part 1 คู่มือคณิตศาสตร์ ม.3 เล่ม 1 ·...
TRANSCRIPT
I
Part 1 คมอคณตศาสตร ม.3 เลม 1
บทท 1 พนทผวและปรมาตร .......................................................................3รปเรขาคณตสามมต .................................................................................................................................... 3
ส�ารวจปรซม ................................................................................................................................................. 5
ส�ารวจทรงกระบอก ...................................................................................................................................... 8
ส�ารวจพระมด............................................................................................................................................. 11
ส�ารวจกรวย ............................................................................................................................................... 13
ส�ารวจวงกลม ............................................................................................................................................. 15
ปรมาตรของปรซมและทรงกระบอก .......................................................................................................... 15
แบบฝกหด 1.2 ก ....................................................................................................................................... 16
ตวอยางการหาขนาดของตเยน .................................................................................................................. 28
ตวอยางการหาขนาดของอาคารลกเตา ...................................................................................................... 28
แบบฝกหด 1.2 ข ....................................................................................................................................... 29
เรองนารเกยวกบปรมาตรของทรงกระบอก (เทากนหรอไม) .................................................................... 38
ความสมพนธระหวางสเหลยมมมฉากกบปรมาตรของทรงกระบอก (มขนาดเทาไร) ................................39
ตวอยางการหาปรมาตรของทรงกระบอก (นาคด) .................................................................................... 41
ปรมาตรของพระมดและกรวย ................................................................................................................... 42
แบบฝกหด 1.3 ก ....................................................................................................................................... 42
ตวอยางการหาปรมาตรหนงในเจดของสงมหศจรรยของโลกยคโบราณ ....................................................49
ตวอยางการหาปรมาตรของพระมด (พระมดปรศนา) .............................................................................. 50
ตวอยางประยกตการหาปรมาตร (ชวยคดหนอย) ..................................................................................... 51
ตวอยางประยกตการหาปรมาตรของกรวย (ท�าไดหลายแบบ) ................................................................. 53
แบบฝกหด 1.3 ข ....................................................................................................................................... 54
ตวอยางการหาปรมาตรควบอกตะฮรอน (คดไดไหม) .............................................................................. 60
ปรมาตรของทรงกลม ................................................................................................................................. 61
แบบฝกหด 1.4 .......................................................................................................................................... 61
ความสมพนธระหวางสเหลยมมมฉากกบทรงกลม (คดไดหรอไม) ........................................................... 67
พนทผวของปรซมและทรงกระบอก ........................................................................................................... 68
แบบฝกหด 1.5 .......................................................................................................................................... 69
ตวอยางประยกตการหาปรมาตรทรงกลม (รลกเรองโลก) ........................................................................ 83
บทท 2 กราฟ ........................................................................................... 87กราฟแสดงความสมพนธระหวางปรมาณทมความสมพนธเชงเสน ............................................................ 87
แบบฝกหด 2.1 .......................................................................................................................................... 88
สารบญ
II
สรปห
ลกคด
พชต
โจทย
คณ
ตศาส
ตร ม
.3 ม
นใจเตม
100
ตวอยางเพมความเขาใจความสมพนธเชงเสน (บอกไดหรอไม) ................................................................99
กราฟของสมการเชงเสนสองตวแปร ........................................................................................................100
แบบฝกหด 2.2 ก .....................................................................................................................................102
ตวอยางการใชงานกราฟของ y = -CB, B ≠ 0 ..........................................................................................107
ตวอยางการใชงานกราฟของ y = -CA, A ≠ 0 ..........................................................................................111
ตวอยางการเขยนกราฟ (ลองเขยนด) .....................................................................................................114
ความสมพนธระหวางสมการกบกราฟ (เกยวของกนอยางไร) .................................................................116
ความสมพนธระหวางสมการกบกราฟ (ตดกนทจดใด) ...........................................................................117
แบบฝกหด 2.2 ข .....................................................................................................................................118
แบบฝกหด 2.3 ........................................................................................................................................127
ตวอยางการใชงานกราฟ (บอลกระทบพน) .............................................................................................135
ตวอยางประยกตการใชงานกราฟ (คของใคร) ........................................................................................136
บทท 3 ระบบสมการเชงเสน ...................................................................139ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร ...............................................................................................................139
แบบฝกหด 3.1 ........................................................................................................................................141
แบบฝกหด 3.2 ........................................................................................................................................149
แบบฝกหด 3.3 ........................................................................................................................................165
ตวอยางประยกตใชการแกสมการ (หาไดอยางไร) ..................................................................................193
บทท 4 ความคลาย ................................................................................195รปเรขาคณตทคลายกน ............................................................................................................................195
ตวอยางความคลาย (รปคใดคลายกน) ....................................................................................................196
สมบตของความคลายกน .........................................................................................................................197
การส�ารวจรปหลายเหลยม .......................................................................................................................197
แบบฝกหด 4.1 ........................................................................................................................................198
รปสามเหลยมทคลายกน ..........................................................................................................................202
ตวอยางการใชงานความคลาย (ลองหาด) ...............................................................................................203
ตวอยางการคดเกยวกบความคลาย (คดไดไหม) ....................................................................................204
แบบฝกหด 4.2 ก .....................................................................................................................................205
แบบฝกหด 4.2 ข .....................................................................................................................................218
แบบฝกหด 4.3 ........................................................................................................................................222
Part 2 คมอคณตศาสตร ม.3 เลม 2
บทท 1 อสมการ .....................................................................................237อสมการเชงเสนตวแปรเดยว ....................................................................................................................237
แบบฝกหด 1.1 ........................................................................................................................................238
การแกอสมการเชงเสนตวแปรเดยว .........................................................................................................243
III
การแกอสมการ (นาคด) ..........................................................................................................................244
แบบฝกหด 1.2 ........................................................................................................................................245
ตวอยางการแกอสมการ (บอกหนอยซ) ..................................................................................................257
โจทยปญหาเกยวกบอสมการเชงเสนตวแปรเดยว ....................................................................................259
แบบฝกหด 1.3 ........................................................................................................................................259
ตวอยางโจทยปญหาเกยวกบอสมการ (คดหนอย) ..................................................................................266
ตวอยางการแกอสมการองรปสามเหลยม ................................................................................................268
บทท 2 ความนาจะเปน ...........................................................................271ความนาจะเปน .........................................................................................................................................271
ตวอยางความนาจะเปน (คดอยางไร) ......................................................................................................271
ตวอยางความนาจะเปน (ไดเปรยบหรอไม) .............................................................................................272
การทดลองสมและเหตการณ ...................................................................................................................273
ตวอยางการทดลองสม (เปนหรอไม) ......................................................................................................274
แบบฝกหด 2.2 ........................................................................................................................................274
ความนาจะเปนของเหตการณ ..................................................................................................................279
แบบฝกหด 2.3 ........................................................................................................................................280
ตวอยางความนาจะเปน (คาดการณอยางไร) ..........................................................................................290
ตวอยางความนาจะเปน (ชวยกนรณรงค) ...............................................................................................292
ความนาจะเปนกบการตดสนใจ ................................................................................................................292
ตวอยางการค�านวณคาคาดหมาย (หวยทอง) .........................................................................................293
ตวอยางการหาความนาจะเปนของเหตการณ (ไดหรอไม) ......................................................................294
ตวอยางการค�านวณความนาจะเปนของเหตการณ (สลากกนแบงรฐบาล) ..............................................298
ตวอยางประยกตใชความนาจะเปนของเหตการณ (ลลาวดลกผสม) .......................................................300
บทท 3 สถต ...........................................................................................303ตวอยางการด�าเนนการทางสถต (มขนตอนอยางไร) ...............................................................................303
ขอมลและการน�าเสนอขอมล ....................................................................................................................304
ตารางแจกแจงความถ และตารางแจกแจงความถของขอมลทเปนอนตรภาคชน ........................304
ฮสโทแกรม .................................................................................................................................306
ตวอยางการบอกประเภทของขอมล (บอกไดไหม) .................................................................................308
ตวอยางการน�าเสนอขอมลในรปตาราง (ตารางบอกอะไร) ......................................................................308
ตวอยางการน�าเสนอขอมลในรปแผนภมแทง (หมวกกนนอก) ................................................................310
ตวอยางการน�าเสนอขอมลดวยแผนภมรปวงกลม (ตอบไดไหม) ............................................................311
ตวอยางการน�าเสนอขอมลในรปกราฟเสน (ขาวหอมมะล) .....................................................................312
กราฟเสนแสดงปรมาณการสงออกขาวหอมมะลไทยเปนรายเดอนใน พ.ศ. 2544-2547
(มหนวยเปนตน) ........................................................................................................................312
ตวอยางการน�าเสนอขอมลในรปตาราง (วนสงกรานต) ...........................................................................313
ตวอยางการน�าเสนอขอมลในรปตารางแจกแจงความถ (แรงงานขนต�า) .................................................317
ตวอยางการน�าเสนอขอมลในรปตารางแจกแจงความถ (เอดส) ..............................................................319
IV
สรปห
ลกคด
พชต
โจทย
คณ
ตศาส
ตร ม
.3 ม
นใจเตม
100
แบบฝกหด 3.1 ........................................................................................................................................321
ตวอยางการเลอกการน�าเสนอขอมล (แบบไหนด) ..................................................................................327
คากลางของขอมล ....................................................................................................................................328
แบบฝกหด 3.2 ก .....................................................................................................................................331
แบบฝกหด 3.2 ข .....................................................................................................................................335
ตวอยางการใชคากลางขอมล (ตดสนอยางไร) ........................................................................................345
การกระจายของขอมล ..............................................................................................................................346
ตวอยางการหาสวนเบยงเบนมาตรฐาน (หาไดเชนเดยวกน) ...................................................................348
แบบฝกหด (การกระจายขอมล) ..............................................................................................................349
คะแนนเรองนารเกยวกบสวนเบยงเบนมาตรฐาน (คดแลวสนก) .............................................................357
เสนโคงปกต .............................................................................................................................................357
แบบฝกหด (เสนโคงปกต) .......................................................................................................................359
ความคลาดเคลอนทางสถต ......................................................................................................................361
ตวอยางเกยวกบความคลาดเคลอนทางสถต (เชอถอไดหรอไม) .............................................................361
ตวอยางความคลาดเคลอนทางสถต (ภาพลวงตา) ..................................................................................362
ตวอยางความคลาดเคลอนทางสถต (ประชากรของประเทศไทย) ...........................................................363
บทท 4 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร .....................................367กจกรรมพฒนาทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร ..........................................................................368
กจกรรมชดท 1-1 (มอยเทาไร) ................................................................................................368
กจกรรมชดท 1-2 (มอยกจ�านวน) ............................................................................................372
กจกรรมชดท 2-1 (มพนทเปนเทาไร) ......................................................................................374
กจกรรมชดท 2-2 (ไดเทาไร) ...................................................................................................378
กจกรรมชดท 3-1 (นบอยางไร) ...............................................................................................379
กจกรรมชดท 3-2 (นบไดเทาไร) ..............................................................................................383
กจกรรมชดท 4-1 (กตวกนแน) ................................................................................................387
กจกรรมชดท 4-2 (คดตามจด) ................................................................................................388
กจกรรมชดท 4-3 (คดไดหลายวธ) ..........................................................................................391
กจกรรมชดท 5 (ลดขนตอน) ....................................................................................................395
กจกรรมชดท 6-1 (พนทใตกราฟ)............................................................................................396
กจกรรมชดท 6-2 (ใจเยนๆ คอยๆ คด) ...................................................................................401
ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรกบตรโกณมต.............................................................................408
กจกรรมชดท 7-1 (ลองท�าด) ...................................................................................................408
กจกรรมชดท 7-2 (บอกไดไหม) ..............................................................................................411
กจกรรมชดท 7-3 (ลองหาด) ...................................................................................................413
กจกรรมชดท 7-4 (ลองคดด) ...................................................................................................415
กจกรรมชดท 7-5 (คด) ............................................................................................................418
กจกรรมชดท 7-6 (หอเอนเมองป�ซา (Tower of Pisa)) ...........................................................419
คมอคณตศาสตร ม.3 เลม 1
PART
1
พนทผวและปรมาตร
บทท 1
รปเรขำคณตสำมมตรปเรขาคณตสามมตในหวขอน มดงน
1. ปรซมคอ รปเรขาคณตสามมตทมฐาน 2 ดานเปนรปเหลยมทเทากนทกประการ โดยฐานทง 2 อยบนระนาบ
เดยวกน และมดานขางแตละดานเปนรปสเหลยมดานขนาน ตวอยางดงรป
2. ทรงกระบอก คอ รปเรขาคณตสามมตทมฐาน 2 ดานเปนรปวงกลม
ทเทากนทกประการ โดยฐานทง 2 อยบนระนาบเดยวกน และเมอ
น�าระนาบทขนานกบฐานมาตด กจะไดหนาตดเปนรปวงกลมท
เทากนทกประการกบฐาน ตวอยางดงรป
4
สรปห
ลกคด
พชต
โจทย
คณ
ตศาส
ตร ม
.3 ม
นใจเตม
100
3. พระมด คอ รปเรขาคณตสามมตทมฐานเปนรปเหลยมใดๆ มยอดแหลมทไมอยบนระนาบเดยวกนกบฐาน และหนา
ทกหนาเปนรปสามเหลยมทมจดยอดรวมกนทยอดแหลมนน ตวอยางดงรป
4. กรวยคอ รปเรขาคณตสามมตทมฐานเปนวงกลม มยอดแหลมทไมอยบนระนาบเดยวกนกบฐาน และเสนทตอ
ระหวางจดยอดและจดใดๆ บนขอบของฐานเปนสวนของเสนตรง ตวอยางดงรป
5. ทรงกลม คอ รปเรขาคณตสามมตทมผวโคงเรยบ และจดทกจดบนผวโคงอยหางจากจดคงทจดหนงเปนระยะ
เทากน โดยจดคงท คอ จดศนยกลาง และระยะทเทากน คอ รศมของทรงกลม ตวอยางดงรป
Chapter 01 พนทผวและปรมาตร
5
จากรปทรงกลมจะไดความสมพนธระหวางรศม (r) เสนผานศนยกลาง (ℓ) และเสนรอบวง โดยให π = 227
ดงน
(1) เสนผานศนยกลาง (ℓ) = 2 × ความยาวรศม = 2r
(2) เสนรอบรปของวงกลม = 2πr
ตวอยางเชน วงกลมวงหนง มรศมยาว 7 เซนตเมตร จะมความยาวของเสนรอบวงกลมเทาไร
วธท�ำ เนองจากรศม (r) = 7
เสนรอบรปของวงกลม = 2πr
= 2 × 22
7 × 7
= 44 เซนตเมตร
ดงนน ความยาวของเสนรอบวงกลมนเทากบ 44 เซนตเมตร
ส�ำรวจปรซม1. ใหนกเรยนพจารณารปของปรซมหาเหลยมดานเทามมเทา แลวตอบค�าถามตอไปน
1) ปรซมนมหนาทงหมดกหนา
ตอบ ม 7 หนา ประกอบดวยหนา ABCDE, AGHB, BHIC, CIJD, DJFE, EFGA และ GHIJF
2) รปเหลยมทเปนฐานของปรซมมกรป ไดแกรปใดบาง
ตอบ ม 2 รป ประกอบดวยรป ABCDE และ GHIJF
3) รปเหลยมทเปนดานขางของปรซมมกรป ไดแกรปใดบาง
ตอบ ม 5 รป ประกอบดวยรป AGHB, BHIC, CIJD, DJFE และ EFGA
4) รปเหลยมทเปนดานขางทกรปเทากนทกประการหรอไม
ตอบ เทากนทกประการ เนองจากเปนรปเหลยมของปรซมหาเหลยมดานเทามมเทา
5) สวนสงของปรซมมความยาวเทากบสวนของเสนตรงใด
ตอบ AG, BH, CI, DJ และ EF
6
สรปห
ลกคด
พชต
โจทย
คณ
ตศาส
ตร ม
.3 ม
นใจเตม
100
6) รปใดตอไปนเปนรปคลของปรซมหาเหลยมดานเทามมเทา
ตอบ รป ข เนองจากประกอบดวยรปสเหลยมทเปนดานขางของปรซมเทากนทง 5 หนา และมฐาน
เทากนทง 2 หนา
2. รปคลในแตละขอตอไปนเปนรปคลของปรซมชนดใด
เทคนคกำรพจำรณำ
ก. ลกษณะรปเหลยมของฐานปรซมทง 2 หนา
ข. ลกษณะรปเหลยมดานขาง และจ�านวนหนาของปรซม
1)
ตอบ ปรซมสามเหลยม
2)
ตอบ ปรซมหกเหลยม
3)
ตอบ ปรซมสามเหลยม
4)
ตอบ ปรซมสามเหลยม
Chapter 01 พนทผวและปรมาตร
7
5)
ตอบ ปรซมสเหลยม
6)
ตอบ ปรซมหกเหลยม
3. รปในแตละขอตอไปน ขอใดเปนรปของปรซม
เทคนคกำรพจำรณำ
ปรซมมฐาน 2 หนาเทากน และมรปเหลยมดานขางประกอบกน
1)
ตอบ เปนปรซมสเหลยม
2)
ตอบ ไมเปนปรซม เนองจากฐานทง 2 หนา
ไมเทากน
3)
ตอบ เปนปรซมหลายเหลยม
4)
ตอบ เปนปรซมหลายเหลยม
8
สรปห
ลกคด
พชต
โจทย
คณ
ตศาส
ตร ม
.3 ม
นใจเตม
100
5)
ตอบ ไมเปนปรซม เนองจากฐานทง 2 หนา
ไมเทากน
6)
ตอบ ไมเปนปรซม เนองจากมฐานเพยงหนาเดยว
ตอบ รปทเปนปรซม คอ ขอ 1), ขอ 3) และขอ 4)
4. รปในแตละขอตอไปนเปนรปของปรซม จงระบฐานทง 2 ของปรซม
1)
ตอบ ฐานของปรซม คอ ABCD และ FGHE
2)
ตอบ ฐานของปรซม คอ ABCD และ FGHE
3)
ตอบ ฐานของปรซม คอ ABCD และ FGHE
4)
ตอบ ฐานของปรซม คอ รป AFEDI และรป BGHCJ
ส�ำรวจทรงกระบอก1. ใหนกเรยนน�าวสดทมลกษณะเปนทรงกระบอกฐานเปดท�าดวยกระดาษ เชน แกนของมวนกระดาษทชช มาปฏบต
ตามขนตอนและตอบค�าถามตอไปน
Chapter 01 พนทผวและปรมาตร
9
1) (เปนค�าถามเชงปฏบต)
2) ตดทรงกระบอกตามแนวสวนสงและคลออก จะไดรปคลเปนรปอะไร ใหนกเรยนวาดรปคลนน
ตอบ รปสเหลยมมมฉาก ดงรป
3) วดความกวางและความยาวของรปคลทไดจากขอ 2)
ตอบ ความกวางและความยาวทวดได ขนอยกบขนาดของทรงกระบอกฐานเปด เชน กวาง 10 เซนตเมตร
และยาว 15 เซนตเมตร
4) เปรยบเทยบความสงและความยาวของเสนรอบวงกลมทหาไดในขอ 1) กบความกวางและความยาวทหาไดใน
ขอ 3) พรอมทงระบความยาวของสวนใดบางทเทากน
ตอบ ความสงของทรงกระบอกเทากบความกวางของรปสเหลยมมมฉาก ความยาวของเสนรอบวงกลมทเปน
ฐานของทรงกระบอกเทากบความยาวรปสเหลยมมมฉาก ดงรป
2. รปในขอใดบางเปนรปคลของทรงกระบอก และถาดานทคลออกมาเปนรปสเหลยมจตรสซงมความยาวรอบรปเปน
ℓ หนวย แลวฐานของทรงกระบอกแตละฐานมความยาวของเสนรอบวงเปนเทาใด
1) 2)
4
10
สรปห
ลกคด
พชต
โจทย
คณ
ตศาส
ตร ม
.3 ม
นใจเตม
100
3) 4)
4
ตอบ รปคลออกทเปนทรงกระบอก คอ ขอ 2) และขอ 4) เพราะเปนรปทมฐาน 2 ดานอยตรงขามกนของ
สเหลยมจตรส และถามวนรปกลบกจะไดเปนทรงกระบอก ดงรปตอไปน
รปคลในขอ2)กอนมวน รปคลในขอ4)กอนมวน รปคลออกแลวมวนเปนทรงกระบอก
4
4
สวนความยาวเสนรอบวงของฐานทรงกระบอกจะเทากบ 1 ใน 4 ของความยาวรอบรป หรอ ℓ4
ℓ4 หนวย แตถาทราบความ
ยาวรศม (r) สตรการหาความยาวเสนรอบวงกลมทใช คอ 2πr
ดงนน จะได ความยาวเสนรอบวงของฐานทรงกระบอก = ความยาวเสนรอบวงกลม
นนคอ 2πr = ℓ4
ℓ4 หรอจะได r = ℓ
8πℓ4
ดงนน ฐานของทรงกระบอกแตละหนามความยาวของเสนรอบวงเปน ℓ4
ℓ4 หนวย โดยมรศมยาว ℓ
8πℓ4
หนวย
3. นกเรยนคดวารปเรขาคณตสามมตตอไปน รปใดเปนทรงกระบอก และรปใดไมเปนทรงกระบอก จงอธบาย
ตอบ รป ก เปนทรงกระบอก เพราะมฐานทง 2 ฐานเปนวงกลมทเทากนและขนานกน และความสงเทากบความ
ยาวของแกนทรงกระบอก
รป ข, ค และ ง ไมเปนทรงกระบอก เพราะ
➀ รป ข มสวนเวาเขาหาแกน ซงท�าใหหนาตดวงกลมทขนานกบฐานไมเทากนตลอดความสงของทรง
กระบอก
➁ รป ค มฐานดานบนและดานลางไมเทากนและไมขนานกน และความสงของทรงกระบอกไมเทากบความสง
ของแกน
➂ รป ง มวงกลมทเปนฐานดานบนและดานลางไมเทากน
Chapter 01 พนทผวและปรมาตร
11
ส�ำรวจพระมด1. ใหนกเรยนพจารณารปของพระมดฐานสเหลยมผนผา แลวตอบค�าถามตอไปน
1) รปเหลยมใดคอฐานของพระมด
ตอบ ∆ ABCD
2) พระมดนมกหนา มกสน และทกสนยาวเทากนหรอไม
ตอบ ม 4 หนา คอ ∆ EAB, ∆ EAD, ∆ EDC และ ∆ ECB
ม 4 สน คอ EA, ED, EC และ EB และทกสนยาวเทากน
3) หนาของพระมดเปนรปสามเหลยมชนดใด
ตอบ รปสามเหลยมหนาจว
4) หนาทกหนาของพระมดเทากนทกประการหรอไม หนาคใดบางทเทากนทกประการ
ตอบ ไมเทากนทกประการทกหนา แตมหนาทอยตรงขามกนเทากนทกประการทกหนา คอ
∆ EAB ≅ ∆ EDC และ ∆ EAD ≅ ∆ ECB
2. รปคลตอไปนเปนรปคลของพระมดชนดใด
เทคนคกำรพจำรณำ
ใหพจารณาจากลกษณะรปเหลยมของฐานพระมด ถาฐานของพระมดเปนรปใด กจะเปนพระมดชนดนน
1)
ตอบ พระมดฐานสามเหลยม
2)
ตอบ พระมดฐานสเหลยม
12
สรปห
ลกคด
พชต
โจทย
คณ
ตศาส
ตร ม
.3 ม
นใจเตม
100
3)
ตอบ พระมดฐานสเหลยม
4)
ตอบ พระมดฐานหาเหลยม
5)
ตอบ พระมดฐานหกเหลยม
6)
ตอบ พระมดฐานแปดเหลยม
3. หลงคาบานในขอใดมลกษณะเปนพระมด จงใหเหตผล
เทคนคกำรพจำรณำ
ลกษณะของพระมดจะมจดยอดแหลมเพยงจดเดยวเทานน
1)
ตอบ ไมเปนพระมด เพราะยอดมความยาว
เทากบหลงคาบาน
2)
ตอบ ไมเปนพระมด เพราะยอดมความยาวเทากบ
หลงคาบาน 3)
ตอบ เปนพระมด เพราะมยอดแหลมเพยง
จดเดยว
4)
ตอบ ไมเปนพระมด เพราะยอดเปนรปสเหลยม
ผนผา
ตอบ ขอ 3) เปนพระมดเพยงขอเดยว เพราะมยอดแหลมเพยงจดเดยว
Chapter 01 พนทผวและปรมาตร
13
4. ใหนกเรยนเขยนรปคลของสวนทครอบดวงไฟของโคมไฟทมลกษณะดงรป
ตอบ จะไดรปคลออกทม 6 หนา
ส�ำรวจกรวย1. ใหนกเรยนเขยนวงกลม 2 วงบนแผนกระดาษใหมรศม 10 เซนตเมตร แบงมมทจดศนยกลางดงรป ตดกระดาษ
รปวงกลมทง 2 เปน 4 ชน คอ A, B, C และ D แลวประกอบกระดาษแตละชนใหไดกรวยฐานเปด 4 อน
โจทยขอน มจดมงหมายเพอใหนกเรยนทราบทมาและเหนองคประกอบของกรวย ซงสามารถน�าความรทไดจาก
กจกรรมฝกปฏบตไปตอบค�าถามในขอตอไป
2. พจารณากรวยทไดในขอ 1. แลวตอบค�าถามตอไปน
1) สวนสงเอยงของกรวยทง 4 อนยาวเทากนหรอไม เพราะเหตใด
ตอบ เทากน เพราะมความยาวเทากบรศมของวงกลมทตดจากกระดาษ คอ 10 เซนตเมตร
2) สวนสงของกรวยทง 4 อนยาวเทากนหรอไม ถาไมเทากน กรวยใดสงทสด และกรวยใดเตยทสด
วธคด การพจารณาความสงของกรวย ใหพจารณาจากขนาดของมมดานในของชนสวนวงกลม หรอขนาด
พนทของชนสวนวงกลมกได ดงรป
14
สรปห
ลกคด
พชต
โจทย
คณ
ตศาส
ตร ม
.3 ม
นใจเตม
100
ดงนน กรวย 4 อนเรยงล�าดบความสงจากมากไปนอยดงน C, A, B และ D ตามล�าดบ
ตอบ ไมเทากน กรวยสงทสด คอ กรวย C และกรวยเตยทสด คอ กรวย D
3) พนทฐานของกรวยเกยวของกบขนาดของมมทจดศนยกลางของวงกลมเดมอยางไร
ตอบ ขนาดของมมทจดศนยกลางของวงกลมใหญกวา จะท�าใหพนทฐานกรวยมากตามไปดวย ในทางตรงขาม
ถาขนาดของมมทจดศนยกลางของวงกลมเลกกวา จะท�าใหพนทฐานกรวยนอยตามไปดวย นนคอ
ขนาดพนทฐานของกรวย ขนอยกบขนาดของมมทจดศนยกลางของวงกลมเดม
4) ฐานของกรวยใดมพนทมากทสด
ตอบ กรวย D เพราะขนาดของมมทจดศนยกลางของวงกลมเดมมากทสด คอ 210 องศา
5) ขอบของฐานกรวยคอสวนใดของรปวงกลมเดม
ตอบ สวนโคงของวงกลม หรอสวนของเสนรอบวงกลม
6) ถาน�ากรวยทงสทไดมารอยเรยงกนเปนโมบาย ดงรปดานลาง กรวยใดท�าจากกระดาษ A, B, C และ D
ตอบ จากรป จะเหนวา ดานลางสดเปนกรวยฐานขนาดใหญและเตยทสด แลวเรยงล�าดบขนไปจนถงกรวย
สงทสด ดงนน ล�าดบการเรยงกรวยจากลางขนบน คอ D, B, A และ C ตามล�าดบ
3. ใหนกเรยนเขยนรปคลของสวนทครอบดวงไฟของโคมไฟทมลกษณะดงรป
ตอบ จากรปขอน จะไดสวนทครอบดวงไฟของโคมไฟเปนรปครงวงกลม
Chapter 01 พนทผวและปรมาตร
15
ส�ำรวจวงกลมก�าหนดทรงกลม ดงรป ใหนกเรยนตอบค�าถามตอไปน
1. ถานกเรยนแตละคนน�าระนาบมาตดทรงกลมทก�าหนดให แลวหนาตดทไดเปนรปอะไร
ตอบ รปวงกลมขนาดตางๆ กน โดยวงกลมทมระนาบผานจดศนยกลางจะเปนวงกลมทใหญทสด
2. หนาตดทนกเรยนแตละคนไดในขอ 1. มขนาดเทากนทกรปหรอไม
ตอบ ไมเทากนทกรป โดยหนาตดของวงกลม จะขนอยกบต�าแหนงของระนาบทถกตดออกจากทรงกลม
3. วงกลมใหญของทรงกลมทก�าหนดให มกวง
ตอบ มหลายวงนบไมถวน เพราะระนาบทผานจดศนยกลางของทรงกลม มไดมากมายหลายทศทาง
4. ถาก�าหนดจดจดหนงบนทรงกลม จะมวงกลมใหญผานจดนไดกวง
ตอบ มหลายวงนบไมถวน เพราะระนาบทผานจดจดหนงของทรงกลม มไดมากมายหลายทศทาง
ปรมำตรของปรซมและทรงกระบอก1. กำรหำปรมำตรของปรซม
ปรมาตรของปรซมตางๆ หาไดจากสตร
ปรมาตรของปรซมใดๆ = พนทฐาน × ความสง
โดยการหาพนทฐาน จะตองพจารณาวาปรซมนนเปนปรซมฐานแบบใด ดงน
(1) ปรซมฐานสเหลยมมมฉาก สามารถหาพนทฐานจากสตร
พนทฐาน = ความกวาง × ความยาว
(2) ปรซมฐานสามเหลยม สามารถหาพนทฐานจากสตร
พนทฐาน = 12× × ความยาวฐาน × ความสง
การหาปรมาตรของปรซมทมความซบซอน อาจตองท�าการแยกสวนปรซมนนๆ ออกมาเปนสวนยอย แลว
ค�านวณปรมาตรของสวนยอยเหลานน หลงจากนนจงน�าเอาปรมาตรทหาไดในแตละสวนมารวมกน
16
สรปห
ลกคด
พชต
โจทย
คณ
ตศาส
ตร ม
.3 ม
นใจเตม
100
2. กำรหำปรมำตรของทรงกระบอก
ปรมาตรของทรงกระบอก หาไดจากสตร
ปรมาตรของปรซมใดๆ = พนทฐาน × สง
โดยพนทฐานของทรงกระบอก หาไดจากฐานทเปนรปวงกลม ดงน
พนทรปวงกลม = πr2 เมอ r เปนความยาวรศมของวงกลม
ดงนน จะไดสตรปรมาตรของทรงกระบอก = πr2 h เมอ h เปนความสงของทรงกระบอก
แบบฝกหด 1.2 ก
%% Note
หลกการส�าคญในการหาปรมาตรของปรซม
1. การหาค�าตอบตองอานโจทยใหเขาใจและใชขอมลทโจทยบอกมาเพอการค�านวณ
2. หาพนทฐานและความสง
• พนทฐานปรซมสเหลยม = ความกวาง × ความยาว
• พนทฐานปรซมสามเหลยม = 12× × ความยาวฐาน × ความสง
3. น�าพนทฐานคณกบความสงตามสตร
ปรมาตรของปรซม = พนทฐาน × สง
4. ถาโจทยไมมรป ควรวาดรปประกอบ เพอใหเหนภาพทชดเจนขน
5. ควรมความรในเรองการแปลงหนวยของขนาด ความยาว หรอปรมาตรใหตรงกบค�าถามในโจทย
1. จงหาปรมาตรของปรซมตอไปน (ความยาวทก�าหนดใหมหนวยเปนเซนตเมตร)
1)
วธท�ำ จากรปทโจทยก�าหนด จะเหนวา เปนปรซมสเหลยมมมฉากทมฐานกวาง 31
2× หรอ 3.5 เซนตเมตร
ยาว 4 เซนตเมตร และมความสง 6 เซนตเมตร
จากสตรปรมาตรของปรซม = พนทฐาน × สง
แตโจทยขอนไมไดบอกขนาดพนทฐานมาให เราจงตองหาพนทฐานกอน
เนองจากพนทฐานของสเหลยมมมฉากใดๆ = กวาง × ยาว
จะไดพนทฐานรปน = 31
2×× 4 = 14 ตารางเซนตเมตร
ดงนน ปรมาตรของปรซมน = 14 × 6 = 84 ลกบาศกเซนตเมตร
ตอบ ปรมาตรของปรซมนเทากบ 84 ลกบาศกเซนตเมตร