6.4 Ejemplos de Condiciones de Balance Local.

La formulación de restricciones en el movimiento de sistemas continuos constituye

una de las aplicaciones más sencillas de las Condiciones de Balance Local. Como

un ejemplo, a continuación formulamos la condición para que el movimiento sea

isocórico, es decir la condición para que los cuerpos conserven su volumen en su

movimiento. Desde luego esta condición se cumple en el movimiento de

sustancias incompresibles, sean ellas sólidas o fluidas; sin embargo, por

costumbre y para ser mas concretos, en las discusiones que se presentan a

continuación, nos referiremos a un fluido. Se considerarán dos casos: cuando el

movimiento ocurre en el espacio libre (un ‘fluido libre’) y cuando éste solamente

dispone de los huecos que hay en un medio poroso (un ‘fluido en un medio

poroso’).

Para empezar consideremos un cuerpo de un fluido incompresible que llena

completamente el volumen del espacio físico en que se encuentra. En este caso,

el volumen del fluido es igual al volumen del dominio que ocupa el cuerpo. Así:

( )( )

f

B t

V t d x= ∫ (1.30)

Aquí, ( )fV t es el volumen del fluido contenido en el cuerpo y ( )B t es el dominio

del espacio físico (es decir, de 3R ) ocupado por el cuerpo. Observe que una forma

que muestra en forma explicita el integrando en la Ec.(1.30) es

( )( )

1 f

B t

V t d x= ∫ (1.31)

Comparando esta ecuación con la ecuación (1.16), vemos que el volumen del

fluido es una propiedad extensiva y que la propiedad intensiva que le corresponde

19

es 1ψ ≡ . Además, la hipótesis de que el volumen de los cuerpos se conserva

durante el movimiento implica

( ) 0fdVt

dt= (1.32)

Claramente, la Ecuación de Balance Global se satisface tomando 0g = y 0τ ≡ en

la Ec. (1.22). A su vez, esta condición es equivalente a las Ecs.(1.24) y (1.25), con

1ψ ≡ . Estas ecuaciones se reducen a

[ ] 0

0,n en

∇ ⋅ =

⋅ = Σ

v

v (1.33)

La primera es la bien conocida condición de incompresibilidad para un fluido libre y

la segunda implica, dado que n es cualquier dirección, que si un fluido libre es

incompresible la velocidad de sus partículas es necesariamente continua. Por otra

parte, es oportuno mencionar que si bien es cierto que cuando un fluido tiene la

propiedad de ser incompresible, todos los cuerpos de fluido conservan su

volumen, también los fluidos compresibles pueden efectuar algunos movimientos

en que cada cuerpo de fluido conserva su volumen –a esta clase de movimientos

se les llama movimientos isocóricos.

El caso en que el fluido se encuentra en un ‘medio poroso’, es bastante diferente y

menos conocido. Un medio poroso es un material sólido que tiene huecos

distribuidos en toda su extensión (Fig.3), y se supondrá que ellos están

conectados de manera que permiten el movimiento del fluido. Cuando los poros

están llenos de un fluido, se dice que el medio poroso está ‘saturado’. Esta

situación es la de mayor interés en la práctica y es también la más estudiada. En

muchos de los casos que ocurren en las aplicaciones el fluido es agua o petróleo.

A la fracción del volumen del sistema, constituido por la ‘matriz sólida’ y los

huecos, se le llama ‘porosidad’ y se le representará por ' 'ε . Así

( )0

, limV

Volumen de huecos x t

Volumen total ε

→= (1.34)

Aquí hemos escrito ( ),x tε para enfatizar que la porosidad generalmente es

función tanto de la posición como del tiempo. Las variaciones con la posición

pueden ser debidas, por ejemplo, a heterogeneidad del medio y los cambios con el

20

tiempo a su elasticidad; es decir, los cambios de presión del fluido originan

esfuerzos en los porosos que los dilatan o los encogen.

Cuando el medio está saturado, el volumen del fluido ( fV ) es igual al volumen de

los huecos del dominio del espacio físico que ocupa. Así,

( ) ( )( )

,fB t

V t x t dxε= ∫ (1.35)

En vista de esta ecuación la propiedad intensiva asociada al volumen de fluido es

la porosidad, ( ),x tε , por lo que la condición de incomprensibilidad de un fluido

contenido en un medio poroso, está dada por las Ecs.(1.24) y (1.25), con

( ),x tψ ε≡ , 0g = y 0τ = : es decir

( )

( )

0

0,

t

n en

εε

ε Σ

∂ + ∇ ⋅ = ∂

− ⋅ = Σ

v

v v

(1.36)

Que la divergencia de la velocidad sea igual a cero, Ec.(1.33), como condición

para que un fluido libre conserve su volumen, es ampliamente conocida. Sin

embargo, este no es el caso de las Ecs.(1.36), como condición para la

conservación del volumen de los cuerpos de fluido contenidos en un medio

poroso.

En aplicaciones a Geohidrlogía y a Ingeniería Petrolera, las discontinuidades de la

porosidad están asociadas a cambios en los estratos geológicos y por esta razón

están fijas en el espacio; así, 0Σ ≡v . En ese caso

[ ] 0nε ⋅ =v (1.37)

Usando la notación n≡ ⋅nv v para la componente normal de la velocidad y los

subíndices más y menos para los límites por los lado más y menos de Σ ,

respectivamente, la Ec.(1.37) es

ε ε+ −=n+ n-v v (1.38)

Al producto de la porosidad por la velocidad se le conoce con el nombre de

velocidad de Darcy (U ) [ ]; es decir,

21

U ε≡ v (1.39)

Así, las Ecs.(1.37) y (1.38) son

[ ] 0U n⋅ = y U U=n+ n- (1.40)

Por lo tanto, en el caso de fluidos en medios porosos y a diferencia del caso de

fluidos libres, es la velocidad de Darcy la que es continua cuando el flujo es

isocórico. Las Ecs.(1.39) y (1.40) son ampliamente utilizadas en el estudio del

agua subterránea (Geohidrología) y en Ingeniería Petrolera. Ahí, los valores que

toma la porosidad dependen de cada estrato y por lo mismo es frecuente que la

porosidad sea discontinua en la superficie de contacto entre dos estratos

geológicos diferentes. En tal caso, φ φ+ −≠ , por lo que ≠n+ n-v v , necesariamente.

Resumiendo: la velocidad de las partículas de fluido es discontinua en las

superficies de contacto de dos estratos diferentes, sin embargo la velocidad de

Darcy es continua.

1.7 Los Modelos de los Sistemas Continuos de Fases Múltiples

Para poder abordar este tema con una generalidad adecuada, es necesario

empezar por revisar los conceptos de solución, mezcla, componente y fase.

1.7.1 Sistemas Continuos de una y Varias Fases

La diferencia entre mezcla y disolución (o solución), la cual es ampliamente

conocida, puede ayudar a motivar estos conceptos. Por ejemplo, si disolvemos sal

de mesa (cloruro de sodio) en agua pura y aumentamos la sal disuelta por encima

de la concentración de saturación, el exceso de sal se separa. Entonces, esa sal

no disuelta puede mezclarse; por ejemplo, utilizando un mecanismo revolvedor,

hasta formar una mezcla relativamente homogénea. Sin embargo, si esa mezcla

se deja en reposo al poco tiempo veremos que la sal que no se disolvió se mueve

hacia la base del recipiente; es decir, se precipita. En este caso podemos

distinguir dos fases, la fase liquida y la fase sólida. Además, la fase líquida y la

fase sólida se mueven con diferentes velocidades, pues la fase liquida (el agua)

está en reposo, mientras que la fase sólida (la sal no disuelta) se mueve hacia el

fondo del recipiente. Por otra parte, en la fase líquida en que está el agua

podemos distinguir dos componentes: la sal disuelta y el agua. Por estar en la

22

misma fase, estas dos componentes se mueven con la misma velocidad y es por

ello que no se separan aunque las dejemos en reposo durante un tiempo

prolongado.

En la teoría de los sistemas continuos, los modelos para procesos como el que se

acaba de describir, se conceptualizan como se explica a continuación. Se

considera que hay dos fases: la fase líquida (el agua con la sal disuelta) y la fase

sólida (la sal no disuelta). En cada punto del espacio físico ( 3R ) hay una partícula

de cada una de las fases y cada una de ellas se mueve con su propia velocidad.

Por lo mismo, cada dominio de 3R define dos cuerpos, que son los formados por

los conjuntos de partículas correspondientes a cada una de las fases. Además, en

cada punto tenemos definidas dos velocidades, que en general pueden ser

diferentes; por lo tanto los dos cuerpos que en un tiempo dado ocupan el mismo

dominio de 3R , inmediatamente después se separan y en general en otros

tiempos ocuparán dominios que no coinciden. En el caso que nos ocupa la masa

de cada una de las componentes: agua pura, sal disuelta y sal no disuelta, define

una propiedad extensiva cuyo balance está dado por la Ec.(1.22), o en forma

equivalente por las Ecs.(1.28) y (1.29). Note, sin embargo, que en estas últimas

ecuaciones debe utilizarse la velocidad de la fase a la cual está asociada la

componente correspondiente.

1.7.2 Forma General de los Modelos de los Sistemas Continuos

A continuación se explica como se construyen los modelos de los sistemas

continuos multifásicos. Más que los sistemas continuos mismos, se modelan los

procesos que tienen lugar en ellos; por ejemplo, el transporte de calor o el de los

solutos contenidos en un fluido, etc. Ejemplos de sistemas de varias fases son los

yacimientos petroleros [26] y los geotérmicos [27], así como muchos otros.

En primer lugar se identifica un conjunto finito, o familia, de propiedades

extensivas (una, dos, tres, etc.). Además, cada una de ellas se asocia con una, y

solamente una, de las fases del sistema continuo y para cada una de las

propiedades extensivas de esa familia se formula la Condición de Balance Global

23

de la Ec. (1.22), en cada cuerpo del sistema continuo. Esta condición es

equivalente a la Ecuación Diferencial de Balance Local y a la Condición de Salto

de las Ecs. (1.28) y (1.29). El sistema así obtenido, formado por las ecuaciones

diferenciales y las condiciones de salto, constituye el modelo básico del sistema

correspondiente.

1.7.3 Ecuaciones Básicas de los Modelos Continuos

Pasemos ahora a escribir con detalle las ecuaciones que constituyen los modelos

básicos de los sistemas continuos multifásicos. Sea N el número de propiedades

extensivas y M el número de fases que integran el modelo de un sistema

continuo, donde M N≤ . Además, cada propiedad extensiva está asociada a una y

solamente una fase. Las propiedad extensivas y sus correspondientes intensivas

se denotarán por Eα y αψ ( )1,...,Nα = , respectivamente, de manera que

( ) ( )( ) ( )

,B t

E t x t dxβ α

α αψ= ∫ (1.41)

Aquí, ( )β α es la fase asociada a la propiedad extensiva α y ( ) ( )B tβ α

es el

dominio ocupado por le cuerpo de la fase ( )β α . También usaremos gα y ατ para

la generación y el (campo de) flujo de la propiedad α . Por otra parte, ( )β α

v será la

velocidad de la fase ( )β α , a la que está asociada la propiedad extensiva α .

Entonces el modelo básico de los sistemas multifásicos está constituido por las

Condiciones de Balance correspondientes a cada una de las propiedades

intensivas del sistema Aplicando las ecuaciones Ecs.(1.24) y (1.25) se obtiene

( )( ) g

t

αβ α αα αψ

ψ τ∂

+ ∇ ⋅ = ∇ ⋅ +∂

v = 1,...,Nα∀ (1.42)

y las condiciones de salto

( )( ) 0n

β α ααψ τΣ− − =

i v v =1,...,Nα∀ (1.43)

Estas ecuaciones básicas gobiernan a una gran diversidad de sistemas continuos.

En general, interesa construir modelos completos; es decir uno que nos permita

predecir el comportamiento del sistema continuo a que se refiere el modelo. Como

hemos visto los modelos de los sistemas continuos son sistema de ecuaciones

24

diferenciales parciales, pues cada una de las ecuaciones de balance da lugar a

una ecuación diferencial parcial -u ordinaria, cuando el modelo depende de una

sola variable independiente-, la cual se complementa con las condiciones de salto

en el caso de modelos discontinuos, las cuales deben satisfacerse en las fronteras

interiores, Σ . Por lo mismo, los modelos de los sistemas continuos están

constituidos por sistemas de ecuaciones diferenciales cuyo número es igual al

número de propiedades intensivas –o equivalentemente extensivas- que

intervienen en la formulación del modelo básico. El Apéndice III de este Capítulo

está dedicado a una breve presentación de algunos de los temas de la teoría de

las ecuaciones diferenciales parciales que son más relevantes para los objetivos

de este curso.

Para que el modelo de un sistema continuo sea completo es necesario que el

sistema de ecuaciones asociado al mismo, bajo condiciones iniciales y de frontera

apropiadas, defina problemas bien planteados (ver Apéndice III del Capitulo 1).

Tratándose de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales, decimos que un

problema de valores iniciales y de frontera es bien planteado si se cumple que:

a) Existe una y sólo una solución, y

b) Esta depende de manera continua de las condiciones iniciales y de

frontera del problema.

Los sistemas de ecuaciones diferenciales se clasifican en elípticas, hiperbólicas y

parabólicas, y la clase de condiciones iniciales y de frontera que da lugar a

problemas bien planteados depende del tipo del sistema de ecuaciones

correspondiente.

Para obtener modelos completos, además de las ecuaciones básicas, (1.42) y

(1.43), es necesario evaluar la generación ( ) ,g x tα y el flujo ( ) ,x tα

τ

correspondientes con cada propiedad extensiva del modelo por medio de leyes o

relaciones que las determinen en términos de la propiedades intensivas del

modelo del sistema. En ciertos casos, como cuando tratemos el trasporte de calor

y de solutos, o el flujo a través de medios porosos, también la velocidad de la fase

( ) ( ) ,x tβ α

v debe determinarse de esta manera.

25

A esta clase de relaciones se les llama “ecuaciones constitutivas”, y a traves de

ellas se integra el conocimiento científico y tecnológico en los modelos

matemáticos. Para establecerlas se usan conocimientos de la Física, la Química,

la Biología, las Ingenierías, etc.; todo depende de la clase de procesos

involucrados. Por ejemplo, al estudiar el transporte de un soluto producido por una

reacción química, la rapidez con que se produce el soluto depende de la

concentración de él y de las demás sustancias que participen en la reacción, por lo

que el ´suministro´, ( ) ,g x tα , sería una función de esos parámetros. En este caso,

a través de esta función se integraría el conocimiento químico en el modelo.

Observe que en este caso el ´suministro´ (a veces llmado suministro externo)

proviene del interior del sistema en estudio, pero se origina en alguna otra, u otras

componentes que son ajenas, o ‘externas’, a aquélla a la que se le hace el

balance. Al estudiar la distribución de seres vivos en los océanos, los

conocimientos que se integran incluyen hechos biológicos.

En resumen, los modelos de los sistemas continuos están constituidos por:

• Una colección de propiedades intensivas o, lo que es lo mismo, extensivas;

• El conjunto de ecuaciones de Balance Local correspondientes (diferenciales y

de salto), en cada una de las cuales la velocidad de las partículas es la de la

fase correspondiente a la cual esta asociada la propiedad extensiva

correspondiente;

• Suficientes relaciones que liguen a las propiedades intensivas entre sí y que

definan a gα , α

τ y en algunos casos α

v , en términos de éstas, las cuales se

conocen como leyes constitutivas; y

• Condiciones iniciales y de frontera que deben satisfacer las propiedades

intensivas.

26

APÉNDICE I

ALGUNOS RESULTADOS DEL CÁLCULO

Algunos resultados del Cálculo Diferencial e Integral, serán de gran utilidad en

desarrollos subsecuentes [28-36]. El primero de ellos, el “Teorema de Gauss” o

“Teorema de la Divergencia”, el cual se deriva fácilmente del “Teorema de Green”.

Este último es una generalización del “Teorema Fundamental del Cálculo” –que

establece que la integral de la derivada es la función primitiva-, a funciones de

varias variables.

Para vectores de n-componentes adoptamos la notación 1( ,..., )nu u u≡ . Sea

1( ,..., )nu x x una función vectorial de n-variables; su divergencia se define por

1

i ni

i i

uu

x

=

=

∂∇ =

∂∑i A(1.1)

También, en lo que sigue Ω denota un dominio del espacio Euclidiano de n

dimensiones, en el sentido de Ciarlet [18]. una partición, también llamada

descomposición de Ω, es una colección de subdominios de Ω, donde para cada

1,...,i E= , iΩ ⊂ Ω , tal que φ=Ω∩Ω ji siempre que ji ≠ , y con la propiedad de

que la cerradura de 1

i E

i

i

=

=

Ω∪ contiene a Ω. Además en lo que sigue, con referencia a

una partición de Ω , Σ denota el complemento cerrado –con respecto a ∪Ei

i

i

=

=

Ω∂1

- de

∂Ω (ver Fig. ). Nos referiremos a la frontera ∂Ω como la ‘frontera exterior’,

mientras que Σ será la ‘frontera interior’. Esta frontera interior siempre se

supondrá que ha sido orientada; es decir, que en ella se han definido un lado

positivo y uno negativo. Sin embargo, esta orientación puede definirse de manera

arbitraria, pues los resultados que se presentarán se verá que son invariantes

frente a un cambio de orientación. El vector normal unitario n , en la frontera

exterior se tomará apuntando hacia fuera de Ω y en la frontera interior apuntando

hacia el lado positivo. Dada una partición de Ω y una función definida en Ω,

decimos que ella es continua por partes cuando, para cada 1,...,i E= , su

restricción a iΩ es continua y se puede extender de manera continua a la

27

cerradura de iΩ . Note que cuando una función es continua por partes su límite por

el lado positivo, y también por el lado negativo, existe. Si ( )f x es una función

continua por partes escribiremos, en Σ ,

f f f+ −≡ − A(1.2)

Aquí, f+ y f− son los límites respectivos. A la función f definida en Σ , salvo

posiblemente en esquinas donde más de dos subdominios de la partición se

encuentren, se le llamará el ‘salto de la función’.

A.1.- El Teorema de Green [28-36].

Sea 1( ,..., )nf x x una función de n-variables, continua y con primeras derivadas

continuas en la cerradura de Ω . Entonces

( ) ( ) i

i

fx d x f x n d x

xΩ ∂Ω

∂=

∂∫ ∫ A(1.3)

donde ),...,( 1 nnnn = es el vector normal unitario, que apunta hacia el exterior de

Ω .

A.2.- El Teorema de Gauss o de la Divergencia [28-36].

Sea 1( ,..., )nu x x una función de n-variables, cuyos valores son vectores de n-

componentes, continua y con primeras derivadas continuas en la cerradura de Ω .

Entonces

ud x u nd xΩ ∂Ω

∇ =∫ ∫i i A(1.4)

Prueba.- El Teorema de la Divergencia es una consecuencia inmediata de la

Ec.A(1.3). Escribiendo

1 1

i n i ni

i i

i ii

uud x dx u n dx u nd x

x

= =

= =Ω Ω ∂Ω ∂Ω

∂∇ = = =

∂∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫i i A(1.5)

Una versión más general del Teorema de Gauss, aplicable a campos vectoriales

continuos por partes y con primeras derivadas también continuas por partes, se

presenta a continuación.

28

Una versión más general del Teorema de Gauss, aplicable a campos vectoriales

continuos por partes y con primeras derivadas también continuas por partes, se

presenta a continuación. Más específicamente, supondremos que la función

vectorial u y su primera derivada, son continuas en cada una de las subregiones

,..., 1 NΩΩ , separadamente.

A.3.- Teorema de Gauss generalizado

Sea 1( ,..., )nu x x una función de n-variables, cuyos valores son vectores de n-

componentes, continua por partes y con primeras derivadas continuas por partes

en Ω . Entonces

ud x u n d x u n d x∂ Σ

Ω ∂Ω Σ

∇ = −∫ ∫ ∫i i i A(1.6)

Prueba.

1 1

E E

ud x ud x u nd x u nd x u nd x

α αα α= =Ω Ω ∂Ω ∂Ω Σ

∇ = ∇ = = −∑ ∑∫ ∫ ∫ ∫ ∫i i i i i A(1.7)

Excepto la última igualdad, las demás son inmediatas por aplicación d el Teorema

de Gauss en cada uno de los subdominios de la partición separadamente. Para

derivar la última de esas igualdades, dado cualquier punto de Σ , denotaremos por

+Ω y −Ω a los subdominios que se encuentran en el lado positivo y en el negativo,

respectivamente, mientras que n+ y n− serán las normales unitarias que apuntan

hacia fuera de dichos subdominios. Observe además que 1

E

αα =

∂Ω = ∂Ω ∪ Σ∪ y que

( )1

E

u nd x u nd x u n u n d x

αα

+ + − −= ∂Ω ∂Ω Σ

= + +∑ ∫ ∫ ∫i i i i A(1.8)

Sin embargo, de acuerdo con la convención adoptada, n n+ = y n n− = − en Σ , por

lo que al sustituir se obtiene

( )

1

E

u nd x u nd x u u nd x u nd x u nd x

αα

+ −= ∂Ω ∂Ω Σ ∂Ω Σ

= − − = −∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫i i i i i A(1.9)

29

CAPÍTULO 1

APÉNDICE II

Derivada de una Integral cuando la Región de Integración Depende de un

Parámetro.

Teorema A2. 1. Sea ψ(x, t) una función continua y con primera derivada continua

y ( )B t el dominio ocupado por un cuerpo, el cual depende del parámetro t . Defina

( )

( ) ( , )B t

E t x t d xψ≡ ∫ A(2.1)

Entonces

( )( )

( ) ( , )B t

dEt x t d x

dt t

ψψ

∂ = + ∇

∂ ∫ i v A(2.2)

y también

( )( ) ( )

( ) ,B t B t

dEt x t dx ndx

dt t

ψψ

∂

∂= +

∂∫ ∫ iv A(2.3)

Demostración.- La Ec. A(2.1) es equivalente a

( ) ( , ) ( , )E t X t J X t d Xφ≡ ∫B

A(2.4)

donde B es el dominio ocupado por el cuerpo en la configuración de referencia.

Desde luego B es independiente del tiempo. Además, aquí ( , )J X t es el

determinante de la matriz Jacobiana; es decir,

1 1 1

1 2 3

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

( , )

p p p

X X X

p p pJ X t Det

X X X

p p p

X X X

∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

≡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

A(2.5)

Derivando la Ec. A(2.4) se obtiene

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )t t

dEt X t J X t d X X t J X t X t J X t d X

dt tφ φ φ

∂= = +

∂∫ ∫B B

A(2.6)

Escribiendo ( , )t X tφ en términos de la derivada material:

( ) ( ) ( ) ( )( , ) , , , ,t

DX t x t x t x t x t

Dt t

ψ ψφ ψ

∂= ≡ + ∇

∂iv A(2.7)

Por otra parte, aplicando la formula de la derivada de un determinante se obtiene

30

2 2

1 1 1 1 1 1

1 2 3 1 2 3

2 2

2 2 2 2 2 2

1 2 2 1 2 3

2 2

3 3 3 3 3 3

1 2 3 1 2 3( , )

t

p p p p p p

t X X X X t X X

p p p p p pDet Det

t X X X X t X X

p p p p p p

t X X X X t X XJ X t

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

≡2

1 1 1

1 2 3

2

2 2 2

1 2 3

2

3 3 3

1 2 3

p p p

X X t X

p p pDet

X X t X

p p p

X X t X

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

A(2.8)

Además, la representación Lagrangeana de la velocidad satisface

( ) ( ), ,p

V X t X tt

∂≡

∂ A(2.9)

Así

1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 2 1 2 3 1 2

3 3 3 3 3 3

1 2 3 1 2 3

( , )t

V p p p V p p p V

X X X X X X X X X

V p p p V p p p VJ X t Det Det Det

X X X X X X X X

V p p p V p

X X X X X X

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

≡ + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

3

3 3 3

1 2 3

X

p p V

X X X

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

A(2.10)

Tomemos ahora a la configuración en el tiempo t como configuración de

referencia. En tal caso

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ), , , 1 , , , ,iij

j

pp X t X , J X t y V X t p X t t X t

Xδ

∂= = = = =

∂v v A(2.11)

Sustituyendo en la Ec.(2.10) se tiene

11 1

31 2

2 2 2

1 2 3

3 3 3

1 2 3

1 00 0 1 0

( , ) 1 0 0 0 0 1

0 1 0 1 0 0

t

xx x

J X t Det Det Detx x x

x x x

∂∂ ∂

∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

≡ + + = ∇ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

i

vv v

v v vv

v v v

A(2.12)

Por lo que la Ec. A(13) es

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( , ) , , , ,B t

dEt x t x t x t x t x t d x

dt t

ψψ ψ

∂ = + ∇ + ∇

∂ ∫ i iv v A(2.13)

31

Esta ecuación es equivalente a la Ec. A(2.1), que deseábamos demostrar.

Finalmente, aplicando a esta ecuación el Teorema de Gauss (ver Apéndice I de

este Capítulo) se obtiene la Ec. A(2.3).

Teorema A2. 2. Sea ψ(x, t) una función continua por partes, con respecto a una

partición para la cual ( )tΣ es la frontera interior, y con primeras derivadas

continuas por partes. Además, sea ( )B t el dominio ocupado por un cuerpo, el cual

depende del parámetro t y suponga que la definición de la Ec. A(2.1) es válida.

Entonces

( )( )

( )( )

( ) ( , )B t t

dEt x t dx ndx

dt t

ψψ ψ Σ

Σ

∂ = + ∇ + −

∂ ∫ ∫ i i v v v A(2.14)

Aquí, Σv es la velocidad de la superficie Σ .

Demostración.- Para cada tiempo t , sea ( ) ( ) 1 ,..., EB t B t la atrición de ( )B t .

Observe que la Ec. A(2.1) puede escribirse como

( )1

( ) ( , )E

B t

E t x t d x

αα

ψ=

=∑ ∫ A(2.15)

Entonces aplicando la Ec. A(2.3) en cada subdominio ( )B tα de la partición, se

obtiene

( )( ) ( )1

( ) ,E

B t B t

dEt x t dx ndx

dt tα α

α

ψψ

= ∂

∂ = +

∂ ∑ ∫ ∫ iv A(2.16)

O, en otra forma

( )

( ) ( )1

( ) ,E

B t B t

dEt x t dx ndx

dt tα

α

ψψ

= ∂

∂=

∂∑∫ ∫ iv

A(2.17)

Note que

( ) ( )

( ) ( )

( )1

E

B t B t t B t t

ndx ndx ndx ndx ndx

αα

ψ ψ ψ ψ ψΣ Σ

= ∂ ∂ Σ ∂ Σ

= − = −∑ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫i i i i iv v v v v A(2.18)

Por otra parte:

( )

( )( )

( )B t B t t

ndx dx ndxψ ψ ψ∂ Σ

= ∇ +∫ ∫ ∫i i iv v v A(2.19)

Sustituyendo esta ecuación en A(2.18) se obtiene

32

( )

( )( )

( )( )1

E

B t B t t

ndx dx ndx

αα

ψ ψ ψ Σ

= ∂ Σ

= ∇ + −∑ ∫ ∫ ∫ i i i v v v v A(2.20)

Combinando esta ecuación con la Ec. A(2.17) se deriva la Ec. A(2.14) propuesta.

33

APÉNDICE III

Ecuaciones Diferenciales Parciales

El estudio de las ecuaciones diferenciales parciales y de los sistemas de tales

ecuaciones, es fundamental en la modelación matemática y computacional de los

sistemas continuos. Debido a su importancia, en las Referencias de este Capítulo

se incluyen un buen número de textos básicos sobre este tema. En este Apéndice

solamente se tocan algunos de los resultados sobre su clasificación, en relación

con los ‘problemas bien planteados’ que se consideran más importantes.

A.3.1. Clasificación

Es importante clasificar a las ecuaciones diferenciales parciales porque muchas de

sus propiedades son comunes a los miembros de cada clases. Así, su

clasificación es un instrumento para alcanzar el objetivo de unidad conceptual que

nos hemos propuesto en este curso.

Las ecuaciones diferenciales parciales, así como los sistemas de tales

ecuaciones, se clasifican en elípticas, hiperbólicas y parabólicas. Pero debe

señalarse que esta clasificación no es exhaustiva; es decir, existen sistemas de

ecuaciones diferenciales que no pertenecen a ninguna de estas categorías. Sin

embargo, casi todos los modelos de los sistemas continuos que han recibido

mayor atención hasta ahora dan lugar a ecuaciones de alguno de estos tipos; en

particular, una gran parte de los sistemas continuos que se estudian en la

presente monografía están gobernados por ecuaciones de segundo orden de

alguna de las clases mencionadas. Por ello este Apéndice examina principalmente

tales ecuaciones, poniendo énfasis en aquéllas que son lineales. Debe

mencionarse que el transporte no-difusivo de solutos, tanto en fluidos libres como

en medios porosos, da lugar a ecuaciones de primer orden que generalmente se

les considera como hiperbólicos [37]. Muchas de las referencias relativas a

ecuaciones diferenciales parciales que se dan al final de este Capítulo contienen

exposiciones amplias de este tema [37-46]. Además, los modelos de los sólidos

elásticos, los fluidos libres y de los yacimientos petroleros, están constituidos por

sistemas de ecuaciones diferenciales parciales. En este caso también, en las

34

referencias de este Capítulo se pueden encontrar discusiones relativas a los

sistemas de ecuaciones correspondientes [25, 26, 47, 48].

Utilizaremos la notación Ω para un dominio en R n , donde n es el número de

variables independientes de las que depende la solución buscada. Toda ecuación

diferencial lineal de segundo orden puede escribirse en la forma

( ) ( )u a u bu cu fΩ≡ ∇ ∇ + ∇ + =i i iL A(3.1)

Aquí para cada x , ( )a x es un matriz simétrica, ( )b x es un vector y ( )c x un

escalar (es decir, un número real). Definido así, L es el operador diferencial lineal

más general de segundo orden. Los elementos de la matriz a y del vector b se

denotarán por ija y ib , , 1,...,i j n= , respectivamente, de manera que la Ec. (3.1) es

equivalente a

2

1 1 1

n n n

ij i

i j ii j i

u uu a b cu f

x x xΩ

= = =

∂ ∂≡ + + =

∂ ∂ ∂∑∑ ∑L A(3.2)

Debido a que la matriz ( )a x es simétrica, ella posee una base de vectores propios

(o eigenvectores). Entonces, se dice que el operador es:

I. Elíptico, cuando todos los valores propios tienen el mismo signo;

II. Hiperbólico, cuando todos los valores propios tienen el mismo signo, excepto

uno, el cual tiene signo contrario a los demás; y

III. Parabólico, cuando todos los valores propios tienen el mismo signo, excepto

uno, el cual es cero.

Un caso particular, de interés especial, es cuando el número de variables

independientes es dos ( )2n = . Entonces la Ec. A(3.2) es

22 2 2

1 1 1

ij i

i j ii j i

u ua b cu fx x x

Ω= = =

∂ ∂+ + =

∂ ∂ ∂∑∑ ∑ A(3.3)

Tomando en cuenta que 12 21a a= , es fácil ver que las condiciones anteriores son

equivalentes a:

35

2

12 11 22

2

12 11 22

2

12 11 22

. 0

0

0

I Elíptico a a a

II. Hiperbólico a a a

III. Parabólico a a a

⇔ − <

⇔ − >

⇔ − =

Cuando solamente se tratan ecuaciones en dos variables independientes, es

habitual utilizar una notación en la que se realizan las siguientes sustituciones:

11a a→ , 12 21a a b= → y 22a c→ , por lo que las condiciones se escriben

2

2

2

. 0

0

0

I Elíptico b ac

II. Hiperbólico b ac

III. Parabólico b ac

⇔ − <

⇔ − >

⇔ − =

A.3.2 Formas Canónicas de los Diferentes Tipos

Cuando los coeficientes en la Ec. A(3.1) son constantes (y 0fΩ ≡ ), por un cambio

lineal de coordenadas es siempre posible transformarla en alguna de las

siguientes formas:

2

2

0

0

0

u términos de 1er orden

uu términos de 1er orden

t

uu otros términos de 1er orden

t

∆ + =

∂− ∆ + =

∂

∂− ∆ + =

∂

A(3.4)

Ellas corresponden a los casos elíptico, hiperbólico y parabólico, respectivamente.

En estos últimos dos casos, al escribir las Ecs. A(3.4) se ha introducido la variable

t , a la que nos referiremos como el ‘tiempo’, para denotar a aquélla cuyo eje

coordenado tiene la dirección del eigenvector cuyo valor propio es diferente a los

demás. Este cambio de notación implica que ahora el número de variables

independientes es 1n + . Cuando los términos de menor orden, en la Ec. A(3.4) se

anulan, ellas se reducen a las siguientes ecuaciones diferenciales

2

2

0

0

0

u

uu

t

uu

t

∆ =

∂− ∆ =

∂

∂− ∆ =

∂

(3.5)

A estas ecuaciones se les conoce con los nombres de: Ecuación de Laplace,

Ecuación de Onda y Ecuación del Calor, respectivamente. También, es habitual

36

referirse a ellas como ‘las formas canónicas’ de los diferentes tipos de ecuaciones

diferenciales de segundo orden.

A.3.3. Problemas Bien Planteados

En general las ecuaciones diferenciales parciales tienen muchas soluciones, por lo

que es necesario complementarlas con condiciones de frontera y/o iniciales. A las

condiciones de ‘frontera’ también se les llama de ‘borde’. Los problemas de

condiciones de frontera, o borde, se considerarán formulados en un dominio Ω y

las condiciones de frontera se imponen en su frontera exterior ∂Ω (Fig. ). Cuando

en la ecuación diferencial interviene el tiempo, como en la ecuación de onda o la

del calor, además se incluyen condiciones iniciales. Una observación interesante

es que si consideramos el espacio Euclideano 1nR + (espacio-tiempo), tomando

1nx t+ ≡ , entonces a las condiciones iniciales se les puede interpretar como

condiciones en la frontera del dominio en que está formulado el problema.

Un problema de condiciones de frontera y/o iniciales se dice que es ‘bien

planteado’ cuando tiene una y solamente una solución, y además ella depende de

manera continua de las condiciones de frontera e iniciales, cuando las hay. Una de

las obras más completas en la que se establecen problemas bien planteados para

los diferentes tipos de ecuaciones, no solamente de orden dos sino de orden más

alto, es la clásica de Lions y Magenes [41].

Para el caso elíptico de segundo orden, cuya forma canónica es la Ecuación de

Laplace, el problema se plantea en un dominio Ω de nR , con frontera ∂Ω .

Entonces, algunos de los problemas bien planteados corresponden a problemas

con condiciones de frontera (o contorno) de alguno de los siguientes tipos

A. Dirichlet: se prescribe la función en ∂Ω ;

B. Neuman: se prescribe la derivada normal en ∂Ω ; y

C. Robin: se prescribe la combinación lineal

2 2, 1u

u en , donde n

α β α β∂

+ ∂Ω + =∂

A(3.6)

37

Note que las condiciones de frontera de los casos )A y )B , son casos particulares

de )C .

Los problemas bien planteados para la Ecuación del Calor y la Ecuación de Onda

ilustran lo que es típico para las ecuaciones parabólicas e hiperbolicas,

respectivamente. En ambos casos el problema se plantea en el dominio [ )0,Ω× ∞ ,

o en [ ]0,TΩ× , donde 0T > y las condiciones de frontera son de alguno de los

tipos )A , )B o )C y se deben satisfacer en [ )0,∂Ω× ∞ , o en [ ]0,T∂Ω× . En el caso

de la Ecuación del Calor, además se prescribe el valor ( ),0u x para toda x∈Ω .

Por lo que respecta a la Ecuación de Onda, además se prescriben los valores

iniciales de la función y de su derivada parcial con respecto al tiempo: ( ),0u x y

( ),0u t x∂ ∂ , respectivamente, para toda x∈Ω .

38

REFERENCIAS CAPÍTULO 1

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