Paklaidų analizė

3 paskaita

Absoliučiosios paklaidosApibrėžimas. Apytiksliu skaičiumi a vadinamas skaičius, labai mažai tesiskiriantis nuo tikslaus skaičiaus A ir pakeičiantis šį skaičių skaičiuojant.

Apibrėžimas. Tikslaus ir apytikslio skaičių skirtumo modulį vadiname apytikslio skaičiaus absoliučiąja paklaida ir žymime ∆, t.y.:

|A-a|= ∆.

Daugeliu atvejų galima nustatyti tokį teigiamą kiek galima mažą skaičių ∆a, nemažesnį už absoliučiąją paklaidą, t.y. ∆≤ ∆a.

Skaičius ∆a vadinamas skaičiaus a ribine absoliučiąja paklaida.

Santykinės paklaidos

Absoliučioji paklaida nepakankamai apibūdina matavimo arba skaičiavimo tikslumą. Norint tiksliau apibūdinti matavimo arba skaičiavimo tikslumą, vartojama santykinė paklaida.

Apibrėžimas. Skaičiaus a santykinė paklaida lygi jo absoliučiosios paklaidos bei tikslaus skaičiaus A modulio santykiui ir žymima δ, t.y.

Čia taip pat įvedame ribinę santykinę paklaidą δa, kuri nemažesnė už santykinę paklaidą, t.y. δ ≤ δa.

Santykinė paklaida yra normuotas dydis ir dažniausiai išreiškiamas procentais.

A

Funkcijos absoliučioji ir santykinė paklaidos

Sakykime, kad turime kelių kintamųjų funkciją:

čia x1, x2, . . ., xn – nepriklausomi kintamieji. Kuriuo nors būdu apibrėždami jų skaitines reikšmes, padarome paklaidas Šių argumentų ribines absoliučiąsias paklaidas žymime

Funkcijos absoliučioji paklaida įvertinama tokiu sąryšiu:

Funkcijos santykinė paklaida:

).,..,,( 21 nxxxfu

nxxx .,..,, 21

nxxx .,..,,21

)1(;...21

21nx

nxxu x

f

x

f

x

f

)2(....21

21nx

nxx

uu f

xf

f

xf

f

xf

f

Paklaidų kaupimas, atliekant aritmetinius veiksmus

Imkime du apytikslius teigiamus skaičius: x ir y, jų absoliučiosios ribinės paklaidos atitinkamai lygios ∆x ir ∆y.

Šių skaičių sumos absoliučioji paklaida: ∆x+y= ∆x+ ∆y;

Skirtumo absoliučioji paklaida: ∆x-y= ∆x+ ∆y;

Daugybos absoliučioji paklaida: ∆xy= y∆x+ x∆y;

Santykio absoliučioji paklaida:;

2y

xy yx

y

x

Paklaidų kaupimas, atliekant aritmetinius veiksmus

Sumos santykinė paklaida:

Skirtumo absoliučioji paklaida:

Daugybos absoliučioji paklaida:

Santykio absoliučioji paklaida:

Visos šios palaidų formulės gautos naudojantis (1) ir (2) lygtimis.

;yx

y

x

yxyx yx

y

yx

x

yxyx yx

y

yx

x

yxxy

PavyzdysTurime du apytikslius skaičius ir

Nustatykite skaičiaus absoliučiąją ir santykinę paklaidas.

Sprendimas. Sakykime, kad ieškomas skaičius yra dviejų kintamųjų

funkcija:

Raskime dalines išvestines:

Išreiskę (1) ir (2) formules turėsime absoliučiąją ir santykinę paklaidas:

Įstačius į šias formules turimas reikšmes x1=0,56, Δx1=0,05, x2=1,28,

Δx2=0,03, gauname, kad ∆f=0,077 ir δf=0,053.

05,056,01 x 03,028,12 x2

31 xx

23121 ),( xxxxf

;1;32

21

1

x

fx

x

f

;13 2121 xxxf ;

132

231

12

31

21 x

xxx

xx

xf

Apytikslis lygčių sprendimas

Apytikslis lygčių sprendimas

Sakykime turime lygtį:

Apytikslė šaknis randama dviem etapais:

1. išskiriama šaknis, t.y. nustatomas izoliacijos intervalas [a, b], kuriame yra viena ir tik viena šaknis;

2. apytikslė šaknis tikslinama, t.y. pasiekiamas reikalaujamas tikslumas ε, kai |c-xn|< ε, čia xn yra apytikslė šaknis, o c lygties šaknis

Pirmas etapas dažniausiai įvykdomas sprendžiant lygtį grafiniu būdu, o šaknie tikslinimas atliekamas naudojant stygų, liestinių, kombinuotą ir kitu metodus.

0)( xf

Grafinis lygčių sprendimas

Šaknis išskiriame arba randame šaknų izoliacijos intervalus remdamiesi tolydžios funkcijos uždarame intervale savybe: jei funkcija f(x) yra tolydi uždarame intervale [a, b], ir intervalo galuose įgyja priešingų ženklų reikšmes, t.y. tai tame intervale yra nors viena reikšmė c, kai

Šaknis c bus vienintelė intervale [a, b], jei egzistuoja ir tame intervale ji turi pastovų ženklą.

Apytikslę šaknį gauname parinkę

Realiąsias lygties šaknis galima rasti kaip funkcijos

grafiko susikirtimo su 0x ašimi taškų abscises.

0)()( bfaf0)( cf

)(xf

2

bac

0)( xf)(xfy

Pavyzdys

Raskime bent vieną realiąją lygties šaknį grafiniu

būdu 0,1 tikslumu.

Sprendimas. Pirmiausia susitvarkome lygtį:

Braižome kairės pusės funkcijos grafiką:

Matome , kad funkcija kerta Ox ašį daug sykių. Pasirinkime vieną

susikirtimo tašką. Tegu tai bus teigiama mažiausia šaknis.

2)1,055,0( xxtg

0)1,055,0( 2 xxtg

Pavyzdys (tęsinys)

Dar siauriname x intervalą:

Grafike matosi, kad šiame intervale Ox ašiskertama ne vieną sykį

Taigi jau aiškiai matosi, kokiam intervale yra funkcijosšaknis.Pasirenkame kairį intervalo galą a=0,67 (kirtimo taškui iš kairės) ir dešinį intervalo galą b=0,83.

Pavyzdys (tęsinys)

a 0.67 b 0.83

0.67 0.71 0.75 0.79 0.83

0.1

0.05

0.05

0.1

f x( )

xa b 0.16

Patikslintame intervale šaknis matosi, tačiau tikslumas 0,1dar nėra pasiektas.

Vėl patikslinus intervalo galus, gauname norimo tikslumo izoliacijos intervalą [0,71; 0,79].

a 0.71 b 0.79

0.71 0.73 0.75 0.77 0.79

0.04

0.02

0.02

0.04

f x( )

xa b 0.08

Pavyzdys (tęsinys)

f a( ) 0.03 f b( ) 0.032

Patikrinkime ar nustatytame intervale yra vienintelė šaknis:

Intervalo galuose funkcijos ženklas skiriasi;Skaičiuojame išvestinę

f1 x( )xf x( )d

d

f1 x( ) simplify0.55

cos 0.55x 0.1( )2

2 x

f1 a( ) 0.713 f1 b( ) 0.837

0.72 0.74 0.76 0.78

0.85

0.8

0.75

0.7

f1 x( )

x

Išvestinė visame intervale nekeičia ženklo. Taigi nustatytame intervale šaknis yra vienintelė.

Kombinuotas stygų-liestinių metodas

Duota lygtis . Intervalas [a, b] yra lygties izoliacijos intervalas, t.y. , funkcija yra tolydi intervale ir yra pastovays ženklo. Šaknies intervalo tikslinimui naudosime kombinuotą stygų-liestinių metodą. Rasta šaknis tikslinama tol, kol pasiekiamas norimas tikslumas |a-b|<ε. Tuomet sprendinys bus

Galimi keturi šaknies tikslinimo atvejai.

0)()( bfaf )(),( xfxf 0)( xf

2

bac

PavyzdysDabar raskime vieną realiąją lygties šaknį

kombinuotu metodu 0,001 tikslumu.

Sprendimas. Mes jau nagrinėjome šią lygtį prieš tai. Dabar laikykime,

kad šaknies izoliacijos intervalas yra [0,5; 1].

Tikrinkime ar tenkinamos izoliacijos intervalo sąlygos:

Funkcijos ženklas intervalo galuose skiriasi. Tikriname ar tame intervale

šaknis yra vienintelė:

f1 x( )xf x( )d

d

f1 x( ) simplify0.55

cos 0.55x 0.1( )2

2 x

f1 a( ) 0.365 f1 b( ) 1.132

2)1,055,0( xxtg

0 0.17 0.33 0.5 0.67 0.83 1

0.4

0.3

0.2

0.1

0.1

f x( )

xa 0.5 b 1

f a( ) 0.144 f b( ) 0.24

0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

f1 x( )

x

Pavyzdys

Išvestinės ženklas visada vienodas . Taigi [0.5; 1] yra

izoliacijos intervalas. Dar patikrinkime grafiką ir ženklą:

Antros išvestinės ženklas taip pat

nesikeičia intervale ir yra neigiamas

(žemiau Ox ašies):

Taigi turime trečią kombinuoto metodo atvejį. Iš kairės pusės šaknį

tikslinsime stygų formule, o iš dešinės liestinių formule.

f2 x( )xf1 x( )d

d f2 x( ) simplify 0.605tan 0.55x 0.1( )

3 0.605tan 0.55x 0.1( ) 2.0

0)( xf

)(xf

f2 a( ) 1.725 f2 b( ) 1.274 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1.8

1.7

1.6

1.5

1.4

1.3

1.2

f2 x( )

x0)( xf

Stygu metodas Liestiniu metodas

1 iteracija

a1 af a( )

f b( ) f a( )b a( ) b1 b

f b( )

f1 b( )

a1 0.687 b1 0.788

Tikslumas a1 b1 0.101 nepasiektas. Tæsiame toliau

2 iteracija

a a1 b b1

a2 af a( )

f b( ) f a( )b a( ) b2 b

f b( )

f1 b( )

a2 0.748 b2 0.752

Tikslumas a2 b2 0.004 nepasiektas. Tæsiame toliau

3 iteracija

a a2 b b2

a3 af a( )

f b( ) f a( )b a( ) b3 b

f b( )

f1 b( )

a3 0.75 b3 0.75

Tikslumas a3 b3 0 pasiektas.

Ðaknis ca3 b3

2 c 0.750 f c( ) 0.0000006