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Universidad Autónoma de ChiriquíExamen Parcial # 2, fis 307 A
Participante: ___________________________________________ Cédula: ____________________________ Fecha: __________________________1) Considera una partícula con masa m en un campo gravitatorio constante, restringida a moverse sobre un espiral con
ecuación R = constante, y z=kθ, con k una constante. Calcula y resuelve las ecuaciones de Hamilton.
2) Dos masas m1 y m2 están conectadas a través de un muelle sin masa de constante k y tamaño en reposo L. El sistema
se mueve libremente en el plano R2. Escribe el hamiltoniano del sistema y demuestra que hay tres coordenadas
cíclicas. ¿Con qué cantidades conservadas corresponden estas simetrías? ¿Cuál es la cuarta cantidad conservada? (Pista: describe el sistema en términos de la posición del centro de masa y las posiciones relativas)
3) Considera el lagrangiano de un oscilador armónico amortiguado L=12m q2 e2 γt−1
2k2q2e2 γt, con γ una constante
positiva. Deriva las ecuaciones del movimiento e interpreta cada término con el formalismo lagrangiano. Determina la forma del hamiltoniano.
4) Un sistema está descrito por el lagrangiano L=12m ( x2+ y2 )−1
2A (x2+ y2 )−Bxy , con A y B constantes positivas.
Aplica el cambio de coordenadas θ=1√2
(x+ y) φ=1√2
(x− y )
e interpreta el sistema a través de la nueva forma del lagrangiano. Demuestra que el hamiltoniano se descompone en
dos partes H θ y Hφ que dependen sólo de θ y de φ respectivamente. Utiliza los corchetes de Poisson para
demostrar que ambas son cantidades conservadas. Define la cantidad l=m(θ pφ−φ pθ) y demuestra que l se
conserva en el caso que B=0 . Interpreta las cantidades H θ y Hφ y l y comenta porqué están conservadas.