osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · pdf fileosnove regulacijske tehnike ......
TRANSCRIPT
![Page 1: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/1.jpg)
Osnove regulacijske tehnike
prof. dr.sc. Dario Matikaprof. dr.sc. Dario Matika
mr.sc. Dalibor Brnobić
Uvod
![Page 2: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/2.jpg)
POJMOVI
� REGULACIJA – izvođenje nečeg po nekom
planu
� Regula (lat.) – obveza koja određuje način rada i
ponašanjaponašanja
� Regulirati
� značiti uspostaviti pravilan odnos među mehanizmima (stroj, aparat, uređaj, sprava i sl.),
� održavati proces u zadanim okvirima, ali tako da se promjene neke fizikalne veličine odvija po određenom zakonu (algoritmu funkcioniranja sustava)
![Page 3: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/3.jpg)
Primjer - PROIZVODNJA
Energija
Materijali ROBA
TSRad
Kapital
Informacije
USLUGA
TS - TRANSFORMACIJSKI SUSTAV
TSREGULIRATI
![Page 4: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/4.jpg)
SUŠTINA
� To su svrsishodni procesi koje regulira
čovjek da bi zadovoljio svoje potrebe
� To je organizirani skup djelovanja
sastavljen od:sastavljen od:
� Radnih operacija, i
� Operacija upravljanja
� I radne operacije i operacije upravljanja mogu
se djelomično ili u potpunosti odvijati uz
pomoć tehničkih uređaja
![Page 5: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/5.jpg)
ZAMJENA ČOVJEKOVA RADA
� Mehanizacija – je zamjena čovjekova rada u
radnim operacijama sa tehničkim uređajima
� Automatizacija - je zamjena čovjekova rada u
operacijama upravljanja tehničkim uređajimaoperacijama upravljanja tehničkim uređajima
� Automatska regulacija – je zapravo promjena
neke fizikalne veličine po određenom zakonu
bez neposrednog sudjelovanja čovjeka
![Page 6: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/6.jpg)
Što je potrebno regulirati?
� Početak, redoslijed i završetak radnih operacija
� Opskrbljivanje potrebnom
OBJEKT UPRAVLJANJA
potrebnom energijom i materijalom
� Odvijanje procesa sa stajališta iznosa neophodnih parametara
Paletizacija
![Page 7: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/7.jpg)
Primjer – Programska regulacija
� Y=Y(x1, x2, …,xi ,.. xn)
� gdje su: xi – veličine
koje karakteriziraju
stanje objekta u tijeku regulacijskog procesaregulacijskog procesa
� PROGRAMATOR RADA
![Page 8: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/8.jpg)
Servo-sustavi Miješalice Rezači
![Page 9: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/9.jpg)
Robot - JASTOG
![Page 10: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/10.jpg)
Robot - JASTOG
� Pokretan robot s 8 nogu po uzoru na jastoga� Predviđen za autonomno praćenje dna u
rijekama i/ili obalnom morskom pojasu s robusnom adaptacijom na neregularan oblik dna, djelovanje morske struje i valovitost priobalja.
� Algoritam upravljanja oponaša gibanje pravog jastoga.
� Aktuatorska i senzorska arhitektura je od visoko modulariziranih komponenata i male cijene zbog velikog broja jedinki u jatu.
![Page 11: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/11.jpg)
Glista (lumprey) - biomimetički podvodni robot
![Page 12: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/12.jpg)
Robot - GLISTA
� Robot glista namijenjen je za operacije autonomnog daljinskog praćenja u vodnom stupu s robusnim sustavom upravljanja po dubini/visini stupa, te velikom manevarskom sposobnošću.velikom manevarskom sposobnošću.
� Algoritam upravljanja oponaša gibanje gliste (zmijice).
� Aktuatorska i senzorska arhitektura su od visoko modulariziranih komponenata i iste su kao i za robot-jastoga.
![Page 13: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/13.jpg)
Muha robot
![Page 14: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/14.jpg)
Antenna azimuth position control system:
a. system concept;b. detailed layout;c. schematic;d. functional block diagram
![Page 15: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/15.jpg)
MATEMATIČKI OPIS
![Page 16: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/16.jpg)
Jednadžbe i integrali
� Proučavat ćemo linearne kontinuirane
sustave automatskog upravljanja
Moramo znati rješavati:� Moramo znati rješavati:
� Nehomogene linearne diferencijalne jednadžbe prvog i drugog reda
� Određene i neodređene integrale
![Page 17: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/17.jpg)
Primjer – Lift (Elevator)
a. U početku su a. U početku su
upravljani od strane
operatora
b. Danas su potpuno
automatski – regulira
se pozicija i brzina
POSITION CONTROLE SYSTEM
![Page 18: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/18.jpg)
ULAZ / IZLAZ
4
0
![Page 19: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/19.jpg)
UKUPNI ODZIV SUSTAVA
UKUPNI ODZIV SUSTVA
PRIJELAZNI
(Transient
USTALJENI
(Steady – State
= +
(Total Response)
(Transient Response)
(Steady – State Response)
Yukupni odziv = Yprijelazni + Yustaljeni
Prisutna je greška (Steady - State Error)
![Page 20: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/20.jpg)
PROBLEM – kako izračunati odziv sustava?
� Linearni vremenski nepromjenljiv sustav
(Linear Time Invariant System - LTIS)
� Takav sustav moguće je opisati uz pomoć
linearnih diferencijalnih jednadžbilinearnih diferencijalnih jednadžbi
� Simbolički zapis za sustav II – reda bio bi:
u(t) y(t)F(t, y, y’, y”) = 0
![Page 21: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/21.jpg)
Lin.dif. jed. za sustav II - reda
y”+ay’+by=f(t)� Gdje je:
� a i b – koeficijenti (realni brojevi)� f(t) – neprekidna funkcija
� Ako je:� f(t)=0 – homogena diferencijalna jednadžba� U suprotnome je nehomogena diferencijalna
jednadžba
![Page 22: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/22.jpg)
Opće rješenje:
y(t) = yhomogeno + ypartikularno = yho(t) + ypa(t)
Homogeno rješenjesastoji se isključivo iz
prirodnih modova
Partikularno rješenjepoprima formu
pobude
� Kako izgleda naš sustav?
� y(t)=g(t)*u(t) – Konvolucijski integral
pobude
u(t) y(t)g(t)
![Page 23: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/23.jpg)
“Skladišta energije”
� Sustav najlakše oslobađa energiju po prirodnom modu (eksponencijalna funkcija) i najmanje otpora pruža signalu koji ima formu prirodnog moda
� Kako će se sustav ponašati ako posjeduje skladišta energije – oslobađa energiju?
u(t) y(t)g(t)
Prirodni mod (eksp.
funkcija)?????
![Page 24: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/24.jpg)
ODZIV SUSTAVA
� PRORODNI ILI SLOBODNI ODZIV (eng. Natural Response)
� Sastoji se isključivo iz prirodnih modova
� FORSIRANI ILI PRINUDNI ODZIV (eng. Forced Response)
� Dobro je da pobuda bude iz klase eksponencijalnih funkcijamodova
� Pokazuje kako će se sustav ponašati odnosno kako će sustav trošiti u prošlosti sakupljenu energiju kada je prepušten sam
sebi: pobuda u(t)=0, za t<t0
� t0 – vrijeme do kada su se popunjavala skladišta energije
eksponencijalnih funkcija
� Sustav je pokrenut s punim skladištima energije
� pobuda u(t)≠0, za t≥t0
� Odziv sadrži komponente koje su posljedica djelovanja pobude
![Page 25: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/25.jpg)
KOMPONENTE ODZIVA SUSTAVA
� PRIRODNI ODZIV – je rješenje homogene
diferencijalne jednadžbe koje se uvijek taži u
formi eksponencijalne funkcije
� FORSIRANI ODZIV - je partikularno rješenje
linearne diferencijalne jednadžbe za pobudu
iz klase eksponencijalnih funkcija
� UVJET: STABILNOST I TRAJNA POBUDA
![Page 26: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/26.jpg)
Zašto?
� Ako se sustav nalazi u ravnotežnom stanju,
te ako njegova skladišta energije nisu prazna,
svaki kratkotrajni poremećaj impulsnog
karaktera pomaknut će sustav iz ravnoteže.karaktera pomaknut će sustav iz ravnoteže.
� Sustav će trošiti prije akumuliranu energiju na
gibanje kao posljedicu na koju je natjeran
kratkotrajnim poremećajem
� No, kada takav poremećaj ima prirodni mod
tada sustav:
![Page 27: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/27.jpg)
Zašto?
a) Ne pruža otpor takvim signalima
b) Oslobađa svoju energiju
Učinak rezonancije:Učinak rezonancije:
� Nastupa kod prirodnih modova koji odgovaraju konjugirano-kompleksnim svojstvenim vrijednostima
� Naime, se sustav pobudi harmonijskim signalom čija frekvencija odgovara frekvenciji konjugirano-kompleksnog para svojstvenih vrijednosti, tada će nastupiti rezonancija
![Page 28: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/28.jpg)
POJAČANJE SUSTAVA
![Page 29: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/29.jpg)
![Page 30: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/30.jpg)
Laplaceove transformacije
Po volji odabranoj funkciji f(t) može se
pridružiti druga funkcija F(s) pomoću
Laplaceove transformacije gdje je:
� f(t) – original ili gornja funkcija
� F(s) – slika originala ili donja funkcija
![Page 31: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/31.jpg)
Transformacija
f'(t) F(s)
Λ
F(s)=Λ[f(t)]f'(t)
f(t)
{A}
F(s)
Λ[f(t)]
{B}
Λ-1
f(t)=Λ-1[F(s)]
![Page 32: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/32.jpg)
Laplasov integral
0
( ) ( )st
F s e f t dt
∞−= ∫
Primjer br. 1:∞ ∞
Primjer br. 1:
( )t
f t e=
( ) ?F s =
0 0
( ) ( )st st t
F s e f t dt e edt
∞ ∞− −= = ⋅ =∫ ∫
1( )
1F s
s=
−
![Page 33: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/33.jpg)
Rješenje
(1 ) (1 )
0 00 0 0
(1 )1 1 1
(1 )1 1 1 1
1
1
ps t p p s t
p s te
e dt dp s dt dp e dp e es s s s
dt dps
∞ ∞ ∞ ∞ ∞− −
= −
= = = − = = = | = | = − − − − =
−
∫ ∫ ∫
1 s−
[ ](1 ) (1 ) 01 1lim 1 ;
1 1
s t s
te e L
s s
− − ⋅
→∞ = − = − − −
(1 )lim lim 0
ts t
stt t
eL e
e
−
→∞ →∞= = → 1
( )1
F ss
=−
![Page 34: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/34.jpg)
PONOVITI
� Laplasove transformacije
� Korištenje Laplasovih tablica
� Pravila primjene Laplasovih transformacija
� Inverzna Laplasova transformacija
![Page 35: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/35.jpg)
![Page 36: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/36.jpg)
![Page 37: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/37.jpg)
Diferncijalne jednadžbe
� Kako koristiti Laplasove tablice?
Primjer br. 2:Riješite diferencijalnu jednadžbu uz pomoć Laplaceove
transformacije:
't
y y e+ =(0) 3y =
( ) ?y t =
transformacije:
Rješenje:
5 1( )
2 2
t ty t e e
−= +
![Page 38: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/38.jpg)
Rješenje:
� Laplasova transformacija
[ ]' 't t
y y e y y e + = → + = L L
� Teorem o deriviranju originala
Y’ sY(s) – Y(0)
Y Y(s)
� Teorem sličnosti (Laplasove tablice)
![Page 39: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/39.jpg)
Laplasova transformacija
[ ]'t
y y e + = L L
Dobivamo:[ ] [ ]'
ty y e + = L L L
1( ) (0) ( )
1sY s y Y s
s− + =
−
3 2( )
( 1)( 1)
sY s
s s
−=
+ −
![Page 40: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/40.jpg)
Rastavljanje na pribrojnike
� Metoda proporcionalnih razlomaka
1 23 2
( )( 1)( 1) 1 1
k ksy s
s s s s
−= = +
+ − + −
� Metoda rezidija
( ) ( )i
i is s
k s s y s=−
= + ⋅
![Page 41: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/41.jpg)
Inverzna Laplasova transformacija
� Rezultat: 5 1
2 2( )1 1
Y ss s
= ++ −
� Inverzna transformacija:
� Rješenje:
[ ]1 1 15 1 1 1( )
2 1 2 1Y s
s s
− − − = + + − L L L
5 1( )
2 2
t ty t e e
−= +
![Page 42: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/42.jpg)
Fizikalni model
m x ( t ) = ?
k
Primjer br. 3:
m
f ( t ) = s i n t
x ( t ) = ?
Z a d a n o : m = 1 k g
k = 2 N m - 1
1 ) S l u c a j : x ( 0 ) = 0 i x ´ ( 0 ) = 0
2 ) S l u c a j : x ( 0 ) = 2 i x ´ ( 0 ) = 4
![Page 43: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/43.jpg)
Diferncijalna jednadžba sustava
( ) ( ) ( ) sinmx t kx t f t t+ = =&&
� Uvjeti: (0) 0x = (0) 0x =&
![Page 44: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/44.jpg)
Laplasova transformacija
sint 2
2
1( ) ( )
1ms X s kX s
s+ =
+21s +
2
2 2 2
1 1( )( 2) ( )
1 ( 2)( 1)X s s X s
s s s+ = ⇒ =
+ + +
![Page 45: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/45.jpg)
Rastavljanje na pribrojnike
1 2
2 2 2 2
1( )
( 2)( 1) 2 1
k kX s
s s s s= = +
+ + + +
2 2 2 2
1 1 1( )
( 2)( 1) 1 2X s
s s s s= = −
+ + + +
![Page 46: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/46.jpg)
Inverzna Laplasova transformacija
2 2sin
aa t
s a+ò
1 1sin atò
1 1sin 2 t⋅ò
� Rješenje:
2 2
1 1sin at
s a a+ò 2
1 1sin 2
2 2t
s⋅
+ò
1( ) sin sin 2
2x t t t= − ⋅
![Page 47: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/47.jpg)
Fizikalni model
Primjer br. 4:m
f ( t ) = s in t
x ( t ) = ?
k
B
4 3 1 4 k
Z a d a n o : m = 1 k g
k = 4 N m - 1
B = 4
x ( t ) = ? ; x ( 0 ) = 0 ; x ´ ( 0 ) = 0
2
2
4 3 1 4( ) cos sin ( ) ( )
25 25 5 25
14cos 3sin (5 4) ( )
25
t
t
x t t t t e S t
t t t e S t
−
−
= − + + + ⋅ ⋅ =
= − + + + ⋅ ⋅
![Page 48: Osnove regulacijske tehnike - riteh.uniri.hr · PDF fileOsnove regulacijske tehnike ... sustave automatskog upravljanja Moramo znati rješavati: Nehomogene linearne diferencijalne](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012306/5a79e5ee7f8b9ab05f8d7259/html5/thumbnails/48.jpg)
Lekcije
1. Laplaceove transformacije
2. Matematičko opisivanje komponenti sustava
3. Analogne električne sheme
4. Prijenosne funkcije električnih mreža (Funkcija prijenosa)4. Prijenosne funkcije električnih mreža (Funkcija prijenosa)
5. Prijelazna karakteristika sustava
6. Prijenosne funkcije složenih sustava
7. Amplitudno-fazne frekvencijske karakteristike
8. Numerički i grafički kriteriji stabilnosti ravnotežnog stanja
9. Točnost sustava regulacije
10. Statički i dinamički pokazatelji regulacije
11. Topologija (struktura) regulatora
12. Upravljanje sustavima pomoću varijabli stanja